MAT 140 Algebra I

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Guía I de EjerciciosProfesor: Alejandro Toledo U. b

1) Demuestre las siguientes equivalencias usando leyes logicas

a) (p⇒ p) ≡ p b) (p⇒ q) ≡ (q ⇒ p)

c) (p⇒ (p ∨ q)) ≡ V d) (p ∨ (p ∧ q)) ≡ (p ∨ q)

e) ((p ∨ q) ∧ p) ≡ (p ∧ q) f) ((p⇒ q) ∧ r) ≡ (r ∧ (q ∨ p))

g) (p⇒ (q ∧ r)) ≡ ((p⇒ q) ∧ (p⇒ r)) h) ((p ∨ q) ∨ (p ∧ q)) ≡ p

i) ((p⇒ q) ∧ (r ⇒ q)) ≡ ((p ∨ r)⇒ q) j) ((p ∧ q)⇒ r) ≡ ((p⇒ r) ∨ (q ⇒ r))

k) ([(p ∨ q)⇒ (p ∧ q)] ∧ (p⇒ q)) ≡ p l) ((p ∧ q)⇒ r) ≡ ((p⇒ q) ∧ r)

m) ((r ⇒ p) ∨ (q ∧ r)) ≡ (r ∧ (p⇒ q)) n) ((p⇒ (q ∧ r)) ∨ (p⇒ q)) ≡ (p⇒ q)

o) [(p⇒ q)⇒ ((r ∨ p)⇒ (r ∨ q))] ≡ V p) ([(p ∧ q) ∨ r] ∧ q) ≡ (r ∧ q)

q) ((p ∧ q)⇒ r) ≡ (p ∨ (q ∨ r)) r) [ p⇒ (p ∧ (q ∨ r))] ≡ [ p ∨ (q ∧ r)]

s) ((p⇒ q)⇒ (q ⇒ p)) ≡ ((p ∧ q) ∨ (q ∧ p)) t) ((p⇔ q)⇒ (p⇒ q)) ≡ V

u) ((p ∨ q)⇒ (p ∧ q)) ≡ (p⇔ q) v) ((p ∧ q)⇔ p) ≡ (p⇒ q)

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2) Simplifique usando leyes logicas

a) (q ⇒ p)⇒ ((p ∧ q)⇒ (p⇒ q)) b) ((p⇒ q)⇒ q)⇒ (p ∨ q)

c) (p ∨ q) ∨ (p ∧ q) d) ((p ∧ q) ∨ r) ∧ q

e) ((p ∧ q) ∧ (p ∨ q)) ∧ p f) ((p ∧ q)⇒ (p ∧ q)) ∧ q

g) ((p ∧ q) ∧ (p ∨ q)) ∧ q h) (p⇒ q) ∨ q

i) q ⇒ (p⇒ (p ∨ q)) j) p⇒ (q ⇒ (p⇒ q))

k) q ∧ ((p ∧ q)⇒ (p ∨ q)) l) (p⇒ q)⇒ (p⇒ (q ∧ p))

m) p ∧ ((p ∨ q) ∨ (q ∨ p)) n) (p⇒ (p ∧ q)) ∨ q

o) (p⇒ q) ∨ (p⇔ q) p) (p ∧ q)⇒ (p ∨ q)

3) En cada caso, dados los valores de verdad, encuentre el valor de verdad de la proposicion enmarcada

a) (p ∧ q) ≡ V, (q ∧ r) ≡ F

(r ∨ q)⇒ (r ∧ q)

b) ((p ∧ q)⇒ (r ⇒ t)) ≡ F

(t⇔ p) ∧ (q ⇒ t)

c) [(p⇒ q) ∨ (r ⇒ s)] ≡ F

(p⇒ r)⇒ [(p ∨ r) ∧ q ]

d) ( [(p ∨ q) ∧ p ]⇒ [(r ∨ q)⇔ p ] ) ≡ F

[(p ∧ q)⇒ (r ∨ q)]⇔ [ q ∧ (r ∨ p)]

e) (p⇒ q) ≡ F, (r ∧ p) ≡ F

(p ∧ r)

f) ((p ∧ q)⇒ (r ⇒ s)) ≡ F

[ p⇒ (r ∧ r)]⇔ [(q ∨ r)⇒ p]

g) [ ((p ∧ q)⇒ s) ∨ ((r ⇒ s) ∨ t) ∨ p ] ≡ F

(p⇒ (p ∧ q)) ∨ q

h) [ p⇔ (q ∨ r)] ≡ F (q ⇔ r) ≡ F (p⇔ r) ≡ F

p⇒ [(q ∨ r)⇔ (r ∨ p)]

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