Guia Pucp de Ecuaciones Diferenciales

7/23/2019 Guia Pucp de Ecuaciones Diferenciales

http://slidepdf.com/reader/full/guia-pucp-de-ecuaciones-diferenciales 1/26

Capıtulo 1

Nociones Generales de

Ecuaciones Diferenciales

1.1. Introduccion

Dada una funcion y(x), su derivada y (x) puede interpretarse como razono velocidad de cambio de y con respecto a x. En cualquier proceso naturallas variables y sus velocidades de cambio se realizan entre si mediante losprincipios basicos que rigen este proceso en cualquier instante. Una ecuacion

que contiene una variable dependiente y sus derivadas con respecto a una omas variables independientes se llama Ecuacion diferencial.

Una Ecuaci´ on Diferencial Ordinaria , es aquella en que la funcion incogni-ta depende de una sola variable independiente.

Ejemplo 1 El radio se desintegra a una velocidad proporcional a la can-tidad presente.Esto se expresa

dQ

dt = kQ (1.1)

donde Q = Q(t) = cantidad de radio en el instante tk = constante de proporcionalidad.

Desde el punto de vista matematico, la ecuacion (1.1) dice que la velocidad dedecrecimiento de la funcion es proporcional a la funcion. Tal ley rige tambiena otros fenomenos fısicos.

1



CAP ITULO 1. NOCIONES GENERALES DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Ejemplo 2 Si y(t) es la funci´ on de posici´ on de una partıcula de masa m

a partir de alguna altura fija, d2

ydt2

representa su aceleraci´ on. Si la partıcu-

la cae y el aire ejerce una fuerza de resistencia proporcional a la veloci-

dad dy

dt entonces aplicando la Ley del Movimiento de Newton, Fuerza =

(masa )(aceleraci´ on ), tenemos

mg − kdy

dt = m

d2y

dt2

d2y

dt2 +

k

m

dy

dt = g. (1.2)

Una Ecuaci´ on Diferencial Parcial es aquella en que la funcion incognita de-pende de mas de una variable independiente, de tal modo que las derivadasque se encuentran son parciales.

Ejemplo 3 Sea µ = µ(x , y , z , t) una funci´ on de las coordenadas en el es-pacio (x , y , z ) y del tiempo t.La ecuaci´ on

∂ 2µ

∂x2 +

∂ 2µ

∂y2 +

∂ 2µ

∂z 2 =

1

k

∂µ

∂t (1.3)

donde k es constante, se denomina Ecuaci´ on del Calor.

1.2. Conceptos Basicos

El Orden de una ecuacion diferencial es el orden de la derivada de ordenmas alto que contiene la ecuacion.El Grado de una ecuacion diferencial que puede escribirse como un polino-mio en la variable desconocida y sus derivadas es el grado de la derivada demayor orden que contiene. Por ejemplo la ecuacion (1.1) es de primer ordeny primer grado. La ecuacion (1.2) es de segundo orden y primer grado.Convenimos en indicar en adelante las derivadas de una funcion y = y(x)por y, y, etc.

Una Soluci´ on o Integral de una ecuacion diferencial ordinaria en un intervaloI es una funcion derivable que no contiene derivadas y que satisface la ecua-cion en I en el sentido de comprobacion por sustitucion directa.Por ejemplo, la ecuacion diferencial del movimiento armonico simple

d2x

dt2 + k2x = 0, k constante positiva (1.4)

2 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias



tiene solucion x = sen kt, por que sustituyendo x = sen kt y sus derivadas en

(1.4) se obtiene una identidad.La funcion x = c1 sen kt, c1 constante arbitraria, es tambien solucion de (1.4).La funcion x = c1 sen kt + c2 cos kt donde c1 y c2 son constantes arbitrariasesenciales es la solucion general de (1.4).Las n constantes arbitrarias que contienen una expresion son esenciales si altransformar algebraicamente la expresion, el numero de constantes no puedereducirse.Una Soluci´ on General de una ecuacion diferencial es el conjunto de todas ocasi todas las soluciones.Una solucion que se obtiene asignando valores par-ticulares a las constantes arbitrarias de una solucion general de una ecuacion

