Guia Nº2

Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.

GUÍA Nº2 GEODESIA I

1) De acuerdo a la figura demuestre que: ( ) ( )

12

2

2

2

=−+−b

kya

hx ; si aPFPF 221 =+

(0,0)X

Y

h

k

P (x,y)

V1 F1 F2 V2

aa b

c cC

2) A partir de la ecuación de la elipse 1 2

2

2

2

=+by

ax

; demuestre que:

( )( )

( ) 21

22

2

21

22 1

1 ;

1

cos

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

sene

esenay

sene

ax

⋅−

−⋅⋅=⋅−

⋅=

3) A partir dela elipse meridiana demuestre:

Radio principal de curvatura y radio de curvatura en el meridiano.

X

Y

P

ϕ


4) Demuestre que:

a) ( ) 0º si ; 1

=−

= ϕf

bN

b) 0º si ; 2

== ϕρa

b

5) Calcule el valor de un arco de paralelo en el elipsoide. 6) Calcule el arco de paralelo entre los puntos A y B:

A: '20' 17' 70º ; ''10 '28 º37 −=−= λϕ B: '10' 25' 70º ; ''10 '28 º37 −=−= λϕ

Elipsoide WGS-84 ; 2572,2981

:6378135 == fa

7) Deducir el arco meridiano L, entre los puntos a y b, de latitudes 1ϕ y 2ϕ de acuerdo al

grafico que se adjunta.

L

ϕ1ϕ 2

a

b

M

8) Calcule el valor del radio medio de curvatura (Radio Gaussiano) 9) πλλϕϕ ⋅===== 2º360y 0º ,90ºy º0 Si 2121 Encuentre la superficie sobre el elipsoide, demuestre en forma fundada su respuesta

( ) ..........65432111 Si 54322 +−+−+−=+⇒< − xxxxxxx


Solución: 1) F1 = ((h-c),k) ; F2 = ((h + c),k)

( )( )chxckybcb

chxckybcba

+−=−=+=

−−=−=+=⇒⋅=+

; pero ; PF

; pero ;PF 2PFPF Si22

2

221 21

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2222222

22222

2222

222

221

44

/2

2 : tantoloPor

PF ; PF

kychxkychxaakychx

kychxakychx

akychxkychx

kychxkychx

−++−+−++−⋅⋅−⋅=−+−−

−++−−⋅=−+−−

⋅=−++−+−+−−

−++−=−+−−=

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) _244222

2442

:siguiente lo obtiene se binomios de cuadrados los ndoDesarrolla

44

:siguiente lo obtiene se lados ambos a Restando

2222222

2222222

22222

2

hxxkychxaacchhhxhxx

chchxxkychxaachchxx

chxkychxaachx

ky

⋅⋅−+−++−⋅⋅−⋅=+⋅⋅−+⋅⋅+⋅⋅−

+++⋅⋅−+−++−⋅⋅−⋅=−+−⋅⋅−

+−+−++−⋅⋅−⋅=−−

−

( )( ) ( )( )( ) ( ) 4 : / 4444

22 /224422

:siguiente lo obtiene se 2 lados ambos a Sumando : 22

222

222

22222

akychxaachcx

cxchcxchkychxaachcx

chhxxcchhcx

⋅−++−⋅⋅−⋅=⋅⋅−⋅⋅

⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+−++−⋅⋅−⋅=⋅⋅−⋅⋅

−−⋅⋅+−+⋅⋅++⋅⋅−

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )222

222

22

2222

/

:expresión esta dofactorizan ;

