guia5.11

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Gu´ ıa 5, ´ Algebra y Geometr´ ıa Programa de Bachillerato, Universidad de Chile Oto˜ no, 2011 1. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita y sea W 1 un subespacio de V . Demostrar que existe un subespacio W 2 de V tal que V = W 1 W 2 . 2. Probar que si W = 3 i=1 W i entonces W i W j = {0} para i = j , pero no es cierto el rec´ ıproco. 3. Es R 3 suma directa de V 1 = [(1, 1, 1)], V 2 = [(1, 0, 1)] y V 3 = [(1, 2, 3)]? 4. Sea V espacio vectorial y sea S = {e 1 ,...,e n } un conjunto finito de vectores de V . Demostrar que: i) [e 1 ,...,e n ]=[e 1 ]+ ... +[e n ]. ii) El conjunto de vectores no nulos S es linealmente independiente ssi los subespacios que generan sus n vectores tienen suma directa, es decir, [e 1 ,...,e n ]=[e 1 ] [e 2 ] ... [e n ]. 5. Sea V espacio vectorial sobre K . Si W 1 ,W 2 son subespacios de V tal que V = W 1 + W 2 y W 1 W 2 = 0. Entonces para cualquier v V existen ´ unicos w i W i tal que v = w 1 + w 2 . 6. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita. Demuestre que: i) Si W 1 ,W 2 son subespacios suplementarios de V y B 1 ,B 2 son las bases respectivas de estos subespacios, entonces B = B 1 B 2 es una base de V . ii) Si W 1 y W 2 son subespacios suplementarios de V , entonces dim(W 1 ) + dim(W 2 ) = dim(V ). iii) Sea B = {e 1 ,...,e s ,e s+1 ,...,e n } base de V . Sean W i los subespacios generados por B i (i=1,2), donde B 1 = {e 1 ,...,e s } y B 2 = {e s+1 ,...,e n }. Entonces, W 1 y W 2 son subespacios suplementarios de V . 7. Sean V i con i =1,...,n espacios vectoriales. Sea W = n i=1 V i . Demostrar que dim(W )= n i=1 dim(V i ). 8. Sean U 1 ,U 2 ,...,U n subespacios de un espacio V de dimensi´on finita. De- muestre que n i=1 U i ssi para todo j ,2 j n se tiene que U j j -1 i=1 U i = {0}. 1

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Integrales

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  • Gua 5, Algebra y Geometra

    Programa de Bachillerato, Universidad de Chile

    Otono, 2011

    1. Sea V un espacio vectorial de dimension finita y sea W1 un subespacio de V .

    Demostrar que existe un subespacio W2 de V tal que V = W1 W2.

    2. Probar que si W =

    3

    i=1Wi entonces Wi Wj = {0} para i 6= j, pero no es

    cierto el recproco.

    3. Es R3 suma directa de V1 = [(1, 1, 1)], V2 = [(1, 0, 1)] y V3 = [(1, 2, 3)]?

    4. Sea V espacio vectorial y sea S = {e1, . . . , en} un conjunto finito de vectores

    de V . Demostrar que:

    i) [e1, . . . , en] = [e1] + . . .+ [en].

    ii) El conjunto de vectores no nulos S es linealmente independiente ssi los

    subespacios que generan sus n vectores tienen suma directa, es decir,

    [e1, . . . , en] = [e1] [e2] . . . [en].

    5. Sea V espacio vectorial sobre K. Si W1,W2 son subespacios de V tal que

    V = W1 +W2 y W1 W2 = 0. Entonces para cualquier v V existen unicos

    wi Wi tal que v = w1 + w2.

    6. Sea V un espacio vectorial de dimension finita. Demuestre que:

    i) Si W1,W2 son subespacios suplementarios de V y B1, B2 son las bases

    respectivas de estos subespacios, entonces B = B1B2 es una base de V .

    ii) Si W1 y W2 son subespacios suplementarios de V , entonces

    dim(W1) + dim(W2) = dim(V ).

    iii) Sea B = {e1, . . . , es, es+1, . . . , en} base de V . Sean Wi los subespacios

    generados por Bi (i=1,2), donde B1 = {e1, . . . , es} y B2 = {es+1, . . . , en}.

    Entonces, W1 y W2 son subespacios suplementarios de V .

    7. Sean Vi con i = 1, . . . , n espacios vectoriales. Sea W = ni=1Vi. Demostrar

    que dim(W ) =n

    i=1 dim(Vi).

    8. Sean U1, U2, . . . , Un subespacios de un espacio V de dimension finita. De-

    muestre que ni=1Ui ssi para todo j, 2 j n se tiene que Ujj1

    i=1 Ui = {0}.

    1

  • 9. Sea V = R[x] el espacio de los polinomios con coeficientes reales en la indeter-

    minada x. Sean U1 y U2 subespacios de V definidos por

    U1 = {p(x) V : p(1) = p(1) = 0} = {c(x)(x2 1) : c(x) V }

    U2 = {a+ bx : a, b R}

    Pruebe que V = U1 U2.

    10. Consideremos el espacio vectorial V de las funciones de R y R. Sea

    W1 = {f V : f(x) = f(x), x R}

    el conjunto de las funciones pares y

    W2 = {f V : f(x) = f(x), x R}

    el conjunto de las funciones impares.

    i) Demostrar que W1 y W2 son subespacios de V .

    ii) Demostrar que V = W1 W2.

    11. Sea f : V W una aplicacion lineal entre espacios vectoriales, sobre el mismo

    cuerpo K. Probar que:

    a) f (n

    i=1 ivi) =n

    i=1 if(vi), vi V, i. En particular, f(0) = 0 y

    f(v) = f(v) para cualquier v V .

    b) Si {v1, v2, . . . , vp} es un conjunto linealmente dependiente de vectores de

    V , entonces {f(v1), f(v2), . . . , f(vp)} es un conjunto linealmente depen-

    diente de W .

    c) Si, ademas de que f : V W es lineal, tambien se sabe que g : W U

    es aplicacion lineal, entonces su composicion g f : V U es, a su vez,

    una aplicacion lineal.

    12. Sean V,W espacios lineales sobre un cuerpoK y sea f : V W una aplicacion

    lineal. Demostrar

    a) f es inyectiva ssi ker(f) = {0}.

    b) Si dimension de v es finita, entonces f es inyectiva ssi dimKV = dimKf(V ).

    c) Si B = {e1, e2, . . . , en} es una base de V , entonces f es inyectiva ssi

    f(B) = {f(e1), f(e2), . . . , f(en)} es una base de f(V ), es decir, ssi f(B)

    es un conjunto linealmente independiente de vectores de W .

    2

  • d) Si f es epiyectiva y V es de dimension finita, entonces W es de dimension

    finita.

    13. Cuales de las siguientes funciones T de R2 en R2 son transformaciones lineales?

    a) T (x1, x2) = (1 + x1, x2)

    b) T (x1, x2) = (x2, x1)

    c) T (x1, x2) = (x21, x2)

    d) T (x1, x2) = (sin x1, x2)

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