GUIA MAAP MATEMATICA II ADMINISTRATIVA - 2016 · La fábrica de Hilados y Tejidos "SALAZAR" fabrica...

UTEPSA – MATEMATICA II ADMINISTRATIVA 1

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA PRIVADA

DE SANTA CRUZ

FACULTAD DE TECNOLOGÍA

GUÍA

MATEMATICAS II ADMINISTRATIVA

Marzo, 2016


I.- IDENTIFICACIÓN DE LA ASIGNATURA

Sigla : EXT-150

Nombre de la Asignatura : Matemática II administrativa

Horas Académicas : 80 Horas

Pre- requisito :

Carreras : Ingeniería Industrial y Comercial, Ingeniería de

Administración Petrolera, Ingeniería de Sistemas.

II.- OBJETIVO GENERAL

• Formular y aplicar modelos lineales a situaciones reales

• Optimizar los recursos empleados en la organización usando las técnicas de

programación lineal (P.L.)

• Identificar las posibilidades de cambios en los sistemas productivos con base a análisis

de sensibilidad.

• Establecer los problemas de transporte y asignación como una variable del modelo de

P.L.

• Aprender y aplicar la metodología de solución de los problemas de transporte y

asignación.

III.- PLAN TEMATICO

Para lograr el objetivo general de la materia, el contenido está estructurado en 4 temas, que son los siguientes:

TEMA CONTENIDO DE LA MATERIA Horas Teóricas

Horas Prácticas

# de Clases

1 Introducción a la Investigación Operativa 10 10 5

2 Introducción a la Programación Lineal 10 10 5

3 Modelo de transporte 8 15 6

4 Asignación 5 12 4


ORIENTACIONES PARA LA ORGANIZACIÓN DEL TRABAJO DE A PRENDIZAJE DURANTE EL DESARROLLO DE LA MATERIA

El objetivo principal del presente material, es brindar las herramientas y facilitar a los estudiantes de manera didáctica, su formación académica en el área de la Matemática II Administrativa Siendo la Matemática II Administrativa, una disciplina practica en todas las áreas, se ha procurado ilustrar los conceptos con problemas y ejercicios aplicables en distintos campos, como ingeniería, economía, administración, etc. Cada una de las unidades se caracteriza por ser presentadas en aspecto sencillo y práctico, que facilitaran el aprendizaje y el análisis que enriquecerán el aprendizaje y conocimientos de los estudiantes.

Así también es importante indicar que la combinación de teoría y práctica, serán de vital importancia para el aprendizaje y la aplicación de la Matemática II Administrativa. Esperando sea de su máximo aprovechamiento y deseándoles muchos éxitos siempre a su disposición. A continuación se presentan algunas normas básicas de comportamiento y recomendaciones, a tomar en cuenta:

a) El proceso de aprendizaje durante toda la materi a es “integral”.- La misión de la UTEPSA es “lograr que cada estudiante desarrolle una experiencia académica de calidad, excelencia, con valores, responsabilidad social, innovación, competitividad, y habilidades emprendedoras”. Por esto no te sorprendas si además de ser evaluado en contenidos propios de la materia, el docente evalúa también aspectos como puntualidad, pro actividad, ortografía, etc. Nunca pierdas de vista que lo se te exige es por tu propio beneficio. b) Asistencia y puntualidad.- Asistir a clases y hacerlo de manera puntual, es una manera de demostrar que somos responsables:

• Tu asistencia es importante en TODAS las clases. Por si surgiera un caso de fuerza mayor, en el

reglamento de la Universidad se contemplan tres faltas por módulo (Art. 13 Inc. B y C del Reglamento Estudiantil UPTESA). Si sobrepasas esta cantidad de faltas PERDERAS EL DERECHO A TOMAR LA EVALUACIÓN FINAL de la materia. Se considera “asistencia” estar al inicio, durante y al final de la clase.

• Esfuérzate por estar en la clase a la hora de inicio. Se dará un margen de 10 minutos de tolerancia. después de estos, podrás entrar tan pronto como el docente considere que tu ingreso no será una distracción para la clase o después de la hora de descanso, de esta manera no perjudicaremos el avance de la clase distrayendo a los compañeros.

• Si te retiras de la clase antes de que esta termine, tampoco registraras asistencia completa. • Ten especial cuidado con la asistencia y la puntualidad los días de evaluación. Normalmente la

fecha de pruebas, es comunicada con varios días de antelación, esto te permite programarlos como ocasiones a las que tienes que darles una espacial atención.


• Si confirmas la materia el 2do o 3er día de clases, ya tienes acumuladas automáticamente las faltas de los días que no has asistido. Favor tómalo en cuenta.

c) Comportamiento en clases.-

• Los estudiantes y los docentes, evitamos beber y comer en el aula. De ninguna manera podemos fumar dentro de esta.

• A fin de evitar interrupciones, los celulares se apagarán al entrar al aula o se pondrán en modo silencioso para atender llamadas o mensajes SOLO en caso de emergencia.

• Cualquier falta de respeto a los compañeros, al docente, al personal de apoyo o al personal administrativo, será severamente sancionada de acuerdo al reglamento de la Universidad. En todo caso confiamos en que todos respetaremos las normas de conducta adecuadas

OBJETIVOS Y ACTIVIDADES DE CADA TEMA

UNIDAD 1. INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN OPERATI VA

A. Objetivos:

• Conocer la historia de la investigación operativa • Conocer la importancia de la investigación operativa

B. Actividades de aprendizaje : Repaso conceptos previos:

1. Representar gráficamente la siguiente ecuación: a) Y = -2 X + 4 b) Y = -2 X

c) Y = X/2 + 4 d) Y=3X /4 -1 2. Encontrar el punto de intersección de las siguientes rectas: a) b)

c)


UNIDAD 2. PROGRAMACION LINEAL A. Objetivos:

• Encontrar la región factible, conjunto de puntos que satisfacen todas las restricciones del

modelo. Esta región factible (RF) está limitada por líneas rectas que se juntan en puntos esquinas denominadas. Puntos extremos o vértices.

• Permite ir mejorando la solución a cada paso del procedimiento comenzando con una solución básica (punto extremo) y modificado esto a lo largo del proceso, a través de la inclusión y exclusión de una variable; siempre aumentando más su utilidad (o reduciendo el costo) hasta encontrar la solución óptima.

• Su objetivo es aumentar o minimizar el valor de las variables, M comiste en proporcionar al método simplex tradicional de una variable de holgura de gran tamaño que puede ser tanto negativa como positiva. De esta forma nos encontramos con que si deseamos hacer una fórmula de minimizar tendremos que la M será negativa y de gran tamaño (finito) y para maximizar colocaremos un valor en M de gran tamaño positivo (también finito).

B. Actividades de aprendizaje:

Resuelve por el método gráfico los siguientes probl emas ABP: Problema 1.- La recauchutándola “potosí” dispone de 80 Kg de caucho y 120Kg de lona quiere hacer llantas para automóviles y microbuses y quiere vender respectivamente a 20000 y 15000 bs cada uno para sacar el máximo beneficio, para el automóvil se ocupa 1Kg de caucho y 3 Kg de lona y para el microbús se necesita 3Kg de caucho y 2 Kg de lona ¿cuantas gomas de automóviles y de microbuses deberíamos de fabricar para maximizar las utilidades? Problema 2.- En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y 12 de una sustancia B . En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de 1 unidad de A y 5 de B, y el tipo Y con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 Bs y del tipo Y es de 30 Bs. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?1

Problema 3.-

Con el comienzo del curso se lanza una oferta de material escolar. Un almacén quiere ofrecer 600 cuadernos , 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6 y 8 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le convienen poner para obtener el máximo beneficio?

nota1 Debe tenerse mucho cuidado con que las unidades de medida de la disponibilidad y las restricciones sean iguales; al mismo tiempo la utilidad y las variables, caso contrario se debe realizar una conversión de unidades de medida


Problema 4.- La fábrica de Hilados y Tejidos "SALAZAR" fabrica dos tejidos diferentes T1 y T2; dispone de 500 Kg de hilo a , 300 Kg de hilo b y 108 Kg de hilo c . Para obtener un metro de T1 diario se necesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72 gr de c; para producir un metro de T2 por día se necesitan 200 gr de a, 100 gr de b y 27 gr de c. El T1 se vende a $4000 el metro y el T2 se vende a $5000 el metro. Si se quiere obtener el máximo beneficio, ¿cuántos metros de T1 y T2 se deben fabricar?

Problema 5.- Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuántas pueden realizar mensualmente para MAXIMIZAR ingresos. Disponiendo de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de 300 $. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de 100 $.

Problema 6.- La compañía "CONGELADORES MAJO" pretende fabricar dos tipos de congeladores denominados A y B. Cada uno de ellos debe pasar por tres operaciones antes de su comercialización: Ensamblaje, pintura y control de calidad . Los congeladores tipo A requieren 2 horas de ensamblaje, 3 kg de pintura y 4 horas de control de calidad; los congeladores tipo B requieren 3 horas de ensamblaje, 6 kg de pintura y 5 horas de control de calidad. El margen contributivo por cada congelador tipo A y B es de $102000 y $98000 respectivamente. La compañía dispone como máximo semanalmente 300 horas de ensamblaje, 840 kg de pintura y 450 horas de control de calidad. Con base en la información suministrada determine las unidades a producir semanalmente de cada referencia para maximizar las utilidades. Resuelve por el método SIMPLEX los siguientes probl emas: Problema 7.- Resuelva el siguiente problema de programación lineal utilizando el Método Simplex:

MAX Z = 3��+ ��+ 4�� 6�� + 3��+ 5�� ≤ 30

3�� + 4�� + 5�� ≤ 60

Problema 8.- Un granjero posee 100 hectáreas para cultivar trigo y alpiste. El costo de la semilla de trigo es de $4 por hectárea y la semilla de alpiste tiene un coste de $6 por hectárea. El coste total de mano de obra es de $20 y $10 por hectárea respectivamente. El ingreso esperado es de $110 por hectárea de trigo y $150 por hectárea de alpiste. Si no se desea gastar más de $480 en semillas ni más de $1500 en mano de obra. ¿Cuántas hectáreas de cada uno de los cultivos debe plantearse para obtener la máxima ganancia?


Problema 9.- Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 3 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 $ y el de la chaqueta en 40 $. ¿Qué cantidad de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que estos consigan una venta máxima? Problema 10.- Una pequeña carpintería está planeando la producción del presente mes. Actualmente opera solo con dos productos puertas y ventanas. La mano de obra disponible para el presente mes es de 400 h-hom. Cada puerta requiere 4 h-hom y tiene una contribución unitaria de 35 bs. Una ventana requiere 3 h-hom y tiene una contribución unitaria de 25 bs. De acuerdo a sus ventas pasadas se tiene previsto vender hasta 70 puertas y 120 ventanas.

Problema 11.- Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual? Problema 12.- La Compañía REPCO tiene una pequeña planta que se limita a 2 productos industriales A y B. El departamento de producción ha calculado las utilidades unitarias de cada producto como así los requerimientos de tiempo de estos y el tiempo total disponible en cada departamento.

Resuelve por el método M o Penalización los siguien tes problemas:

Problema 13.-

Minimizar Z= 3��+ 2��+ 4�� Restricciones 2��+ 2��+ 3�� ≥ 15

2��+ 3��+ �� ≤ 12 ��,��, �� ≥ 0


Problema 14.-

Minimizar Min Z = 20�� + 30�� Restricciones 3�� + 2�� ≥ 20 2�� + �� ≥ 22 ��, �� ≥ 0

Problema 15.- Una línea de ensamble que consta de tres estaciones consecutivas produce 2 modelos de juguetes J1 y J2 la tabla proporciona los tiempos de ensamble para las tres estaciones de trabajo y los datos de disponibilidad y costo unitario:

(Expresado en min/unid) Modelo J1 Modelo J2 Disponibilidad Estación de trabajo 1 6 4 432 Estación de trabajo 2 5 5 413 Estación de trabajo 3 4 6 423

COSTO (bs/unid) 20 25

Problema 16.- La empresa BG Bolivia produce dos tipos de petróleo crudo, petróleo ligero a un costo de 25 $/barril y petróleo pesado a 22$/barril. Cada barril ya refinado produce 3 productos: gasolina, diésel y kerosen, el detalle se encuentra en el siguiente cuadro:

Barril de

gasolina/ barril de crudo

Barril de diésel/ barril de crudo

Barril de kerosén/ barril de crudo

Costo ($/barril)

Crudo ligero 0,45 0,18 0,30 25 Crudo pesado 0,35 0,36 0,20 22 disponibilidad 1260 900 300

Resuelve aplicando el método dual y precios sombra los siguientes problemas:

Problema 17.- Resolver por el método dual, hallar los precios sombra y realizar el análisis de sensibilidad:

Min Z= 2X1 + 2 X2 X1 + X2 = 10

X1 + 2X2> 8 - X1 + X2< 2

X1, X2> 0


Problema 18.-

Hallar los precios sombra y realizar el análisis de sensibilidad: Maximización: 5��+2��

��+�� ≤ 6 ��-�� ≤ 0 ��;�� ≥ 0

Problema 19.- Resolver:

Min Z= 100X1 + 150X2 X1 + 4X2 ≥ 80

4x1 + 4X2 ≥ 160 6X1 + 2X2 ≥ 120

X1, X2 ≥ 0 Problema 20.-

Dos empresas mineras extraen dos tipos diferentes de minerales, los cuales son sometidos a un proceso de trituración, con 3 grados: alto, medio y bajo. Las compañías han firmado un contrato para proveer de mineral a una planta de fundición, cada semana, 12 toneladas de mineral de grado alto, 8 toneladas de grado medio y 24 toneladas de grado bajo. Cada una de las empresas tiene diferentes procesos de fabricación

Producción (Ton/día) Alto Medio Bajo Beneficios

Mina 1 6 3 4 180 Mina 2 1 1 6 160

Disponibilidad 12 8 24

¿Cuántos días a la semana deberían operar cada empresa para cumplir en contrato con la planta de fundición?

UNIDAD 3. MODELO DE TRANSPORTE

A. Objetivos:

• El objetivo primordial del modelo de transporte es determinar las cantidades a enviar desde cada

punto de origen (fábricas), hasta cada punto de destino (almacenes, bodegas, depósitos), que minimicen el costo total de envío , al mismo tiempo que satisfagan tanto los límites de la oferta como los requerimientos de la demanda.

• Establecer un método que regula el transporte de mercancías de varias fuentes a varios destinos.

• Indica el nivel de oferta que tiene cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino. • Determinar el costo de transporte unitario de la mercancía enviado por el proveedor a cada

destino. • Identificar una o varias fuentes (proveedores) que puedan abastecer y satisfacer a su destino

siguiendo la mejor ruta que minimice los costos de transporte.


B. Actividades de aprendizaje:

Problema 1.- La empresa GUARACACHI SA ESP, dispone de cuatro plantas de generación para satisfacer la demanda diaria eléctrica en cuatro municipios, Montero, Warnes, Cotoca y Andrés Ibáñez. Las plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW al día respectivamente. Las necesidades de los municipios de Montero, Warnes, Cotoca y Andrés Ibáñez son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al día respectivamente.

Los costos asociados al envío de suministro energético por cada millón de KW entre cada planta y cada municipio son los registrados en la siguiente tabla.

Formule una solución para este problema de manera que se cumpla el pedido y se minimice los costos: Problema 2.- La empresa “químicos del caribe S.A” posee 4 depósitos de azufre que deben ser usados para fabricar 4 tipos de productos diferentes (A, B, C, D), además por cada litro que se haga de los productos A, B, C, y D se utilizan un litro de azufre. Se sabe que las capacidades de cada depósito son de 100L, 120L, 80L, 95L respectivamente. La empresa tiene un pedido de 125L de la sustancia A, 50L de la sustancia B, 130L de la sustancia C y 90L de la sustancia D. Los costos que reaccionan la producción de cada químico con cada depósito se presenta a continuación:

Formule una solución para este problema de manera que se cumpla el pedido y se minimice los costos:


Problema 3.- MONTERREY fabrica acero en 3 plantas diferentes, para distribuir a Santa Cruz Cochabamba y La Paz. Los costos de transporte de cada planta se ilustran en la siguiente tabla expresada en $us. Cada semana debe producir 100 toneladas de cada tipo de acero (1,2 y 3). Cada planta está abierta 40 horas por semana. Plantear los 3 modelos:

Formule una solución para este problema de manera que se cumpla el pedido y se minimice los costos, utilizando el mejor método: Problema 4.-

La empresa “químicos del caribe S.A” posee 4 depósitos de azufre que deben ser usados para fabricar 4 tipos de productos diferentes (A, B, C, D), además por cada litro que se haga de los productos A, B, C, y D se utilizan un litro de azufre. Se sabe que las capacidades de cada depósito son de 100L, 120L, 80L, 95L respectivamente. La empresa tiene un pedido de 125L de la sustancia A, 50L de la sustancia B, 130L de la sustancia C y 90L de la sustancia D. Los costos que reaccionan la producción de cada químico con cada depósito se presenta la siguiente tabla, se pide formular una solución para este problema de manera que se cumpla el pedido y se minimice los costos aplicando el método más adecuado:

Formule una solución para este problema de manera que se cumpla el pedido y se minimice los costos, utilizando el mejor método:

Problema 5.-

Existen 5 posibles localizaciones para una planta de queso, considerando que la mayor influencia en el costo total del proyecto lo constituye el precio de la leche y, principalmente el costo por el transporte de la materia prima. En la siguiente tabla se muestra el precio de la leche y la producción disponible

Demanda 1 Demanda 2 Demanda 3 OFERTA 0ferta 1 12 18 90 6 0ferta 2 30 10 8 5 0ferta 3 20 25 12 8 Demanda 4 8 7


La planta requiere un abastecimiento de 7000 Litros. La tabla anterior muestra las distancias entre los posibles lugares de localización y sus fuentes de abastecimiento, expresado en kilómetros. Se pide formular una solución para este problema de manera que se cumpla el pedido y se minimice los costos aplicando el método más adecuado.

Problema 6.- Una compañía que vende carros tiene disponible un Toyota un Mitsubishi un Chevrolet y un Suzuki cuatro oficinas de la compañía lo solicitan se ha decidido enviar solo un automóvil a cada oficina de manera que el costo total sea mínimo la matriz del costo es

Of.1 Of.2 Of.3 Of.4 Oferta Toyota 10 5 3 8 26 Mitsubishi 4 3 7 5 19 Chevrolet 13 10 12 14 49 Suzuki 7 8 4 6 25 Demanda 34 26 26 33

Se pide formular una solución para este problema de manera que se cumpla el pedido y aplicando el método más adecuado.

