Gua 1DFamilia de Curvas OrtogonalesDiego Vallejo, Melina Podest, Eva Almirn2do. Semestre 2015

Lneas de fuerza (color violeta) en conjuntocon las lneas de igual potencial elctrico (co-lor amarillo) para un conjunto de seis cargaselctricas iguales colocadas en los vrtices deun hexgono.http://physics.stackexchange.com/questions/ 108929/ electric- field-inside- a-regular- polygon- with- corner-charges

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Trayectos Ortogonales.

Energa potencial y lneas Verticales. Presin y lneas de Corriente.

Supongamos que queremos estudiar la dinmica de un cuerpo pun-tual cerca del suelo terrestre. En la direccin horizontal dibujemos eleje x mientras que en la vertical el eje y. En Fsica se puede analizaresta situacin mediante una familia de curvas: las curvas equipotencia-les o curvas de igual energa potencial, definidas de tal modo que alo largo de una de esas lneas dada, no vara la Energa potencial: esmgy = Ep = Constante (en este caso son lneas de igual altura, o searectas paralelas al suelo). Tambin resultan tiles las rectas verticales(paralelas al vector Peso P = mg).

Es interesante ver una analoga de esta situacin con el flujo deagua en un conducto por diferencia de presin. Nuevamente hay dosfamilias de curvas: Las isobaras (lneas de igual presin) que se cortancon otra familia de curvas (las lneas tangentes a los vectores velocidaddel agua).

Qu propiedad relaciona estas dos familias de curvas?Y adems, matemticamente:Qu significa que dos lneas curvas se corten en ngulo recto?Tomate un tiempo para pensarlo, pods crear ejemplos, de curvas

que se cortan...

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Dos rectas perpendiculares. Dos curvas perpendiculares...

Situacin ^Considere dos rectas que se cortan en ngulo recto, como se ve en el

dibujo.

1. Calcule las pendientes de cada recta.

2. Qu relacin hay entre sus pendientes?

3. Y para un caso cualquiera en que las dos rectas son perpendicula-res? Qu mirara usted en la ecuacin de ambas rectas para saber sison perpendiculares?

4. Si una de las rectas posee pendiente 3, la otra qu pendiente tendr?Y si una tiene una pendiente cualquiera m, la otra qu pendienteposeer?

5. Cunto vale el producto de las pendientes de dos rectas que secortan en ngulo recto?

Ahora considere que estas dos rectas son rectas tangentes a doscurvas dadas que pasan por el mismo punto.

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1. Dado que la recta R1 es tangente a la curva C1 Qu relacin mate-mtica tiene esa recta R1 con la curva C1? Y, del mismo modo, cules la relacin habr entre la recta R2 y la curva C2?.

2. Supongamos que la curva C1 tiene la ecuacin y = y1(x). Culser la pendiente de la recta R1? Evaluada en qu valor de x?

Y si la curva C2 tiene ecuacin y = y2(x) Cul ser la pendiente dela recta R2? Evaluada en qu valor de x?

3. Qu relacin habr entre y1(x) y la y2(x)?

Ejemplo Supongamos que y1(x) = x2 y que y2(x) = 1/x.

1. En qu punto se cortan?

2. Grafic la situacin.

3. Las grficas de cada funcin Tienen recta tangente en el punto decorte? Grafic las rectas tangentes.

4. Pods utilizar el concepto de derivada para saber si se cortan enforma ortogonal (es decir perpendicular, en ngulo recto)?

5. Pods verificar lo anterior midiendo en el grfico? Concepto previo: Cmo medir ngulos rec-tos: pods utilizar un transportador... y si notens... hoja doblada dos veces... y si no?

En Sntesis:

Si el producto de las pendientes dedos rectas vale 1, ambas rectasson ortogonales o perpendiculares(se cortan en ngulo recto)

Una Asociacin entre Familia de Curvas y Ecuacin Diferencial

Situacin ^Hasta ahora hemos estudiado mtodos para Resolver es decir hallar la

Solucin General para una Ecuacin Diferencial conocida. Si grafica-mos una Solucin General tendremos una Familia de Curvas, es decir:

Ecuacin Diferencial Familia de Curvas.