1 /

kychxahxac

kychxahxac

kychxaacx

ach

kychxaa

cha

cxkychxa

ach

acx

−++−=

+−⋅−⇒−++−=+−⋅−

−++−=+⋅−⋅

−++−+−=⋅+⋅−⇒−⋅−++−−=⋅−⋅

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )22222

2

22

22222

2

22

22222

2

22

2222

2

22

2

2

: obtiene se 22 lados ambos a Sumando

22222

22

kychhxxhxac

a

kychxhxhxac

a

hcxc

kycchhcxhxxhxac

hcxca

kychchxxhxac

hxca

−+++⋅⋅−=−⋅+

−++⋅⋅−+=−⋅+

⋅⋅−⋅⋅+

−++⋅⋅++⋅⋅−⋅⋅−=−⋅+⋅⋅+⋅⋅−

−++++⋅⋅−=−⋅+−⋅⋅−


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1 : /

1 :obtiene se doFactorizan

-1 /

22

2

2

222222

2

222

222

2

22

22222

2

222222

2

2

2222

2

22

=−−+−⇒−−=−+

−⋅−

−=−+

−⋅−

−=−+−+−⋅−⇒⋅−=−−−−−⋅

−++−=−⋅+

caky

ahx

cacakya

cahx

cakyac

hx

cakyhxhxac

ackyhxhxac

kychxhxac

a

Pero en el triangulo rectángulo (F1 C P) por el teorema de Pitágoras se cumple:

( ) ( )1 : tantoloPor

c PFPCCF

2

2

2

2

2222221

221

=−+−

−=⇒=+⇒=+

bky

ahx

cabab

2)

Y

X

P

Y

X

ϕ 90º + ϕ

( )

222222222

2

2

2

/1 elipse la deecuacion la De

su vez a :º90

baaybxbaby

ax

tgdydx

ctgdxdy

tgdxdy

⋅=⋅+⋅⇒⋅⋅=+

−=−=⇒+= ϕϕϕ


Diferenciando con derivadas parciales obtendremos lo siguiente:

dydx

ab

xybdxxadyyy

dxdy

ba

yxadyybdxx

xadyybdxxadyybdxx

⋅⋅−=⇒⋅⋅−=⋅⋅

⋅⋅−=⇒⋅⋅−=⋅⋅

=⋅⋅+⋅⋅⇒=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

2

222

2

222

2222

:siguiente lo tendremos Despejando

:siguiente lo

tendremos despejando ; 02:/ 022

Reemplazando ,dydx

dxdy

en x, y en y respectivamente se obtiene:

( )22

22

2

2

2

2

2

2

2

22

2

222

222

2222

2

22

2

22

222

222

2

2

2

2

2

2

2

2

11

1 1 Si

/1 : elipse la deecuación la De

;

eba

eab

ab

ab

aa

ea

bae

atgab

xxaba

tgab

xx

aaby

xaby

ax

tgab

xyctgba

yx

−=⇒−=⇒−=−=⇒−=

=⋅⋅+⇒=⋅

⋅⋅+

=⋅+⇒⋅=+

⋅⋅=⋅⋅=

ϕϕ

ϕϕ

22

2222

2

222

222

222

2

2

2

2

/1: elipse la deecuación la De

bab

xyba

bxy

bya

bxb

by

ax

=⋅+⇒=⋅+

=+⋅⇒⋅=+

Reemplazando ϕctgba

yx ⋅⋅=2

2

:en la expresión anterior se obtiene:

( ) ( )

( )( )

( )2

22

22222

2

2

22

22

2

222

22

22

2

2

2

222

222

2222

2

22

2

22

1cos1cos

11

1

cos1

11

1 pero

cos

bsene

seneyb

seney

bsene

yyeb

ab

senba

yy

bctgba

yybab

ctgba

yy

=

⋅−

+⋅−⋅⇒=

⋅

−+⋅

=⋅−

⋅+⇒−

=⇒=⋅⋅+

=⋅+⇒=⋅

⋅+

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ


( )( ) ( )( )

( ) 22

222222

2

222

222222222

222

2222

2

2

coscos

cos11

11 :obtiene se dofactorizan ; 1

: tantoloPor ; 1 : su vezA

asenesen

xasen

ex

atgexatgexx

atgab

xxeab

=

⋅−+⋅⇒=

⋅−+⋅

=⋅−+⋅=⋅−⋅+⇒

=⋅⋅+−⋅

ϕϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

( ) ( )( ) 2

12222

222

22

22222

1

cos /

1cos

cos1

tantolopor ; 1cos pero

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕϕϕ

sene

ax

senea

x

asene

xsen

⋅−

⋅=⇒⋅−

⋅=⇒

=

⋅−⋅=+

( )

