Guia Nº1

Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.

GUÍA Nº1 GEODESIA I 1) Para cada una de las elipses encontrar: el centro, vértices, focos, eje mayor y menor, excentricidad y su ecuación correspondiente. a) 0231849 22 =−−++ YXYX b) 25925 22 =+ YX c) 0923632916 22 =−−++ YXYX 2) Encontrar la ecuación de la elipse a)Un vértice (0,13), un foco (0,-12), centro (0,0) b) Focos (± 10,0), excentricidad 5/6 c)Vértices (8,3) y (-4,3), un foco en (6,3) 3) De acuerdo a la figura demuestre que:

a) Coordenadas, ( )ed

OV+

=11 ; ( )e

dOV

−=

12

b) Eje mayor de la elipse, ( )21 ede

a−

= ; c) Coordenadas del centro, ( )21 ed

C−

= ;

d) aeea

d −= ; e)2

222

aba

e−= ; f) 22 2 ffe −= ; g) 12

2

2

2

=+by

ax

; si 11 <= eEP

PF

0V1 F1 F2 V2C

θ

P

ρ

d

E

X

Y


4) De acuerdo a la figura demuestre la ecuación de la elipse 12

2

2

2

=+by

ax

, si aPFPF 221 =+

P

V1 F1 F2 V2-c c

b

X

Y

(0,0)

aa

Solución: 1)- a) Formaremos un cuadrado de binomio con los elementos de x, y un cuadrado de binomio con los elementos de y.

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1

936

136

211

369

362

36:/36192

02394332

02399189444

0231894

222

2

22

22

22

22

=−++⇒=−⋅++

=−++

=−−−−++

=−−+−+−++

=−−++

yxy

x

yx

yx

yyxx

yyxx

Por lo tanto la ecuación de la elipse es: ( ) ( )

141

362 22

=−++ yx

Luego de formada la ecuación de la elipse, se identificara los elementos de ella, esta

elipse se encuentra desplazada en el eje X, y es de la forma ( ) ( )

12

2

2

2

=−+−b

kya

hx

a = 6, b = 2 ; h = -2, k = 1

Excentricidad: ( ) ( )

632

/ 3632

3632

36436 2

2

222 =⇒=⇒=−=−= ee

aba

e

Centro = (h , k) = (-2,1) Vertice1 = (-a + h, k) = (-6+-2,1) = (-8,1) Vertice2 = ( a + h, k) = ( 6+-2,1) = (4,1)


Foco1 = (-a · e + h, k) = (-6·632

+-2,1) = (- 32 -2,1) = (-( 32 +2),1)

Foco2 = (a · e + h, k) = (6·632

+-2,1) = ( 32 -2,1) = ( 32 -2,1)

b) 25925 22 =+ yx ;dividiendo por 25 se tendrá:

1

925

1259 2

222 =+⇒=⋅+ yxyx

Por lo tanto la ecuación de la elipse es: 1

925

22 =+ y

x

Luego de formada la ecuación de la elipse, se identificara los elementos de ella, esta

elipse se encuentra desplazada en el eje Y, es de la forma ( ) ( )

12

2

2

2

=−+−a

kyb

hx

a = 35

; b = 1 ; h = 0 ; k = 0


54

/2516

925

916

925

1925

22

222 =⇒=⇒=

−=−= ee

aba

e

Centro = (h , k) = (0,0)

Vertice1 = (h, -a + k) =

−=

+−

35

,0035

,0

Vertice2 = (h, a + k) =

=

+

35

,0035

,0

Foco1 = (h, -a · e + k) =

−=

⋅−

34

,054

35

,0

Foco2 = (h, a · e + k) =

=

⋅

34

,054

35

,0

c) Formaremos un cuadrado de binomio con los elementos de x, y un cuadrado de binomio con los elementos de y.

( ) ( )( ) ( ) 01692362·91·16

0923644·91612·16

0923693216

0923632916

22

22

22

22

=−−−−++

=−−+−+−++

=−−++

=−−++

yx

yyxx

yyxx

yxyx


( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )1

9144

2

16144

1

121449

1x14416

144 : /1442·91·16

22

22

22

=−++

=−⋅++⋅

=−++

yx

y

yx


116

291 22

=−++ yx

Luego de formada la ecuación de la elipse, se identificara los elementos de ella, esta elipse

se encuentra desplazada en el eje Y, es de la forma ( ) ( )