Problema 7.- La compañía Sunray Transport Company envía camiones de grano desde 3 silos a 4 molinos. La oferta y la demanda, junto a los costes del transporte por carga de camión en las diferentes rutas, se resumen en la siguiente tabla, en donde la oferta y la demanda vienen dadas en términos de camiones cargados y los costes en cientos de dólares.


Problema 8.- Una compañía tiene 3 campos petroliferos y cinco refinerias regionales. En la siguiente tabla se indica los costos de transporte de 100 barriles/dia desde los campos hasta las refinerias. Las capacidades de las refinerias y la produccion de los tres campos.

REFINERIAS

CAMPOS A B C D E PRODUCCION en

centena de barriles por dia 1 42 32 33 39 36 200

2 34 36 37 32 34 200

3 38 31 40 35 35 300 DEMANDA en centenada

barriles por dia 100. 120 140 160 180



Problema 9.- D.M.C. distribuidor mayorista de equipos y accesorios de computación, está distribuido en la red troncal del país. (Santa Cruz - Cochabamba - La Paz).Los costos de transporte de la empresa, desde las plantas de ensamblado hasta cada tienda detallista, por cada computadora en $U$, viene dados en el siguiente cuadro, así como las ofertas y demandas de computadoras de cada ciudad:


UNIDAD 4. MODELO DE ASIGNACIÓN

A. Objetivos: Realizar la asignación de tiempo o recursos con el fin de tener un costo mínimo. B. Actividades de aprendizaje:

Problema 1.- Jala se propone enviar a los mercados (ramada, mutualista, abasto) una variedad de sabores de pizzas como: Hawaiana, Salame, Carnívora y Vegetariana)

Encontrar la asignación de manera que se cumpla el pedido y se minimice los costos: Problema 2.- La compañía de manufactura Jiménez y asociados, desea realizar una jordana de mantenimiento preventivo a sus 3 máquinas principales A, B, C. el tiempo que demanda realizar de cada máquina es de 1 día, sin embargo las jornadas de mantenimiento no puede durar más de 2 días, teniendo en cuenta q la compañía cuenta con 3 proveedores de servicios de mantenimiento debe asignarse un equipo de

Planta Ensambladora

Tiendas detallistas ubicadas en

Beni Oruro Tarija Pando Oferta:

Santa Cruz 5 3 2 6 170

Cochabamba 4 7 8 10 200

La Paz 6 5 3 8 170

Demanda: 170 170 170 170


mantenimiento a cada máquina para poder cumplir con la realización del mantenimiento preventivo. Teniendo en cuenta que según el grado de especialización de cada equipo prestado de servicios de mantenimiento el costo de la tarea varia para cada máquina en particular, debe de asignarse el equipo correcto a la maquina indicada con el objetivo de minimizar el costo total de la jornada. Los costos asignados se pueden observar en la siguiente tabla.

Problema 3.- El gerente general de ingemac sr. Antonio Herrera decide abrir 4 fábricas: una de balatas, otra de pastillas, remachado y chitillos. Vamos a signar a Mario, Sebastián, Mayimbu, Eduardo. ¿Qué fabrica se le asignara a cada trabajador para administrar?

Encontrar la asignación de manera que se cumpla el pedido y se minimice los costos: Problema 4.- La compañía de lámparas necesita transportar sus productos a sus 4 sucursales y para ello contrata los servicios de 4 transportadoras que le hacen la siguiente cotización. La matriz de costo está en la siguiente tabla

Encontrar la asignación de manera que se cumpla el pedido y se minimice los costos:

Problema 5.- Plantear el modelo de optimización para dicho problema. La EMPRESA “GRUPO VENADO SRL” (KRISS) vende cuatro productos: mayonesa, mostaza, kétchup y salsa golf. Cuatro mayoristas solicitan diferentes pedidos, se ha decidido enviar un producto (caja) a cada uno de los mayoristas de manera que el costo total sea mínimo. La matriz de costo es:


Encontrar la asignación de manera que se cumpla el pedido y se minimice los costos: Problema 6.- La compañía “JIMENEZ”; desea realizar una jornada de mantenimiento preventivo a sus 3 máquinas principales A, B y C. el tiempo que demanda realizar el mantenimiento de cada máquina es aproximadamente de 1 día, sin embargo no puede durar más de medio día; teniendo en cuenta que la compañía cuenta con 3 proveedores de servicio de mantenimiento debe de asignarse un equipo de mantenimiento a cada máquina para poder cumplir con la realización del mantenimiento preventivo. Teniendo en cuenta (según el grado de especialización de cada equipo) el costo de la tarea varia para cada máquina en particular, debe de asignarse el equipo correcto a la maquina indicada con el objetivo de minimizar el costo total de la jornada. Los costos se muestran en la siguiente tabla:

Maquina A Maquina B Maquina C Equipo de

Mantenimiento 1 10 9 5

Equipo de Mantenimiento 2

9 8 3

Equipo de Mantenimiento 3

6 5 7

Encontrar la asignación de manera que se cumpla el pedido y se minimice los costos.

Problema 7.- Cuatro trabajadores requieren el uso de una cualesquiera de las maquinas A,B,C,D. los tiempos tomados por cada máquina para realizar cada trabajo son mostradas en la matriz siguiente:

a b c d

A 10 5 9 18

B 13 19 6 12

C 18 9 12 17 D 11 6 14 19

Encontrar la asignación que minimice el tiempo total. Problema 8.- Se desea instalar cuatro fábricas: una de papel, otra de vidrio, fibra artificial y llantas. Se ha tomado la decisión de invertir en una fábrica para Montero, Cotoca, Camiri y El Torno es necesario conocer el tipo de fábrica en cada una de estas ciudades. La matriz que se muestra a continuación, muestra los costos:


Montero Cotoca Camiri El Torno

Papel 27 13 26 28

Vidrio 35 22 10 22 Fibra 12 30 40 32

Llantas 15 26 14 28

Haga la asignación óptima. Problema 9.- El jefe de departamento de contabilidad tiene cuatro empleados nuevos a quienes debe asignar cuatro tareas que cumplirse esta semana. Cada empleado necesita el siguiente tiempo para hacer cada tarea. Cualquier empleado es capaz de realizar cualquier tarea y recíprocamente cualquier tarea puede ser asignada a cualquier empleado.

T1 T2 T3 T4

A 8 26 17 11 B 13 28 4 26

C 38 19 18 15

D 39 26 24 50

Problema 10.- Una compañía que vende carros tiene disponibles un Toyota, un Mitshubishi, un Chevrolet y un Suzuki. Cuatro oficinas de la compañía las solicitan. Se ha decidido enviar solo un automóvil a cada oficina de manera que el costo total sea mínimo. La matriz de costo es:

Of.1 Of.2 Of.3 Of.4 Toyota 10 5 3 8

Mitshubishi 4 3 7 5

Chevrolet 13 10 12 14

Suzuki 7 8 4 6

Haga la asignación óptima.

SISTEMA DE EVALUACIÓN DE APRENDIZAJE DE LA ASIGNATU RA

El sistema de evaluación se describe a continuación: NUM. TIPO DE

EVALUACIÓN OBJETIVOS A EVALUAR PUNTOS CLASE

1 Primer Parcial (Escrito)

- Conocer los conceptos más importantes de la Investigación Operativa , - Aplicar los modelos de Programación Lineal para encontrar las soluciones optimas

15

9

2 Portafolio de evidencias

Proporcionar actividades extra clase mediante:

- Controles de lectura - Prácticos - Problemas ABP

20


3 Segundo Parcial 15 15

4 Defensa de Trabajos Finales

20 19

5 Examen Final 30 20

TOTAL 100 Descripción de las características generales de las evaluaciones: EVALUACIÓN 1 PRUEBA PARCIAL

Unidades 1, 2

EVALUACIÓN 2 PRUEBA PARCIAL Unidades 2, 3

PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS Prácticos para clase y extra clase. Problemas ABP

EVALUACIÓN FINAL Todo lo avanzado PROYECTO Presentación y defensa del Trabajo Final

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA:

• Taha, H.A. (2012). Investigación de Operaciones. México: ALFAOMEGA S.A. de C.V.

• Hillier F.S y Lieberman G. J. (2010). Introducción a la Investigación de Operaciones. México.

MCGRAW-HILL/Interamericana.

• Eppen G.D. y otros. (2000). Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa. México.

PRENTICE-HALL.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA:

• Rendon C. Hernán D. Diaz S. Fco Javier (2002) Introducción a la Investigación de

operaciones. Universidad Nacional

• Mathur K., Solow D. Investigación de Operaciones. El arte de la toma de decisiones.

PRENTICE HALL. Última edición.

• Winston W.L. (2005). Investigación de Operaciones: Aplicaciones y Algoritmos. México.

INTERNATIONAL THOMSON EDITORES S.A


GUÍA PARA EL PROYECTO FINAL

Objetivos del trabajo:

• Aplicar los conocimientos obtenidos y los diferentes métodos de optimización. • Hacer la presentación de resultados del procesamiento aplicando el software TORA y PHP Simplex. • Interpretar y validar los resultados obtenidos con los métodos aplicados.

Guía: 1.- Elegir variables una empresa del medio o un negocio. 2. Investigar los problemas que se tienen en una empresa en cuanto a optimización, transporte, asignación, y teoría de colas. 3.- Plantear un modelo de optimización para dicho problema. 4.- Resolver el problema aplicando los métodos conocidos (Utilizar el programa informático adecuado) 5.- Interpretar y validar los resultados. 6.-Aplicar los resultados del modelo en la empresa. 1. BIBLIOGRAFÍA(Referenciar en el texto) Formato APA 2. ANEXOS CARACTERÍSTICAS DE PRESENTACIÓN DEL TRABAJO:

• La presentación se debe realizar en papel tamaño carta con todos los cálculos realizados escritos (utilice el editor de ecuaciones), todos los cuadros y gráficos (Se utilizara el software TORA o PHP simplex).

• La presentación de calidad se debe realizar impresa en papel tamaño carta con todos los cálculos realizados escritos a máquina utilizando el editor de ecuaciones, los cuadros en procesador de texto o planilla electrónica.

• El trabajo debe incluir el currículo del estudiante (en una sola hoja), considerando los siguientes aspectos dato personales, semestre en el que se encuentre en su carrera materias aprobadas hasta la fecha con todas las notas de aprobación, otros cursos realizados, trabajos realizados que desea destacar.

La EXPOSICION Y DEFENSA oral se realizara en la fecha mencionada al inicio y utilizando los medios adecuados para realizar la defensa.


MATERIAL COMPLEMENTARIO O DE APOYO - El siguiente material de apoyo es el resultado de una compilación de textos de los principales autores sobre el tema publicados en libros o en fuentes confiables de internet. En muchos casos, algunas porciones del texto, han sido adaptadas al contexto local con el único fin de que resulten más beneficiosas para el proceso de aprendizaje de los estudiantes.

El único objetivo de este compilado, es entregar a los estudiantes un documento con información seleccionada.


REPASO CONCEPTOS PREVIOS Procedimiento: Para representar gráficamente una ecuación lineal se tiene en cuenta que "toda ecuación de primer grado con dos variables representa una línea recta", y se procede de la siguiente manera: 1. Se despeja a y en función de x 2. Se calculan los valores correspondientes de y para dos valores arbitrarios de x (es preferible hallar los interceptos con los ejes, para lo cual se calcula el valor de y cuando x es 0 (intercepto con el eje y), y se da un valor a x de tal forma que el valor para y sea 0 (intercepto con el eje x) 3. Se construye una tabla de valores con los datos obtenidos en el paso anterior 4. Se ubican y señalan en el plano cartesiano los puntos cuyas coordenadas hallamos con anterioridad 5. Se unen mediante una línea recta los puntos señalados en el plano Para hallar la intersección, el punto donde se cortan, de dos rectas en el plano cartesiano, se trazan las gráficas de las dos ecuaciones e, igualando las dos ecuaciones, se obtienen las coordenadas del punto común. Representar gráficamente las siguientes ecuaciones: Ejemplo 1

x -2 0 2

y -2 0 2


Ejemplo 2

x 0 5

y 5 0

Ejemplo 3

x -6 -6 -6

y ... 0 ...

Ejemplo 4

x ... 0 ...

y 7 7 7


Ejemplo 5

x -2 0

y 3 -6

Ejemplo 6.-Hallar la intersección de:

Igualando las dos ecuaciones, hallamos que las rectas se interceptan en el punto P (5,3).


UNIDAD 1 INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Las raíces de la investigación de operaciones se remontan a muchas décadas cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el método científico en la administración de una empresa. Sin embargo el inicio de esta actividad llamada Investigación de Operaciones (O), tiene su origen en la 2da guerra mundial donde existan valores especiales (Matemáticos, Físicos, Psicólogos, Ingenieros, etc.,) cuya labor era asesorar a la organización militar, en el plano ejecutivo en relación a las operaciones bélicas (Análisis de estrategias de bombardeo, defensa aérea y programación de operaciones logísticas ). Al finalizar la gran guerra un grupo de ellos se dedicó a la industria y al gobierno empezando a aparecer la palabra IO. Se atribuye a Gran Bretaña al haber iniciado la IO y a los Estados Unidos el rápido crecimiento de esta disciplina que fue aceptada en 1947 gracias al desarrollo del Método Simplex Es indispensable cuando nos encontramos ante una situación compleja, como lo es un sistema de transformación que esta un grupo de profesionales, técnicos y otros (como ingenieros, economistas, administradores, nutricionistas, etc.) que aportan sus conocimientos y experiencias en la toma de decisiones. Las primeras actividades formales de investigación de operaciones se dieron en Inglaterra durante la segunda guerra mundial, cuando se encomendó a un equipo de científicos ingleses la toma de decisiones acerca de la mejor utilización de materiales bélicos. Al término de la guerra, las ideas formuladas en operaciones militares fueron aceptadas para mejorar la eficiencia y la productividad en el sector civil. Hoy en día, la investigación de operaciones es una herramienta dominante e indispensable para tomar decisiones. Se aplica no solo en el ámbito privado, también en el sector de servicios públicos gubernamentales. El campo de estudio que abarco la I.O. va desde el aspecto laboral hasta l plano criminal, pasando por los sistemas de salud, transporte, sistemas financieros, sistemas de comercialización, polución, y todos los ámbitos de la industria en general. Un elemento principal de la investigación de operaciones es el modelado matemático. Aunque la solución del modelo matemático establece una base para tomar una decisión, se deben tener en cuenta factores intangibles o no cuantificables, por ejemplo, el comportamiento humano, para poder llegar a una decisión final. LAS COMPUTADORAS Y LA IO (INVESTIGACION OPERATIVA) La aparición de las computadoras está íntimamente ligado al desarrollo de la IO esto se debe a que la mayoría de las técnicas empleadas serian absolutamente inaplicables para problema real, debido al tiempo de procesamiento de la información. En una computadora solo se requiere de algunos minutos para llegar al resultado mientras que sin ella se tardaran horas, días, semanas, meses y más tiempo para dar con los resultados.


ORIGEN DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES En el siglo pasado, las industrias estaban constituidas por un número reducido de empleados que ocupaban espacios físicos pequeños y eran dirigidos por una sola persona. Con la primera revolución industrial, este panorama cambia. Pues, con el desarrollo de la energía, las maquinarias y los equipos se mecaniza la producción; esta mecanización origina la segmentación funcional y geográfica de la administración, consecuentemente vino la división del trabajo y aparecieron las responsabilidades de producción, finanzas, mercado, personal, ingeniería e investigación y desarrollo. Específicamente, el inicio de la I.O. surge de la Segunda Guerra Mundial, con los intentos de asignar de manera óptima los recursos con los que contaban los frentes y las operaciones militares. Posteriormente como resultado de la revolución industrial, estos estudios cobraron cada vez mayor importancia en la industria y el gobierno. Se atribuye a Gran Bretaña el haber iniciado la I.O. y a los Estados Unidos el rápido crecimiento de ésta disciplina. A partir del crecimiento industrial, la gestión y asignación optima de los recursos a las actividades se torna más compleja y difícil; esta necesidad hace que se encamine la búsqueda de un instrumento científico más eficiente que apoye el manejo organizacional y sobre todo que ayude a una eficaz toma de decisiones. Fue el doctor “George Dantzing” que el año 1947, resumiendo los trabajos de muchos de sus antecesores, reconoce la estructura matemática de muchos problemas de logística militar y desarrolla el “método simplex” , lo que da inicio a la programación lineal. ¿QUE ES LA IO? La investigación operativa está asociada casi en exclusiva, con la aplicación de técnicas matemáticas para representar por medio de un modelo problemas de decisión. Como técnica para la solución de problemas, la IO debe visualizarse como una ciencia y como un arte. El aspecto de la ciencia radica en ofrecer técnicas y algoritmos matemáticas para resolver problemas de decisión adecuadas. La IO es un arte debido a que el éxito que se alcanza en todas las fases anteriores y posteriores a la solución de un problema matemático, depende en forma apreciable de la creatividad y la habilidad de los analistas encargados de tomar las decisiones. FASES DE LA INVESTIGACION OPERATIVA DEFINICION DEL PROBLEMA Definición de la meta o el objetivo del estudio. Para definir el problema, debemos plantearnos las preguntas necesarias. IDENTIFICACION DE LAS ALTERNATIVAS DE DECISIÓN DEL ISTEMA Reconocimiento de las iteraciones, restricciones y requerimientos del sistema. CONSTRUCCION DEL MODELO El modelo se define como una función objetivo y restricciones que se expresan en términos de las variables (opciones) de decisión del problema. Aunque una situación real puede implicar un número sustancial de variables y restricciones, generalmente solo una pequeña fracción de estas variables y restricciones domina verdaderamente al comportamiento del sistema real. Por lo tanto la implicación del sistema con el fin de construir un modelo, debe concentrarse fundamentalmente en la identificación de las variables y restricciones dominantes.