diferencial se llama S olucion particular.Una solucion particular satisface ciertas condiciones adicionales.Las mas importantes son: condiciones iniciales y condiciones de frontera.Las Condiciones Iniciales son condiciones dadas para un valor de la variableindependiente; consisten en valores de la variable dependiente y sus deriva-das, todas dadas por el mismo valor de la variable independiente.Una ecuacion diferencial junto con las condiciones iniciales forman un pro-blema de valor inicial.Por ejemplo, supongamos que en la ecuacion (1.4) se conoce la posicion ini-

cial y(0) = y0, la velocidad inicial dy

dt(0) = v0, entonces la solucion particular

asume la formax =

v0

k sen kt + x0 cos kt

Si las condiciones estan dadas para mas de un valor de la variable indepen-diente, son llamadas Condiciones de Frontera . Una ecuacion diferencial juntocon condiciones de frontera constituyen un Problema de Valor en al Fronte-ra .Ası a la ecuacion (1.4) podemos agregar la posicion en dos instantes dife-rentes x(t1) = x1, x(t2) = x2 o las velocidades en dos instantes diferentes

v(t1) = v1, v(t2) = v2 donde v = dx

dt.

Geometricamente, una solucion general representa la ecuacion de una familiade curvas llamadas Curvas integrales de la ecuacion diferencial, y una solu-cion particular representa la ecuacion de algunas de esas curvas.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 3



CAP ITULO 1. NOCIONES GENERALES DE ECUACIONES DIFERENCIALES




Capıtulo 2

Ecuaciones Diferenciales de

Primer Orden

2.1. Existencia y Unicidad de las Soluciones

Presentamos varias formas de la ecuacion diferencial de primer orden

F (x , y , y) = 0 (2.1)

que contiene una sola funcion incognita y = y(x) y su primera derivada y.

Consideremos las ecuaciones que pueden resolverse respecto a y

y escribirseen la Forma Normal

y = f (x, y)

El siguiente Teorema de Existencia da condiciones suficientes, es decir si severifican las condiciones dadas queda garantizada la existencia y unicidad dela solucion; pero no son necesarias, es decir si no se satisfacen las condicionesaun puede haber una solucion unica.

Teorema 2.1 Sean f (x, y) y ∂f

∂y(x, y) funciones continuas de x e y en un

rect´ angulo cerrado R con lados paralelos a los ejes. Para cualquier puntointerior (x0, y0) de R existe un n´ umero h > 0 con la propiedad de que el problema de valor inicial

y = f (x, y) , y(x0) = y0 (2.2)

tiene una y solo una soluci´ on y = y(x) en el intervalo |x − x0| ≤ h

5



Nelida Medina

Observacion: La existencia de la solucion(pero no la unicidad) puede esta-

blecerse solo con la continuidad de f .El significado geometrico del Teorema 2.1 es el siguiente.

La ecuacion y = f (x, y) hace corresponder a cada punto (x, y) del rectanguloR la pendiente de la recta tangente a la grafica de una solucion de estaecuacion. Si en cada punto (x, y) de R indicamos la direccion de la recta conpendiente f (x, y) mediante un segmento obtenemos un campo de direcciones.Entonces el problema de encontrar una solucion de (2.2) puede formularseası: Encontrar en R una curva y = y(x) que pase por el punto (x0, y0) y queen cada uno de sus puntos tenga una tangente cuya pendiente sea dada porf (x, y).

La funcion f

(x, y

) en la ecuacion y

= f

(x, y

) siempre puede escribirsecomo cociente de dos funciones

y = −M (x, y)

N (x, y)

y como y = dy

dx, puede escribirse en la llamada Forma Diferencial

M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0.

Por ejemplo, la ecuacion diferencial

dy

dx = 3x + xy2

y + x2y

puede escribirse(3x + xy2)dx − (y + x2y)dy = 0.

La ecuacion diferencial

M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0

se dice que es de Variables Separables cuando cada una de las funciones M

y N contienen factores que dependen de una sola variable.Si M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 asume la forma

M (x)dx + N (y)dy = 0 (2.3)

donde M es una funcion solo de x y N es una funcion solo de y, se dice quees de Variables Separadas porque (2.3) puede escribirse

N (y)dy = −M (x)dx.




Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Si M y N son continuas en los intervalos I , J respectivamente, resolvemos

esta ecuacion diferencial integrando respecto a x N (y(x))

dy

dxdx = −

M (x)dx + c

N (y)dy = −

M (x)dx + c c constante

y la solucion general y = y(x) de la ecuacion diferencial (2.3) se ha obtenidoen forma implıcita.Es evidente que se obtiene la ecuacion (2.3) derivando (2.4) incluso cuandose escribe una funcion de c en lugar de c. Luego, se puede usar ln c, arctan c

o cualquier funcion de c en lugar de c con objeto de que la solucion asumauna forma mas simple.

Ejemplo 4 Halle la soluci´ on general de

yy = ex+2y sen x

Solucion: Dividimos la ecuacion por e2y para separar las variables

ye

−2y

dy = e

x

sen xdx.

Integramos por partes ambos miembros, el primero respecto a y y el segundo

respecto a x y designamos por −c

4 la constante de integracion,

−y

2e−2y −

1

4e−2y =

1

2ex(sen x − cos x) −

c

4

La solucion general buscada es

(2y + 1)e−2y = 2ex(cos x − sen x) + c

Ejemplo 5 Halle la soluci´ on particular de

x3dy + xydx = x2dy + 3ydx

tal que y = e cuando x = 2.




Nelida Medina

Solucion: Agrupamos los terminos

y(x − 2)dx = x2(1 − x)dy,

separamos las variablesdy

y =

x − 2

x2(1 − x)dx.

Descomponemos el segundo miembro en suma de fracciones parciales, luegointegramos y designamos por ln c la constante de integracion

dy

y =

1

x − 1 −

1

x −

2

x2

dx

ln y = ln(x − 1) − ln x + 2

x + ln c

o

y = cx − 1

x e

2

x .

Cuando sustituimos x = 2, y = e en la solucion general obtenemos c = 2,luego la solucion particular buscada es

xy = 2(x − 1)e2

x .

Algunas veces es preferible obtener la solucion del problema de valor inicial

M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0

y(x0) = y0

mediante integrales definidas. xx0

M (x)dx +

yy0

N (y)dy = 0. (2.4)

La funcion (2.4) es solucion del problema de valor inicial (2.4).Ası al aplicar integrales definidas en el ejemplo 2 obtenemos y

e

dy

y =

x2

1

x − 1 −

1

x −

2

x2

dx,

que al integrar da

ln y − 1 = ln(x − 1) − ln x + 2

x − (ln1 − ln 2 + 1)

oxy = 2(x − 1)e

2

x .





2.2. Ecuaciones Lineales de Primer Orden

El tipo mas importante de ecuacion diferencial es la Ecuacion Lineal enla que la derivada de orden superior es una funci on lineal de las derivadas deorden inferior y de la variable dependiente.La ecuacion

dy

dx + P (x)y = Q(x) (2.5)

donde P (x) y Q(x) son funciones de x se denomina Ecuaci´ on Lineal (en y)de primer orden.Si P (x) y Q(x) son funciones continuas en un intervalo I , esta puede trans-formarse en exacta mediante un factor integrante que depende de una sola

variable.La funcion P (x) = e

P dx es un factor integrante de (2.5).

Multiplicamos (2.5) por e P dx y resolvemos,

(dy + P (x)ydx)e Pdx = Q(x)e

P dxdx

d(ye P dx) = Q(x)e

P dxdx

y = e− P dx

Q(x)e

Pdxdx + c

(10)

es la solucion general.Observacion: Por (10) la solucion de una ecuacion lineal es una funcion

explıcita.Ejemplo 6 Resolver la ecuaci´ on

(y − x + xy cot x)dx + xdy = 0

Solucion. Escribimos esta ecuacion de la forma

dy

dx +

1

x + cot x

y = 1

que tiene factor integrante

exp

1x + cot x

dx

= elnx+lnsenx = x sen x.

Multiplicamos la ecuacion anterior por x sen xdx

x sen xdy + (sen x + x cos x)dy = x sen xdx,

d(yx sen x) = x sen xdx




Nelida Medina

e integramos

xy sen x = −x cos x + sen x + c.La solucion general es

y = − cot x + 1

x + c

csc x

x

Ejemplo 7 La aceleraci´ on vertical de un cohete de combustible s´ olido se

define por dv

dt = kexp(−bt) − cv − g, donde k, b y c son constantes, v es

la velocidad, g la aceleraci´ on de la gravedad (constante cuando vuela en la atm´ osfera). El termino exponencial representa el efecto del empuje que dis-

minuye a medida que quema el combustible y el termino cv es el del frenadodebido a la resistencia atmosferica. Hallar la velocidad vertical del cohete t

segundos despues del encendido.