12

2

2

2

=−+−a

kyb

hx

a = 4 ; b = 3 ; h = -1 ; k = 2


47

/ 167

167

16416 2

2

222 =⇒=⇒=−=−= ee

aba

e

Centro = (h , k) = (-1,2) Vertice1 = (h, -a + k) = ( ) ( )2,124,1 −−=+−− Vertice2 = (h, a + k) = ( ) ( )6,124,1 −=+−

Foco1 = (h, -a · e + k) = ( )27,1247

4,1 +−−=

+⋅−−

Foco2 = (h, a · e + k) = ( )27,1247

4,1 +−=

+⋅−

2)-a) V = (0,13); F = (0,-12); centro = (0,0) Esta elipse se encuentra desplazada en el eje y por lo tanto es de la forma ( ) ( )

12

2

2

2

=−+−a

kyb

hx

1312

a12

12 · ; 169 13 2 ==⇒==⇒= eeaaa

( ) ( )

25 1441691312

1·169

1· · · Si

22

22

222222222222

222

=⇒−=

−=

−=⇒−=⇒−=⇒−=

bb

eabaeabbaaea

bae


22

=+ yx

b) focos: (-10,0) y (10,0); 65

e =

Esta elipse se encuentra desplazada en el eje X por lo tanto es de la forma


( ) ( )1

2

2

2

2

=−+−b

kya

hx

( )

( ) ( ) 44 10014436251144 1

0,0centro ; 144 12 56

10· 10

10

22222

2

=⇒−=−⋅=⇒−⋅=

==⇒===⇒=⋅

bbeab

ae

aea


22

=+ yx

c) Vértices = ( ) ( )4,3-y 3,8 ; foco = ( )3,6 Esta elipse se encuentra desplazada en el eje X por lo tanto es de la forma ( ) ( )

12

2

2

2

=−+−b

kya

hx

( ) ( ) 20 1636941·361

32

644

4 68

36 6 122

2222

2

=⇒−=−=−⋅=

=⇒==⇒=−=⋅

=⇒=⇒=⋅

beab

ea

eea

aaa

Centro =(h , k) ; ( )

3 ; 2 22

48 ==⇒=−= khh


144

3144

2 22

=−+− yx

3)

0

d

V1 F1 C

Y

E

θX

F2 V2

P


( ) ( )θρρθρ

ρcos

cos 1 Si a) 11 ⋅+⋅=⇒=

⋅+=⇒<= dee

dEPPF

eEP

PF

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

( )( )

( ) ( )

( )ed

ededed

edeed

ede

dd

ed

ededed

edeed

ede

dd

ede

ede

ede

ede

ede

edeedeede

−=

−⋅+⋅−=

−⋅+−⋅=

−⋅+=+=

+=

+⋅−⋅+=

+⋅−+⋅=

+⋅−=−=

+⋅=∴

+⋅=⇒=−

−⋅=∴

−⋅=⇒=−

⋅−⋅=

⋅−⋅=⋅⇒⋅⋅−=⋅⇒⋅⋅+⋅=

1OV tantoloPor

111

1VFOV

1OV tantoloPor

111

1FVOV

1FV

1 180ºSi

1VF

1 0º Si

cos1

cos1 cos cos

2

212

1

111

11

21

ρθ

ρθ

θρ

θρθρρθρρ

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )2

222

12

1 tantoloPor

2: /12

2 tantolopor ; 12

12

111

112 entonces; OVOV2 Si b)

eed

a

eed

ae

ede

eddedda

eeded

ed

ed

aa

−⋅=

−⋅⋅=⋅

−⋅⋅=

−⋅+−⋅+=⋅

−−⋅−+⋅=

+−

−=⋅−=⋅

( ) ( ) ( ) ( )

( )2

2212

1 tantoloPor

212

21

211

entonces ; 2

OVOVc c)

ed

c

ed

eeddedd

ed

ed

c

−=

−⋅

=−⋅−+⋅+

=++

−=+

=


( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )ea

ea

d

eaea

deaeeed

eed

aeed

eeddd

eedd

de

ddc

cea

ed

ce

dea

eed

ad

⋅−=

⋅−=−=⋅=⇒⋅−

⋅=

−⋅=

−⋅=

−⋅+−=

−−⋅−=−

−=−=

==−

=−

=⇒−

⋅=−=

tantoloPor

F1CEP oresolviend ; CF 1

CF tantolopor

1 pero ;

1111

1CF

EP tantolopor ;1

su vez a ; 1

1

si ; F1CEP d)

121

22

2

2

2

2

2

21

222

aea

eea

ee =⋅==⋅=⇒= PF tantolopor ; PF entonces ; EP pero ; EPPF EP

PF Si e) 111

1 ,

además ea ⋅=CF1

C0

d

F1V1

θ

E

Y

V2F2

X

P

aa b

a·e

Del triangulo rectángulo en c, a través del teorema de Pitágoras tenemos:

