Mecanica Estadıstica – Ano 2016Guıa N◦ 5: Estadıstica de Bose–Einstein

1. Suponga un gas de N bosones ideales sin espin de masa m contenidos en un volumen V atemperatura T . Para este sistema:

(a) Calcule la condicion de aparicion de condensacion de Bose–Einsten y la temperaturacrıtica Tc.

(b) La fraccion de partıculas en el estado fundamental y la fraccion en los estados excitados.Grafique en funcion de la temperatura.

(c) Demuestre las siguientes expresiones de utilidad para algunos calculos:

∂ ln z

∂T

∣∣∣P= − 5

2T

g5/2(z)

g3/2(z),

∂ ln z

∂T

∣∣∣V= − 3

2T

g3/2(z)

g1/2(z),

donde z es la fugacidad, P la presion y T la temperatura.

(d) Determine la energıa interna, el calor especıfico a volumen constante, la presion P y laentropıa en los casos T < Tc y T > Tc, donde Tc es la temperatura crıtica hallada en (a):

U

N=

32kTVNλ3 g5/2(z) T > Tc

32kTVNλ3 g5/2(1) T ≤ Tc

,

CV

Nk=

154

VNλ3 g5/2(z)− 9

4

g3/2(z)

g1/2(z)T > Tc

154

VNλ3 g5/2(1) T ≤ Tc

,

P (T ) =

NkTV

g5/2(z)

g3/2(z)T > Tc

kTλ3 g5/2(1) T ≤ Tc

,

S

Nk=

52

VNλ3 g5/2(z)− log(z) T > Tc

52

VNλ3 g5/2(1) T ≤ Tc

.

1

Nota: tenga en cuenta la siguiente propiedad de las funciones de Bose gn−1(z) = z ∂∂zgn(z),

donde z es la fugacidad.

(e) Muestre que para este gas se verifica:

CP − CV

Nk=

(CV32Nk

)2g1/2(z)

g3/2(z).

Discuta fısicamente el comportamiento de la cantidad precedente a temperaturas por debajode Tc.

(f) Muestre tambien que

γ =CP

CV

=5

3

g5/2(z)g1/2(z)

[g3/2(z)]2.

¿Cuanto vale γ para T ≫ Tc? ¿Que ocurre en el lımite de T tendiendo a infinito?

(g) Obtenga la ecuacion de Clausius–Clapeyron y muestre que los puntos de la lınea detransicion obedecen la ecuacion

Pv5/3 =2πh2

m

g5/2(1)

[g3/2(1)]5/3

donde v = V/N es el volumen especıfico del gas.

2. Pruebe que un gas ideal de bosones bidimensional no presenta condensacion de Bose–Einstein.

Nota: la condensacion de BE para un gas ideal de bosones libres es posible si y solo si sesatisface la condicion d/s > 1, donde d es la dimension del espacio y la relacion de dispersiones de la forma ϵ = aps.

3. Considere un gas ideal de Bose–Einstein compuesto de moleculas independientes de masam que tienen un grado interno de libertad. Los bosones con impulso p tienen energıasϵp,0 = p2/2m y ϵp,1 = p2/2m+∆ en los estados fundamental y excitado, respectivamente,del grado interno de libertad.

(a) Calcule la temperatura de condensacion para los casos extremos ∆ ≫ kT 0c y ∆ ≪ kT 0

c ,donde T 0

c es la temperatura de condensacion del gas sin considerar el grado de libertadinterno (i.e., ∆ → ∞). La existencia de un grado interno de libertad, ¿aumenta o disminuyela temperatura de condensacion?

(b) En particular muestre que la temperatura crıtica Tc esta relacionada con la temperaturacrıtica T o

c de un gas sin grados de libertad internos por

(T oc

Tc

)3/2

= 1 +1

2.612(e−ϵ1/kBTc + . . .).

cuando kT oc << ∆.

2

(c) En el caso que kT oc >> ∆ muestre que

Tc ≈ T oc

(1

2

)2/31 + 2

3ξ(3/2)

(π∆

kT oc

)1/2 .

Ayuda: Para obtener el resultado, use los dos primeros terminos de la siguiente expresion

gν(e−α) =

Γ(1− ν)

α1−ν+

∞∑i=0

(−1)i

i!ξ(ν − i)αi

donde ξ(s) es la funcion zeta de Riemann continua para todo s = 1.

4. Estudie el fenomeno de condensacion de Bose Einstein de un gas de bosones si la densidadde estados de traslacion es de la forma:

ρ(ϵ, V ) = a V ϵ,

donde a es una constante y V el volumen.

(a) Determine la temperatura crıtica Tc.

(b) Para T < Tc calcule la energıa media por partıcula, y la presion P = P (T ).

(c) Calcule la fraccion de partıculas en la fase gaseosa y la fraccion en la fase condensada.Grafique los resultados obtenidos.

5. Suponga un gas ideal de bosones en el lımite ultrarrelativista. Calcule energıa interna,presion, energıa libre, entropıa, calor especıfico y numero medio de partıculas. Discuta siexiste o no fenomeno de condensacion de Bose-Einstein.

6. Considere un sistema de bosones identicos que no interactuan entre sı. Cada partıcula puedetener dos energıas, 0 y ϵ > 0. El nivel fundamental no esta degenerado, mientras que el nivelexcitado tiene una degeneracion g = αV , donde V es el volumen que ocupa el sistema y α esuna constante con dimensiones de (volumen)−1. El sistema esta en equilibrio a temperaturaT y fugacidad z.

(a) Escriba el logaritmo de la funcion de particion gran canonica del sistema, y a partir de ahıobtenga el numero de partıculas medio, la presion P , y la energıa media U , como funcionesde T, V y z (despreciando las contribuciones que se anulan en el lımite termodinamico).

(b) Obtenga la fugacidad z y la fraccion de partıculas f en el estado fundamental comofunciones de T y v = V/N en el lımite termodinamico. Grafique f a T constante y a vconstante.

(c) Obtenga P y el calor especıfico a volumen constante, Cv, como funciones de T y v.Grafique P a T constante y Cv a v constante.

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