Guia Dom, Ran, y Funciones Algebraicas

Institución Educativa Departamental IntegradaAlfonso López Pumarejo

Nemocón

Cálculo; UndécimoDocente: Ing. Hernán Darío Carrillo Aristizábal

2011

Funciones clasificación, Dominio y rango 2º Bimestre

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

El dominio y el rango son el subconjunto del plano cartesiano que está ocupado por la gráfica de la función. El dominio de una función f es el conjunto formado por las primeras componentes de las parejas de la función y el rango de una función f es el conjunto formado por las segundas componentes de las parejas de la función.

Ejemplo 1. Analizar las funciones representadas en las siguientes gráficas. Luego determina su dominio y rango

● fx=x2 Dom =R Ran =0, ∞

● fx= x3 Dom=R Ran=R

● fx=1x+1 En la gráfica de la función no está definidapara x=-1 ya que el denominador tiene que ser diferente de cero. por tal motivo Dom=R--1Cuando x=-1 el valor de fxes indeterminadoRan=R-0

DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES POLINOMICAS

Para encontrar el dominio de una función se despeja la variable y y se buscan las restricciones que tiene x y se buscan las restricciones de y. en algunos casos existen algunas restricciones para el dominio y el rango en la funciones dependiendo el lugar que ocupe la variable en la ecuación; por tal motivo es importante tener en cuenta las siguientes recomendaciones:

● El denominador de las expresiones racionales no puede ser cero● Las expresiones radicales cuyo índice es par no puede tener cantidades

subradicales negativas● Los logaritmos solo están definidos para cantidades positivas

Ejemplo 2. Hallar el dominio y rango de las siguientes funciones polinómicas.a. fx=3x+54 (gráfica 2.1) Nos podemos dar cuenta que para esta función le podemos

asignar cualquier valor a x sin que se llegue a indeterminar la función por tal


Nemocón


2011


motivo Dom=R; luego despejamos x y se obtiene x=4y-53 entonces se observa que a y se le puede asignar cualquier valor entonces Ran=R

b. Fx=x2+4x+6 (gráfica 2.2) para esta función se observa que se puede asignar cualquier valor para x por tal motivo el Dom=R luego se despeja x de la siguiente manera.y= x2+4x+6y-6= x2+4x Se completa el cuadrado en el segundo miembro de la desigualdady-6+422=x2+4x+422

y-6+4=x2+4x+4 Se realiza la factorización del trinmio cuadrado perfecto y-2=x+22 Se saca la raíz cuadrada en ambos términos de la ecuación

y-2=x+22 y-2=x+2 luego se despeja el valor de x y-2-2=x para que se pueda hallar el valor de x es necesario que y-2≥0 entonces y≥2 Entonces Ran=[2, ∞)

c. fx=3x+2 (gráfica 2.3) en la presente ecaución es necesario que 3x+2≥0 entonces x≥-23 por tal motivo el Dom=-23, ∞; para calcular el rango es necesario elevar al cuadrado ambos miembros de la igualdad y despejar xy2=(3x+2)2y2=3x+2y2-2=3xy2-23=x se puede observar que a y se le puede asignar cualquier valor por lo cual el ran=R

d. fx=log(x-1) (gráfica 2.4) como los logaritmos solo están definidos para valores positivos se calculan los valores para los cuales se cumple las restricción x-1>0 entonces x>1; por tal motivo el dom=(1,∞)y=log (x-1) ase utiliza para despejar x la formaa exponencial y=logax para despejar x entonces es igual a ay=x x=10y+1 por lo cual se puede observar que y puede tomar cualquier valor y el Ran=R

e. fx=18x2-9 (gráfica 2.5) cuando x=3 y x=-3 la función se indetermina por lo tanto el dom=R--3,3; para calcular el rango se despeja xy=18x2-9y* (x2-9)=18

x2-9=18yx2=18y+9x=±18y+9 la raíz puede ser positiva o negativa entonces se necesita saber cuando 18+9yy≥0 para lo cual se resuelven las dos desigualdades18+9y≥0 y≥0y≥-2Entonces la solución de la desigualdad es -∞,-2∩(0,∞) entonces el Ran=R--2,0