SOLUCION MODELO Una vez planteado el modelo matemático hay que darle solución a través de un procedimiento (por lo general basado en computadoras) PRUEBA Y MEJORAMIENTO DEL MODELO (VALIDEZ DEL MODEL O) El desarrollo de un modelo matemático es análogo al desarrollo de un programa de computadora cuando se completa la primera versión, es inevitable que contenga muchas faltas. El programa debe de probarse de manera exhaustiva para encontrar y corregir tantos problemas como sea posible. IMPLANTACION DE LOS RESULTADOS En esta etapa debe participar el equipo de IO, es una etapa crítica y debe estar documentando todo el trabajo. NATURALEZA Y ALCANCE DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACI ONES Para definir la investigación de operaciones, es necesario analizar cinco elementos importantes que constituyen la esencia de la I.O., estos son: 1) Sistema 2) Modelos 3) Optimización 4) Decisión 5) Método Científico Si relacionamos estos cinco elementos desde un enfoque del Mundo Real (Sistema) y el Mundo Ideal (Modelo), donde se hace una abstracción del Sistema, para luego de un proceso de análisis encontrar las soluciones optimas a los problemas del mundo real se puede apoyar a la toma de decisiones. CONCEPTO DE INVESTIGACION DE OPERACIONES La investigación de operaciones es un procedimiento o enfoque que permite resolver problemas relacionados con la optimización y la toma de decisiones en los diferentes campos de aplicación, tales como: la industria (producción, finanzas y mercado), la economía, el comercio, la política, la educación, la salud, la defensa, etc. Formalmente, podemos decir: La Investigación de Operaciones es la aplicación (por grupos interdisciplinarios) del método científico en el análisis y solución de problemas relacionados con el control de las organizaciones del mundo real (industria, economía, comercio, educación, defensa, etc.) que deben ser concebidos como sistemas y entidades complejas que manejan recursos (humanos, materiales, equipos, insumos, información, etc.). Estos sistemas son representados en el mundo ideal por modelos matemáticos , cuyo análisis y solución busca la optimización de resultados que deben ser interpretados y comprometidos para ofrecer apoyo a la toma de decisiones .


MODELOS MATEMATICOS DE DECISION Un modelo es la representación simplificada e idealizada, de manera cualitativa o cuantitativa de un sistema real, de acuerdo a los objetivos de estudio del sistema. La I.O. se centra en manejar modelos matemáticos que permitan relacionar variables (de entrada y salida) mediante relaciones funcionales y/o ecuaciones, de tal forma que la solución del modelo permita encontrar la combinación óptima de resultados en cuanto a las variables que intervienen. Los modelos matemáticos se clasifican en:

NO Sufren alteraciones por cambios del tiempo.

SUFREN alteraciones por cambios del tiempo.

NO DEPENDEN de fenómenos aleatorios.

DEPENDEN de fenómenos aleatorios.

Los modelos determinísticos los resueltos con programación lineal, éstos serán objeto de nuestro estudio en la materia. FASES DE LA INVESTIGACION OPERATIVA 1) Definición del problema

2) Identificación de las alternativas de decisión del sistema

3) Construcción del modelo FORMULACION

4) Solución del modelo PREDICCION

5) Prueba y mejoramiento del modelo

6) Implantación de los resultados

MODELOS MATEMATICOS

Según la Dependencia con el Tiempo

Según la Naturaleza de las Variables

Según el Tipo de Solución

Estadisticos

Dinámicos

Determinísticos

Probabilísticos

Analíticos

Numéricos

VALIDEZ

OBSERVACION


UNIDAD 2 Introducción a la Programación Lineal (PL) Objetivos • Encontrar la región factible, conjunto de puntos que satisfacen todas las restricciones del modelo. Esta región factible (RF) está limitada por líneas rectas que se juntan en puntos esquinas denominadas. Puntos extremos o vértices. • Permite ir mejorando la solución a cada paso del procedimiento comenzando con una solución básica (punto extremo) y modificado esto a lo largo del proceso, a través de la inclusión y exclusión de una variable; siempre aumentando más su utilidad (o reduciendo el costo) hasta encontrar la solución óptima. • Su objetivo es aumentar o minimizar el valor de las variables, M comiste en proporcionar al método simplex tradicional de una variable de holgura de gran tamaño que puede ser tanto negativa como positiva. De esta forma nos encontramos con que si deseamos hacer una fórmula de minimizar tendremos que la M será negativa y de gran tamaño (finito) y para maximizar colocaremos un valor en M de gran tamaño positivo (también finito).

2.1 PUNTOS DE INTERES DE LA PL El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deben ser funciones lineales. En este caso las palabras programación no se refieren a la programación en computadoras, en esencia es un sinónimo de planeación. La programación lineal utiliza un modelo matemático para satisfacer el problema. Así, la programación lineal trata de la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo, este es el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo matemático entre todas las alternativas de solución). La PL es una técnica matemática ampliamente utilizada, diseñada para ayudar a los administradores de producción y operaciones en la planeación y toma de decisiones realizadas a la asignación y uso de recursos. (Extracto del libro ”Principios de Administración de Operaciones” Render-Hezer, pág. 160). Algunos ejemplos de problemas en los que la PL ha sido aplicada exhaustivamente en la administración de operaciones (IO) son: • La selección de la mezcla de productos de una fábrica, para tener el mejor uso de las horas disponibles de la máquina y la mano de obra, mientras se maximiza la utilidad de las empresas. • La selección de diferentes mezclas de materia prima en los molinos de comida para producir combinaciones de alimentos terminados al mínimo costo. • La determinación de un sistema de distribución que minimice el costo total de embarque de varios almacenes a varias localizaciones de mercado. • El desarrollo de un programa de distribución que satisfaga las demandas futuras para un producto de una campaña y al mínimo tiempo minimice los costos totales de producción e inventarios. Los tiempos clave en la programación lineal son recursos y actividades. Los ejemplos de recursos son: • Dinero • Tipos especiales de maquinarias y equipos • Vehículos • Personal • Tiempo • Espacio Físico


Los tiempos de actividades incluyen • Inversión de dinero en proyectos específicos • Publicitar en un medio determinado • El envió de bienes de cierta fuente a cierto destino • La producción de un cierto bien. 2.2 MODELOS MATEMATICOS La modelación se define como el proceso de abstracción del sistema real a un modelo cuantitativo. La modelación es sin duda combinación de arte y ciencia. No se puede precisar una metodología para la construcción de un modelo por lo que necesariamente la modelación se aprende con la práctica. ¿COMO PLANTEAR UN MODELO DE PL? • DEFINIR LAS VARIABLES DE DECISIÓN Son las incógnitas del problema y básicamente consiste en las medidas de todas las actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular. • ENCONTRAR LAS RESTRICCIONES Son diferentes requisitos que debe cumplir cualquier solución para que pueda llevarse a cabo en cierta manera son las limitantes en los valores de los niveles de las diferentes actividades (variables) • DETERMINAR LA FUNCION OBJETIVO Con el objetivo se pretende medir la efectividad de las diferentes soluciones que pueden obtenerse y determinar la mejor solución Deberá definirse claramente las unidades de medición del objetivo como dinero, tiempo, etc. 2.1 MODELO GENERAL DE PL Optimizar (maximizar o minimizar) F.O => Max z = C1 X1 + C2 X2+….+Cn Xn Sujeta a las siguientes restricciones

a11 X1 + a12 X2+….+ a1n Xn ≤ b1 a21 X1 + a22 X2+….+ a2n Xn ≤ b2

am1 X1 + am2 X2+….+ amn Xn ≤ bn Donde el valor de las variables es: X1, X2, …..Xn ≥ 0 Nota Condición de no negatividad quiere decir que las respuestas deben ser siempre positivas y no se toma en cuenta como si fuera otra inecuación Las restricciones más comunes son:

• Restricción de capacidad.- Limita el valor de las variables debido a la disponibilidad de horas-hombre, horas- máquina, espacio, etc.

• Restricciones de mercado. -Surgen de los valores máximos y/o mínimos de la demanda. • Restricciones de entrada.- Son limitantes debido a los escases de la materia prima, mano de

obra, dinero, etc, dicho de otra forma están definidas con relación a entrada de materia prima, a la planeación de actividades, etc. Existen dos modelos para resolver el problema de programación lineal (PL) • Método Grafico • Método Simplex


2.3 Método Grafico Ejemplo 1.- La compañía de seguros primo está en proceso de introducir dos nuevas líneas de productos: Seguro de riesgo especial e hipotecas, la ganancia esperada es de 5$ por el seguro de riesgo especial y 2$ por unidad de hipoteca. La administración deseada establecer las cuotas de venta de las nuevas líneas para maximizar la ganancia total. Los requerimientos de trabajo son los siguientes: Solución: X1 = Seguros X2 = Hipotecas

X1 X2 Horas – Hombres disponibles

Suscripciones 3 2 2400

Administración 0 1 800

Reclamaciones 2 0 1200

Ganancia 5 2

F.O 3�1 + 2�2 ≤ 2400 0�1 + �2 ≤ 800 Restricciones 2�1 + 0�2 ≤ 1200 �1, �2 ≥ 0 Condición de no negatividad Paso #1 Llevar las ecuaciones a la forma de igualdad 1.- 3�1 + 2�2 = 2400 2.- 0�1 + 1�2 = 800 3.- 2�1 + 0�2 = 1200 Paso #2 Despejar �2 1.- 3�1 + 2�2 = 2400 2.- 0�1 + 2�2 = 800 3.- 2�1 + 0�2 = 1200

2�2 = 2400 − 3�1 �2 = 800 �1 = 600

�2 = 2400 − 3�12

X2 X1 1200 0 450 50

Max Z = 5x1 + 2x2


Paso #3 Graficar y sombrear

Zona Factible Paso #4 Encontrar la zona factible (es el primer cuadrante) donde se encuentran las líneas de colores (Puntos de Intersección). Paso #5 Especificar los Vértices A, B, C, D, E. Paso#6 Calcular las Coordenadas y los Vértices. A: (0,800) B: ( ?,?) (266,67; 800) E: (0,600) C: ( ?,?) (600, 300) D: (600,0)

• Aplicando el método de reducción

Calcular B = ? ( L1,L2) L1 3�1 + 2�2 = 2400 L2 0x1 + 1x2 = 800 Despejando �2 en la ecuación # 2 0�1 + �2 = 800 Sustituyendo el resultado en cualquiera de las 2 ecuaciones: 3�1 + 2�2 = 2400 3�1 + 2�800� = 2400 3�1 = 2400 − 1600 �1 = ��

�

E

�2 = 800

�1 = 266.67


Calcular C =? (L1, L3)

L1 3�1 + 2�2 = 2400 L3 2�1 + 0�2 = 1200

Despejando x1 en la ecuación # 2 2�1 + 0�2 = 1200 Sustituyendo el resultado en cualquiera de las 2 ecuaciones: 3�1 + 2�2 = 2400 3�600� + 2�2 = 2400 2�2 = 2400 − 1800 �2 = 600 2� Paso #7 Reemplazar los valores de los Vértices en la F.O � ∶ 5�0� + 2�800� = 1600 � ∶ 5�266.67� + 2�800� = 2933.35 Punto Optimo Nota: ∶ 5�600� + 2�0� = 3000 ! ∶ 5�0� + 2�0� = 0 INTERPRETACIÓN: Para maximizar las utilidades a 3600$ se requieren 600 unidades del producto de seguros y 300 unidades del producto hipotecas

Ejemplo 2.- Con el comienzo del curso se lanza una oferta de material escolar. Un almacén quiere ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes se convienen poner para obtener el máximo beneficio? Interpretar el problema, haciendo una tabla. X1 X2 Disponibilidad Cuadernos 2 3 600

Carpetas 1 1 500

Bolígrafos 2 1 400

Utilidad 6.5 7

Luego de haber interpretado el problema acomodar la función objetiva de la cual sale de la utilidad y las restricciones. Función objetivo: Max z = 6.5x1+7x2 1 2x1+3x2≤600 Restricciones: 2 1x1+1x2≤500 3 2x1+1x2≤400

�1 = 600

�2 = 300

" ∶ 5�600� + 2�300� = 3600

Como estamos maximizando, elegir

el más alto


Paso1 llevar a la ecuación a la forma de la igualdad Función objetiva6.5x1+7x2=0 1 2x1+3x2=600 2 1x1+1x2=500

3 2x1+1x2=400 Paso 2 despejar “x2 1 2x1+3x2=600 3x2=600-2x1 X2=600-2x1 x2 x1 3 2000 0 100 150

1x1+1x2=500 x2 x1 2 1x2=500-x1 500 0 X2=500-x1 300 200 3 2x1+1x2=400 x2 x1 1x2=400-2x1 400 0 X2=400-2x1 200 100 Paso 3 graficar y sombrear Comentario - Solo se sombrea el primer cuadrante - Se sombrea hacia abajo (↓) si la restricción o ecuación es (≤) - Se sombrea hacia arriba (↑) si la restricción es mayor (≥)


Paso4 delinear la zona factible

Paso 5 especificar las vértices

Paso6 calcular las coordenadas de las vértices A= (0,200) B= (¿,?) C= (200,0) D= (0,0) (L1, L3) Calculo de “C” 2x1+3x2=600 2x1+1x2=400 (-1) 2x1+3x2=600 -2x1-1x2=-400 2x2=200 X2= 200 2

C


X2=100 Calculo de x1=? Reemplazando x2= 100 en la ecuación 2 2x1+1x2=400 2x1+1(100)=400 2x1+100=400 2x1=400-100 X1= 300 x1=150 2 Paso7 reemplazar los valores de los vértices en la función Max (z)= 6.5x1+7x2 Max (z) 6.5 (0)+7(200)=1400 Max (z) 6.5 (200)+7(0)=1300 Max (z) 6.5 (0)+7(0)=0 Max (z) 6.5 (150)+7(100)=1675 Interpretación Para maximizar las utilidades a 1675€conviene ofertar para el empaquetado A 150 paquetes y para el empaquetado B 100 paquetes de material escolar.

Ejemplo 3 La compañía “Congeladores MAJO” pretende fabricar dos tipos de congeladores denominados A y B. Cada uno de ellos debe pasar por tres operaciones antes de su comercialización: ensamblaje, pintura y control de calidad. Los congeladores de tipo A requieren 2 horas de ensamblaje, 3 kg. de pintura y 4 horas de control de calidad; los congeladores tipo B requieren 3 horas de ensamblaje, 6 kg de pintura y 5 horas de control de calidad. El margen contributivo por cada congelador tipo A y B es de $102000 y $ 98000 respectivamente. La compañía dispone como máximo semanalmente 300 horas de ensamblaje, 840 kg de pintura y 450 horas de control de calidad. Con base en la información suministrada determine las unidades a producir semanalmente de cada referencia para maximizar las utilidades. Interpretar el problema haciendo una tabla

Variables X1=Congeladores A X2=Congeladores B


Luego de haber interpretado el problema acomodar las la función objetiva de la cual sale la utilidad y las restricciones. Función objetivo Max z = 102000x1+9800x2

1 2x1+3x2≤300 Restricciones 2 3x1+6x2≤840 3 4x1+5x2≤450

Paso1llevar la ecuación a la forma de igualdad 1 2x1+3x2=300 2 3x1+6x2=840 3 4x1+5x2=450 Paso2 despejar “x2”


Paso 3 graficar y sombrear Comentario -Solo se sombrea el primer cuadrante - Se sombrea hacia abajo (↓) si la restricción o ecuación es (≤) - Se sombrea hacia arriba (↑) si la restricción es mayor (≥)

Paso 4 delinear la zona factible

Paso 5 especificar las vértices


Paso 6 Calcular las coordenadas Como se podrá ver en este ejercicio no hay vértice que calcular, así que debe ser calculada al tanteo donde x1=112,5 y x2=0 Paso 7 Reemplazar los valores de los vértices en l a función Max= 102000$x1+9800$x2 A= 102000(0)+9800(90)=882000 B= 102000(112,5)+9800(0)=11475000 C= 102000(0)+9800(0)=0 Interpretación Para maximizar las utilidades a 11475000 se debe producir 112.5 de congeladores A y 0 unidades de congeladores B Ejemplo 4 Considere el siguiente problema lineal:

Alta Mediana Baja Costo [$ / Día

Mina 1 1 4 6 100 Mina 2 4 4 2 150

Demanda [tn] 80 160 120

X1= La cantidad de días trabajados de la Mina 1. X2= La cantidad de elementos extraídos de la Mina 2.

Función Objetivo Min Z = 100x1 + 150X2

x1 + 4x2 ≥ 80 4x1 + 4x2 ≥ 160 6x1 + 2x2 ≥ 120

x1, x2 ≥ 0

Paso 1: Llevar a la igualdad las restricciones.

[Ec. 1] x1 + 4x2 = 80 [Ec. 2] 4x1 + 4x2 = 160 [Ec. 3] 6x1 + 2x2 = 120

Paso 2: Despejar “x2”.

[Ec. 1] x1 + 4x2 = 80 4x2 = -x1 + 80

x2 =#�$%&��

'

x2 =#�$%' + 20 L1

Restricciones

X1 X2

0 20

80 0


[Ec. 2] 4x1 + 4x2 = 160 4x2 = – 4x1 + 160 x2 =

�2 = −4�� + 1604

�2 = −�� + 40 [Ec. 3] 6x1 + 2x2 = 120 2x2 = -6x1 + 120

x2 = #($%&��

�

x2 = −3�� + 60 L3

� Paso 3: Graficar y sombrear.

� Paso 4: Delinear la zona factible.

� Paso 5: Especificar vértices.

� Paso 6: Cálculo de las coordenadas de los vértices.

A (0, 60) B (10, 30)

C (80/3, 40/3) D (80, 0)

� Calculo auxiliar, coordenadas de B (L2 y L3)

L2 = L3

−�� + 40= −3�� + 60 −�� + 3�� = 60 − 40

2��= 20 X1 = 10

L2

X1 X2

0 40

40 0

X1 X2

0 60

20 0


� Reemplazar x1 en L2.

X2 = 10 + 40

X2 = 30

� Calculo auxiliar, coordenadas de C (L1 y L2)

L1 = L2 #�$%' + 20 =-x1 + 40

#�$%' + x1 = 40 – 20

�$%' = 20

X1 = ��

� Reemplazar x1 en L2.

X2 = -�� ) + 40 C='�� ,��

X2 = '��

Paso 7: Reemplazar coordenadas en la Función Objetivo.

INTERPRETACION Para minimizar los costos en 4.666,67 Bs. La Mina 1 debe trabajar 27 días y la Mina 2 debe trabajar 14 días.

B (30,10)


METODO SIMPLEX

¡Importante! Se elegirá este método luego de ver los ejercicios; por 2 razones: porque el método simplex se usa solo para resolver casos de maximización (de utilidades), y además porque en la función objetivo no han aparecido negativos aun por lo que no se puede resolver

Paso 1. -Igualar: se despeja la función objetivo, igualando a cero para que aparezcan los negativos; luego se convierte la desigualdad a una ecuación aumentando una holgura a cada ecuación

Paso 2.- Se debe realizar las iteraciones correspondientes, para llegar a una solución que será cuando se eliminen los valores negativos de la función objetivo, llamándose solución optima

Paso 3.- Se realiza la interpretación de forma literal de los resultados obtenidos

Ejemplo 1.- Resolver por el método simplex. Función Objetivo Max Z = 3 0x1 + 12x2 + 15x3

9x1 + 3x2 + 5x3≤ 500 5x1 + 4x2≤ 350

3x1 + 2x3≤ 150 Paso 1: Llevar a la igualdad todas las ecuaciones. F.O. -30x1 - 12x2 - 15x3= 0 9x1 + 3x2 + 5x3 + H4 = 500

5x1 + 4x2 + H5 = 350

3x1 + 2x3 + H6 = 150

Paso 2: Armar tabla inicial. � Para elegir la columna pivote se debe tomar en cuenta cuya cifra sea la más negativa entre las variables (xn) de la Función Objetivo. � Para escoger la fila pivote se debe dividir las cifras de la columna pivote con el Lado Derecho, los resultados que salgan negativos o infinitos no se toman en cuenta, se debe escoger el número menor positivo. � La intersección de la columna pivote con la fila pivote es el elemento pivote (siempre debe ser 1).