Solicion. Escribimos la ecuacion en la forma

dv

dt + cv = ke−bt − g.

Un factor integrante de la ecuacion es ect; con este factor resolvemos la ecua-cion,

e

ct

dv + cve

ct

dt = (ke

(c−b)t

− ge

ct

)dtvect =

k

c − be(c−b)t −

g

cect + c1

Cuando t = 0, v = 0, luego c1 = g

c −

k

c − b.

La solucion es v = k

c − b(e−bt − e−ct) +

g

c(e−ct − 1).

2.3. Ecuaciones que pueden resolverse por cam-

bio de variables2.3.1. Ecuaciones Diferenciales Homogeneas

Una funcion f (x, y) es homogenea de grado n si

f (tx, ty) = tnf (x, y) (2.6)





para todos los valores de t, x, y.

Por ejemplo, la funcion f (x, y) =

2x2

+ 3y2

es homogenea de grado 1,pues si se reemplazan x e y por tx, ty se convierte en

f (tx, ty) =

2(tx)2 + 3(ty)2 = t

2x2 + 3y2 = tf (x, y)

La funcion f (x, y) = x5e

y

x

x2 + 2y2 − y3 tan

x

y

es homogenea de grado 3; cual-

quier funcion polinomial en x, y cuyos terminos sean del mismo grado eshomogenea.

La ecuacion diferencial

M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0

es homogenea si M y N son funciones homogeneas del mismo grado.Sea la ecuacion M dx + N dy = 0.

Supongamos que M y N son funciones homogeneas de grado n. Mediante elcambio de variable

y = ux, dy

dx = x

du

dx + u (2.7)

donde n es una funcion de x, la ecuacion

dy

dx = −

M (x, y)

N (x, y)

se transforma en

xdu

dx + u = −

M (x,ux)

N (x,ux) = −

xnM (1, u)

xnN (1, u) = −

M (1, u)

N (1, u) = f (u)

o

xdu

dx + u = f (u)

y por consiguiente la ecuacion original se transforma en

− du

f (u) − u −

dx

x = 0

que es una ecuacion de variables separadas.

Ejemplo 8 Resolver la ecuaci´ on.

xdx + sen2y

x

(ydx − xdy) = 0.




Nelida Medina

Solucion. Esta ecuacion es homogenea por que los coeficientes de dx, dy son

funciones homogeneas de primer grado.Sustituimos y = ux, dy = udx + xdu en la ecuacion dada y se convierte en

xdx − x2 sen2 udu = 0

Separamos las variables e integramos

ln x − u

2 +

sen2u

4 = ln c.

En terminos de las variables originales la solucion es

ln x2

− y2x

+ 14

sen 2yx

= c1, c1 = ln c.

2.3.2. Ecuaciones de Bernoulli

La ecuaciondy

dx + P (x)y = Q(x)yn (2.8)

ody + P (x)ydx = Q(x)yndx

donde n = 0, 1; P, Q son funciones de x se denomina Ecuaci´ on de Bernoulli Para resolver (2.8) dividimos la ecuacion (2.8) entre yn

y−n dy

dx + P (x)y1−n = Q(x)

y usamos el cambio de variable

z = y1−n, dz

dx = (1 − n)y−n dy

dx (2.9)

que transforma (2.9) en la ecuacion lineal en z

dz

dx + (1 − n)P z = (1 − n)Q.

Ejemplo 9 Encontrar la soluci´ on particular de

(y4 − 2xy)dx + 3x2dy = 0; cuando x = 2, y = 1.





Solucion.La ecuacion puede escribirse en la forma

dy

dx −

2

3xy = −

y4

3x2.

Dividimos la ecuacion por y4

y−4 dy

dx −

2

3xy−3 = −

1

3x2.

El cambio de variable

y−3 = z , −3y−4 dy

dx

= dz

dxtransforma la ecuacion anterior en

dz

dx +

2

xz =

1

x2

que es lineal en z , y tiene solucion

x2z = x + c.

Como z = y−3 resulta finalmente

x2 = y3(x + c).