2

22222222222222

1 tantolopor ; b- b bCFa

baeaeaaeaa

−==⋅⇒=+⋅⇒=+

f) a

baf

−= (achatamiento polar); ab

fab

aa

f −=⇒−= 1

( ) ( ) 21

222

2

2

2

2

2

2

22

2

222 1 / 1 1 Si e

ab

eab

ab

ab

aa

ea

bae −=⇒−=⇒−=−=⇒−=

Si la expresión ( ) 2121 e

ab −= la reemplazamos en

ab

f −= 1 obtendremos lo siguiente:


( ) ( ) ( ) ( ) 2 tantolopor ; 2 -1 /2-

121 1-1 /1-1 11222222

2222221

221

2

ffeeffeff

effefefef

−==−⇒⋅−=+⋅

−=+⋅−⇒−=⇒−=⇒−−=

g)

C0

d

F1V1

θ

E

Y

V2F2

X

aa b

a·e

a/eP (x',y')

x

( ) ( )

( ) ( ) ( ) cónicas) las de general(ecuación /

: tantolopor ; EP su vez a ;PF EP

PF Si

2222222

2222

11

ydxxeydxxe

x

ydxexydxe

+−=⋅⇒+−=⋅

+−==+−=⇒=

De la figura se obtiene lo siguiente :

eaea

d

yyea

xxa

hhxx

⋅−=

=+==+=⇒−= ' además ; ' tantolopor e

su vez a ;h x' x '

Si reemplazamos estos valores en la ecuación general de las cónicas se obtiene:

( )eaxyeaeaxxaeaxxe

yeaeaxxea

ea

xxe

yeaea

ea

xea

xeyeaea

ea

xea

xe

⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+⋅

+⋅+⋅⋅⋅+=

+⋅⋅+⋅

+

⋅+−+=

+⋅⇒+

⋅−−+=

+⋅

'2- /''2''2'

''2''2'

''' '''

2222222

22222

222

222

22

222


( ) ( )( ) ( )

( ) 1''

tantolopor ; 1 Pero

11''

:obtiene se 1por expresión la Dividiendo

1'1' :obtiene se dofactorizan ; '''

-1 /''' '''

2

2

2

2222

22

2

2

222

222222222222

22222222222222

=+−⋅=

=−⋅

+−⋅

−⋅=+−⋅⋅−=+⋅−

⋅−⋅=−−⋅⇒+⋅+=+⋅

by

ax

eab

eay

ax

ea

eayexeaayxex

aeayxxeyeaxaxe

4)

P

V1 F1 F2 V2-c c

b

X

Y

(0,0)

aa

F1 = (-c,0) ; F2 = (c,0)

( )

( ) ( )( ) ( ) aycxycx

ycxycx

cxcybcb

cxcxcybcba

⋅=+−+++

+−=++=

−==+=

+=−−==−+=⇒⋅=+

2 : tantoloPor

PF ; PF

; pero ; PF

; pero ;PF 2PFPF Si

2222

222

221

222

221 21

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2222222

22222

44

/2

ycxycxaaycx

ycxaycx

+−++−⋅⋅−⋅=++

+−−⋅=++

( ) ( )( ) cxcxycxaacx

cyxccxxycxaayccxx

⋅⋅+⋅⋅−+−⋅⋅−⋅=⋅⋅

++−+⋅⋅−++−⋅⋅−⋅=++⋅⋅+

2 /2442

/2442222

22222222222


( ) ( )

( ) ( ) ( )

2222

22222

2

222

2

222222

2

222222

2

22222222

22222

-1 - -

2 /22

2 /

4 : /444

cayac

xcaya

cxx

acx

aycx

cxa

cxcxayccxx

acx

cxaycxa

cxaycx

ycxaa

cxaycxaacx

=+

−⋅⇒=+⋅⇒⋅+=++

⋅⋅+⋅+⋅⋅−=++⋅⋅−

⋅+⋅⋅−=+−⇒⋅−=+−

+−−=⋅⇒⋅+−⋅⋅−⋅=⋅⋅

1-

-: / - 22

2

2

222222

2

222 =+⇒=+

−⋅

cay

ax

cacaya

cax

Pero en el triangulo rectángulo(F1 C P) por el teorema de Pitágoras se cumple que:

( )

1 : tantoloPor

PFPCCF

2

2

2

2

2222221

22

1

=+

−=⇒=+−⇒=+

by

ax

cababc

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