TABLA INICIAL

X1 X2 X3 H4 H5 H6 L.D. F.O. - 30 -12 -15 0 0 0 0 0/-30=∞� 9 3 5 1 0 0 500 500/9=55, 56� 5 4 0 0 1 0 350 350/5=70�

3 0 2 0 0 1 150 150/3=50�

Restricciones

Columna Pivote

Fila Pivote

Elemento Pivote


Convertir el elemento pivote en “1”, multiplicando la fila pivote en este caso por 1/3.

INTERACCIÓN 2

X1 X2 X3 H4 H5 H6 L.D. F.O. - 30 -12 -15 0 0 0 0 F. 1 9 3 5 1 0 0 500 F. 2 5 4 0 0 1 0 350

F. P. 1 0 2/3 0 0 1/3 50

Con la fila pivote procedemos a acerar los elementos que se encuentran dentro de la columna pivote, empezando con la función Objetivo.

F.P. 1 0 2/3 0 0 1/3 50 (.30) F.O. -30 -12 -15 0 0 0 0 F.P. 30 0 20 0 0 10 1500 F.O. -30 -12 -15 0 0 0 0

0 -12 5 0 0 10 1500 Nueva F.O.

F.P. 1 0 2/3 0 0 1/3 50 (. -9) F.1 9 3 5 1 0 0 500 F.P. -9 0 -6 0 0 -3 -450 F.1 9 3 5 1 0 0 500

0 3 -1 1 0 -3 50 Nueva F.1

F.P. 1 0 2/3 0 0 1/3 50 (. -5)

F.2 5 4 0 0 1 0 350 F.P. -5 0 -10/3 0 0 -5/3 -250 F.2 5 4 0 0 1 0 350 0

4 -10/3 0 1 -5/3 100 Nueva F.2

Construir una nueva tabla con las nuevas filas, y escoger nuevamente la columna pivote cuando se presenta un número negativo en las variables de la función objetivo (escoger el más negativo).

INTERACCIÓN 3

X1 X2 X3 H4 H5 H6 L.D. F.O. 0 -12 5 0 0 10 1500 1500/-12= -125 �

F. P. 0 3 -1 1 0 -3 50 50/3= 16, 67�

0 4 -10/3 0 1 -5/3 100 100/4= 25� 1 0 2/3 0 0 1/3 50 50/0=∞�



INTERACCIÓN 4

X1 X2 X3 H4 H5 H6 L.D. F.O. 0 -12 5 0 0 10 1500

F. P. 0 1 -1/3 1/3 0 -1 50/3

F. 1 0 4 -10/3 0 1 -5/3 100 F. 2 1 0 2/3 0 0 1/3 50


F.P. 0 1 -1/3 1/3 0 -1 50/3 (.12)

F.O. 0 -12 5 0 0 10 1500 F.P. 0 12 -4 4 0 -12 200 F.O. 0 -12 5 0 0 10 1500

0 0 1 4 0 -2 1700 Nueva F.O.

F.P. 0 1 -1/3 1/3 0 -1 50/3 (. -4)

F.1 0 4 -10/3 0 1 -5/3 100 F.P. 0 -4 4/3 -4/3 0 4 -200/3 F.1 0 4 -10/3 0 1 -5/3 100

0 0 -2 -4/3 1 7/3 100/3 Nueva F.1

Construir una nueva tabla con las nuevas filas, elegir nuevamente la columna pivote, en las variables ya no existen números negativos, ahora se debe escoger el más negativo de las holguras (variables ficticias) de la función objetivo.

INTERACCIÓN 5

X1 X2 X3 H4 H5 H6 L.D. F.O. 0 0 1 4 0 -2 1700 1700/-2=850� F. 1 0 1 -1/3 1/3 0 -1 50/3 (50/3)/-1=-16.67�

F. P. 0 0 -2 -4/3 1 7/3 100/3 (100/3)/(7/3)=14,28�

F. 2 1 0 2/3 0 0 1/3 50 50/(1/3) = 150 �


INTERACCIÓN 6

X1 X2 X3 H4 H5 H6 L.D. F.O. 0 0 1 4 0 -2 1700 F. 1 0 1 -1/3 1/3 0 -1 50/3

F. P. 0 0 -6/7 -4/7 3/7 1 100/7

F. 2 1 0 2/3 0 0 1/3 50



F.P. 0 0 -6/7 -4/7 3/7 1 100/7 (.2)

F.O. 0 0 1 4 0 -2 1700 F.P. 0 0 -12/7 -8/7 6/7 2 200/7 F.O. 0 0 1 4 0 -2 1700

0 0 -5/7 20/7 6/7 0 12100/7 Nueva F.O.

F.P. 0 0 -6/7 -4/7 3/7 1 100/7

F.1 0 1 -1/3 1/3 0 -1 50/3

0 1 -25/21 -5/21 3/7 0 650/21 Nueva F.1

F.P. 0 0 -6/7 -4/7 3/7 1 100/7 (. -1/3)

F.2 1 0 2/3 0 0 1/3 50 F.P. 0 0 2/7 4/21 -1/7 -1/3 -100/21 F.2 1 0 2/3 0 0 1/3 50

1 0 20/21 4/21 -1/7 0 950/21 Nueva F.2

Construir una nueva tabla con las nuevas filas, y escoger nuevamente la columna pivote cuando se presenta un número negativo en las variables de la función objetivo (escoger el más negativo).

INTERACCIÓN 7

X1 X2 X3 H4 H5 H6 L.D. F.O. 0 0 -5/7 20/7 6/7 0 12100/7 (12100/7) / (-5/7)= -2420 � F. 1 0 1 -25/21 -5/21 3/7 0 650/21 (650/21) / (-25/21)= -26 � F. 2 0 0 -6/7 -4/7 3/7 1 100/7 (100/7) / (-6/7)= -50/3 �

F. P. 1 0 20/21 4/21 -1/7 0 950/21 (950/21) / (20/21)= 45 �

Convertir el elemento pivote en “1”, multiplicando la fila pivote en este caso por 21/20

INTERACCIÓN 8

X1 X2 X3 H4 H5 H6 L.D. F.O. 0 0 -5/7 20/7 6/7 0 12100/7 F. 1 0 1 -25/21 -5/21 3/7 0 650/21 F. 2 0 0 -6/7 -4/7 3/7 1 100/7

F. P. 21/20 0 1 1/5 -3/20 0 95/2



F.P. 21/20 0 1 1/5 -3/20 0 95/2 (.5/7)

F.O. 0 0 -5/7 20/7 6/7 0 12100/7 F.P. 3/4 0 5/7 1/7 -3/28 0 475/14 F.O. 0 0 -5/7 20/7 6/7 0 12100/7

3/4 0 0 3 3/4 0 3525/2 Nueva F.O.

F.P. 21/20 0 1 1/5 -3/20 0 95/2 (.25/21)

F.1 0 1 -25/21 -5/21 3/7 0 650/21 F.P. 5/4 0 25/21 5/21 -5/28 0 2375/42 F.1 0 1 -25/21 -5/21 3/7 0 650/21 5/4

1 0 0 1/4 0 175/2 Nueva F.1

F.P. 21/20 0 1 1/5 -3/20 0 95/2 (.6/7)

F.2 0 0 -6/7 -4/7 3/7 1 100/7 F.P. 9/10 0 6/7 6/35 -9/70 0 285/7 F.2 0 0 -6/7 -4/7 3/7 1 100/7

9/10 0

0 -2/5 3/10 1 55 Nueva F.2

Construir una nueva tabla con las nuevas filas, toda la Función Objetivo ahora es positiva, concluyendo así el ejercicio.

Max Z = 30x1 + 12x2 + 15x3

Max Z = 30 (0) + 12 (175/2) + 15 (95/2) Max Z = 1762.5 Bs.

X1 = 0 ; H4 = 0 Maq. 1 X2 = 88 ; H5 = 0 Maq. 2 X3 = 48 ; H6 = 55 Maq. 3

Interpretación: Para maximizar las utilidades a 1762, 5 Bs. se debe producir 88 unidades del producto B, 48 unidades del producto C y ninguna unidad del producto A, siendo el valor de las variables de holgura: Maq. 1 = 0 hr/und. ; Maq.2 = 0 hr/und. ; Maq.3 = 55 hr/und.

SOLUCIÓN ÓPTIMA X1 X2 X3 H4 H5 H6 L.D.

F.O. 3/4 0 0 3 3/4 0 3525/2 5/4 1 0 0 1/4 0 175/2 9/10 0 0 -2/5 3/10 1 55 21/20 0 1 1/5 -3/20 0 95/2


Ejemplo 2.- La empresa Ducal fabrica dos tipos de cerveza, una lager y una Pilsen, para lo cual necesita disponer de malta, lúpulo y levadura. Cada metro cúbico de lager requiere 50 kg de malta, 20 de lúpulo y 2 de levadura. Cada metro cúbico de Pilsen necesita 60 kg de malta, 25 de lúpulo y 2 de levadura. El beneficio que obtiene la empresa con cada metro cúbico de lager es de 140$, mientras que con cada metro cúbico de Pilsen obtiene 150 $. Ducal dispone de una tonelada de malta por semana, 250 kg de lúpulo y 22 kg de levadura también por semana. ¿Cuántos metros cúbicos de lager y Pilsen necesita Ducal para que su Beneficio sea el máximo? Lager= �1; Pilsen= �2

�1 �2 Disponibilidad Malta 50 60 1000

Lúpulo 20 25 250

Levadura 2 2 22

Utilidad 140$ 150$

)*�+ = 140�1 + 150�2 50�1 + 60�2 ≤ 1000 20�1 + 25�2 ≤ 250 Restricciones 2�1 + 2�2 ≤ 22 �1, �2 ≥ 0 Condición de no negatividad

Paso #1 ***REPAIRED*** Llevar a la forma de igualdad • −140�1 − 150�2 = 0 ***REPAIRED***

50�1 + 60�2 + ℎ3 = 1000 20�1 + 25�2 + ℎ4 = 250

2�1 + 2�2 + ℎ5 = 22

Paso #2.- Armar la tabla inicial NOTA: Primero se debe Elegir la columna Pivote y luego la Fila Pivote, después de encontrar la Fila pivote se debe en numerar las demás filas, siendo siempre la primera la fila pivote

La Función objetivo cambia de signo cuando se lo iguala a “0”

Se agregan las variables de Holgura


C.P. =Columna Pivote -- es el más negativo de las columnas. F.P. = Fila Pivote -- es el menor positivo de la filas.

Tabla #1 Tabla Inicial

X1 X2 H3 H4 H5 L.D.

F.O. -140 -150 0 0 0 0 F. 1 50 60 1 0 0 1000 (100/60)= 16,67

F. P. 20 25 0 1 0 250 (250/25)=10 � �

F. 2 2 2 0 0 1 22 (22/2) = 11

Elemento Pivote

Paso #3 Volver “1” el Elemento Pivote, para ello se ha multiplicado la fila por (1/25)

Tabla #2 X1 X2 H3 H4 H5 L.D.

F.O. -140 -150 0 0 0 0 F. 1 50 60 1 0 0 1000 F. P. 4/5 1 0 1/25 0 10 * (1/25) F. 2 2 2 0 0 1 22 Con la fila pivote procedemos a restar los elementos que se encuentran dentro de la Columna pivote, empezando con la función Objetivo.

F.P. 4/5 1 0 1/25 0 10 *(150) F.O. -140 -150 0 0 0 0 F.P. 120 150 0 6 0 1500 F.O. -140 -150 0 0 0 0

-20 0 0 6 0 1500 Nueva F.O.

F.P. 4/5 1 0 1/25 0 10 *(-60) F.1. 50 60 1 0 0 1000 F.P. -48 -60 0 -12/5 0 -600 F.1. 50 60 1 0 0 1000

2 0 1 -12/5 0 400 Nueva F.1.

F.P. 4/5 1 0 1/25 0 10 *(-2) F.2. 2 2 0 0 1 22 F.P. -8/5 -2 0 -2/25 0 -20 F.2. 2 2 0 0 1 22

2/5 0 0 -2/25 1 2 Nueva F.2.

C.P.

Dividir el L.D. con la C.P. y elegir el mínimo para saber cuál es la F.P.


Paso #4

Tabla #3

X1 X2 H3 H4 H5 L.D.

F.O. -20 0 0 6 0 1500 F. 1 2 0 1 -12/5 0 400 (400/2)= 200 � F. P. 4/5 1 0 1/25 0 10 10/(4/5)= 50/4 = 12,5 �

F. 2 2/5 0 0 -2/25 1 2 2/(2/5) =10/2= 5�

Nuevo E.P y se eliminara en la tabla #4

Paso #5 Se sigue trabajando en caso de que en la F.O. exista algún elemento negativo y se pasa al paso #2 (que ya se hizo en la tabla #3) sucesivamente hasta eliminar todos los elementos negativos de la F.O

Tabla #4 X1 X2 H3 H4 H5 L.D.

F.O. -20 0 0 6 0 1500 F. 1 2 0 1 -12/5 0 400 F. 2 4/5 1 0 1/25 0 10 * (5/2) F. P. 1 0 0 -1/5 5/2 5

F.P. 1 0 0 -1/5 5/2 5 *(20) F.O. -20 0 0 6 0 1500 F.P. 20 0 0 -4 50 100 F.O. -20 0 0 6 0 1500

0 0 0 2 50 1600 Nueva F.O.

F.P. 1 0 0 -1/5 5/2 5 *(-2) F.1. 2 0 1 -12/5 0 400 F.P. -2 0 0 -2/5 -5 -10 F.1. 2 0 1 -12/5 0 400 0 0 1 -14/5 -5 390

Nueva F.1.

F.P. 1 0 0 -1/5 5/2 5 *(-4/5) F.2. 4/5 1 0 1/25 0 10 F.P. -4/5 0 0 4/25 -2 -4 F.2. 4/5 1 0 1/25 0 10

0 1 0 1/5 -2 6 Nueva F.2.

Se hizo lo mismo del paso #3

E.P.


Tabla #5 Solución Optima

X1 X2 H3 H4 H5 L.D. F.O. 0 0 0 2 50 1600 F. 1 0 0 1 -14/5 -5 390 F. 2 0 1 0 11/5 -2 6 F. P. 1 0 0 -1/5 5/2 5

Interpretación:

)*�+ = 1600$ �1 = 5./01*123, �2 = 6./01*123, 43 = 39045/78 . 44 = 045/78 , 45 = 045/789 • Para maximizar las utilidades a 1600$ se debe producir 5 unidades de Lager y 6 unidades de Pilsen, siendo los valores de las variables de Holguras:

Ejemplo 3.-

Función Objetivo Max Z = 4.000x1 + 5.000x2 125x1 + 200x2 ≤ 600 150x1 + 100x2 ≤ 500 72x1 + 27x2 ≤ 400

Paso 1: Llevar a la igualdad todas las ecuaciones.

F.O. -4.000x1 – 5.000x2 = 0 125x1 + 200x2 + H3 = 600

150x1 + 100x2 + H4 = 500

72x1 + 2x3 + H5 = 150

Paso 2: Armar tabla inicial.

� Para elegir la columna pivote se debe tomar en cuenta cuya cifra sea la más negativa entre las

variables (xn) de la Función Objetivo.

� Para escoger la fila pivote se debe dividir las cifras de la columna pivote con el Lado Derecho, los

resultados que salgan negativos o infinitos no se toman en cuenta, se debe escoger el número menor

positivo.

� La intersección de la columna pivote con la fila pivote es el elemento pivote (siempre debe ser 1).

TABLA INICIAL

X1 X2 H3 H4 H5 L.D. - 4.000 -5.000 0 0 0 0 0/-5.000=∞�

125 200 1 0 0 600 600/200= 3�

150 100 0 1 0 500 500/100= 5� 72 27 0 0 1 400 400/27= 14,81�

� Convertir el elemento pivote en “1”, multiplicando la fila pivote en este caso por 200.

)*:1 = 39045/789 )*:2 = 045/78 )*:3 = 045/789

Restricciones

Columna Pivote

F.O. Fila Pivote Fila 1 Fila 2

Elemento Pivote

Se hizo lo mismo del paso #4


INTERACCIÓN # 2

X1 X2 H3 H4 H5 L.D. F.O. - 875 0 25 0 0 15.000

F.P. 5/8 1 1/200 0 0 3 * (200)

F.1. 175/2 0 -1/2 1 0 200 F.2. 441/8 0 -27/200 0 1 319

� Con la fila pivote procedemos a restar los elementos que se encuentran dentro de la columna pivote,

empezando con la función Objetivo.

F.P. 5/8 1 1/200 0 0 3 *(5.000) F.O. -4.000 -5.000 0 0 0 0 F.P. 3.125 5.000 25 0 0 15.000 F.O. -4.000 -5.000 0 0 0 0

-875 0 25 0 0 15.000 Nueva F.O.

F.P. 5/8 1 1/200 0 0 3 *( -100) F.1 150 100 0 1 0 500 F.P. -125/2 -100 -1/2 0 0 -300 F.1 150 100 0 1 0 500 175/2

0 -1/2 1 0 200 Nueva F.1

F.P. 5/8 1 1/200 0 0 3 *( -27) F.2 72 27 0 0 1 400 F.P. -135/8 -27 -27/200 0 0 -81 F.2 72 27 0 0 1 400 441/8

0 -27/200 0 1 319 Nueva F.2


� Construir una nueva tabla con las nuevas filas, y escoger nuevamente la columna pivote cuando se

presenta un número negativo en las variables de la función objetivo (escoger el más negativo).

INTERACCIÓN # 3 X1 X2 H3 H4 H5 L.D.

F.O. - 875 0 25 0 0 15.000

15.000 / -875=∞�

F.P. 5/8 1 1/200 0 0 3 3 / 5/8= 4,8�

F.1. 175/2 0 -1/2 1 0 200 200 / 175/2= 2,29 5�

F.2. 441/8 0 -27/200 0 1 319

319 / 441/8= 5,79�

� Convertir el elemento pivote en “1”, multiplicando la fila pivote en este caso por 2/175.