Nelida Medina




Capıtulo 3

Ecuaciones Lineales de Segundo

Orden con CoeficientesConstantes

3.1. Ecuaciones Lineales de Segundo Orden

Una Ecuaci´ on Lineal de Segundo Orden es una ecuacion de la forma

P 0(x)y + P 1(x)y + P 2(x)y = R1(x)

o simplemente,P 0y + P 1y + P 2y = R1

en donde P 0(x), P 1(x), P 2(x), R1(x) son funciones de x definidas en unintervalo I . Si P 0 es no nula en I , dividimos la exuacion anterior entre P 0 yse obtiene una ecuacion de la forma

y + P y + Qy = R (3.1)

que estudiaremos sin perder generalidad.Las funciones P, Q se llaman Coeficientes de la ecuacion (3.1) se llama Ecua-

cion no Homogenea. En este caso es de gran utilidad estudiar primero laecuacion.y + P y + Qy = 0

obtenida de la ecuacion (3.1) reemplazando el segundo miembro por la fun-cion nula. Esta ecuacion se llama Ecuaci´ on Reducida u Homogenea corres-pondiente a la ecuacion (3.1).

15



Nelida Medina

Por ejemplo, las ecuaciones

y + 4y = 3 sen 2x

y + xy + x2y = x3

son ecuaciones lineales de segundo orden.Hacemos la observacion de que en general la ecuacion (3.1) no puede ser

resuelta explıcitamente en terminos de funciones elementales conocidas.

La mayor parte de los conceptos y metodos de resolucion que se analizanpara ecuaciones de segundo orden pueden ser aplicados por extension naturala ecuaciones lineales de orden superior sin cambios en los principios basicosy solo con una mayor complejidad en los calculos y/o detalles necesarios.

Teorema 3.1 (Teorema de Existencia y Unicidad) Si las funciones P, Q, R

son continuas en un intervalo I , entonces existe una y solo una funci´ on y = y(x) que satisface la ecuaci´ on diferencial.

y + P y + Qy = R

y las condiciones iniciales

y(x0) = y0, y(x0) = y

0

en un punto x0 en el intervalo I .

Notamos que las condiciones iniciales, el valor de la solucion y su primeraderivada en un punto fijo del intervalo, determinan una solucion unica de(3.1).

Teorema 3.2 Si P, Q son funciones continuas en un intervalo I , entonces la ecuaci´ on homogenea

y + P y + Qy = 0 (3.2)

tiene dos soluciones linealmente independientes en I .Si y1(x), y2(x) son dos soluciones de (3.2), entonces la combinaci´ on lineal

c1y1(x) + c2y2(x)

en donde c1 y c2 son constantes arbitrarias, tambien es soluci´ on de (3.2)




Ecuaciones Lineales de Segundo Orden con Coeficientes Constantes

Demostracion. Reemplazamos c1y1 + c2y2 y sus derivadas en la ecuacion

(3.2)(c1y1 + c2y2) + P (c1y1 + c2y2) + Q(c1y1 + c2y2)= c1(y

1 + P y1 + Qy1) + c2(y2 + P y2 + Qy2)= c1 · 0 + c2 · 0 = 0.

Luego, c1y1 + c2y2 tambien es solucion de (3.2).

Si y1, y2 son dos soluciones linealmente independientes de (3.2), la com-binacion lineal

c1y1 + c2y2

es llamada la Soluci´ on General de (3.2) y se dice que y1 y2 forman un Conjunto

Fundamental de soluciones de la ecuacion (3.2).El hecho de que una combinacion lineal de soluciones de una ecuacion linealhomogenea sea tambien solucion de la ecuacion se conoce como Principio de Superposici´ on .

Ahora explicamos el significado de independencia lineal de dos funciones.

Las funciones f 1, f 2 son linealmente dependientes en un intervalo I siexisten dos constantes c1, c2, no nulas ambas tales que

c1f 1(x) + c1f 2(x) = 0

para todo x en I . Si c1 = 0 la condicion anterior es equivalente a

f 1(x) = −c2

c1f 2(x)

x en I ; esto es, una funcion es un multiplo constante de la otra.Las funciones f 1, f 2 son Linealmente Independientes en I si no son lineal-mente dependientes en I . Ası, f 1, f 2 son linealmente independientes en I silas unicas constantes c1, c2 tales que c1f 1(x) + c1f 2(x) = 0 para todo x en I

son las constantes c1 = 0, c2 = 0. Equivalentemente, ninguna funcion es unmultiplo constante de la otra.