( )( )( ) ( )222

22

22222

22

222 1 pero ;

11

y 11

eabsenesene

bbsene

seney −⋅=

−⋅−⋅=⇒=

⋅−−⋅

ϕϕ

ϕϕ

( ) 1cos pero ; 1

cos 22222

22222 =+=

⋅−

−+⋅ ϕϕ

ϕϕϕϕ

senbsene

seneseny

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )( ) 2

122

2

22

22222

22

22222

1

1

/ 11

111

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

sene

seneay

senesenea

ysene

seneeay

−

⋅−⋅=

−⋅−⋅=⇒

−⋅−⋅−⋅=

3)

Y

X

Y

90º + ϕX

P

ϕ

ϕ

N

X


De la figura se tiene lo siguiente :

ϕϕ

coscos

xN

Nx =⇒= ; pero

( ) ( ) ϕϕ

ϕ

ϕ

ϕcos

1

1

cos

1

cos2

1222

122

⋅⋅−

⋅=⇒

⋅−

⋅=

sene

aN

sene

ax

por lo tanto ( ) 2

1221 ϕsene

aN

⋅−=

( )

( ) ( ) 21

2222

22

32

1cos 1

cos Si

cos'' ' ;'''1

−⋅−⋅⋅=⇒

⋅−⋅=

⋅=⇒−==+==

ϕϕϕ

ϕ

ϕϕϕρ

seneaxsene

ax

dxd

ecyctgdxdy

yyy

M

Diferenciando la expresión queda:

( ) ( )

( ) ( ) 21

2223

2222

21

22223

22

11cos

1cos2121

cos

−−

−−

⋅−⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅=

⋅−⋅⋅−+⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅−⋅⋅=

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕ

senesenaseneesena

senesenaseneseneaddx

( ) ( )[ ]( ) [ ]( ) ( )[ ]( ) [ ] ( ) [ ]22

32222

322

2222223

22

22222322

222223

22

11-1 /11

1cos pero ; 1cos1

1cos1

1cos1

esenesenaddx

esenesena

sensenesenesena

seneesenesena

seneesenesena

−⋅⋅−⋅⋅−=⇒⋅−⋅−⋅⋅=

=+⋅−+⋅⋅⋅−⋅⋅=

⋅+−⋅⋅⋅−⋅⋅=

⋅−−⋅⋅⋅−⋅⋅=

−⋅−

⋅−

⋅−

⋅−

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )2

23

222

23

2

2

2

23

222

23

2

2

23

22

23

22

2

11

cosec

cos1

11

cosec

1

11

1

1

esenasene

senM

esenasene

ctgM

esenasene

dxd

sene

esenaddx

−⋅⋅⋅−⋅

+

−=⇒

−⋅⋅⋅−⋅

+−=

−⋅⋅⋅−−=⇒

⋅−

−⋅⋅−=

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕ

ϕ

ϕϕϕ

ϕ

ϕϕ


( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) 2

322

2

23

222

2

2

23

222

2

3

2

23

222

3

2

23

222

23

2

2

23

222

23

2

22

1

1 tantolopor ;

11

1

1cosec

11

11

cosec

1

11

cosec

1

11

cosec

cos

ϕρ

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕ

ϕ

ϕϕϕ

ϕ

ϕϕϕ

ϕϕϕ

sene

eaM

senesen

sen

eaM

sene

esenasen

M

esenasene

senM

esenasene

senM

esenasene

sensen

M

⋅−

−⋅==⋅−⋅⋅

−⋅−=

⋅−⋅

−⋅⋅⋅−=⇒

−⋅⋅⋅−⋅

−=

−⋅⋅⋅−⋅

−=⇒

−⋅⋅⋅−⋅

+

−=

4) a) ( ) 0º si ; 1

=−

= ϕf

bN

( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( )