� Con la fila pivote procedemos a restar los elementos que se encuentran dentro de la columna pivote,

empezando con la función Objetivo.

F.P. 1 0 -1/175 2/175 0 16/7 *(875) F.O. -875 0 25 0 0 15.000 F.P. 875 0 -5 10 0 200 F.O. -875 0 25 0 0 15.000

0 0 20 10 0 17.000 Nueva F.O.

F.P. 1 0 -1/175 2/175 0 16/7 *(-5/8) F.1 5/8 1 1/200 0 0 3 F.P. -5/8 0 1/280 -1/140 0 -10/17 F.1 5/8 1 1/200 0 0 3

0 1 3/350 -1/140 0 11/7 Nueva F.1

INTERACCIÓN # 4 X1 X2 H3 H4 H5 L.D.

F.O. - 875 0 25 0 0 15.000

F.P. 5/8 1 1/200 0 0 3

F.1. 1 0 -1/175 2/175 0 16/7

F.2. 441/8 0 -27/200 0 1 319


F.P. 1 0 -1/175 2/175 0 16/7 *(-441/8) F.2 -441/8 0 -27/200 0 1 319 F.P. 441/8 0 63/200 -63/100 0 -126 F.2 -441/8 0 -27/200 0 1 319

0 0 9/50 -63/100 1 193 Nueva F.2

� Construir una nueva tabla con las nuevas filas, toda la Función Objetivo ahora es positiva, concluyendo

así el ejercicio.

Max Z = 17.000 Bs. X1 = 16/7 =3 ; H3 = 0 Maquina. 1 X2 = 11/7 =2; H4 = 0 Maquina. 2 H5 = 193 Maquina. 3

� Interpretación:

Para maximizar las utilidades a 17.000 Bs. se debe producir 16/7 unidades del producto T1, 11/7 unidades del producto T2, siendo el valor de las variables de holgura: Maquina 1 = 0 hr/und. ; Maq.2 = 0 hr/und. ; Maq.3 = 193 hr/und.

2.4. Soluciones Especiales del método simplex 2.4.1.1 SIN SOLUCION FACTIBLE

X1 X2 X3 H4 A5 -3+M 0 0 0 M 12 -2 0 -2 1 0 6 0 1 ½ 0 0 10 -1 0 -1 0 1 5

Se dice que no hay solución factible, cuando cualquier solución óptima obtenida, por el método de la M, contiene al menos una variable artificial distinta de cero

SOLUCIÓN OPTIMA

X1 X2 H3 H4 H5 L.D.

F.O. 0 0 20 10 0 17.000

F.1. 0 1 3/350 -1/140 0 11/7

F.P. 1 0 -1/175 2/175 0 16/7

F.2. 0 0 9/50 -63/100 1 193


2.4.1.2 NO HAY VARIABLE BASICA QUE SALE (SOLUCION N O ACOTADA) X1 X2 H3 H4 H5 -3 2 0 0 0 0 -2 0 1 0 0 6 0 2 0 1 0 10 -1 2 0 0 1 5

Note que se tiene una variable básica de entrada X1.Al encontrar a la variable de salida, nos encontramos con que todos los coeficientes de la Columna pivote son ceros y/o negativos. Esto significa que las restricciones no impiden el crecimiento indefinido de la función objetivo. En este caso el Método Simplex se detiene y se dice que la solución es no acotada ya que es imposible lograr ganancias infinitas. 2.4.1.3 SOLUCION ÓPTIMA MULTIPLE

X1 X2 H3 H4 H5 0 0 0 0 1 18 1 0 1 0 0 4 0 0 3/2 1 -1/2 3 0 1 -3/2 0 1/2 3

Existen varias soluciones óptimas múltiples cuando al menos una variable no básica tiene coeficiente cero en la ecuación cero final (FO). En este ejercicio H3 tiene coeficiente cero.

2.4.1.4 EMPATE PARA LA VARIABLE BASICA QUE SALE = D EGENERACION

Observe que: X1 es la variable básica de entrada. Al encontrar a la variable de salida, nos encontramos con que existe un empate entre H3 y H5 al encontrar la menor razón: Se recomienda romper el empate arbitrariamente.


METODO SIMPLEX “M” (CASO MINIMIZACIÓN) También conocido como Método M grande

Directamente no se lo puede resolver un problema de minimización. No obstante, se lo convierte en una maximización y se resuelve como si fuera una maximización, después se cambia “-Z” a Min “Z”. Es decir:

Min ( Z ) = Max ( - Z ) Para plantear una solución básica factible, tanto en una minimización como en una maximización se deben considerara el signo de cada restricción siguiendo la siguiente regla:

Signo Variables

= Se adiciona una variable Artificial

≥ Se introduce a la restricción una

variable de holgura y una variable artificial.

≤ Variable de holgura introducida a la ecuación de la FO

Veamos el siguiente cuadro resumen:

Restricciones Ecuaciones F.O. Max Z F.O. Min Z

= +A -MA +MA

≥ -H +A -MA +MA

≤ +H

57 UTEPSA – MATEMATICA II ADMINISTRATIVA

Ejercicio #1 Método “M” Se pide Minimizar Z= 3x1 +2x2 +4x3

Sujeto a: 2�1 + 2�2 + 3�3 ≥ 15 2�1 + 3�2 + �3 ≤ 12 �1, �2, �3 ≥ 0

Nota: En los casos de minimización, en la Función Objetico se asigna una variable M o más dependiendo de la cantidad de variables Artificiales que hayan en el problema.

Minimizar z= 3x1 +2x2 +4x3 Maximizar (-z) = -3x1 -2x2 -4x3

Paso #1 Llevar a la forma de igualdad las ecuaciones FO= -3x1 -2x2 -4x3 -MA5 Restricciones: 3x1 + 2x2 + 4x3 +MA5 = 0

2x1 + 2x2 +3x3 –H4 +A5 = 15 2x1 + 3x2 +x3 +H6 = 12

Paso #2 Armar la Tabla Inicial y Acerar la M de la Variable Artificial que se encuentra en la F.O.

Tabla #1 Tabla Inicial

X1 X2 X3 H4 A5 H6 L.D. F.O. 3 2 4 0 M 0 0 F. P1 2 2 3 -1 1 0 15 2 3 1 0 0 1 12

F.P1. 2 2 3 -1 1 0 15 *(-M) F.O. 3 2 4 0 M 0 0 F.P1. -2M -2M -3M M -M 0 -15M F.O. 3 2 4 0 M 0 0 3-2M 2-2M 4-3M M 0 0 -15M

Paso #3 Aplicamos el Método de M=100 dependiendo de la cantidad de los otros valores M puede tomar valores entre 10-100-1000. Luego se resuelve como el método simplex, el cual consistía en eliminar todos los elementos negativos de la F.O solo que en este caso el L.D. debe ser un numero negativo

Condición de no negatividad

Nueva F.O.

Restricciones


Tabla #2

X1 X2 X3 H4 A5 H6 L.D.

F.O. -197 -198 -296 100 0 0 -1500 �

F. P. 2 2 3 -1 1 0 15 (15/3)= 5 �

F.1 2 3 1 0 0 1 12 (12/1) =12 �

Elemento Pivote

Paso #4 Volver 1 el elemento Pivote y restar los demás elementos de la C.P con la F.O y F.1 hasta que esos elementos se vuelvan 0

Tabla #3

X1 X2 X3 H4 A5 H6 L.D. F.O. 1/3 -2/3 0 4/3 296/3 0 -20 F. P. 2/3 2/3 1 -1/3 1/3 0 5 *(1/3) F.1 4/3 7/3 0 1/3 -1/3 1 7

F.P. 2/3 2/3 1 -1/3 1/3 0 5 *(296) F.O. -197 -198 -296 100 0 0 -1500 F.P. 592/3 592/3 296 -296/3 296/3 0 1480 F.O. -197 -198 -296 100 0 0 -1500 1/3 -2/3 0 4/3 296/3 0 -20

F.P. 2/3 2/3 1 -1/3 1/3 0 5 *(-1) F.1 2 3 1 0 0 1 12 F.P. -2/3 -2/3 -1 1/3 -1/3 0 -5 F.1 2 3 1 0 0 1 12 4/3 7/3 0 1/3 -1/3 1 7

Paso #5 Si llegase a existir un elemento negativo en la F.O volvemos a eliminar todos los elementos negativos de la F.O solo que en este caso el L.D. debe ser un numero negativo

Tabla #4

X1 X2 X3 H4 A5 H6 L.D. F.O. 1/3 -2/3 0 4/3 296/3 0 -20 � F. 1 2/3 2/3 1 -1/3 1/3 0 5 5/(2/3)= 7,5 �

F.P. 4/3 7/3 0 1/5 -1/3 1 7 7/(7/3) = 3 �

F.P. 4/7 1 0 3/35 -1/7 3/7 3 *(2/3) F.O. 1/3 -2/3 0 4/3 296/3 0 -20 F.P. 8/21 2/3 0 2/35 -2/21 2/7 2 F.O. 1/3 -2/3 0 4/3 296/3 0 -20 5/7 0 0 146/105 690/7 2/7 -18

Nueva F.1

Nueva F.O.

Nueva F.O.


F.P. 4/7 1 0 1/7 -1/7 3/7 3 *(-2/3) F.1 2/3 2/3 1 -1/3 1/3 0 5 F.P. -8/21 -2/3 0 -2/21 2/21 -2/7 -2 F.1 2/3 2/3 1 -1/3 1/3 0 5 2/7 0 1 -3/7 3/7 -2/7 3

Realizamos el paso #4 Tabla #5 Tab la Solución Optima

X1 X2 X3 H4 A5 H6 L.D. F.O. 5/7 0 0 10/7 690/7 2/7 -18 F. 1 2/7 0 1 -3/7 3/7 -2/7 3

4/7 1 0 1/7 -1/7 3/7

3

Interpretación Max (-Z) = -18 Min z = 18 X1= 0 Unidades H4 = 0 [Hrs/Maq] X2 =3 Unidades H6 = 0 [Hrs/Maq] X3 = 3 Unidades A5 = 0 Para minimizar los gastos a 18bs se deben enviar 0 unidades del producto x1, 3 unidades del producto x2 y 3 unidades del producto x3 teniendo en cuenta los siguientes valores de las variables de Holguras: H4 = 0 [Hrs/Maq] H6 = 0 [Hrs/Maq]

Ejercicio #2 Método “M” La Heladería DUMBO produce cuatro tipos de helados diferentes utilizando ciertas materias primas Esencias de frutas y leche. Dada la distancia existente entre el almacén proveedor y las heladerías, el almacén proveedor establece una norma para utilizar la materia prima, que el consumo mínimo mensual de esencias y leche debe ser de 5600 y 8700 litros. La estructura del proceso productivo es la siguiente:

PlafPlaf (x1) Meneito (x2) Disponibilidad Esencias de frutas 20 15 560 Leche 30 25 870 Utilidad 90 80

El coste de producción por paquete es, de 90Bs, 80Bs respectivamente. ¿Cuál debe ser la distribución de la producción para que los costes sean mínimos? Paso 1: X1: Cantidad a producir de helados PlafPlaf. X2: Cantidad a producir de helados Meneito.

Min Z = 90x 1 + 80x2

20x1 + 15x2 ≥ 560 30x1 + 25 x2 ≥ 870

x1, x2, ≥ 0

Nueva F.1


Max (- Z) = -90x1 - 80x2- MA4 – MA6

Paso 1: Igualar todas las ecuaciones (solo la función objetivo cambia de signos al igualar a 0).

20x1 + 15x2 – H3 + MA4 = 560 30x1 + 25x2 -H5 + A6 = 870

X1 X2 H3 A4 H5 A6 LD 90 80 0 M 0 M 0 20 15 -1 1 0 0 560 30 25 0 0 -1 1 870

F.P. -20M -15M M -M 0 0 -560M (-M) F.P. -30M -25M 0 0 M -M -870M (-M) F.O: 90 80 0 M 0 M 0 90-50M 80-40M M 0 M 0 -1430M -4910 -3992 100 0 100 0 -143000 NUEVO

F.O

TABLA I

X1 X2 H3 A4 H5 A6 LD -4910 -3992 100 0 100 0 -143000

20 15 -1 1 0 0 560

30 25 0 0 -1 1 870


TABLA I

X1 X2 H3 A4 H5 A6 LD 0 -619/2 -219/2 491/2 100 0 -5520 1 3/4 -1/20 1/20 0 0 28 0 5/2 3/2 -3/2 -1 1 30

F.P. 1 3/4 -1/20 1/20 0 0 28 (4910)

F.O. -4910 -3992 100 0 100 0 -143000 F.P. 4910 7365/2 -491/2 491/2 0 0 137480 F.O. -4910 -3992 100 0 100 0 -143000

0 -619/2 -291/2 491/2 100 0 -5520 Nueva F.O.


F.P. 1 3/4 -1/20 1/20 0 0 28 (-30)

F.O. 30 25 0 0 -1 1 870 F.P. -30 -45/2 3/2 -3/2 0 0 -840 F.O. 30 25 0 0 -1 1 870 0 5/2 3/2 -3/2 -1 1 30 Nueva

F.1.

TABLA 2

X1 X2 H3 A4 H5 A6 LD 0 -619/2 -219/2 491/2 100 0 -5520 1 3/4 -1/20 1/20 0 0 28

0 5/2 3/2 -3/2 -1 1 30


TABLA 2

X1 X2 H3 A4 H5 A6 LD 0 0 381/5 299/5 -119/5 619/5 -1806 1 0 -1/2 1/2 3/10 -3/10 19 0 1 3/5 -3/5 -2/5 2/5 12

F.P. 0 1 3/5 -3/5 -2/5 2/5 12 (619/2)

F.O. 0 -619/2 -219/2 491/2 100 0 -5520 F.P. 0 619/2 1857/10 -1857/10 -619/5 619/5 3714 F.O. 0 -619/2 -219/2 491/2 100 0 -5520 0 0 381/5 299/5 -119/5 619/5 -1806 Nueva

F.O.

F.P. 0 1 3/5 -3/5 -2/5 2/5 12 (-3/4)

F.O. 1 3/4 -1/20 1/20 0 0 28 F.P. 0 -3/4 -9/20 9/20 3/10 -3/10 -9 F.O. 1 3/4 -1/20 1/20 0 0 28 1 0 -1/2 1/2 3/10 -3/10 19 Nueva

F.1.

TABLA 3

X1 X2 H3 A4 H5 A6 LD 0 0 381/5 299/5 -119/5 619/5 -1806

1 0 -1/2 1/2 3/10 -3/10 19

0 1 3/5 -3/5 -2/5 2/5 12



TABLA 4

X1 X2 H3 A4 H5 A6 LD 10/3 0 548/15 1492/15 0 100 -896/3

10/3 0 -5/3 5/3 1 -1 190/3

4/3 1 -1/15 1/15 0 0 112/3

F.P. 10/3 0 -5/3 5/3 1 -1 190/3 (119/5)

F.O. 0 0 381/5 299/5 -199/5 619/5 -1806 F.P. 10/3 0 -119/3 119/3 119/5 -119/5 4522/3 F.O. 0 0 381/5 299/5 -199/5 619/5 -1806 10/3 0 548/15 1492/15 0 100 -896/3 Nueva

F.O.

F.P. 10/3 0 -5/3 5/3 1 -1 190/3 (2/5)

F.O. 0 1 3/5 -3/5 -2/5 2/5 12 F.P. 4/3 0 -2/3 2/3 2/5 -2/5 76/3 F.O. 0 1 3/5 -3/5 -2/5 2/5 12 4/3 1 -1/15 1/15 0 0 112/3 Nueva

F.1.

SOLUCIÓN OPTIMA

X1 X2 H3 A4 H5 A6 LD 10/3 0 548/15 1492/15 0 100 -896/3 10/3 0 -5/3 5/3 1 -1 190/3 4/3 1 -1/15 1/15 0 0 112/3

Max (- Z) = -896/3 Min Z = 896/ 3

X1= 0, X2 =112/3 H3=0 A4=0 H5=190/3 A6=0

Para minimizar los gastos a 896/3 bs se deben producir 0 unidades del producto x1, 38 unidades del producto x2 teniendo en cuenta los siguientes valores de las variables de Holguras: H3 = 0 [Hrs/Maq] H5 = 190/3 [Hrs/Maq]


ELABORACION DE MODELOS (PLANTEAMIENTOS)

En la elaboración de modelos se trata de transformar un problema real a un modelo matemático (formado por variables, restricciones y una función objetivo).

Ejercicio #3

Una compañía carbonífera es propietaria de dos minas, la primera produce diariamente como máximo 1 Ton de carbón de alta calidad, 4 Ton de mediana calidad y 6 Ton de carbón de baja calidad; la segunda mina puede producir como máximo 4 Ton de carbón de alta calidad, 4 de mediana y 2 de baja calidad. Asimismo, a la compañía le cuesta 100 $us/Día la operación de la mina I y 150 $us/Día la mina II.

La compañía tiene pedidos arriba de 80, 160 y 120 Ton de carbón de alta, mediana y baja calidad respectivamente.

El problema consiste en determinar cuántos días debe trabajar cada mina para minimizar los costos de operación.

0. ARMAR UNA TABLA CON LOS DATOS

Calidad Producción

Mina I [Ton/Día]

Producción Mina II

[Ton/Día]

Demanda [Ton]

Alta 1 4 80 Mediana 4 4 160 Baja 6 2 120

Costo 100 [$US/Día]

150 [$US/Día]

DEFINIR LAS VARIABLES

X1 = Número de días que debe trabajar la mina I [Días]

X2 = Número de días que debe trabajar la mina II [Días]

ENCONTRAR LAS RESTRICCIONES

DEMANDA CARBON DE ALTA 1X1 + 4X2 ≥ 80 DEMANDA CARBON DE MEDIANA 4X1 + 4X2 ≥ 160 DEMANDA CARBON DE BAJA 6X1 + 2X2 ≥ 120 X1, X2 ≥ 0

Nota1: Las variables en este caso están asociadas a los costos.

Nota2: Debe verificar que las unidades en ambos lados de cada restricción sean equivalentes. Esta es la mejor prueba para verificar un planteo correcto. Nota3: Observe que la FO corresponde al total de los costos originados por los días de producción de cada Mina.


DEFINIR LA FUNCION OBJETIVO

Minimizar Z = 100X1 + 150X2

Ejercicio #4 Una pequeña carpintería, fabrica sillas y mesas. La misma, tarda dos horas en ensamblar una mesa, y 30 minutos en armar una silla. El ensamblaje lo realizan cuatro trabajadores en un solo turno de 8 horas. Los clientes suelen comprar el juego (4 sillas y una mesa) cuando la mesa se vende a 135 Bs. y 50 Bs. cada silla.