As como la Derivacin tiene como operacin inversa a la Integra-cin, y elevar al cuadrado, tiene como inversa a la raz cuadrada, ha-br una operacin inversa para este proceso? O sea: Podremos ob-tener la Ecuacin Diferencial a partir de la ecuacin de la Familia deCurvas?

Investigaremos cmo podra hacerse este proceso:

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1. Sea la familia de curvas y = 3x + C.

a) Derivala.

b) Comprob que la constante indeterminada C ya no est ms. Esaecuacin quedar y = 3.

c) Notemos que y = 3 es una ecuacin, y contiene una derivada.Por lo tanto es una Ecuacin Diferencial. Diremos que y = 3es la Ecuacin Diferencial Asociada a la Familia de curvas y =3x + C.

d) Eso significa que todas las curvas (en este caso son lneas rectas)de la familia comparten una caracterstica: Podras decir cul es?

2. Sea la familia de curvas y = mx.

a) Qu clase de curvas son?

b) Qu tienen en comn todas ellas?

c) Deriv la ecuacin.

Pudiste eliminar la constante indeterminada m?

d) O sea, te quedaste con estas dos ecuaciones...y = mxy = mqu podras hacer para eliminar la m?

e) A estas alturas podras tener escrita en tu carpeta una ecuacin.Nuevamente es una Ecuacin Diferencial asociada con la Familiade curvas y = mx.

O sea, mediante el proceso de Derivar-Eliminar podemos obteneruna Ecuacin Diferencial a partir de la ecuacin de una Familia deCurvas, (que en este curso tambin la llamamos Solucin General).

Familia de CurvasEcuacin Diferencial

Resolver la ED

Derivar-Eliminar la Constante DefinicinDiremos que una Familia de curvas y una Ecuacin diferen-

cial estn asociadas:

1. Si al resolver una ecuacin diferencial obtenemos a la familia decurvas como solucin general, o,

2. si al derivar y eliminar la constante indeterminada de la familia decurvas obtenemos la ecuacin diferencial.

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Ejercitacin Para cada Familia de Curvas halla su Ecuacin diferencial asociada:

1. y = Cx2 2. y = Cex 3. xy = C 4. y = C ln(x)

Ahora, con dos familias de trayectos

Hasta ahora sabemos verificar si dos curvas que se cortan, se cor-tan en ngulo recto, mediante el chequeo de si las pendientes de sustangentes, multiplicadas entre s dan 1.

Ahora consideremos que en vez de tener dos curvas, tenemos dosfamilias de curvas.

Situacin ^

* Situacin 1:Sea la familia de curvas 1: y = 2x + C y la familia de curvas 2:

y = 12

x + C.

2 0 2 42

0

2

4

xy

Dos Familias de Rectas Ortogonales.

1. Qu tipo de curvas son? (ej: exponenciales, trigonomtricas, linea-les, polinmicas...)

2. Si tomas una recta cualquiera de la Familia 1 y una recta cualquierade la Familia 2 Cunto vale el producto de sus pendientes? Im-porta que recta tomes?

* Situacin 2:

Consideremos nuevamente (fijate en el item 2, en la pgina 5) laFamilia de curvas 1 dada por y = mx.

3. Qu tipo de curvas son?

4. Grafica tres curvas de la familia para m = 0, m = 1/2, m = 1.

5. La Familia de curvas 2 est dada por: x2 + y2 = r2. Qu tipo decurvas son?

6. Grafic tres curvas para r = 1, r = 2, r = 3.

7. Mirando el grfico, te parece que son Familias de curvas ortogo-nales?

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8. Mirando sus ecuaciones qu podras hacer para saber si son fa-milias de curvas ortogonales? Si no se te ocurre qu hacer con lasfamilias... que podras hacer tomando una curva en particular decada familia? Esas dos curvas, se cortan en ngulo recto? Y mirandoese caso particular, podras deducir qu pasar (si son ortogonaleso no) en el caso de las familias de curvas?

En base a lo trabajado en la ejercitacin anterior,

DefinicinFamilias de Curvas ortogonales: Son aquellas que en todo punto

de corte sus tangentes tienen pendientes cuyo producto es 1. Es decirque admiten derivadas y verifican que:

y1y2 = 1

Ejemplo Consigna: Verifica si las Familias de Curvas de la Situacin 2 son

Familias de Curvas Ortogonales.