22

2122

122

22

22

22

2

2

2

2

2

2

2

22

2

222

21

2221

22

2 pero ; 1

1

/1

11

1 1 Si

0º0 º011

ffee

bN

e

ba

eb

a

eba

eab

ab

ab

aa

ea

bae

aNsensene

aN

sene

aN

−⋅=−

=∴−

=⇒−

=

−=⇒−=⇒−=−=⇒−=

=∴=⇒⋅−

=⇒⋅−

=ϕ

( )( ) ( ) ( )( ) 21

221

221

2 12121 f

bN

ff

bN

ff

bN

−=⇒

+⋅−=⇒

−⋅−=

Por lo tanto : ( )fb

N−

=1

b) 0º si ; 2

== ϕab

M

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )ab

Mab

aMab

eeab

eaMsene

eaM

sene

eaM

2

2

2

2

22222

2

2322

2

2322

2

tantolopor ; 11 Si

1 00ºsen ; º01

1

1

1

=⋅=⇒=−⇒−⋅=

−⋅=∴=⋅−

−⋅=⇒⋅−

−⋅=ϕ


5)

S

ϕϕ

ϕ1ϕ2

R

De la figura se tiene que:

( ) ( ) 21

2221

22 1

''1cos

1

cos''

ϕ

λϕ

ϕ

ϕλ

sene

arcaS

sene

aXRarcRS

⋅−

⋅∆⋅⋅=∴

⋅−

⋅==⇒⋅∆⋅=

Además sabemos que ( ) 2

1221 ϕsene

aN

⋅−= , por lo tanto ''1cos arcNS ⋅∆⋅⋅= λϕ

6) A: '20' 17' 70º ; ''10 '28 º37 −=−= λϕ ; B: '10' 25' 70º ; ''10 '28 º37 −=−= λϕ

Elipsoide WGS-84 ; 2572,2981

:6378135 == fa

180066943805,02572,2981

2572,2981

222

22 =

−⋅=−⋅= ffe

( )

( )( )

⋅−⋅⋅⋅⋅

=⋅−

⋅⋅⋅∆=

−2

6

21

22

'10' 28' 37º-sen05180,00669438-1

''10 '28 º37 cos637813510848136811,4''470

1

cos''1''

ϕ

ϕλsene

aarcS

mts. 13.115497936778769,0388.638605010·848136811.4 '·'470 6 =⇒⋅⋅= − SS


7)

L

ϕ1ϕ 2

a

b

M

M = radio de un circulo cuyo arco es dL ; ϕdMdL ⋅=

Hagamos que la curva C tenga las ecuaciones paramétricas ( )tfx = ; ( )tgy = y

supongamos que f’ y g’ son continuas en el intervalo cerrado [ ]ba, .Entonces la longitud

del arco L unidades de la curva C, desde el punto ( ) ( )[ ]agaf , hasta el punto

( ) ( )[ ]bgbf , , está determinado por :

Si 2/122 )1(

cosϕ

ϕsene

aX

⋅−⋅= ; y

2/122

2

)1()1(

ϕϕ

senesenea

Y⋅−

⋅−⋅=

2/322

2

)1()1(ϕ

ϕϕ sene

seneaddx

⋅−⋅−⋅−= ;

2/322

2

)1(cos)1(ϕ

ϕϕ sene

eaddy

⋅−⋅−⋅=

ϕϕ

ϕϕ

ϕd

seneea

senesenea

dL2

2/322

22

2/322

2

)1(cos)1(

)1()1(

⋅−

⋅−⋅+

⋅−

⋅−⋅−=

∫ +=b

a

dttgtfL 22 ))('())('(


∫ ⋅⋅−

−⋅=2

12/322

2

)1()1(ϕ

ϕ

ϕϕ

dsene

eaL

ϕϕ

ϕϕd

seneeasenea

dL )1(

cos)1()1(322

22222222

⋅−⋅−⋅+⋅−⋅=

ϕϕ

ϕϕd

senesenea

dL )1(

)cos()1(322

22222

⋅−+⋅−⋅=

ϕϕ

dsene

eadL

)1()1(

2/322

2

⋅−−⋅= ( )⇒∫/

∫ −⋅−⋅−⋅=2

1

2/3222 )1()1(ϕ

ϕ

ϕϕ dseneeaL

Para desarrollar esta integral utilizaremos el binomio de Newton (1 + x) –n cuando x2 < 1