Determine la combinación óptima de sillas y mesas en la carpintería a través de un modelo matemático.

0. ARMAR UNA TABLA CON LOS DATOS

TIEMPOS D E ENSAMBLE

[HR/UNIDAD]

RELACION ENTRE LOS

PRODUCTOS

PRECIOS [$US/UNIDA

D] MESA X 2

4X = 1Y 135

SILLA Y 1/2 50 DISPONIBILIDAD

[HR] 4TRAB x 8 HR = 32

1. DEFINIR LAS VARIABLES

X = Cantidad de mesas a producir [Unidad]

Y = Cantidad de sillas a producir [Unidad]

2. ENCONTRAR LAS RESTRICCIONES

TIEMPOS DE ENSAMBLE 2X + 1/2Y ≤ 32 RELACION ENTRE PRODUCTOS 4X − 1Y = 0 X , Y ≥ 0

3. DEFINIR LA FUNCION OBJETIVO

Maximizar Z = 135X + 50Y

Nota1: Las variables en este caso están asociadas a los precios.

Nota2: Debe verificar que las unidades en ambos lados de cada restricción sean equivalentes. Nota3: Observe que la FO corresponde al total de los ingresos originados por los 2 productos.


Ejercicio # 5 Un agricultor posee cerdos que consumen 90 Kg. de comida especial todos los días. El alimento se prepara como una mezcla de maíz y harina de soya con las siguientes composiciones.

Alimento Calcio

[Kg calcio/Kg de alimento]

Proteínas [Kg proteína/Kg

de alimento]

Fibra [Kg fibra/Kg de

alimento]

Costo Bs/Kg

Maíz 0.001 0.09 0.02 0.20 Harina de soya 0.002 0.60 0.06 0.06

Requisitos: 0.1% x 90 Kg = 0.09

Kg 30% x 90 Kg = 27

Kg 5% x 90 Kg = 4.5

Kg

Los requisitos diarios de alimento de los cerdos son:

A. Cuando menos 0.1% de calcio, del total que se consume.

B. Por lo menos 30% de proteínas, del total que se consume.

C. Un máximo de 5% de fibra, del total que se consume.

Determine la mezcla de alimentos con el mínimo costo por día.


X = Cantidad de maíz a mezclar diariamente [Kg]

Y = Cantidad de Harina de soya a mezclar diariamente [Kg]


MEZCLA: X + Y = 90 CANTIDAD DE CALCIO: 0.001X + 0.002Y ≥ 0.09 CANTIDAD DE PROTEINAS: 0.09X + 0.60Y ≥ 27 CANTIDAD DE FIBRA: 0.02X + 0.06Y ≤ 4.5

X , Y ≥ 0


Minimizar Z = 0.20X + 0.06Y


Nota3: Observe que la FO corresponde al total de los costos originados por los 2 alimentos.

Nota2: Debe verificar que las unidades en ambos lados de cada restricción sean equivalentes.


Ejercicio # 6 Una fábrica de alimentos por pedidos, debe producir 10.000 libras de una mezcla especial para ganado de engorde. La mezcla está compuesta de sal yodada, calcio y un pasto especial para ganado. Los costos por libra de cada componente, son de 8, 10 y 11 bolivianos respectivamente. No obstante, la fábrica no puede usar más de 3000 libras de sal yodada, debe utilizar más de 1500 libras de calcio y debe usar al menos 2000 libras de pasta.

• Calcular el número de libras de cada componente de la mezcla, a fin de reducir al mínimo el costo total de las 10000 libras. • Calcúlese el costo total más bajo posible. • ¿Existirán libras sobrantes en la fábrica, después de cumplir con el pedido?

Componente Costo [Bs/Lb]

Cantidad a usar

Total de la mezcla [Lbs.]

Sal yodada 8 ≤ 3000 Lb 10000 Calcio 10 ≥ 1500 Lb

Pasto 11 ≥ 2000 Lb


X = Cantidad de libras de sal yodada a mezclar [Lb]

Y = Cantidad de libras de calcio a mezclar [Lb]

Z = Cantidad de libras de pasto a mezclar [Lb]

Nota2:

Debe verificar que las unidades en ambos lados de cada restricción sean equivalentes.


TOTAL DE LA MEZCLA: X +Y +Z ≤ 10000 SAL YODADA: X ≤ 3000 CALCIO: Y ≥ 1500 PASTO Z ≥ 2000 X , Y, Z ≥ 0


Minimizar F = 8X + 10Y + 11Z



2.7 PROGRAMACIÓN DUAL 2.7.1 TEORIA DE LA DUALIDAD Otra forma descubierta de resolver los problemas de PL es a través del dual, este procedimiento también es usado para realizar un análisis que se denomina Análisis de Sensibilidad. 2.7.2 PRECIOS SOMBRA La tabla final del Método Simplex lleva al tema de los precios sombra… Los precios sombra son la solución del problema dual y es lo que se paga como empresa por un recurso adicional Un precio sombra es el valor de una unidad adicional de un recurso. • ¿Exactamente cuánto debe estar dispuesto a pagar una compañía por hacer disponibles los

recursos adicionales? • ¿Vale la pena obtener más tiempo de maquina con un costo de 1 ,2 o 5 dólares? • ¿vale la pena pagar a los trabajadores una cuota de tiempo extra para aumentar la producción?

…..el valor de los recursos adicionales es información valiosa para la administración. Afortunadamente, esta información está disponible en la Tabla final del Método Simplex. Una importante propiedad del renglón Z, es que los valores correspondientes a las variables de holgura (Hi) ofrecen en sus columnas lo que se llama precios sombra. Un precio sombra es el valor de una unidad adicional de un recurso en la forma de una hora más de tiempo, un Kg. más de materia prima u otro recurso escaso. Considere el siguiente ejemplo: En Muebles Hurtado debido a que las ganancias se han reducido, la gerencia decidió reorganizar la línea de producción. A partir de hoy se van a producir puertas y ventanas de mara. Después de

hacer algunas investigaciones el departamento de IO determinó en un cuadro las capacidades y requerimientos de los productos, así como las utilidades unitarias:

PRODUCTO

VENTANA PUERTA CAPACIDAD DISPONIBLE

MADERA 2 m3/Unid 3 m3/Unid 15 m3

BARNIZ -- 2 litros/Unid 6 litros

HORA MAQUINA 1 hora/ unidad

1 hora/ unidad

6 horas

UTILIDAD[$U$/ Unid] 10 12


Planteando el problema:

Max z = 10X1 + 12X2 2X1 + 3X2 ≤ 15

2X2 ≤ 6 X1 + X2 ≤ 6

X1, X2 ≥ 0

Resolviendo el problema por el Método Simplex obtenemos la siguiente tabla final:

X1 X2 H3 H4 H5 LD 0 0 2 0 6 66 1 0 -1 0 3 3 0 1 1 0 -2 3 0 0 -2 1 4 0

2.7.3 ESTADO DE LOS RECURSOS

• Si el valor de la variable de holgura, en la solución final del Método Simplex, es igual a cero

(Hi=0), entonces el recurso que corresponde a esta variable de holgura es un recurso escaso.

• Si el valor de la variable de holgura, en la solución final del Método Simplex, es distinto de cero (Hi≠0), entonces el recurso que corresponde a esta variable de holgura es un recurso abundante.

De acuerdo al ejemplo anterior:

X1 = 3 X2 = 3 H3 = 0… Recurso escaso (madera) � Y1 = 2 H4 = 0… Recurso escaso (barniz) � Y2 = 0 H5 = 0… Recurso escaso (horas maquina � Y3 = 6 Z = 66

Observe que: • no conviene adquirir unidades adicionales del recurso barniz. • conviene adquirir unidades adicionales del recurso horas máquina, ya que se

tiene mayor utilidad.

Ahora estamos en condición de darle una aplicación a los precios sombra. Al ser todos los recursos escasos en este caso (madera, barniz y horas máquina), necesitamos saber ¿cuál es el máximo precio que deberíamos pagar por obtener una unidad adicional de este recurso?, la respuesta a esta interrogante son los precios sombra.

Y1 = 2 $u$ /m3 de madera Y2 = 0 $u$ /litro de barniz Y3 = 6 $u$ /hora de máquina

Observe: Los precios sombra en el renglón Z corresponden a: Y1 = 2 Y2 = 0 Y3 = 6


También el precio sombra determina el valor marginal o la tasa a la cual aumentará la función objetivo si es que se incrementa el recurso:

unidades de NoYi Z Z' ×+= Por ejemplo: Si el recurso madera se aumenta en 1 unidad (1 m3), entonces la función objetivo aumentará en: Z’ = Z + Yi×No de unidades = 66 + 2×1= 68 $u$ Si el recurso barniz se aumenta en 1 unidad (1 litro), entonces la función objetivo aumentará en: Z’ = Z + Yi×No de unidades = 66 + 0×1= 66 $u$

Si el recurso hora máquina se aumenta en 1 unidad (1 hora), entonces la función objetivo aumenta en: Z’ = Z + Yi×No de unidades = 66 +6×1=72 $u$

2.7.4 CAMBIOS EN LOS RECURSOS Asociado a todo problema de P.L, existe otro problema lineal llamado dual. Por tanto al problema original se le llama primal.

Problema Primal Problema Dual Lado derecho Función Objetivo

# de restricciones --------------------> # Variables

2.7.5 CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES DE LA FUNCION OBJETIVO Problema Primal Problema Dual Función Objetivo Lado derecho

# Variables --------------------> # de restricciones Por ejemplo: Problema Primal Problema Dual

Max Z = 34 X1 + 40 X2 Min W = 48 Y1 + 18 Y2 + 16 Y3

Sujeto a: 4 X1 + 6 X2 ≤ 48 4 Y1 + 2 Y2 + 2 Y3 ≥ 34 2 X1 + 2 X2 ≤ 18 Y1 + 2 Y2 + Y3 ≥ 40 2 X1 + X2 ≤ 16


METODO DUAL Para pasar de la forma primal (La forma primal son las primeras inecuaciones que se hallan al realizar la programación lineal):

FORMA PRIMAL

A dual el lado derecho pasa a ser función objetivo MIN W:

MIN W = 100 y1 + 210 y2 + 144 y3

Luego se debe leer de forma vertical las restricciones:

La función objetivo se convierte en el Lado derecho y se Cambian las variables de X a Y y la función objetivo se vuelve lado derecho:

5;� + 9;� + 6;� ≤ 10000 10;� + 18;� +;� ≤ 18000

Además de cambiar el símbolo de la desigualdad de menor igual a mayor igual:

5;� + 9;� + 6;� ≥ 10000 10;� + 18;� + ;� ≥ 18000

)0/< = 100;� + 210;� + 144;�

Y luego proceder a resolver por METODO M (se elige este método porque el método simplex se usa solo para maximizar utilidades, y además en la función objetivo no han aparecido negativos aun por lo que no se puede resolver aun)


PASO 1) LLEVAR A LA IGUALDAD : Para llevar la ecuación a la igualdad primero se lleva de MIN Z a MAX (-W) para que de esta manera aparezcan los negativos

)��−<� = −100;� − 210;� − 144;� −)�= −)�>

Luego se realiza el paso de llevar a la igualdad aumentando dos variables más, una holgura (H) y una artificial (A) que se pone a restar y sumar respectivamente; la variable artificial se aumenta a la función MAX (-W) con un coeficiente M y signo negativo para luego despejarlo. :

100;� + 210;� + 144;� +)�= +)�> = 0

5;� + 9;� + 6;� − 4' + �= = 10000 10;� + 18;� + ;� − 4( + �> = 18000

Una vez realizados los pasos iníciales nuestro objetivo es eliminar el valor de M además de reemplazarlo con 100, 1000 o cuanto requiera el caso puesto que M es un número muy alto, también se puede notar que la nueva función objetivo no contiene negativos por lo que tendremos que hacerlos aparecer mediante un cálculo auxiliar.

En este caso utilizaremos el valor de M = 100

Luego de encontrar la nueva F.O. se debe armar la tabla inicial y proceder de la misma forma que el metodo Simplex (Al resolver un problema de forma dual se hallan los valores de “y” que son los precios sombra)

Luego de encontrar la nueva F.O. se debe armar la tabla inicial

Y1 Y2 Y3 H4 A5 H6 A7 LD -1400 -2490 -556 100 0 100 0 -2800000

5 9 6 -1 1 0 0 10000 10 18 1 0 0 -1 1 18000

y proceder de la misma forma que el metodo Simplex.


ITERACION # 1

Y1 Y2 Y3 H4 A5 H6 A7 LD -1400 -2490 -556 100 0 100 0 -2800000

5 9 6 -1 1 0 0 10000

10 18 1 0 0 -1 1 18000

ITERACION # 2

Y1 Y2 Y3 H4 A5 H6 A7 LD -16,67 0 -417,67 100 0 -38,33 138,33 -310000

0 0 5,50 -1 1 0,50 -0,50 1000

0,56 1 0,06 0 0 -0,06 0,06 1000

ITERACION # 3

Y1 Y2 Y3 H4 A5 H6 A7 LD -16,67 0 0 24,06 75,94 -0,36 100.36 234060,61

0 0 1 -0,18 0,18 0,09 -0,09 181,82

0,56 1 0 0,01 -0,01 -0,06 0,06 989,90

ITERACION # 4

Y1 Y2 Y3 H4 A5 H6 A7 LD 0 30 0 24,36 75,64 -2,18 102,18 -204363,64

0 0 1 -0,18 0,18 0,09 -0,09 181,82

1 1,80 0 0,02 -0,02 -0,11 0.11 1781,82

ITERACION # 5 Solución Òptima

Y1 Y2 Y3 H4 A5 H6 A7 LD

0 30 24 20 80 0 100 -200000

0 0 11 -2 2 1 -1 2000

1 1,80 1,20 -0,20 0,20 0 0 2000

Interpretación:

Para minimizar las utilidades a 200000 $ los precios sombra son Y1=2000 $/unid Y2= 0 $/unid y para Y3 =0 $/unid2

2 Precio sombra: es lo que se paga como empresa por un recurso adicional


• Análisis de sensibilidad:

El análisis de sensibilidad se hace para ver cuál precio que se pone la empresa como recurso adicional le conviene mejor, siendo para MIN Z el menor resultado y para MAX Z el mayor; para realizarlo se debe reemplazar en la siguiente formula los valores de los precios sombra:

?´ = ? + AB�/úD2EF12./01*123*10G0F/*H23� ?´ = 200000 + IJJJ�1� = 202000

?´ = 200000 + J�1� = 200000

?´ = 200000 + J�1� = 200000

Interpretación:

Al realizar el análisis de sensibilidad se reducen los costos a 200000 $, los precios sombra deben ser Y2= 0 $/unid o Y3 =0 $/unid aumentando una unidad adicional a la producción.

Ejercicio # 2 Resuelva el siguiente problema:

Min Z: 600 X1 + 400X2

Sujeto a:

2 x1+ x2 ≥ 8

6x1 + x2 ≥ 12

X1 + 3X2 ≥ 9

MAX (-Z)= - 600x 1 - 400x2 - MA6 - MA7 - MA8

Paso 1: llevara la forma de igualdad

600x 1 + 400x2 + MA4 + MA6 + MA8 = 0

2x1 +x2 + H3 +A4 = 8

6x1 + x2 +H5 + A6 = 12

X1 + 3X2 +H7 +A8 = 9

Iteracion # 1

X1 X2 H3 A4 H5 A6 H7 A8 LD -300 -100 100 0 100 0 100 0 -2900

2 1 -1 1 0 0 0 0 8

6 1 0 0 -1 1 0 0 12

1 3 0 0 0 0 -1 1 9


Iteracion # 2 ∗

X1 X2 H3 A4 H5 A6 H7 A8 LD 0 -50 100 0 50 50 100 0 -2300 0 0,67 -1 1 0,33 -0,33 0 0 4 1 0,17 0 0 -0,17 0,17 0 0 2

0 2,83 0 0 0,17 -0,17 -1 1 7

Iteracion # 3 (solucion optima)

X1 X2 H3 A4 H5 A6 H7 A8 LD

0 0 100 52,94 82,35 0 47,06 17,65 -2176,47

0 0 -1 0,29 0,24 1 -0,29 -0,24 2,35

1 0 0 -0,18 0,06 0 0,18 -0,06 1,59

0 1 0 0,06 -0,35 0 -0,06 0,35 2,47

Precio sombra: en este caso el precio sombra se encuentra ubicado en el primer cuadro de la columna de cada holgura

X1 X2 H3 A4 H5 A6 H7 A8 LD

0 0 100 52,94 82,35 0 47,06 17,65 -2176,47

0 0 -1 0,29 0,24 1 -0,29 -0,24 2,35 1 0 0 -0,18 0,06 0 0,18 -0,06 1,59 0 1 0 0,06 -0,35 0 -0,06 0,35 2,47

Interpretación: Para minimizar los costos a 2176,47 $, se debe producir 2 unidades del producto 1 y 3 unidades del producto 2. Los precios son:

Y1 = 100$/ unid Y2=82,35 $/ unid Y3=47,06 $/ unid

• Análisis de sensibilidad:

El análisis de sensibilidad se hace para ver cuál precio que se pone la empresa como recurso adicional le conviene mejor, siendo para MIN Z el menor resultado y para MAX Z el mayor; para realizarlo se debe reemplazar en la siguiente formula los valores de los precios sombra:

?´ = ? + AB�/úD2EF12./01*123*10G0F/*H23� ?´ = 2176.47 + 10J�1� = 2276.47

?´ = 2176.47 + 82.35�1� = 2258.82

?´ = 2176.47 + KL. JM�1� = 2223.53

Interpretación: Al realizar el análisis de sensibilidad se reducen los costos a 2223.53 $ con el menor precio sombra igual a Y3 =47.06 $/und si se desea aumentar una unidad adicional a la producción.


UNIDAD 3 PROGRAMACION LINEAL MODELO TRANSPORTE OBJETIVOS .

