CEB 4/1

GUA PARA EL EXTRAORDINARIO DE

PROFR: EDUARDO BASURTO HIDALGO

CORDINACIN DE MATEMTICAS

UNIDAD I

TEMA 1.1.1, 2 INTEGRAL INDEFINIDA Y ANTIDERIVADA

TEMA 1.2.1 REGLAS BSICAS PARA LA INTEGRACIN DE FUNCIONES

Antes de colocar las reglas bsicas para integrar funciones sencillas o tambin llamadas inmediatas observaremos algunas propiedades algebraicas que nos sern tiles en la prctica.

REGLAS DE INTEGRACIN BSICAS.

REGLAEJEMPLO

1)

Propiedad

EMBED Equation.3

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

EMBED Equation.3

11)

12)

13)

14)

RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS

UNIDAD II

TEMA 2.1.1 MTODO DE INTEGRACIN POR CAMBIO DE VARIABLE

LECCIN 3.

Ejemplo 1:

En los casos en donde tenemos una raz debemos modificar un poco la funcin par que sea ms fcil de trabajar:

EMBED Equation.3 En general este tipo de integracin nos remite a la regla bsica nmero 3:

Realizando el cambio de variable:

u=x2+16 y du = 2x

Regresando a la variable original:

Ejemplo 2:

Realizando el cambio de variable: u = x5 y du = 5x4En este caso la frmula bsica a la que nos remite el ejercicio es la nmero 6:

Como el integrando al cambiar la variable cumple todas las condiciones de la regla nmero 6 solo tenemos que aplicarla:

Ejemplo 3:

Qu sucedera si el integrando no cumpliera todas las condiciones de la regla bsica a la que se refiera?

Realizando el cambio de variable:

u= 2x-3 y du = 2 En este caso las condicione para aplicar la regla 3 no estn en forma directa por lo que tendremos que realizar un arreglo previo.

De esta forma si podemos realizar la integracin.

Regresando la variable original:

Realiza los siguientes ejercicios:

UNIDAD II

TEMA 2.1.2 MTODO DE INTEGRACIN POR PARTES

LECCIN 4.

Ejemplo 1.

Se decompone el integrando en dos factores u y dv.

u = x dv = cosx dx

Se obtiene la derivada de u.u = x du = dx = 1

Para obtener el valor de v se tiene que integrar dv.

Los valores obtenidos de u, du y v se sustituyen en la frmula.

Se calcula la integral que falta en la frmula.

Ejemplo 2.

Separamos el integrando en u y dv.

u = x2 dv = cosh dx

Calculamos du y v.

du = 2x

Sustituimos en la frmula.

Como podemos observar es necesario realizar una segunda integracin por partes en:

Sustituyendo en la frmula:

Por lo tanto:

Integrando la ultima parte:

Resuelve los siguientes ejercicios:

UNIDAD II

TEMA 2.1.3 MTODO DE INTEGRACIN POR DESCOMPOSICIN DE FRACCIONES PARCIALES.

Cmo se realiza la descomposicin en fracciones parciales?

Ejemplo 1:

Primero factorizamos el denominador.

X2+2x-3 = (x+3)(x-1)

Como el denominador tiene dos factores lineales distintos (que no se repiten) y se propone una descomposicin de la siguiente forma.

Los numeradores que se proponen son en forma general, y para poder obtener su valor especfico debemos realizar la suma en forma general.

De esta manera podemos obtener la siguiente igualdad:

5x+7 = A(x+3)+ B(x-1)

Para encontrar los valores de A y B por inspeccin debemos dar valores a x de tal forma que podamos hacer cero alguno de los dos sumandos del segundo miembro de la ecuacin.

Si x =1 resulta 5(1)+7 = A(1+3)+B(1-1)

5+7 = A(4)

12 = 4A

3 = A

Si x = -3 resulta 5(-3)+7 = A(-3+3)+B(-3-1)

-15+7 = B(-4)

-8 = -4B

2 = B

Por ltimo se sustituyan los valores en la expresin propuesta.

Ejemplo 2.

