Gua 3B - Curvas y Regiones en el Plano Complejo.Frmula de EulerDiego Vallejo, Melina Podest, Eva Almirn2do. Semestre 2015

Curvas y Regiones en el plano

Situacin ^Suponga que utilizamos el plano Complejo para representar el mapa

de un pas. Los ejes estn graduados en kilmetros. La ciudad CapitalBuenos Vientos est en B = 0. Mar del Platino est en M = 100 300i.Vuriloche est en V = 800 500i. Queremos hacer un viaje desde B,pasando por M, para llegar a V.

Responda grficamente. Adems realice un clculo analtico en losejercicios marcados con el signo [

]:

1. Grafique las tres ciudades en el plano C.

2. En la primera etapa B M, puede seguir la ruta de ecuacin En el plano xy, cmo es la ecuacin deuna recta paralela al eje x? y de una pa-ralela al eje y? y de una recta que pasapor dos puntos?

Re(z) = 0 ? Y la ruta cuya ecuacin es Re(z) = 2 Im(z)?

Podra responder cul es la ecuacin de la ruta recta que conectadichas dos ciudades? [

]

3. Grafic los puntos del plano que cumplen la condicin Im(z) =1. Ahora podras graficar la regin Im(z) > 1? En este viaje, esnecesario pasar por esa regin? Y por Re(z) 6 1/3 Im(z)?

4. De la tabla de la gua anterior cul propiedad de los nmeros com-plejos mide la distancia de z al origen, en este caso, la distancia a laciudad de Buenos Vientos?

[]Qu distancia hay entre B y M?

qu nombre recibe el conjunto de todos los puntos que estn adistancia 1 del origen? Cul es su n cartesiana xy en el plano R2?y a distancia r? Qu relacin tiene esto con la cantidad |z|?

5. Y si quisiramos saber la distancia entre Vuriloche y Mar del Pla-tino? Qu ventajas y desventajas tiene responder esta pregunta gr-ficamente vs. algebraicamente?

6. Cmo se calcula la distancia entre dos nmeros complejos v =v1 + iv2 y w = w1 + iw2 ? Deduzca una frmula que permita calcu-larla aprovechando lo trabajado en los ejercios anteriores.

7. Supongamos que en la primera etapa B M, recorremos 100 kil-metros en linea recta, a partir de la ciudad de Buenos Vientos, sin

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fijarnos hacia donde nos dirigimos. Grafique los lugares del planoz = x + iy en los cuales podramos estar. Qu condicin se cumpleall? Podra decir algo de su argumento? Y de su mdulo? Completela ecuacin del lugar geomtrico donde nos podemos hallar:

|z| = ...8. Continuamos nuestro viaje y determinamos mediante GPS que es-

tamos a 8 kilmetros de Mar del Platino. Dibuje la regin. Qurelacin tiene esto con la ecuacin

|zM| = 8

?

9. Calcule la longitud mnima que demanda todo el viaje en kilme-tros, suponiendo que viajamos en linea recta en cada etapa.

10. Nos dicen que el pas entero es una regin descripta por la si-guiente desigualdad

|z| 6 1000

[]la ciudad de Vuriloche queda dentro del pas?

11. Grafique la regin que est a una distancia de Buenos Vientosmayor que 2 kilmetros y menor o igual que 6 kilmetros.

12. Cul es la zona que cumple 100 < |z V| ? Descrbala en caste-llano.

13. Cul es la zona que verifica arg(z) = 3pi/4?

14. Cul es el argumento de V? [].

15. La ciudad de M est en la reginpi

26 arg(z) 6 3

2pi ?

16. Represente la regin dada en notacin de conjuntos por:

a) R1 = {2 6 |z| 6 4 3pi4 6 arg(z) 653pi}

b) R2 = {|z 1+ i| < 4 arg(z) = 56pi}

En resumen, la distancia entre dos nmeros complejos z y w estdada por d = |z w|

Ejercitacin

1. Describa mediante inecuaciones cada una de las siguientes zonas decolor blanco utilizando las propiedades de z: Re(z), Im(z), arg(z),|z|.