• El objetivo primordial del modelo de transporte es determinar las cantidades a enviar desde cada punto de origen (fábricas), hasta cada punto de destino (almacenes, bodegas, depósitos), que minimicen el costo total de envío , al mismo tiempo que satisfagan tanto los límites de la oferta como los requerimientos de la demanda. • Establecer un método que regula el transporte de mercancías de varias fuentes a varios destinos. • Indica el nivel de oferta que tiene cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino. • Determinar el costo de transporte unitario de la mercancía enviado por el proveedor a cada destino. • Identificar una o varias fuentes (proveedores) que puedan abastecer y satisfacer a su destino siguiendo la mejor ruta que minimice los costos de transporte. TEORIA DEL MODELO DE TRANSPORTE

El propósito del modelo de transporte es encontrar los medios menos costosos para embarcar abastos desde varios orígenes a varios destinos. Los puntos de origen o fuentes pueden ser fábricas, almacenes o cualquier otro de los puntos desde donde se embarcan los bienes. Los destinos son cualquiera de los puntos que reciben los bienes. Para utiliza el modelo de transporte es necesario tener:

1. Puntos de origen y la capacidad de cada uno

2. Los puntos de destino y la demanda de cada uno

3. Los costos de embarque por unidad desde cada origen a cada destino

Si bien el modelo de transporte se puede resolver a través del Método Simplex, resulta conveniente resolverlo de otra manera. Existen diferentes métodos de solución de modelo de transporte, nosotros estudiamos los siguientes tres:

A. Método de la Esquina Noroeste.

B. Método de la Matriz Mínima.

C. Método de Vogel-

La forma estándar tabular del modelo viene dado por

Donde

C i j = Costo unitario de transporte desde el origen hasta el destino

X i j = Cantidad a transportar desde el origen hasta el destino

Es importante hacer notar que un requerimiento del problema de transporte es que el sistema es equilibrado o dicho de otra manera:

Sumatoria de la Demanda = Sumatoria de la Oferta

Nota.- En el caso de no estar equilibrado se aumenta una fila o una columna donde corresponde

con la cantidad necesaria para equilibrar el sistema.


EJEMPLO 1

“La compañía de computación “Cruz SRL”, está distribuida en la red troncal del país. (Santa Cruz - Cochabamba - La Paz).

La sucursal de Cochabamba, tiene una capacidad de producción anual de 2000 unidades. Cada una de las otras, pueden producir un máximo de 1700 unidades al año. Estas computadoras, se venden en cuatro tiendas detallistas del país, ubicados en el Beni, Oruro, Tarija y Pando respectivamente. Estas tiendas tienen anualmente los siguientes pedidos: Beni ==> 1700 Computadoras al año Oruro ==> 1000 Computadoras al año Tarija ==> 1500 Computadoras al año Pando ==> 1200 Computadoras al año

Los costos de transporte de la empresa “Cruz SRL”, desde la planta de ensamblado hasta cada tienda detallista, por cada computadora, viene dada en el siguiente cuadro.

Planta Ensambladora


Beni Oruro Tarija Pando Santa Cruz 5 3 2 6

Cochabamba 4 7 8 10

La Paz 6 5 3 8

Paso 1 Diagrama de re des de transporte

O1

D2

O2

D3

O3

D1

D4

Oruro

Beni

Tarija

Pando

1700

2000

1700

Cochabamba

Santa Cruz

La Paz

x11

x12

x13 x14

x31 x32

x33

x34

x21 x22

x23

x24

5 4 6

3 7 5

2 8 3

6 10

8

1700

1000

1500

1200

Origen (Salida)

Destino (Llegada)


Paso 2: (Identificación de Variables) Pueden ser:

xST = x13 = Número de computadoras enviadas desde Santa Cruz hasta Tarija.

Planta Ensambladora


Beni Oruro Tarija Pando Santa Cruz x11 x12 X13 x14

Cochabamba x21 x22 X23 x24

La Paz x31 x32 X33 x34

Paso 3: Identificación de las restricciones

“La cantidad transportada no debe exceder la capacidad de la fábrica.” x11 + x12 + x13 + x14 ≤1700 (Santa Cruz) x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 2000 (Cochabamba) x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 1700 (La Paz)

“La cantidad transportada no debe satisfacer su demanda.” x11 + x21 + x31 = 1700 (Beni) x12 + x22 + x32 = 1000 (Oruro) x13 + x23 + x33 = 1500 (Tarija) x14 + x24 + x34 = 1200 (Pando)

Paso 4: Identificación de la función objetivo

Forma verbal:

“Minimizar los costos de transporte desde la planta ensambladora a cada una de las tiendas de venta”.

Descomposición:

+

+

LaPazdesde

transportedeCosto

Cochabambadesde

transportedeCosto

CruzSantadesde

transportedeCostoMinimizar

Paso 5: (Método de solución) Hay muchos métodos en la actualidad, entre los principales tenemos: a) Esquina Noroeste, b) Matriz mínima, c ) Método de Vogel

Nota.- Los problemas de transporte no equilibrado, se verán más adelante.


Hay que seguir los siguientes pasos:

Paso 6A: Hallar el plan de transporte inicial

Identifique la celda, donde el costo sea el más barato. Si hay más de uno, se elige al azar.

Ej. Fila 1 y columna 3, costo de 2 $us./Unidad.

Envíe cuantas unidades le sea posible en esa celda, siempre y cuando sea el número menor, entre el suministro y la demanda.

Anule la fila o la columna donde el resultado, después de la resta, sea 0 (cero).

Si en ambos lugares (suministro y demanda) dan cero, se convierte en un caso especial de DEGENERACIÓN, que se analizará por separada.

Se repite el proceso hasta obtener:

m + n -1 ---> Celdas no vacías y sin ciclo alguno

3 + 4 – 1 = 6 Celdas, no vacías.

Luego se busca el siguiente de menor costo, celda 3, está en fila 1 columna 2.

El siguiente número mayor, es 4, es decir, Fila 1 y Columna 1:


El siguiente es el número 5, o sea, fila 3, columna 2; para luego seguir con el número 8, fila 3, columna 4 y finalmente, el sin valor, marcar el número 10, que está en la fila 2, columna 4. Luego de ello, como ya no quedan más filas y/o columnas por tachar, queda:

Costo total de transporte.

f(x) = 3*200 + 2*1300 + 4*1700 + 10+300 + 5*800 + 8*900 = 24600 $us.

Veamos si estamos en lo correcto:

Cumple con m + n – 1? Si hay 6 celdas no vacías, forman un ciclo? No.

Paso 6 B : Prueba de optimabilidad.

Se quiere comprobar, si verdaderamente ese es el costo mínimo de transporte, es decir, si está bien distribuido el envío.

Costo reducido a 5 – 3 + 5 – 8 + 10 - 4 = +5 y esto, qué significa?


Pues que se quiere aumentar en el transporte desde Santa Cruz al Beni, ya que por cada unidad aumentada, el costo aumenta en 5 $us..

Qué pasa si aumentamos en la otra celda vacía de la fila 1 columna 4?

Costo reducido = 6 – 3 + 5 – 8 = 0

En este caso, no modifica en nada el proceso, así se resuelve para todas las celdas vacías, quedando el siguiente cuadro.

� La prueba de optimabilidad, consiste en verificar si que no haya salido ningún número negativo en las celdas vacías. De no ser así (fila 3, columna 3) el plan no es óptimo, es decir, que existe otro plan que sale más barato que el actual (24600 $us.)

Paso 6 C: Cambio hacia un plan de transporte mejorado

Como ya se ha determinado, 24600 $us., no es el costo mínimo, entonces se procede de la siguiente manera.

• Identifique el ciclo donde existe el número negativo.

2 + 3 – 2 + 3 – 5 = -1


Costo mínimo: 3*100 + 2*700 + 4*1700 + 10*300 + 3*800 + 8*900 = 23800

• Calcule nuevamente el costo mínimo y vea que efectivamente, es más barato que el anterior.

• En función al cambio establecido, vea con los ciclos de las celdas vacías, si efectivamente es el más barato.

+ 6 – 2 + 3 – 8 = + 9 – 10 = -1

Nota.- Fíjese que salió negativo, lo que quiere decir, que existe un plan más barato que 23800.

Trasladar el valor más pequeño del ciclo (valor negativo)


Calcular el costo nuevamente:

3*1000 + 6*700 + 4*1700 + 10*300 + 3*1500 + 8*200 = 23100 $us.

Calcular nuevamente los ciclos de las celdas vacías, para ver si siguen saliendo celdas negativas.

+ 5 – 6 + 10 – 4 = + 5

+ 8 – 10 + 8 – 3 = + 3

Del mismo modo se busca para las demás celdas vacías, quedando:

Nota.- Ya no hay valores negativos, lo que quiere decir que 23100 $us., es el costo de transporte más barato.


¿Hay otras alternativas o rutas que tengan el mismo costo?

Si, son aquellos donde el ciclo da cero (celda vacía), en éste caso existen dos, y son:

+ 7 – 10 + 6 – 3 = 0 (No aumenta el costo)

Entonces, si aumenta en uno, puedo hacerlo para 10, 100, etc., hasta llegar a mi número menor del ciclo, en este caso (300); quedando:

Nuevo plan de transporte/mismo costo

Costo:

4*1700 + 3*700 + 7*300 + 3*1500 + 6*100 + 8*200= 23100

Como podemos apreciar, cumple con la condición m + n - 1 ≤ al # de celdas no vacías. Asimismo, las celdas llenas no forman ciclos.


Calculo de costos reducidos mediante el método MODI (Método de Distribución Modificada)

Este método tiene la misma aplicación del ciclo. Para verificar si el costo encontrado efectivamente es el mínimo, se procede:

a) Se le da una variable (ui) a cada celda de la columna.

b) Se le da una variable (vj) a cada celda de la columna.

c) Se hace un sistema de ecuaciones, utilizando la suma de ambos métodos, igualando con el número de la celda no vacía.

a) Como el número de ecuaciones es menor al número de variables, se hace cero una de ellas, en forma arbitraria.

Plan de transporte inicial

Ej. Fila 1 columna 1 � u1 + v1 Fila 2 columna 3 � u2 + v3

b) Armar las ecuaciones de las celdas llenas

u1 + v2 = 3 u2 + v4 = 10 u1 + v3 = 2 u3 + v2 = 5 u2 + v1 = 4 u3 + v4 = 8

7 Variables y 6 ecuaciones


c) Hacer cero cualquiera de ellas. Ej. u1 = 0ll y encontrar todos los demás.

u1 + v2 = 3 ==> v2 = 3l

u1 + v2 = 2 ==> v3 = 2l

u3 + v2 = 5 ==> U

u3 + 3 = 5 ==> u3 = 2l

u3 + v4 = 8 ==> V4 = 8 – 2 ==> v4 = 6l

u2 + v4 = 10 ==> u 2 = 10 – 6 ==> u2 = 4l

u2 + v1 = 4 ==> v1 = 4 – 4 ==> v1 = 0l

Quedando como resultado:

Nota.- Fíjese que queda ídem al anterior, es decir, sale un número negativo, por lo tanto 24600 $us., no es el costo mínimo, se busca usando el ciclo.

EJEMPLO 2

La empresa distribuidora mayorista de equipos y accesorios de computación D.M.C., está distribuido en la red troncal del país (Santa Cruz – Cochabamba – La paz). Los costos de transporte de la empresa, desde las plantas de ensamblado hasta cada tienda detallista, por cada computadora en $U$, vienen dados en el siguiente cuadro así como el detalle de las ofertas y demandas de computadoras de cada ciudad:

0

0


Paso 0) diagrama de redes

Paso 1) variables

D1 D2 D3 D4 OFERTA

O1 X11 X12 X13 X14 170

O2 X21 X22 X23 X24 200

O3 X31 X32 X33 X34 170

DEMANDA 170 170 170 170

N12D*/1* =NFO2EP*

N680 ≠N540

Cuando el sistema no está en equilibrio, si falta demanda entonces se aumenta un destino ficticio y si falta oferta un origen ficticio; en este caso aumentaremos una fila de OFERTA FICTICIA

PASO 2) RESTRICCIONES: “MERCADO” (OFERTA) R�:��+ �� + �� + ��' ≤ 170

R�:��+ �� + �� + ��' ≤ 200 R�:��+ �� + �� + ��' ≤ 170

(DEMANDA) �:��+ �� + �� ≤ 170 �:��+ �� + �� ≤ 170 �:��+ �� + �� ≤ 170 ':��'+ ��' + ��' ≤ 170

PASO 3) FUNCION OBJETIVO:

MIN Z = ST+SI+SU MINZ= 5��+ 3�� + 2�� + 6��' + 4��+7�� + 8�� + 10��' + 6��+ 5�� + 3�� + 8��'

*A partir de este punto se puede seleccionar el método a utilizar para resolver el problema;


METODO VOGEL *nota : en los destinos u ofertas ficticios los costos serán igual a cero; y el valor de la oferta o demanda será el valor correspondiente a la diferencia (entre las sumatorias de ofertas y demandas) y se pondrá en el cuadro donde haga falta En este caso:

680 − 540 = TKJ Luego se procede a realizar las penalizaciones correspondientes de las cuales se elige el número mayor para comenzar por ahí (ya sea por fila o columna) luego se elige el COSTO menor para comenzar a asignar valores


Luego se procede con la siguiente penalización:

Se puede notaren esta tabla que casi todos los cuadros están llenos excepto uno; para el cual no necesitaremos penalización puesto que solo es un cuadro que está en blanco.

Luego de que todas las ofertas y demandas queden igualadas a cero se procede a hacer las pruebas; Prueba a) degeneración:

nº de filas + nº de columnas - 1 = nº de casillas llenas 4 + 4 − 1 = 5

7 ≠ 5 En caso de que la tabla se degenere (sale desigual la prueba) se colocara en la tabla una variable llamada épsilon (E) que tiene un valor igual a cero para no afectar las ecuaciones; tal número se reemplaza para que se puedan formar (en la prueba de optimalidad) más figuras


- al reemplazar el valor de “E” se debe poner en un lugar de tal forma que con este se construyan 2 o más figuras - la cantidad de “E” es igual a la diferencia de degeneración; entonces:

7 – 5 = 2 Prueba b) optimalidad:

C11 = 5 – 3 + 7 – 4 = 5

C14 = 6 – 3 + 7 – 10 = 0


C23 = 8 – 2 + 3 – 7 = 2

C31 = 6 – 4 + 7 – 3 + 2 – 3 = 5

C32 = 5- 3 + 2 – 3 = 1

C34 = 8 – 10 + 7 – 3 + 2 – 2 = 1


C41 = 0 – 4 + 10 – 0= 6

C42 = 0 – 7 + 10 – 0 = 6

C34 = 8 – 10 + 7 – 3 + 2 – 2 = 1

*nota: no se obtuvo ningún número negativo al realizar la prueba de optimalidad; por tanto, esta sería la solución óptima, se procederá a realizar la interpretación de la solución


MINZ= 5(0) + 3(170) 2�0� + 6 (0) + 4 (170) + 7 (0) + 8�0� + 10 (30) + 6 (0) + 5�0� + 3 (170) + 8�0� MIN Z= 2000 $ Interpretación: Para minimizar los costos de transporte a 2000 $ se debe enviar desde: Santa Cruz a Oruro 170 equipos y accesorios de computación, Cochabamba a Beni 170 equipos y accesorios de computación, Y a Pando 30 equipos y accesorios de computación; La Paz 170 equipos y accesorios de computación a Tarija Y queda una demanda insatisfecha de 140 equipos y accesorios de computación en el dpto. de Pando

EJEMPLO 3

Una compañía tiene cuatro Enlatadora que abastecen a cuatro almacenes y la gerencia quiere determinar la programación de envío de costo mínimo para su producción mensual de latas de tomate. La oferta de las Enlatadora, las demandas de las Enlatadora y los costos de envío por caja de latas de tomate.

Diagrama de redes

O2

O1

O3

D4

D3

D2

D1


METODO VOGEL; CUADRO CON PENALIZACION


Interpretación

Para minimizar los costos de transporte se debe enviar desde: Desde el Enlatadora 1 al Almacén 2 170 unidades. Desde el Enlatadora 2 al Almacén 1 170 unidades. Desde el Enlatadora 2 al Almacén 4 80 unidades. Desde el Enlatadora 2 al Almacén 3 170 unidades.

EJEMPLO 4.-

EBR tiene 3 refinerías con capacidades diarias de 6, 5 y 8 mil m3 de gasolina (Oferta) que proveen de este hidrocarburo a 3 Santa Cruz, Cochabamba. y La Paz,( Destinos) las cuales tienen una demanda diaria de gasolina de 4, 8 y 7 mil m3.

Este combustible es transportado a través de camiones cisternas. Los costos de transporte en centavos de Bs. por m3 se detallan a continuación:


Encuentre Usted, qué cantidad de combustible debe ordenar EBR que se envíen, de cada refinería a cada ciudad, para que el costo total de envío sea el más barato posible.

0. DIAGRAMA DE RED

Oferta Demanda

1. IDENTIFICAR VARIABLES

D1 D2 D3

O1 X11 X12 X13

O2 X21 X22 X23

O3 X31 X32 X33

2. FUNCIÓN OBJETIVO

Costo la REFINERIA1:

12X11 + 18X12 + 90X13


30X21 + 10X22 + 8X23


20X31 + 25X32 + 12X33

Minimizar Z = Costo la REFINERIA1 + Costo la REFINERIA2 + Costo la REFINERIA3

ORIGEN DESTINO

O1

D2O2

D3O3

D1REFINERIA 16 mil m3

REFINERIA 25 mil m3

REFINERIA 38 mil m3

SANTA CRUZ4 mil m3

CBBA8 mil m3

LA PAZ7 mil m3

Observe que:

X i j = Cantidad de gasolina a llevar en m3, del origen i al destino j

Nota: En forma textual hay que: “Minimizar los costos de transporte desde cada refinería a cada una de las ciudades”.


Minimizar Z = 12X11 + 18X12 + 90X13 + 30X21 + 10X22 + 8X23 + 20X31 + 25X32 +

12X33

3. IDENTIFICACIÓN DE LAS RESTRICCIONES

“La cantidad transportada no debe exceder la capacidad de cada refinería.”

X11 + X12 + X13 ≤ 6

X21 + X22 + X23 ≤ 5

X31 + X32 + X33 ≤ 8

“La cantidad transportada no puede sobrepasar la demanda de cada ciudad.”

X11 + X21 + X31 ≤ 4

X12 + X22 + X32 ≤ 8

X13 + X23 + X33 ≤ 7

Además: X11 ,X12 , X13 , X21 , X22 , X23 , X31 , X32 , X33

≥ 0

4. ARMAR LA TABLA DE TRANSPORTE

DESTINOS

OF

ER

TA

D1 D2 D3

OR

IGE

NE

S O1

12 18 90 6

O2 30 10 8

5

O3 20 25 12

8 DEMAN

DA 4 8 7 No olvide que:

Estos 3 métodos se diferencian únicamente en la forma en cómo obtienen la solución inicial

3. RESOLVERLA TABLA

Existen diferentes métodos de solución:

A. Método de la Esquina Noroeste

B. Método de la Matriz Mínima.

C. Método de aproximación de Vogel

Equilibrado”. En nuestro caso esto se cumple: ∑ Oferta = ∑ Demanda 6 + 5 + 8 = 4 + 8 + 7 Los problemas no esta degenerado Nota: Es necesario “que la cantidad total de oferta sea igual a la cantidad total de la demanda”, esto se conoce como “Problema de Transporte equilibrados se verán más adelante.

