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Gua 3A - Nmeros ComplejosDiego Vallejo, Melina Podest, Eva Almirn2do. Semestre 2015

Ampliemos nuestras ideas sobre los Nmeros

Hemos comenzado nuestra relacin con los nmeros por los n-meros naturales N, aquellos que permiten contar la cantidad deelementos de un conjunto. Estos se pueden representar en una recta.

Los Naturales no alcanzan...

Pueden considerarse ecuaciones en los naturales del tipo x + 5 = 3.Podemos interpretar grficamente la operacin +5 o sea: sumar

cinco en la recta natural como desplazarse 5 unidades a la dere-cha.

Para resolverlas creamos una operacin inversa de la suma llama-da diferencia. Lo inverso de desplazarse 5 unidades a la derechaser desplazarse 5 unidades a la izquierda, o sea restar 5 de talmodo que la respuesta es x = 3 5. Sin embargo no hay ningnnmero natural x que est 5 unidades a la izquierda de 3, o sea que3 5 no existe en los nmeros naturales (lo que es raro ya que 3 2 sexiste y vale 1).

Creamos el nmero cero y los nmeros negativos: 3,2,1, 0, yllamamos enteros Z a la unin de los negativos, el cero y los natu-rales. Toda resta de nmeros enteros dar por resultado un nmeroentero. Los negativos pronto tienen importantes aplicaciones, porejemplo para representar deudas en contabilidad.

... y tampoco son suficientes los Enteros...

Al introducir la operacin de multiplicacin, pas algo similar alintentar resolver ecuaciones del tipo 4x = 3. Creamos la operacininversa de la multiplicacin, llamada divisin. Sin embargo no hayningn nmero entero x que multiplicado por 4 d por resultado 3.Dicho de otro modo 3/4 no designa a ningn entero. Si slo tuvira-mos los nmeros enteros, 3/4 no tiene sentido, siendo extrao ya que8/4 s tiene sentido en los enteros, y vale 2.

Extendemos nuevamente la idea que poseemos de lo que es un n-mero y creamos los nmeros racionales Q que incluyen a los enterosy las fracciones cualesquiera. Cualquier divisin de nmeros ente-ros, y tambin de nmeros racionales, con divisor no nulo, dar porresultado un nmero racional.

Matemtica III - 2 cuatrimestre 2015 Gua 3A - Nmeros Complejos

... ni los Racionales, ni los Reales...

Luego definimos la operacin de potenciacin y al considerarpreguntas del tipo: cul es la longitud x del lado de un cuadrado cuyarea mide 5? Escrita como ecuacin queda: x2 = 5.

Creamos la operacin inversa de la potencia: la radicacin. Nue-vamente nos faltan nmeros: ningn racional elevado al cuadradoda 5. El smbolo

5 no tiene sentido en el mundo de los racionales.

Extendemos nuestros nmeros para incluir a los irracionales y deno-minamos reales R a la unin de irracionales ms racionales.

An as la radicacin no puede realizarse para todos los nmerosreales. Dado que ningn nmero real elevado al cuadrado puedeser negativo, la ecuacin x2 = 1 no posee solucin real. Dicho deotro modo la expresin

1 no tiene sentido en el conjunto de losnmeros reales.

Los imaginarios

Conviene, del mismo modo que lo hicimos antes, ampliar nueva-mente nuestro concepto de nmero para incluir aquellos que eleva-dos al cuadrado den nmeros reales negativos.

Llamaremos a estos los nmeros imaginarios.

Operacin Operacin inversa Conjunto que Genera Conjunto Unin Smbolosuma diferencia Negativos Naturales + Negativos + 0 = Enteros Z

producto divisin Fracciones Enteros + Fracciones = Racionales Qpotencia radicacin Irracionales Racionales + Irracionales = Reales Rpotencia radicacin Imaginarios Reales + Imaginarios = Complejos C

Llamaremos C a la unin de los nmeros reales R que ya cono-camos ms los nmeros Imaginarios, o sea, aquellos nmeros racescuadradas de nmeros reales negativos, que, veremos son mltiplosreales de la unidad imaginaria que llamaremos i =

1

Qu es un nmero Complejo?

Del mismo modo que los anteriores conjuntos de nmeros, quegeomtricamente son un punto en una recta nmrica, daremos unarespuesta geomtrica tambin para estos nuevos nmeros:

DefinicinUn nmero complejo es un punto en el plano coordenado xy y a la

vez, un vector que conecta el origen con el punto en el plano xy.Por lo tanto, los nmeros complejos tendrn dos coordenadas

cartesianas y se podrn escribir (x, y) o x + iy donde i =1, y los

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nmeros x e y son nmeros reales.

6 4 2 0 2 4 66

4

2

0

2

4

6

4i

6 + 5i

4

3 4i

5 + i

2 3i

y

x

El plano Complejo C

Llamaremos forma cartesiana o de par ordenado a la expresin(x, y), y forma binomial a la expresin x + iy.

Operaciones entre nmeros complejos

Estos nmeros pueden sumarse o multiplicarse de acuerdo con lassiguientes reglas

DefinicinLa suma de dos nmeros complejos A + B est dada por la suma

usual de vectores mediante la regla del paralelogramo.

A

B

A + B

y

x

Suma en C

Ejercitacin

1. Represente los siguientes nmeros complejos en el plano C. Paracada terna realice un grfico aparte, y obtenga la suma geomtrica-mente sin realizar cuentas.

i) A = 2 i, B = 3 + i, A + Bii) idem (otro grfico) C = 3 2i, D = (1,1), C + Diii) idem (otro grfico) E = 3 + 3i, F = 3 3i, E + F

2. Sea A = 2 i. Represente A y A + A. Represente A + A + A. Quotro nombre tiene la suma repetida? Cmo sera la representacinde A y qu coordenadas tendra?