Factorizamos en denominador x2-6x+9 = (x-3)(x-3) = (x-3)2 por ser un trinomio cuadrado perfecto. La descomposicin de fracciones que se propone es la siguiente:

Se propone esta descomposicin ya que los factores lineales se repiten, por lo que se genera una suma de la siguiente forma:

(x+a)n origina una suma de la forma

Resolviendo la suma en forma general para encontrar los valores de A y B.

De donde se forma la igualdad x = A(x-3)+B

Si x = 3 resulta 3 = A ( 3-3) +B

3 = B

Utilizando el valor de B y haciendo x = 0 o a cualquier otro valor obtenemos el valor de A.

0 = A ( 0-3 ) + 3

0 = -3A +3

1 = A

Sustituyendo los valores en la descomposicin propuesta resulta.

Ejemplo 3.

Factorizamos el denominador x3-4x2-3x+18 = (x+2)(x2-6x+9)=(x+2)(x-3)(x-3)

La descomposicin propuesta es la siguiente:

Resolviendo la suma en forma general:

De donde resulta la siguiente igualdad.

Si x = 3 podemos encontrar C ya que el primer y segundo sumando se vuelven cero.

54 -42 -27 = 5C

-15 = 5C

-3 = C

Si x = -2 podemos encontrar A ya que el segundo y tercer sumando se vuelven cero.

24 +28 -27 = A(25)

25 = 25A

1 = A

Par obtener el valor de B sustituimos el valor de A y C adems hacemos x = 0 o a cualquier otro valor.

-27 = 9 + B (-6) + ( -6)

-27 = 3 -6B

-27 -3 = -6B

5 = B

Sustituimos los valores obtenidos en la descomposicin propuesta.

Una vez repasados los temas de factorizacin de polinomios y haber analizado la forma en que se descompone una fraccin racional en fracciones parciales debemos tener en cuenta la solucin de integrales con factores lineales:

I. Con factores lineales no repetidos.

II. Con factores lineales repetidos.

Ejemplo 1.

Para resolver esta integral primero debemos descomponerla en fracciones parciales.

Factorizamos el denominador.

X3-3x2-x+3=(x-1)(x-3)(x+1)

Descomposicin propuesta.

EMBED Equation.3 Para determinar los valores de A, B , C obtenemos la siguiente igualdad.

X2-4=A(x-3)(x+1)+B(x-1)(x+1)+C(x-1)(x-3)

Si x = 3 resulta 5 = 8B , B =

Si x = 1 resulta -3 = -4A, A =

Si x = 0 y sustituyendo los valores de A y B , C =

Sustituyendo en la descomposicin propuesta.

De donde podemos separar la integral de la siguiente forma:

Aplicando la frmula :

Ejemplo 2.

Factorizamos el denominador.

X3+6x2+9x=x(x+3)(x+3)=x(x+3)2Descomposicin propuesta.

Para encontrar los valores de A , B , c se forma la igualdad.

x+4 = A ( x+3)2+B(x) (x+3)+C(x)

Haciendo x = -3 resulta 1 = -3C , C =

Haciendo x = 0 resulta 4 = 9A . A =

Haciendo x = 1 y sustituyendo los valores de A y C , B =

Sustituyendo los valores obtenidos en la integral.

Utilizando las frmulas.

Resuelve los siguientes ejercicios.

UNIDAD III

TEMA 3.1.1 LA INTEGRAL DEFINIDA.

Definicin: La integral definida de una diferencial dada, entre dos extremos de un intervalo cerrado, es el incremento de la funcin primitiva o antidiferencial propuesta cuando la variable pasa de un valor inicial (a) hacia un valor final (b).

Se expresa de la siguiente forma:

Para calculara la integral la integral definida se sigue el siguiente procedimiento:

1. Integramos la expresin propuesta.

2. Sustituimos los valores otorgados al lmite superior e inferior en la integral encontrada.

3. Restamos al valor obtenido mediante el lmite superior, el valor obtenido de la sustitucin del lmite superior.

Propiedades:

Ejemplo 1.

Es importante saber que el valor obtenido en una integral definida se refiere al rea bajo la curva f(x) representada en el plano, por lo que el valor resultante debe ser expresado en unidades cuadradas.

Ejemplo 2.

Ejemplo3.

Resuelve los siguientes ejercicios.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

UNIDAD III

TEMA 3.2.1 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA.