No olvide que: Estos 3 métodos se diferencian únicamente en la forma en como obtienen la solución inicial.


METODO DE LA ESQUINA NOROESTE

Vamos a obtener la solución inicial o plan de transporte inicial por este método y después verficaremos si la solución es óptima:

Hay que verificar si existe degeneración: m + n - 1 = # de celdas llenas Es decir: # de filas + #de columnas – 1 = No de envíos

Nota: Su docente le indicará los pasos para obtener esta tabla, por este método

PASO1: A la celda vacía (la que no tiene asignación) se le asigna un envío con signo positivo +. PASO2: Se ubican celdas llenas para formar un ciclo. En donde se van intercalando los signos. PASO3: Se calculan los costos reducidos. Si todos los costos reducidos son positivos se ha encontrado la solución óptima, caso contrario se debe continuar con el PASO4, para encontrar otro plan de transporte mejorado PASO4: Ubicar el ciclo que corresponda con el costo reducido más negativo. PASO5: Encontrar la asignación negativa más pequeña y: • Sumar esta cantidad a las asignaciones con signo + • Restar esta cantidad a las asignaciones con signo - Solamente en el ciclo escogido. PASO6: Volver a realizar la prueba de optimalidad.


* PRUEBA DE OPTIMALIDAD Se analizan las celdad que están vacías y se realizan ciclos.

- 12 + 18 4 2 + 30 - 10

5

- 12 + 18 4 2 30 10 5

+ 20 - 25 1

- 18 + 90 2 10 8 5 + 25 - 12 1 7

- 10 + 8 5 + 25 - 12 1 7

C21 = +30 –12 +18 -10 = +26

C31 = +20 -12 +18 -25 = +1

C13 = +90 -12 +25 -18 = +85

C23 = +8 -12 +25 -10 = +11

Note que: Todos los costos

reducidos Cij dieron positivo y, por tanto,

¡hemos encontrado la solución óptima!

Además: Como ningún costo reducido es cero la solución es única.


• ELABORACION DE LA TABLA FINAL OPTIMA

Se debe llevar 4 mil m3 de gasolina del origen1 al destino1 a un costo de 12Bs/m3 = 48 mil Bs Se debe llevar 2 mil m3 de gasolina del origen1 al destino2 a un costo de 18Bs/m3 = 36 mil Bs Se debe llevar 5 mil m3 de gasolina del origen2 al destino2 a un costo de 10Bs/m3 = 50 mil Bs Se debe llevar 1 mil m3 de gasolina del origen3 al destino2 a un costo de 25Bs/m3 = 25 mil Bs Se debe llevar 7 mil m3 de gasolina del origen3 al destino3 a un costo de 12Bs/m3 = 84 mil Bs

RESPUESTA GRAFICA:

243 mil Bs


Ejemplo 5.-

En la empresa “Importadora Hansa 1” cuenta con 3 oficinas ubicadas en la ciudad de Santa Cruz de la sierra las cuales son: AV/Brasil, AV/Cañoto t AV/Banzer, Respectivamente, así mismo cuenta con5 sucursales en toda la ciudad de santa Cruz que son: La Guardia, Montero, Cotoca, El torno y Warnes. En la siguiente tabla indica los costos de transporte de tortas desde las oficinas centrales a las sucursales ya mencionadas.

Oficinas Centrales

Guardia Montero Cotoca El Torno Warnes Oferta en tortas/Días

OF 1 42 32 33 39 36 200 OF 2 34 36 37 32 34 200

OF 3 38 31 40 35 35 300

Demandas en todas /días

100 120 140 160 180

a) Formule el planteamiento del problema b) Encuentre la solución e indique el plan de envió c) Encuentre el costo total mínimo, si los costos de transporte están expresados en $. Aplicando el método de Costos Mínimos

Paso #1 = Buscar el costo mínimo, ya sea por filas o columnas • En caso de empate se puede comenzar por cualquiera de ellos Paso #2 = Proceder a hacer las operaciones de Fila vs Columna y elegir el menor valor entre ellos dos, Ejemplo: 120vs300 = 120 y ese valor se coloca en la intersección entre ellos dos (luego se resta el 300-120=180 ese valor se lo reemplaza donde estaba el 300) Paso #3 = se vuelve a realizar el paso #1 y el #2 hasta hacer que toda la tabla cuadre

Verificación ∑Dmda = ∑Oferta 700 = 700


M+n-1 = # casillas asignadas 8 - 1 = 7 7 = 7

Como el número es igual no se tendrá que colocar ningún épsilon Se procede a realizar las operaciones de formas las figuras, las cuales pueden ser cuadrado, rectángulo, bota, corbata.

Se elige el valor mínimo entre los costos de la figura que en este caso vienen a ser -31(120) y -42(60) entre ellos se elige el que tiene el valor mínimo y se Procede a restar o sumar dependiendo del símbolo de los costos: 32(0+60)=60, -31(120-60), 38(40+60) , 42(60-60) y esos valor se reemplazan en sus costos correspondientes, quedando de esta manera.

Luego todo los demás valores se vuelven a copiar y se procede a volver a realizar la verificación y se procede a realizar las operaciones de formas las figuras, las cuales pueden ser cuadrado, rectángulo, bota, corbata, hasta que no salga ningún numero negativo, caso contrario se vuelve a realizar el mismo método ya mencionado.


M+n-1 = # casillas asignadas 8 - 1 = 7 7 = 7 Como el número es igual no se tendrá que colocar ningún épsilon

C11= 42-32+31-38 = 3 C14= 39-32+31-35+34-32= 5

C15 = 36-35+31-32 = 0 C21 = 34-34 +35 -38 = -3


Iteración #3

Los valores de la figura cambian, debido al mismo procedimiento realizado anteriormente

C11=42-32+31-38 = 3 C14 = 39-32+34-38+31-32= 2

C15= 36-35 +31-32= 0 C22 = 36-31+38-34 = 9 C23= 37-34+38-31+32-33 = 9


Iteración 4

Los valores de la figura cambian, debido al mismo procedimiento realizado anteriormente


Interpretación: Min Z = 60(32)+140(33) + 100(34) + 100(32) + 60(31) + 60(35) + 180(35) = 2340$


Para minimizar los costos de transporte a 2340$ se debe enviar desde: La Oficina central 1 60 tortas a Montero La Oficina central 1 140 tortas a Montero La Oficina central 2100 tortas a Montero La Oficina central 2100 tortas a Montero La Oficina central 3 60 tortas a Montero La Oficina central 3 60 tortas a Montero La Oficina central 3 180 tortas a Montero


Aplicando el método de Esquina Noroeste • Comenzar por la esquina más cercana al noroeste y seguir así hasta que todo cuadre

Verificación ∑Dmda = ∑Oferta 700 = 700 M+n-1 = # casillas asignadas 8 - 1 = 7 7 = 7 Como el número es igual no se tendrá que colocar ningún épsilon C13=33-37+36-32 =0 C14 =39-32+36-32= + C15= 36-35+35-32+36-32 = + C21= 34-42+32-36 = - En este caso el resultado que sale es un numero negativo por lo tanto se procede a cambiar los valores de esa figura Iteración #2

En este caso el resultado que sale es un numero negativo por lo tanto se procede a cambiar los valores de esa figura

Figuras


Iteración #3


Iteración #4



Para minimizar los costos de transporte a 2340$ se debe enviar desde: La Oficina central 1 60 tortas a Montero La Oficina central 1 140 tortas a Montero

La Oficina central 2 100 tortas a Montero La Oficina central 2 100 tortas a Montero

La Oficina central 3 60 tortas a Montero La Oficina central 3 60 tortas a Montero La Oficina central 3 180 tortas a Montero

Aplicando el método Vogel • Se buscan 2 costos más pequeños y se los restan eso se aplica a cada fila y columna para luego decidir por donde comenzar (elegir el resultado más pequeño de todos) a realizar el ejercicio • En caso de empate elegir cualquiera de ellos y comenzar por ahí • Cada vez que se pone un valor a cada celda se debe volver a realizar el mismo procedimiento del inicio es decir restar los costos mínimos de cada fila e igual para cada columna, eso se debe a que en el momento de poner un valor puede ser que toda la fila o columna ya cuadre y ya no se utilizarían los costos de dicha fila o columna


Verificación ∑Dmda = ∑Oferta

700 = 700 M+n-1 = # casillas asignadas

8 - 1 = 7 7 = 7

Como el número es igual no se tendrá que colocar ningún épsilon C11= 42-33+40-32=+

C14=39-32+37-33=+

C15=36-35+40-33=+

C21=34-37+40-38=+

C22=36-32+33-37=0

C25=34-35+40-37=+

C32=31-32+33-40= -

En este caso el resultado que sale es un numero negativo por lo tanto se procede a cambiar los valores de esa figura Iteración #2

Figuras


C11= 42-32+31-38= + C14=39-32+37-33= + C15=36-35+31-32= 0 C21=34-38+31-32+33-37= -

En este caso el resultado que sale es un numero negativo por lo tanto se procede a cambiar los valores de esa figura Iteración #3


Iteración #4



Para minimizar los costos de transporte a 2340$ se debe enviar desde: La Oficina central 1 60 tortas a Montero La Oficina central 1 140 tortas a Montero La Oficina central 2 100 tortas a Montero La Oficina central 2 100 tortas a Montero La Oficina central 3 60 tortas a Montero La Oficina central 3 60 tortas a Montero La Oficina central 3 180 tortas a Montero


UNIDAD 4 Programación Lineal – Modelo de Asignación Objetivos Realizar la asignación de tiempo o recursos con el fin de tener un costo mínimo. En muchos problemas de decisión es necesario asignar un elemento de un grupo (Como una máquina, un empleado etc. ) a un elemento de un segundo grupo (Como una tarea, un proyecto, etc.) Considera por ejemplo asignar trabajos a máquinas de una planta, asignar representantes de ventas de distintas zonas de la ciudad o asignar investigaciones a diferentes proyectos. Al hacer una asignación es necesario cumplir dos condiciones.

• Cada elemento del primer grupo debe asignarse exactamente a un elemento del segundo grupo.

• Cada elemento del segundo grupo debe asignarse exactamente a un elemento del primer grupo.

• Debido a que por cada pareja asignada existe un costo adecuado la cantidad de tiempo que tarda una tarea asignada a una maquina en particular el objetivo es elegir asignaciones que minimicen el costo total.

• Para establecer estas dos condiciones de asignación, el número ce elementos hace ser el mismo. Un problema de este tipo se denomina problema de asignación equilibrado.

ASIGNACION EJEMPLO 1 En los terrenos de una universidad 4 construcciones diferentes C1,C2, C3, C4 se propone construir 4 edificios diferentes cada constructora construirá un solo edificio y estas han remitido sus propuestas de costos para la construcción.

EDIFICIO C1 C2 C3 C4

A 48 48 50 44

B 56 60 60 68

C 96 94 90 85

D 42 44 54 46

PROPUESTA DE CONSTRUCION EN $us

CONSTRUCTORA ( Se han omitido 4 ceros)


INICIO DEL PROCESO DE SOLUCION :

Existen 3 líneas ≠ 4 No cumple!

PASO1 C1 C2 C3 C4

A 48

48 50 44

B 56 60 60 68

C 96 94 90 85

D 42 44 54 46

PASO2 C1 C2 C3 C4

A 4

4 6 0

B 0 4 4 12

C 11 9 5 0

D 0 2 12 4

PASO3 C1 C2 C3 C4

A 4

2 2 0

B 0 2 0 12

C 11 7 1 0

D 0 0 8 4

PASO4 C1 C2 C3 C4

A 4

2 2 0

B 0 2 0 12

C 11 7 1 0

D 0 0 8 4

PASO5 C1 C2 C3 C4

A 4

2 2 0

B 0 2 0

12

C 11 7 1 0

D 0 0 8 4

PASO5: Elegir el elemento más Pequeño que no esté cruzado por una línea y: - Restar este elemento a todos los elementos no cruzados por una línea - Sumar a todos los elementos situados en las intersecciones de dos lineas.

PASO1: Restar el elemento más pequeño de cada fila de los demás elementos de la misma a fila.

PASO3: Verificar la optimalidad trazando el mínimo número de líneas que pueden pasar a través de todos los ceros de la ultima tabla. (Líneas horizontales y verticales)

PASO4: PRUEBA Si el número de líneas es igual a n (N° de filas o N° de columnas) puede hacerse una asignación óptima. Caso contrario se requiere continuar con el siguiente paso.

PASO2: Restar el elemento más pequeño de cada columna de los demás elementos de la misma columna.


Existen 4 líneas = 4 Cumple, Solución Óptima! INTERPRETACION: El edificio A debe ser construido por la constructora C4 = 44 El edificio B debe ser construido por la constructora C1 = 56 El edificio C debe ser construido por la constructora C3 = 90 El edificio D debe ser construido por la constructora C2 = 44

2.340.000$us. EJEMPLO 2.- La compañía “JIMENEZ”; desea realizar una jornada de mantenimiento preventivo a sus 3 máquinas principales A, B y C. el tiempo que demanda realizar el mantenimiento de cada máquina es aproximadamente de 1 día, sin embargo no puede durar más de medio día; teniendo en cuenta que la compañía cuenta con 3 proveedores de servicio de mantenimiento debe de asignarse un equipo de mantenimiento a cada máquina para poder cumplir con la realización del mantenimiento preventivo. Teniendo en cuenta (según el grado de especialización de cada equipo) el costo de la tarea varia para cada máquina en particular, debe de asignarse el equipo correcto a la maquina indicada con el objetivo de minimizar el costo total de la jornada. Los costos se muestran en la siguiente tabla:

Maquina A Maquina B Maquina C Equipo de

mantenimiento 1 10 9 5

Equipo de mantenimiento 2

9 8 3

Equipo de mantenimiento 3

6 5 7

Paso 1) filas: Se debe tomar el menor valor de cada fila y restar a los demás números esa cantidad

DESTINO 1 DESTINO 2 DESTINO 3

S1 10 9 5

S2 9 8 3

S3 6 5 7

PASO6 C1 C2 C3 C4

A 3

1 1 0

B 0 2 0 13

C 10 6 0 0

D 0 0 8 5

Nota: Para realizar la interpretación, se ubican las celdas con ceros. Debe existir 1 asignación para cada uno.


Paso 2) columnas: Se debe tomar el menor valor de cada columna y restar a los demás dicha cantidad (*similar a paso 1)


S1 5 4 O

S2 6 5 O

S3 1 0 2

Paso 3) prueba de optimalidad Se debe verificar si la tabla encontrada es la solución óptima trazando líneas que pasen por las ubicaciones de los ceros (tratando siempre de hacer la menor cantidad de estas) y luego se utiliza la siguiente formula: # Filas o # columnas = # líneas trazadas

3 ‡ 2 Como esta fila no es la óptima se procede de la siguiente manera: De los números que no han sido marcados por las líneas trazadas se elige el de menor valor y se resta a los demás números que estén sin marcar; luego a los números que se encuentren en las intersecciones de las líneas se les suma dicho número (*en este caso ese número es 4; aunque hayan dos números iguales es indistinto tomar cualquiera ya que no afectara al resultado)


S1 4 4 O

S2 5 5 O

S3 0 0 2

Luego de proceder se debe hacer nuevamente la prueba de optimalidad

3 = 3 En este caso nuestra solución óptima seria:


S1 0 O O

S2 1 1 O

S3 0 0 6


Para realizar la interpretación, se ubican todas las celdas con ceros; teniendo muy en cuenta que debe haber una y solo una asignación para cada uno. Paso 4) Interpretación:

Iterpretación:

Para minimizar los costos a 18 $ se debe realizar las siguientes asignaciones: El equipo de mantenimiento 1 realizara el mantenimiento de la maquina (A) a un costo de 10$ El equipo de mantenimiento 2 realizara el mantenimiento de la maquina (B) a un costo de 3$ El equipo de mantenimiento 3 realizara el mantenimiento de la maquina (C) a un costo de 5$

EJEMPLO 3.- La compañía de manufactura Jiménez y asociados, desea realizar una jordana de mantenimiento preventivo a sus 3 máquinas principales A, B, C. el tiempo que demanda realizar de cada máquina es de 1 día, sin embargo las jornadas de mantenimiento no puede durar más de 2 días, teniendo en cuenta q la compañía cuenta con 3 proveedores de servicios de mantenimiento debe asignarse un equipo de mantenimiento a cada máquina para poder cumplir con la realización del mantenimiento preventivo. Teniendo en cuenta que según el grado de especialización de cada equipo prestado de servicios de mantenimiento el costo de la tarea varia para cada máquina en particular, debe de asignarse el equipo correcto a la maquina indicada con el objetivo de minimizar el costo total de la jornada. Los costos asignados se pueden observar en la siguiente tabla.

Maquina 1 Maquina 2 Maquina 3

Equipo de Mante. 1 10 9 5



Paso 1 Filas Maquina 1 Maquina 2 Maquina 3





Paso 2 Columnas





Prueba 2 ≠ 3





Prueba Existen 3 líneas = 3 Cumple, Solución Optima

Interpretación La máquina 1 debe ser reparada por el equipo de Mantenimiento 1 = 10 La máquina 2 debe ser reparada por el equipo de Mantenimiento 3 = 4 La máquina 3 debe ser reparada por el equipo de Mantenimiento 2 = 3

Total: 17mil $us EJEMPLO 4.-

Jala se propone enviar a los mercados (ramada, mutualista, abasto) una variedad de sabores de pizzas como: Hawaiana, Salame, Carnívora y Vegetariana)

Ramada Mutualista Abasto

Villa 1 de

mayo

Hawaiana 10 5 8 3

Salame 4 3 5 7

Carnívoro 7 10 6 12

Vegetariana 6 8 12 6


Ramada Mutualista Abasto

Villa 1 de

mayo

Hawaiana 7 2 5 0

Salame 1 0 2 4

Carnívoro 1 4 0 6

Vegetariana 0 2 6 0

Hawaiana -> Ramada = 6

Salame -> Mutualista = 3

Carnívoro -> Abasto = 6

Vegetariana -> Villa 1 de mayo = 3

Min Z: 18 Bs.

Para reducir los costos a 18 bs. Se debe enviar las pizzas según al sabor de la siguiente manera a la Ramada 6 pizza hawaiana, a la Mutualista 3 pizzas de salame, al Abasto 6 pizzas carnívoras y a la Villa 1ero de mayo 3 vegetarianos.

GUIA MAAP MATEMATICA II ADMINISTRATIVA - 2016 · La fábrica de Hilados y Tejidos "SALAZAR" fabrica...

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