Ejemplo 10 Las funciones em1x, em2x con m1 = m2 son linealmente in-dependientes en la recta real IR.

Ejemplo 11 Las funciones emx, xemx son linealmente independientes en IR.




Nelida Medina

3.2. Ecuaciones Lineales Homogeneas con Coe-

ficientes Constantes

La solucion de la ecuacion lineal homogenea de primer orden

y + py = 0

p constante, es y = e− px. Trataremos de encontrar soluciones de la ecuacion

y + py + qy = 0 (3.3)

p, q constantes, de la forma y = emx donde m se elige en forma adecuada.Sustituimos y = emx, y = memx, y = m2emx en (3.3) y obtenemos

emx(m2 + pm + q ) = 0.

Ya que emx > 0, ∀x ∈ IR, debemos tener

m2 + pm + q = 0.

En consecuencia emx es una solucion de (3.3) siempre que m sea una raız dela ecuacion

m2 + pm + q = 0 (3.4)

llamada Ecuaci´ on Caracterıstica o Ecuaci´ on Auxiliar de (3.3).Segun el Teorema Fundamental del Algebra, la ecuacion caracterıstica con

coeficientes reales tiene dos raıces que pueden ser- Reales distintas

- Reales iguales

- Complejas conjugadas.

Las raıces de la ecuacion caracterıstica (3.4) son

m1 = − p +

p2 − 4q

2 , m2 =

− p −

p2 − 4q

2 . (3.5)

1. RA´ICES REALES DISTINTASSi las dos raıces de la ecuacion (3.4), m1, m2 son reales y distintas,

entonces em1x, em2x son linealmente independientes y segun el teorema3.2

y = c1em1x + c2em2x (3.6)

es la solucion general de (3.3)





Ejemplo 12 Resolver la ecuaci´ on

4y − 7y + 3y = 0

Solucion. La ecuacion puede escribirse en la forma

y − 7

4y +

3

4y = 0.

La ecuacion caracterıstica correspondiente es

m2 − 7

4m +

3

4 = 0

o4m2 − 7m + 3 = 0

con raıces 1, 3

4. La solucion general es

y = c1ex + c2e3x

4 .

2. RAICES REALES IGUALESSi las dos raıces de la ecuacion (3.5) son reales e iguales, m1 = m2,

tenemos unicamente la solucion y1 = em1x con m1 = p

2.

La funcion y2 = xem1x

es una segunda solucion dey + py + qy = 0.

En efecto, sustituyendo y2 y sus derivadas en esta ecuacion se obtiene:

(xem1x) + p(xem1x) + q (xem1x)= xem1x(m2

1 + pm1 + q ) + em1x(2m1 + p)= 0.

El primer grupo de terminos en parentesis es nulo por que m1 es solucionde la ecuacion caractrıstica y el segundo grupo es nulo por que

2m1 + p = 2

− p

2

+ p = 0.

Las funciones em1x, xem1x son linealmente independientes, entonces lasolucion general es

y = c1em1x + c2xem1x. (3.7)




Nelida Medina

Ejemplo 13 Encontrar el valor de y para x = 2 en la soluci´ on par-

ticular del problema de valor inicial

4y − 4y + y = 0,

y(0) = −2, y(0) = 2.

Solucion. La ecuacion caracterıstica correspondiente es

4m2 − 4m + 1 = 0

con raıces 1

2, 1

2. La solucion general es

y = (c1 + c2x)ex

2 ,

Para obtener la solucion particular derivamos

y =c1

2 + c2 +

c2x

2

ex

2 .

Las condiciones iniciales en x = 0 dan c1 = −2, c2 = 3. La solucionparticular es

y = (−2 + 3x)ex

2

y de aquı cuando x = 2, y = 4e.

3. RAICES COMPLEJASEn algebra se demuestra que si ocurren raıces complejas, ellas se danen pares conjugados. Si una raız de la ecuacion caracterıstica (3.4) esα + iβ , otra es α − iβ , α, β reales. Como las raıces son diferentes, lasolucion general es

y = c3e(α+iβ)x + c4e(α−iβ)x

donde c3 c4 son constantes arbitrarias.

La solucion general en esta forma tiene la desventaja de que las funcio-nes e(α+iβ)x, e(α−iβ)x toman valores complejos.Para expresar la solucion como una combinacion lineal de solucionesde valores reales aplicamos la Formula de Euler

eiβx = cos βx + i sen βx.