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES


Nemocón


2011


FUNCIÓN CONSTANTESon aquellas funciones de la forma f(x) =k donde k R∈

FUNCIÓN LINEALSon todas aquellas funciones de la forma f(x)=mx+b donde la m representa la pendiente

Para calcular la pendiente de una recta que pasa por dos puntos su fórmula es m=y2-y1x2-

x1 y para calcular la ecuación de la recta la ecuación general es y-y0=m(x-x0)

FUNCIÓN CUADRÁTICAUna función cuadrática es de la forma f(x)=ax2+bx+c donde a,b,c R y a≠0∈Una ecuación cuadrática se puede escribir de la forma fx=a(x-h)2+k donde (h.k9 corresponde al vértice y a≠0. Su gráfica recibe el nombre de parábola; el vértice se encuentra con las siguiente fórmula V=-b2a , f-b2a ; si a>0 la parábola abre hacia arriba y si a<0 la parábola abre hacia abajo. Si f es una función cuadrática el Dom=R y su rango esta determinado de la siguiente manera:si a>0 el Ran=f-b2a, ∞si a<0 el Ran=-∞, f-b2a

FUNCIÓN RACIONALUna función es racional si fx=p(x)q(x) y q(x)≠0; para graficar una función racional se debe tener en cuenta:

● Determinar las raíces o ceros del numerador y denominador es decir los valores de x para que fx=0● Hallar las asíntotas horizontales si existen. Se tiene en cuenta el valor x=a para el cual el denominador es 0; entonces la gráfica tiene una asíntota horizontal en x=a● Hallar el intercepto con el eje x es decir f0;es evaluar la función cuando x=0● Se halla la asíntota horizontal si existe.● Se hace una tabla de valores para garantizar un buen bosquejo de la gráfica

FUNCIONES RADICALESUna función radical es aquella que contiene raíces de variables.Para realizar el bosquejo de la gráfica es necesario tener en cuenta:

● buscar donde fx=0 o donde f(x) no está definida● determinar si tiene asíntotas verticales, en caso de que también sea racional● averigual el intercepto con el eje y evaluando la función cuando x=0● hallar las asíntotas horizontales si existen, en caso que sea una función racional● realizar tabla de valores para mayor precisión de la gráfica

FUNCIÓN EXPONENCIALUna función exponencial es de la forma fx=ax con a>0 y a≠1

FUNCIÓN LOGARÍTMICAUna función logarítmica es de la forma fx=logab; con a>0 y a≠1 1 2 3

FUNCIÓN A TROZOSEs una función formada por la unión de una o mas funciones, cada una de ellas en intervalos disyuntos. Es la función de la forma fx=f1 si x I1f2 si x I2 fk si x Ik∈ ∈ ∈⋮ donde I1∩I2……∩IK=∅ es decir los intervalos no tienen elementos comunes.

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTOEn este tipo de función es un función particular de las funciones a trozos. En esta función se asigna a cada elemento del dominio su valor absoluto, y esta definida por fx=x= x si x≥0-x si x<0; el Dom=R y el rango es el conjunto de los números reales no negativos es decir Ran=[0,∞)


Nemocón


2011


FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASNOMBRE DOMINIO RANGO PERIODO CLASE DE FUNCIÓN

fx=sen x R -1, 1 2 π Imparfx=cos x R -1, 1 2 π Parfx=tan x R- 21+2k;k Zπ ϵ R π Creciente Imparfx=csc x R-k , k Zπ ϵ R-(-1,1) 2 π Imparfx=sec x R- 21+2k;k Zπ ϵ R-(-1,1) 2 π Parfx=cot x R-k , k Zπ ϵ R 2 π Decreciente Impar

TALLER

1. Determina el dominio y el rango de las siguientes funciones

2. Realiza la gráfica, luego halla el dominio y el rango de las siguientes funciones

3. Relaciona cada función con su respectiva gráfica y justifica.

Guia Dom, Ran, y Funciones Algebraicas

Documents

Transcript of Guia Dom, Ran, y Funciones Algebraicas