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

8cos1281

6cos161

4cos327

2cos167

12835

6cos321

4cos163

2cos3215

165

)4cos2cos43(81

)2cos1(21

8

6

4

2

+−+−=

−+−=

+−=

−=

sen

sen

sen

sen

ϕ

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

12cos2048

1

10cos5123

8cos1024

336cos

51255

4cos2048495

2cos25699

1024231

10cos5121

8cos2565

6cos51245

4cos6415

2cos256105

25663

12

10

+−+−+−=

−+−+−=

sen

sen

..............................!6

)5)(4)(3)(2)(1(!5

)4)(3)(2)(1(!4

)3)(2)(1(!3

)2)(1(!2

)1(1)1(

65

432

−++++++++++

−++++++−++−=+ −

xnnnnnnxnnnnn

xnnnnxnnnxnnnxx n


∫

+++++++−=

2

1

..12sen12e1024300310sen10e

2566938sen8e

1283156sen6e

16354sen4e

18152sen2e

23

1*)21(

ϕ

ϕ

ϕϕϕϕϕϕϕ deaL

..............!6

213

211

29

27

25

23

!5211

29

27

25

23

432129

27

25

23

32127

25

23

2125

23

)(23

1))(1(

1212101088

6644

222/322

−⋅⋅⋅⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

+⋅⋅

⋅⋅⋅−

⋅

⋅⋅+⋅−−=⋅−+ −

senesenesene

senesenesenesene

ϕ

ϕϕϕϕ

......10243003

256693

128315

1635

1815

23

1))(1( 12121010886644222/322 +++++++=−+ − ϕϕϕϕϕϕϕ senesenesenesenesenesenesene

..........108642 +⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅= ϕξϕεϕδϕγϕβϕα sensensensensenL

( ) ( )22

12

;180

1ea

BeaA −⋅⋅=−⋅⋅= βπ

α

( ) ( )22 16

;14

eaD

eaC −⋅⋅=−⋅⋅= δγ

( ) ( )22 110

;18

ef

eaE −⋅=−⋅⋅= ξε

108642

6533643659

1638411025

256175

6445

43

1 eeeeeA ⋅

+⋅

+⋅

+⋅

+⋅

+=

108642

6553672765

20482205

512525

1615

43

eeeeeB ⋅

+⋅

+⋅

+⋅

+⋅

=

10864

1638410395

40962205

256105

6415

eeeeC ⋅

+⋅

+⋅

+⋅

=

1086

13107231185

2048315

51235

eeeD ⋅

+⋅

+⋅

=

108

655363465

16384315

eeE ⋅

+⋅

=

10

131072693

eF ⋅

=


8) El radio medio de curvatura o Radio Gaussiano, se define como la integral de Rα que

varía entre 0º y 360º Designando por Rm tal radio se tiene :

∫=π

ααπ2

0

21

dRRm

∫ ⋅+⋅⋅

=π

ααρα

ρπ

2

022 )cos(2

1d

senNN

Rm

Debido a la simetría, se considera sólo la integración del primer cuadrante, y dividiendo la

integral por α2cos⋅N , se tiene :

∫

⋅⋅+

⋅⋅

=2

02

2

2d

cos1

cos2π

α

ααρ

αρ

πN

senN

N

Rm

Sacando fuera de la integral N⋅ρ , obtenemos : ααρα

ρ

ρπ

π

dtg

N

NNRm 1

cos1

2 2

0 2

2

∫

⋅+

⋅⋅⋅⋅=

ααρααραρ2

2

cos ; sec ; Si

dN

dtdN

dttgN

t ⋅=⋅=⋅=

Reemplazando en la integral y cambiando los límites de integración, se tiene:

( )∫∞

+⋅⋅⋅=

021

2t

dtNRm ρ

π

si se tiene que : ∫∞ −

⋅⋅=⋅+0

1

cos1 n

ecmn

dxx

xm

m ππ; si m < n, luego se tiene que m = 1 y n = 2

∫∞ −

⋅=⋅+0

1

)2/(1

2)1( ππ

sendx

xx

n

m

; reemplazando en la formula del Rm de curvatura de Gauss,

tendremos:

)2/(1

22

ππρ

π senNRm ⋅⋅⋅⋅= ; si se tiene que π/2 = 90º , luego sen 90º = 1

por lo tanto el Radio medio de curvatura de Gauss, queda expresado por la siguiente

relación: NRm ⋅= ρ


Este Radio es de utilidad cuando se necesita el radio de una esfera que se aproxime al

elipsoide.

9) Si se desea calcular el área de una figura en el elipsoide, limitada por meridianos y

paralelos conocidos, es necesario conocer primero la figura diferencial que ella forma y

luego deducir su valor analítico.

λ1λ2

ϕ1

ϕ2

La figura diferencial formada por 2121 ,y , ϕϕλλ , nos muestra que :

21 ,ϕϕ ⇒ arco de meridiano

21 ,λλ ⇒ arco de paralelo

de las definiciones analíticas para la determinación de un arco de paralelo como para

encontrar el valor de un arco de meridiano, tendremos que:

Arco de paralelo = λϕ dN ⋅⋅cos

Arco de meridiano = ϕρ d⋅

de las definiciones anteriores tendremos entonces que la superficie de la figura sobre el

elipsoide formada por el perímetro 2121 ,y , ϕϕλλ , queda determinada por :

Superficie(S) = ⋅⋅⋅ λϕ dN cos ϕρ d⋅

( )

( ) ( )222

2

222

22

11

1

ϕϕρ

sene

b

sene

eaN

⋅−=

⋅−

−⋅=⋅


∫ ∫ ⋅⋅⋅−⋅=

2

1

2

122

2

)1(cosϕ

ϕ

λ

λ

λϕϕdd

senebS

Integrando respecto a λ se tendrá :

desarrollando al interior de la integral el valor de ( ) 2221−⋅− ϕsene , por medio de la serie

( ) ..;..........6543211 54322 +−+−+−=+ − xxxxxx se tendrá el desarrollo siguiente.

( ) ϕϕϕϕϕλ dsenesenesenebS .......4321cos 6644222 +⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅∆⋅=

∫ +⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅∆=2

1

6644222 .....)cos4cos3cos2(cos·ϕ

ϕ

ϕϕϕϕϕϕλ dsenesenesenebS

La superficie de una figura en el elipsoide queda entonces definida al resolver esta integral :

[ ( ) ( ) ( )

( ) ].........................74

53

32

17

276

15

254

13

232

122

+−⋅⋅

+−⋅⋅+−⋅⋅+−⋅∆⋅=

ϕϕ

ϕϕϕϕϕϕλ

sensene

sensenesensenesensenbS

Si deseamos calcular la superficie de la mitad del elipsoide, entonces definiremos que

πλλϕϕ 2º360 ,º0 ;º90 ,º0 2121 =====

+⋅

+⋅

+⋅

+⋅

+⋅

+⋅⋅= .............

116

95

74

53

32

12 1086422 eeeeebS π

La superficie total del elipsoide será la siguiente :

+⋅

+⋅

+⋅

+⋅

+⋅

+⋅⋅= .............

116

95

74

53

32

14 1086422 eeeeebS π

∫ ⋅⋅−

∆⋅=2

1222

2

)1(cosϕ

ϕ

ϕϕ

ϕλ dsene

bS

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