Entonces,

y = c3e(α+iβ)x + c4e(α−iβ)x

= eαx[c3(cos βx + i sen βx) + c4(cos βx − i sen βx)]

= eαx[(c3 + c4)cos βx + i(c3 − c4)sen βx]

y = eαx[c1 cos βx + ic2 sen βx] (3,8)

o y = Ceαx sen(βx + φ)

donde C =

c21 + c22, tan φ = c1

c2.

Ejemplo 14 Resolver la ecuaci´ on

md2y

dt2 + ky = 0.

Solucion. Esta ecuacion puede escribirse en la forma

d2y

dt2 + ω2y = 0, ω =

k

m.

La ecuacion caracterıstica es m2 + ω2 = 0 cuyas raıces son ω i, −ωi. La

solucion general es

y = c1 cos ωt + c2 sen ωt.

Teorema 3.3 Sea la ecuaci´ on lineal no homogenea

y + P (x)y + Q(x)y = R(x) (3.8)

donde P, Q, R son funciones continuas en un intervalo I .Si yc = c1y1(x)+c2y2(x) es la soluci´ on general de la correspondiente ecuaci´ on homogenea

y

+ P (x)y

+ Q(x)y = 0y y p es cualquier soluci´ on de (3.8), entonces

y = c1y1(x) + c2y2(x) + y p (3.9)

es la soluci´ on general de (3.8) en I .




Nelida Medina

Demostracion. Si y, y p son soluciones de la ecuacion no homogenea (3.8)

se demuestra facilmente que y − y p es solucion de la correspondiente ecuacionhomogenea. En efecto,

(y − y p) + P (y − y p) + Q(y − y p) = (y + P y + Qy) − (y p + P y p + Qy p)

= R − R = 0

Como yc = c1y1(x) + c2y2(x) es la solucion general de y + P y + Qy = 0 sededuce que

y − y p = c1y1(x) + c2y2(x)

o

y = y p + c1y1(x) + c2y2(x).La solucion general de y + P y + Qy = 0, yc, se llama Solucion Complemen-taria y una solucion cualquiera de (3.8), y p se llama soluci´ on Particular de(3.8).Para encontrar la solucion general de la ecuacion no homogenea (3.8) tenemosque resolver dos problemas:

1. Hallar la solucion general, yc, de la ecuacion y + P y + Qy = 0.

2. Hallar cualquier solucion y p de la ecuacion no homogenea (3.8).

Algunas veces el termino no homogeneo R(x) de (3.8) es complicado.En caso de que R(x) pueda expresarse como suma de dos funciones R1(x) +R2(x), reemplazamos el problema de hallar una solucion particular de (3.8)por el de hallar soluciones particulares de las ecuaciones mas simples y +P (x)y + Q(x)y = R1(x), y + P (x)y + Q(x)y = R2(x). La suma de estassoluciones particulares es tambien solucion de (3.8).

3.3. Ecuaciones Lineales no Homogeneas conCoeficientes Constantes

Sea la ecuaciony + py + qy = R(x)

donde p, q son funciones constantes, R es continua en un intervalo. Hayvarios metodos para hallar una solucion particular de esta ecuacion; unomuy utilizado es el siguiente.





3.3.1. Metodo de los Coeficientes Indeterminados

Este metodo es el mas sencillo, tiene la ventaja que solo requiere de-rivacion, la desventaja es que solo es aplicable a ciertas formas del segundomiembro tales como un polinomio, una funcion exponencial, una funcion senoo coseno o alguna combinacion lineal de estas funciones. Aquı se conoce laforma de una solucion particular con coeficientes desconocidos que luego sedeterminan con ayuda de la ecuacion diferencial dada.

Sea la ecuacion con coeficientes constantes

y + py + qy = R(x).

Si el segundo miembro R(x) contiene alguno de los terminos cxn cemx c sen βx c cos βxcxneαx cxneαx sen βx cxneαx cos βx

donde n es entero positivo o nulo, c, α, β son constantes reales o una combi-nacion lineal de ellos entonces hallamos una solucion particular y p aplicandoel Metodo de los Coeficientes Indeterminados que consiste en lo siguiente:

1. Tomamos los terminos linealmente independientes que se obtienen delsegundo miembro y sus sucesivas derivadas. Se disponen los terminosen grupos tales que cada uno contenga todos los terminos derivados dealgun termino de R(x).

