Mecanica Estadıstica – Ano 2016Guıa N 4: Operador densidad, Estadıtica de los numeros de ocupacion

1. Al estudiar el significado de las funciones de onda, suele pensarse en terminos de un conjuntode M sistemas, todos en un mismo estado cuantico, conformando un “ensamble puro”. Sinembargo, en general esta situacion no se da en los casos practicos, siendo mas comuneslos ensambles en los cuales Mi sistemas se encuentran en cierto estado normalizado |ϕi⟩,(i = 1 . . . k; no nos restringimos a los casos en los que las |ϕi⟩ forman una base ortonormal).Una forma conveniente de sintetizar esta informacion es a traves del operador densidad:

ρ =∑i

wi|ϕi⟩⟨ϕi|,

donde wi =Mi/M es la probabilidad de encontrar al sistema en el estado |ϕi⟩.(a) Muestre que el promedio de A sobre todo el ensamble se calcula como

⟨A⟩M = Tr(Aρ).

(b) Muestre que los elementos diagonales ρn de la matriz densidad son numeros reales quecumplen 0 ≤ ρn ≤ 1.

(c) Muestre que el operador ρ es hermıtico.

(d) Muestre que si ρ2 = ρ entonces el estado del ensamble descripto es puro.

2. Suponga que en t = 0, cierto sistema esta representado por el operador densidad

ρ(0) =∑n

Qn|ϕn(0)⟩⟨ϕn(0)|.

Utilizando el operador de evolucion temporal U(t), demuestre que para un tiempo arbitrariot, el sistema evolucionara de acuerdo a

ρ(t) = U(t)ρ(0)U †(t),

o lo que es equivalente,

ih∂ρ(t)

∂t= [H, ρ(t)],

donde H es el operador Hamiltoniano del sistema.

1

3. Considere un electron de espın hσ/2 y momento magnetico µB, donde σ es el operador dePauli de espın y µB = eh/2mc es el magneton de Bohr. El electron se encuentra en presenciade un campo magnetico B. El Hamiltoniano del sistema viene entonces dado por

H = −µB(σ ·B).

Calcule el valor medio de la energıa, ⟨H⟩, usando la matriz densidad del sistema. Escriba laevolucion de ρ y deduzca la de ⟨S⟩.

4. Evalue los elementos de matriz de la matriz densidad ρ en el conjunto canonico para unoscilador armonico unidimensional en la representacion de coordenadas. Discuta el casolımite hω/kT ≪ 1.

Ayuda: Las autofunciones del oscilador armonico son de la forma

ψn(x) =(mω

πh

)1/4 Hn(ξ)√2nn!

e−ξ2/2

con ξ = x√mω/h, donde Hn(ξ) son los polinomios de Hermite los cuales se definen como

Hn(ξ) = (−1)n eξ2

(d

dξ

)n

e−ξ2 .

Evalue ⟨x2⟩ y ⟨p2⟩ a partir de la matriz densidad hallada. Calcule el valor medio de laenergıa usando la matriz densidad del sistema.

5. Considere un sistema formado por dos partıculas cada una de las cuales puede estar encualquiera de tres estados cuanticos de energıas 0, ε y 3ε. El sistema esta en contacto conun foco termico a la temperatura T . Escriba la funcion de particion canonica si las partıculasobedecen:

(a) La estadıstica de Maxwell–Boltzmann y son consideradas distinguibles.

(b) La estadıstica de Bose–Einstein.

(c) La estadıstica de Fermi–Dirac.

(d) Para cada caso obtenga el cociente entre la probabilidad de que haya dos partıculas en elmismo estado a que haya dos partıculas en estados diferentes. Discuta el resultado obtenido.

6. Considere un gas ideal cuantico en un volumen V , en equilibrio termico a temperatura Ty en contacto con un reservorio de partıculas. Suponga que los estados de partıcula simpleson discretos, con energıas ϵ0 ≤ ϵ1 ≤ . . . ≤ ϵr ≤ . . ..