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Frmula de Euler

Recordemos que una funcin exponencial, es aquella proporcional

a su derivada: la funcin y = e

kx

verifica la ecuacin diferencial y

= ky

o (e

kx

)

= ke

kx

, donde k es un nmero real distinto de cero.

Qu ocurre si sostenemos la validez de la ecuacin anterior para

valores imaginarios de k? Por ejemplo, para k = i:

d

dt

e

it

= ie

it

Aqu la funcin depende de la variable t, que conviene, para lo que

sigue, identificar con el tiempo.

El carcter vectorial de los nmeros complejos nos permiti utilizar-

los para marcar posiciones en el mapa de un pas.

Ahora permitiremos que esos vectores posicin puedan depender

del tiempo. El movimiento de una partcula en un plano, puede descri-

birse por un nmero complejo z en funcin del tiempo t. Escribiremos

z(t) = x(t) + iy(t) a esa funcin. esto es anlogo a las curvas paramtricas

donde el vector se escriba~r(t)

Estudiemos el movimiento de una partcula dado por:

z(t) = e

it

[funcin posicin]

.

Notemos que la posicin inicial es z(0) = e

0t

= 1 en el eje real.

Podemos calcular la velocidad por derivacin:

v(t) = z

(t) = e

it

.i = iz

O sea que el vector velocidad es siempre perpendicular al vector posi-

cin, girado un cuarto de vuelta (pi/2) en sentido antihorario. Para la

aceleracin, anlogamente,

a(t) = v

(t) = ie

it

.i = i

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z = z(t)

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La aceleracin es el vector opuesto al de posicin.Podemos escribir que z = z o z + z = 0. Esta es una ecuacin

diferencial que ya hemos estudiado para funciones de una variable.Recordemos que sus soluciones son senos y cosenos de la variable in-dependiente, t en este caso. Comenzamos con una funcin exponencialpara descubrir que contiene de algn modo a funciones trigonomtri-cas.

Qu caractersticas tiene este movimiento?Este se estudia en Fsica bsica. Se trata del movimiento circular de

radio a cuyas ecuaciones son x(t) = a cos t, y(t) = a sen tEl radio a = 1 ya que la posicin inicial es z(0) = 1.Por lo tanto hemos obtenido una nueva funcin vector posicin:

z(t) = x(t) + iy(t) = cos(t) + i sen(t). Igualndola con la [funcinposicin] obtenemos la

eit = cos(t) + i sen(t) [frmula de Euler]

donde t es cualquier nmero real.

Recordando que un nmero complejo z de mdulo |z| = y ar-gumento arg(z) = puede escribirse en forma trigonomtrica comoz = (cos + i sen ), reemplazando el parntesis por la frmula deEuler, queda escrito en forma exponencial:

z = ei

Esta frmula permite escribir de una manera intuitiva la regla paramultiplicar a un complejo z = rei por uno w = Rei:

z = reiRei = rRei(+)

Ejercitacin Responda primero grficamente y luego haga las cuentas:

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1. Grafique y pase a forma exponencial

a) A = 1 b) B = 1 i c) C = 02. Grafique y pase a forma binmica:

a) A = 4eipi b) B = 3ei5pi/3 c) C = 1ei0

Para los siguientes ejercicios resuelva grficamente y luego escriba enforma exponencial y haga las cuentas.

3. La ecuacin z2 = 1, tiene solucin? Hllela o hllelas si existen.Y qu pasa con z2 = 1?

4. Cuntas soluciones tiene z3 = 1? Hllelas. Idem z3 = i?

5. Idem z4 = 1. Qu opina que pasar con las soluciones de la ecua-cin zn = 1?

6. Por propiedades de la exponencial: (ei)2 = ei2 . Reemplace utili-zando la frmula de Euler y encuentre relaciones trigonomtricasentre cos , sen , cos 2 y sen 2. Podra repetir este procedimientopara (ei)n = ein con n N tan grande como se quiera?

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