Solucin:

1. Para las Familias de curvas de la Situacin 2, calculemos sus de-rivadas:

Concepto previo: Derivada implcita: Co-mo hacs para derivar cuando no est des-pejada ninguna variable? Por ejemplo cmohacs para hallar la pendiente de la tangente(y) en un punto de la ecuacin de una cir-cunferencia: x2 + y2 = 9 ?

Familia de Curvas 1

y = mx

y = my = yx (lo hicimos en pg 5)

y = yx

Familia de Curvas 2

x2 + y2 = r2

2x + 2yy = 0x + yy = 0

y = xy

x

y

Las Familias de rectas que pasan por elorigen y de Circunferencias con centroen el origen son Familias ortogonales.

y multiplicando las dos derivadasyx( x

y) = 1. Por la definicin

anterior, son dos Familias de curvas ortogonales. Veamos el grfico:

Ejercitacin Determin si las siguientes Familias de Curvas son ortogonales

1. y = Cx2 y y = Cex

2. y = Cx2 yx2

2k+

y2

k= 1

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3. xy = C y x2 y2 = C(AGREGAR EJERCICIOS)

Ejemplo Consigna: Encuentra y grafica la familia de curvas ortogonal a la

familia de curvas:x2

3C+

y2

C= 1.

Solucin:Previamente, identifiqu qu tipo de curvas son. Fui al sitio web dewolframalpha y tipe:

x^2/3+y^2=1, x^2/6+y^2/2=1, x^2/9+y^2/3=1

Porqu escrib eso? -3 -2 -1 1 2 3x

-2

-1

1

2

y

Familia de Elipses con centro en elorigen.

Ah v que son elipses centradas en el origen.

1. Hallamos la Ecuacin Diferencial ED1 Asociada a la Familia decurvas FC1 (las Elipses):

x2

3C+

y2

C= 1

derivo

2x3C

+2yy

C= 0

multiplico porC2

en ambos lados

x3+ yy = 0

y = x3y

[ED1 asociada a FC1]

2. Hallamos la Ecuacin Diferencial ED2 Asociada a la FC2 (que anno conocemos), reemplazando 1/y donde dice y (porqu?)

1y =

x3y

[ED2 asociada a FC2]

y = 3yx

3. Resuelvo Concepto previo: Cmo te llevs con laspropiedades de los Logaritmos? Opins quelas vamos a utilizar en este curso o no? Si note las acords sera conveniente repasarlas?Cundo?

(Por cul mtodo puedo resolverla? Separable, Lineal, Euler?)

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y = 3yx

dydx

dx =3yx

dx

1y

dy = 31x

dx 1y

dy = 3 1

xdx

ln y = 3 ln x + C

ln y = ln x3 + ln k Llamaremos ln k a C

ln y = ln(k.x3)

y = k.x3 [Familia de Curvas FC2]

-3 -2 -1 1 2 3x

-2

-1

1

2

y

Las Familias de elipses y de curvascbicas son familias de curvas

ortogonales.

Veamos el grfico en el margen donde inclumos tres curvas dela Familia de Curvas FC2.

Qu signo tiene k para las tres curvas del grfico?Cmo seran las curvas si k fuera negativo?Y si k = 0 ? Quedara una solucin de la Ecuacin Diferencial?

Ejercitacin Hall la Familia de Curvas ortogonal a la Familia dada. Grafic

ambas familias en el mismo grfico. Podras utilizar el grfico paraverificar que las familias son ortogonales?

1. x2 + (y 1)2 = r2

2. y = Cex

3. y 1 = m(x + 2)4. y2 = Cx3

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Lneas de igual potencial elctrico ylneas de fuerza del campo, para unacarga cerca de una pared conductora.

Y volviendo a la figura de la primera pgina, donde estn dos familiasde curvas representadas: las trayectorias de igual potencial elctrico ylas lneas de fuerza (siempre tangentes a los vectores Campo Elctrico).

Por Fsica II sabemos que ambas deben ser Familias de Curvas Or-togonales... entonces:

Est bien trazada esa figura?

Si dijiste que si, Porqu s? Si dijiste que no... porqu no?Para comparar aqu tens otra figura.

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Trayectos Ortogonales.