3. Basado en lo anterior, para A = 2 i, D = (1,1), E = 3 + 3i,represente A, D, E, y A + D + E.

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4. Es posible que la suma de dos nmeros complejos en el III Cua-drante, d por resultado un nmero en otro cuadrante?

5. Qu aspecto tienen los nmeros complejos que caen sobre el ejex? Y los que estn sobre el eje y?

6. Suma algebraica. Para sumar dos nmeros complejos: A = a1 +ia2 ms B = b1 + ib2, existe una regla algebraica: A + B = (a1 +b1) + i(a2 + b2). Verifique que la regla es equivalente a la regla delparalelogramo.

DefinicinEl producto de dos nmeros complejos AB es un nmero complejo

cuya longitud es el producto de las longitudes de A y de B, mientrasque el ngulo ser la suma de los ngulos de A y de B.

Ejercitacin

1. Represente cada terna de nmeros complejos en un grfico aparte.

Obtenga los resultados geomtricamente sin realizar cuentas.

i) A = 2 i, B = 3, AB.

Es coherente con lo obtenido en el tem 2 de la ejercitacin ante-

rior? (pgina 3)

ii) C = 2 + 2i, D = (0, 2), CD

iii) E = i, F = i, EF Puede decir en castellano cul es el

efecto sobre un nmero complejo cualquiera de multiplicar por i?

2. Sea un nmero complejo A cuyo vector que forma 30

con el eje x.

Qu ngulo formar el nmero iA con el eje x? y el nmero i

2

A?

3. Producto algebraico. Verifique que la regla para multiplicar dos

nmeros complejos: A = a

1

+ ia

2

y B = b

1

+ ib

2

y que da por resul-

tado AB = (a

1

b

1

a

2

b

2

) + i(a

2

b

1

+ a

1

b

2

) puede obtenerse haciendo

AB = (a

1

+ ia

2

)(b

1

+ ib

2

) y suponiendo que son aplicables las

propiedades usuales de la suma y producto. Debe recordarse que

i

2

= 1. Si no le sale pruebe primero con ejemplos numricos.

4. Aplique la regla anterior para obtener el producto AB, donde

A = (2,

3

/2) y B = (1, 1). Grafique los tres vectores A, B, y AB

y con regla y trasportador mida lo que precise en el grfico para

verificar que se cumple la definicin de producto de complejos.

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Notacin

Veamos alguna terminologa segn la figura y la tabla siguiente

Nombre Significado SmboloCantidades:1. mdulo de z Longitud de z |z| = 2. argumento de z ngulo de z arg(z) = 3. parte real de z coordenada x de z Re(z) = x4. parte imaginaria de z coordenada y de z Im(z) = y5. conjugado de z reflexin de z en el eje real z

Adems:nmero imaginario un mltiplo real de ieje imaginario el conjunto de los imaginarioseje real el conjunto de los nmeros reales R

En el dibujo introdujimos una nueva manera de escribir un nme-ro complejo: la forma polar: z = , donde es el mdulo y elngulo de z

Ejercitacin

1. Grafique los siguientes nmeros y halle primero geomtricamentey luego algebraicamente su mdulo y su ngulo.

a) A = 2 2i b) B = i c) C = 3 d) D = 0 (este es elnmero complejo 0 + 0i, qu dificultades tiene con este nmero?cmo dibujara su vector?)

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2. Grafique los siguientes nmeros en el mismo plano y halle pri-mero geomtricamente y luego algebraicamente su parte real y suparte imaginaria.

a) A = 3pi4

b) B = 1pi c) C = 20 d) D = 13pi

e) Qu relacion hay entre B y D? Qu conclusin puede obtenerpara todos los nmeros de la forma:

, ( + 2pi), ( + 4pi), ..., ( 2pi)...?3. Halle grficamente para cada nmero z de los ejercicios 1. y 2. su

conjugado z.

4. Mirando los ejemplos del ejercicio anterior, obtenga una expresinpara hallar el conjugado de cualquier nmero z = x + iy

5. Puede ver geomtricamente si el producto de dos nmeros realespuros (aquellos donde Im(z) = 0) da por resultado un real puro?Considere que los reales pueden ser positivos o negativos. Qupasar con el producto de dos imaginarios puros?

6. Qu hay de malo en afirmar Im(z) = 2i ?

7. Qu significa esta frmula: (11)(22) = (12)(1 + 2) ?

8. Podra decir en castellano cul es el efecto sobre un complejocualquiera z de multiplicarlo por ?

9. Demuestre primero geomtricamente y luego con manipulacionesalgebraicas que:

a) Re(z) =12(z + z)

b) Im(z) =12i(z + z)

c) |z| = x2 + y2d) zz = |z|2e) = (cos + i sen )

f ) Definamos a1z

como el nmero que multiplicado por z da la

unidad: (1z)z = 1. Muestre que 1/z =

1 =

1()

g)1

x + iy=

xx2 + y2

i yx2 + y2

h) (1 + i)4 = 4i) = ()j) Desigualdad triangular: |z+w| 6 |z|+ |w| En qu circunstancia

se verifica la igualdad?

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Llamaremos forma Trigonomtrica a la expresin:

(cos + i sen ) =

que aparece en el punto 9e) de la ejercitacin anterior. Permite obte-ner la forma binomial a partir del mdulo y argumento de z.

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Ampliemos nuestras ideas sobre los NmerosQu es un nmero Complejo?

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