(a) Muestre que el numero de ocupacion medio del estado s y su dispersion pueden escribirsea partir de la gran funcion de particion como

⟨ns⟩ = − 1

β

∂ lnZ∂ϵs

∣∣∣∣∣µ,T,ϵr,r =s

2

(∆ns)2 =

1

β2

∂2 lnZ∂ϵs

2

∣∣∣∣∣µ,T,ϵr,r =s

= − 1

β

∂ ⟨ns⟩∂ϵs

∣∣∣∣∣µ,T,ϵr,r =s

donde µ es el potencial quımico.

(b) Calcule la funcion de particion gran canonica Z(T, V, µ), y las cantidades ⟨ns⟩ y σs2 ≡(∆ns)

2/⟨ns⟩2 suponiendo que las partıculas del gas obedecen la estadıstica de Fermi–Diraco la de Bose–Einstein.

7. Considere un gas ideal cuantico a temperatura T en un volumen V .

(a) Muestre que en el lımite de bajas densidades o altas temperaturas, los numeros mediosde ocupacion ⟨ns⟩ corresponden a la estadıstica clasica de Maxwell–Boltzmann.

Muestre ademas que nλ3 ≪ 1 donde λ = h/√2πmkT es la longitud de onda termica media

de las partıculas y n = N/V es la densidad de partıculas.

(b) El gran potencial termodinamico tiene la forma general

Ω(T, V, µ) ≡ −kT lnZ(T, V, µ) = −kT 1

a

∑r

ln(1 + a eβµ−βϵr)

con a = +1 para un gas ideal de fermiones y a = −1 para un gas ideal de bosones. Muestreque el caso clasico tambien puede expresarse de esa forma, tomando a = 0.

(c) Halle las fluctuaciones relativas σs2 para un gas ideal clasico y compare con los resultados

del problema 6.

8. Entropıa y numeros de ocupacion

(a) Muestre que la entropıa de un gas ideal en equilibrio termico esta dada por

S = k∑q

[±(1± ⟨nq⟩) ln(1± ⟨n⟩q)− ⟨nq⟩ ln⟨nq⟩]

donde (−) vale para un gas de fermiones y (+) para un gas de bosones, mientras que paraun hipotetico gas de partıculas que obedecen la estadıstica de MB se tiene

S = k∑q

⟨n⟩q(1− ln⟨n⟩q).

En todos los casos q es un ındice que agrupa los numeros cuanticos que definen cada autoes-tado de energıa del sistema.

(b) Verifique que estos resultados son consistentes con la formula general

S = −k∑q

∑n

pq(n) ln ps(n)

donde pq(n) es la probabilidad de que haya exactamente n partıculas en el estado s.

3

9. (a) Mustre que para un gas ideal cuantico a temperatura T y fugacidad z la probabil-idad Pq(nq) de que haya nq partıculas en un estado q de energıa ϵq es proporcional a[z exp(−βϵq)]nq, mientras que para un hipotetico gas ideal de partıculas que obedecen laestadıstica de MB es necesario introducir un factor adicional 1/nq!.

(b) Musetre que las probabilidades Pq(n) vienen dadas por:

Pq(n) =⟨nq⟩n

(1 + ⟨nq⟩)n+1(BE) (1)

Pq(n) =

1− ⟨nq⟩ si n = 0 (FD)

⟨nq⟩ si n = 1(2)

Pq(n) =exp(−⟨nq⟩)⟨nq⟩n

n!(MB) (3)

Note que para bosones el cociente Pq(nq + 1)/Pq(nq) no depende de nq, mientras que en elcaso de partıculas que obedecen la estadıstica de MB se obtiene una distribucion de Poisson,para la que Pq(nq + 1)/Pq(nq) ∝ 1/nq.

10. Muestre que para un gas ideal en d dimensiones, constituido por fermiones o bosones, cuyoespectro de partıcula independiente es de la forma ϵ(p) ∝ ps, verifica que

PV =s

dE

Sugerencia: use que ⟨E⟩ = −∂ lnZ/∂β|z,V y tome el lımite continuo para V → ∞ reem-plazando las sumas sobre niveles de energıa por integrales en el espacio de impulsos (noteque no es necesario evaluar las integrales).

4