CLCULO DE REAS

Como ya sabemos el valor obtenido de una integral definida es el rea bajo la curva que represente el integrando, en el intervalo cerrado indicado por los ndices superior e inferior sealados.

En el clculo de reas es importante tener en cuenta los siguientes aspectos:

Si la figura tiene un eje de simetra, el eje x del sistema del sistema de coordenadas empleado debe coincidir con el eje de simetra.

Si la figura tiene un centro de simetra, este debe de colocarse en el origen del sistema de coordenadas.

Si la figura puede descomponerse en figuras ms sencillas, es mejor calcular el rea de cada una de estas figuras individualmente y sumar los resultados.

Recordar que las partes que estn debajo del eje x darn lugar a reas que tiene signo negativo, y que hay que tomar en cuenta solo el valor absoluto de las integrales correspondientes.

Si la curva que determina la figura esta formada por partes de dos curvas diferentes que se cortan, se determina por medio de una diferencia de reas.

Ejemplo 1. Calcular el rea de la regin limitada por la curva y = 4x-x2 y las rectas y = 0, x = 1, x = 0.

Es muy til trazar las rectas y la curva que sern analizadas por que eso nos dar una visin muy clara del rea que deseamos calcular.

Podemos observar que el rea que deseamos calcular esta limitada por el eje x y que se forma un intervalo cerrado que sern los lmites inferior y superior de la integral definida.

Ejemplo 2.Calcular el rea de la regin comprendida por la grfica f(x)=x-4, entre x = -3 y x = -1.

Trazamos la grfica.

El rea buscada queda expresada de la siguiente manera:

EMBED Equation.3

El resultado es negativo porque el rea est abajo del eje de las x.

Por los tanto solo se toma su valor absoluto.

CLCULO DE REAS ENTRE DOS CURVAS.

Si f(x) y g(x) son dos funciones continuas definidas para x en un intervalo [a , b] y aceptando que f(x)g(x), y que los extremos del intervalo sean axb.

El rea estar determina de la siguiente forma:

Ejemplo1. Calcular el rea limitada por las curvas y = x2+1 , y = x3, y las rectas x=0, x=1. Primero trazamos la figura que muestre los que queremos calcular.

La expresin de la integral es la siguiente

Ejemplo2, calcular el rea de la regin limitada por las curvas y =x2, y = 3x. Primero trazamos la figura que muestre los que queremos calcular.

Para saber el intervalo en que estar contenida el rea, debemos conocer los puntos de interseccin de las dos grficas.

Si y = x2 , y = 3x entonces x2 = 3x de donde x2-3x=0 Factorizando la expresin x ( x 3) = 0

Por lo tanto las intersecciones estarn en x = 0 y x = 3

Evaluando los valores anteriores tenemos que los puntos de interseccin son (0,0) y (3,9).

De esta forma podemos deducir que el intervalo ser [0,3] y la integral para encontrar la solucin es:

Encuentra el rea que se pide en cada uno de los siguientes ejercicios.1) El rea comprendida por la curva y=x2, las rectas x=1 , x=4 y el eje de las x.2) El rea limitada por la curva y=x2+4x, las rectas x=-2, x=4 y el eje de las x.

3) El rea limitada por la curva y=, las rectas x=4, x=16 y el eje de las x.

4) El rea limitada por la curva , las rectas x=4, x=8 y el eje de las x.

5) El rea limitada por la recta y=x+3, las rectas x=0, x=4 y el eje de las x.

6) El rea limitada por la recta y=x-4, las rectas x=-3, x=-1 y el eje de las x.

7) El rea limitada por las curvas y=x2+2, y = -x+1 y las rectas x=1, x=2 .8) El rea limitada por la curva y=5-x2,y la recta y = x-1 .

9) El rea limitada por la curva y=x2, y la recta y = x+2 .

10) El rea limitada por la curva y2=x2, y la recta y = 9x .

CLCULO INTEGRAL

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

La descomposicin de muestra de esa manera ya que se repiten dos factores lineales.

EMBED Equation.3

3.

2.

1.

y=4x-x2

Y=0

X=0

X=1

F(x)=x-4

X=-1

X=-3

x=0

y=x3

x=1

y=x2+1

(0,0)

(3,9)

y = 3x

y = x2

PAGE 6

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