2. Si algun grupo contiene un termino que esta en la solucion complemen-taria, se multiplican todos los terminos del grupo por la menor potenciade x que hace que todos los terminos sean distintos de cualquiera delos de la solucion complementaria.

3. La solucion particular y p consiste en la suma de productos de cadatermino ası obtenido y un coeficiente por determinarse.

4. Para determinar los coeficientes, se sustituye y p en la ecuacion diferen-cial dada. Luego, se igualan los coeficientes de terminos semejantes yse resuelve el sistema resultante.

Ejemplo 15 Encontrar una soluci´ on particular de

y − 5y + 6y = ex + 36x2 − 2.




Nelida Medina

Solucion. La solucion (complementaria) correspondiente a la ecuacion ho-

mogeneay − 5y + 6y = 0

es

yc = c1e2x + c2e3x

El segundo miembro contiene los terminos ex, x2, 1.Las derivadas diferentes son ex, 2x, 2. Los terminos linealmente independien-tes son ex, x2, x, 1.Ninguno de ellos aparece en la solucion complementaria.Entonces la solucion particular y p tiene la forma

y p = Aex

+ (Bx2

+ Cx + D)

Para determinar los coeficientes A, B , C, D sustituimos y p en la ecuaciondiferencial dada

(Aex+Bx2+Cx+D)−5(Aex+Bx2+Cx+D)+6(Aex+Bx2+Cx+D) = ex+36x2−2.

Simplificamos,

2Aex + 6Bx2 + (−10B + 6C )x + (2B − 5C + 6D) = ex + 36x2 − 2.

Igualamos los coeficientes de los terminos semejantes y obtenemos el sistema

2A = 16B = 36

−10B + 6C = 02B − 5C + 6D = −2

cuyas soluciones son A = 1

2, B = 6, C = 10, D = 6.

La solucion particular de la ecuacion diferencial es

y p = 12

ex + 6x2 + 10x + 6.

Ejemplo 16 Hallar la soluci´ on general de

y + y = −2sen x + 4x cos x.





La solucion complementaria es

yc = c1 sen x + c2 cos x.

El segundo miembro contiene los terminos sen x, x cos x.Las derivadas son cos x, −x sen x. Los terminos linealmente independientesson x sen x, x cos x, cos x, sen x. La solucion particular serıa de la forma

Ax sen x + Bx cos x + C sen x + D cos x.

Sin embargo,la funcion sen x ya forma parte de la solucion complementaria yc

y por lo tanto debemos multiplicar por x todos los terminos de esta expresion.

Entonces y p = x(Ax sen x + Bx cos x + C sen x + D cos x).

Sustituyendo esta expresion en la ecuacion diferencial tenemos

−4Bx sen x + 4Ax cos x + (2A − 2D)sen x + (2B + 2C )cos x

= −2sen x + 4x cos x.

Igualando los coeficientes de terminos semejantes hallamos A = 1, B =0, C = 0, D = 2.Luego,

y p = x2 sen x + 2x cos x

y la solucion general es

y = c1 sen x + c2 cos x + 2x cos x + x2 sen x.

La siguiente tabla resume la explicacion anterior.Ecuacion Diferencial y + py + qy = R(x)

Terminos en R(x) Forma de la solucion particular y p(x)P n(x) xk(A0xn + A1xn−1 + . . . + An)

P n(x)eαx xk(A0xn + A1xn−1 + . . . + An)eαx

P n1(x)sen βx + Qn2(x)cos βx xk[(A0xn + A1xn−1 + . . . + An)sen βx

+(B0xn + B1xn−1 + . . . + Bn)cos βx]

eαx[P n1(x)sen βx + Qn2(x)cos βx] xkeαx[(A0xn + A1xn−1 + . . . + An)sen βx

+(B0xn + B1xn−1 + . . . + Bn)cos βx]




Nelida Medina

P n(x), P n1(x), Qn2, representan polinomios de grados n, n1, n2 respectiva-

mente.n = max(n1, n2)xk =menor potencia de x que evita la duplicidad de terminos en y p y yc.


Guia Pucp de Ecuaciones Diferenciales

Documents

Transcript of Guia Pucp de Ecuaciones Diferenciales