Estadística II

Docente: Iliana Paternina Ortega

INTERVALOS DE CONFIANZA

Un estimador por intervalo de confianza de un parámetro poblacional es un estadístico para determinar un

rango o intervalo, en el cual posiblemente se encuentre dicho parámetro. La estimación correspondiente se

denomina estimación por intervalos.

Sea el parámetro que se desea estimar, la idea es encontrar, basados en la muestra, dos variables

aleatorias U y V, con U menor que V, tales que:

,

Para un .

Suponga que con la ayuda de la información muestral se encuentran esas variables aleatorias, entonces:

a) La fracción recibe el nombre de GRADO DE CONFIANZA, se llama NIVEL DE SIGNIFICANCIA,

y el intervalo de U hasta V es un ESTIMADOR POR INTERVALOS de del .

b) Si u y v representan un valor particular de U y V, respectivamente, entonces el intervalo de u hasta

v se denomina INTERVALO DE CONFIANZA del para

El intervalo de confianza hallado, se interpreta así: si se extraen muestras aleatorias de la población un

número elevado de veces, el parámetro estará contenido en un de los intervalos calculados.

Intervalo de confianza para la media poblacional

Caso 1:

Sea la media de una muestra aleatoria de tamaño n, tomada de una población con media μ y varianza

. Supongamos que se cumple alguna de las siguientes condiciones:

a) La población es normal y es conocida (no importa el tamaño de n);

b) La población es normal y es desconocida y n .

c) La forma de la población es desconocida (o no normal), es conocida o desconocida y n .

Nota: Cuando se da el caso b) o c) y es desconocida se estima a partir de la muestra.

Entonces, el intervalo de confianza del (1- ) 100% para μ es:

Caso 2:

Sean y la media y varianza de una muestra aleatoria de tamaño n < 30, tomadas de una población

normal con media μ y varianza desconocida.

Entonces, el intervalo de confianza del (1- ) 100% para μ es:

siendo el valor de una t-Student con n-1 grados de libertad.

Determinación del tamaño de muestra

Suponga que se especifica el tamaño del intervalo de confianza y el nivel de confianza deseados. Si se

conoce la varianza poblacional, o se puede estimar, el tamaño de la muestra requerido, basándose en el uso

de la distribución normal, es:

Ejemplo 1: Un analista de un departamento de personal selecciona de manera aleatoria los registros de 16

empleados que trabajan por horas y encuentra que la tarifa salarial media por hora es U$9,50. Se supone

que las tarifas salariales en la empresa tienen distribución normal. Si se sabe que la desviación estándar de

las tarifas salariales es de U$1,00, estime la tarifa salarial media en esa empresa usando un intervalo de

confianza del 80%. R/ $9,18-$9,82 aprox.

Ejemplo 2: Una maquina produce reglas de madera. Se toma una muestra de las reglas, hallándose que las

longitudes son: 1,04; 0,99; 1,01; 1,01; 1,03; 0,97; 1,03; 0,98 y 0,99 metros. Encuentre un intervalo de

confianza del 99% para la longitud de las reglas de esta máquina. Suponga que la población tiene una

distribución aproximadamente normal. R/ 0,975-1,035.

Ejemplo 3: Un analista desea estimar con un margen de error de 25¢ y 90% de confianza la tarifa salarial

media de los trabajadores de una empresa del sector industrial. Se estima que la desviación estándar de las

tarifas salariales es U$1,00. ¿Cuál es el número mínimo de registros de personal que debe tomarse como

muestra para satisfacer este objetivo de investigación? R/ 43,44 aprox.

Intervalo de confianza para la proporción p

Supóngase que se tiene las variables muéstrales que forman una muestra X de tamaño n para la

variable de interés.

Además, supóngase que o

Entonces un intervalo de confianza del para p esta dado por:

Ejemplo 4: De una muestra aleatoria de 140 estudiantes de una universidad, 74 indicaron que provienen de

estratos altos. Construya un intervalo de confianza del 90%, para estimar la proporción de estudiantes en

toda la universidad que provienen de estratos altos. R/(0.459,0.60)

Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones

Considere dos muestras aleatorias independientes de tamaño y con proporciones muéstrales

respectivamente.

Si:

o

Entonces un intervalo de confianza del para esta dado por:

Ejemplo 5: Una encuesta respondida por 1000 estudiantes de un colegio A concluye que 726 no tienen

hábitos de lectura. En otro colegio B se realizo la misma encuesta a 760 estudiantes, concluyéndose que 240

de ellos tienen hábitos de lectura. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre la

proporción de estudiantes que tienen hábitos de lectura entre los dos colegios. ¿Hay diferencia significativa?

R/ (-0.892, -0.0019).

Intervalos de confianza para la diferencia de medias

MUESTRAS PAREADAS O DEPENDIENTES:

Un intervalo de confianza del para es:

Donde:

MUESTRAS INDEPENDIENTES

Sean una muestra aleatoria de tamaño de una población normal con valor esperado y

varianza y

una muestra aleatoria de tamaño de una población normal con valor

esperado y varianza . Las dos poblaciones son estadísticamente independientes.

Caso 1: Ambas poblaciones normales y

conocidas o poblaciones no normales,

conocidas o desconocidas y .

Un intervalo de confianza del para es:

Caso 2: Ambas poblaciones normales y,

desconocidas pero iguales y .

Un intervalo de confianza del para es:

Con

Ejemplo 6: Un científico intenta estimar la efectividad de un medicamento en la habilidad de los individuos

para realizar una determinada tarea de coordinación psicomotriz. Los elementos de una muestra aleatoria

de 9 personas tomaron el medicamento antes de realizar la prueba. La calificación media obtenida fue 9.78

y la varianza muestral 17.64. Otra muestra aleatoria independiente de 10 personas, que no tomo el

medicamento, se empleo como grupo de control. La calificación media y varianza muestral de este grupo de

control fueron 15.10 y 27.01, respectivamente. Suponiendo que las distribuciones poblacionales son

normales con varianzas iguales, calcule un intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre las dos

calificaciones medias. ¿Hay diferencia significativa? Explique. R/ (-9.12,-1.52)

Caso 3: Ambas poblaciones normales y,

desconocidas diferentes y .

Un intervalo de confianza del para es:

Con

Ejemplo 7: Un científico intenta estimar la efectividad de un medicamento en la habilidad de los individuos

para realizar una determinada tarea de coordinación psicomotriz. Los elementos de una muestra aleatoria

de 9 personas tomaron el medicamento antes de realizar la prueba. La calificación media obtenida fue 9.78

y la varianza muestral 17.64. Otra muestra aleatoria independiente de 10 personas, que no tomo el

medicamento, se empleo como grupo de control. La calificación media y varianza muestral de este grupo de

control fueron 15.10 y 27.01, respectivamente. Suponiendo que las distribuciones poblacionales son

normales con varianzas iguales, calcule un intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre las dos

calificaciones medias. ¿Hay diferencia significativa? Explique. R/ (-9.12,-1.52)