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UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA

FACULTAD DE ESTUDIOS GENERALES (CICLO GENERAL)

ASIGNATURA: RAZONAMIENTO Y REPRESENTACION MATEMÁTICA

GUIA Nº 1

MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE GEORGE POLYA

OBJETIVOS

Identificar el paso del modelo de Polya utilizado para resolver un problema.

Describir las estrategias para resolver problemas

Aplicar el modelo de Polya a la resolución de problemas.

COMPETENCIAS

Capacidad para formular, plantear, transformar y resolver problemas matemáticos.

Desarrollo y profundización del pensamiento lógico matemático.

Identificación de regularidades, modelos y estructuras matemáticas en procesos y

situaciones problémicas.

Capacidad comunicativa en lenguaje matemático.

Habilidad de conversión de un objeto matemático a los diferentes lenguajes,

registros y representaciones matemáticas, cuando sea posible.

DESARROLLO TEMÁTICO

GEORGE POLYA: ESTRATEGIAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

George Polya nació en Hungría en 1887. Obtuvo su doctorado en la Universidad de

Budapest y en su disertación para obtener el grado abordó temas de probabilidad. Fué

maestro en el Instituto Tecnológico Federalen Zurich, Suiza. En 1940 llegó a la

Universidad de Brown en EE.UU. y pasó a la Universidad de Stanford en 1942. En sus

estudios, estuvo interesado en el proceso del descubrimiento, o cómo es que se derivan los

resultados matemáticos. Advirtió que para entender una teoría, se debe conocer cómo fue

descubierta. Por ello, su enseñanza enfatizaba en el proceso de descubrimiento aún más

que simplemente desarrollar ejercicios apropiados. Para involucrar a sus estudiantes en la

solución de problemas, generalizó su método en los siguientes cuatro pasos:

1. Entender el problema.

2. Configurar un plan

3. Ejecutar el plan

4. Mirar hacia atrás

Las aportaciones de Polya incluyen más de 250 documentos matemáticos y tres libros que

promueven un acercamiento al conocimiento y desarrollo de estrategias en la solución de

problemas. Su famoso libro Cómo Plantear y Resolver Problemas que se ha traducido a 15

idiomas, introduce su método de cuatro pasos junto con la heurística y estrategias

específicas útiles en la solución de problemas. Otros trabajos importantes de Pólya son

Descubrimiento Matemático, Volúmenes I y II, y Matemáticas y Razonamiento Plausible,

Volúmenes I y II. Polya, que murió en 1985 a la edad de 97 años, enriqueció a las

matemáticas con un importante legado en la enseñanza de estrategias para resolver

problemas. El Método de Cuatro Pasos de Polya.

Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por ello nos parece

importante señalar alguna distinción entre "ejercicio" y "problema". Para resolver un

ejercicio, uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta. Para resolver

un problema, uno hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute pasos originales




que no había ensayado antes para dar la respuesta. Esta característica de dar una especie de

paso creativo en la solución, no importa que tan pequeño sea, es lo que distingue un

problema de un ejercicio. Sin embargo, es prudente aclarar que esta distinción no es

absoluta; depende en gran medida del estadio mental de la persona que se enfrenta a

ofrecer una solución: Para un niño pequeño puede ser un problema encontrar cuánto es 3 +

2 o bien, para niños de los primeros grados de primaria responder a la pregunta ¿Cómo

repartes 96 lápices entre 16 niños de modo que a cada uno le toque la misma cantidad? le

plantea un problema, mientras que a uno de nosotros esta pregunta sólo sugiere un ejercicio

rutinario: "dividir ".

Hacer ejercicios es muy valioso en el aprendizaje de las matemáticas: Nos ayuda a aprender

conceptos, propiedades y procedimientos -entre otras cosas-, los cuales podremos aplicar

cuando nos enfrentemos a la tarea de resolver problemas. Como apuntamos anteriormente,

la más grande contribución de Polya en la enseñanza de las matemáticas es su Método de

Cuatro Pasos para resolver problemas. A continuación presentamos un breve resumen de

cada uno de ellos y sugerimos la lectura del libro "Cómo Plantear y Resolver Problemas"

de este autor (Editorial Trillas).

Paso 1: Entender el Problema.

¿Entiendes todo lo que dice?

¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?

¿Distingues cuáles son los datos?

¿Sabes a qué quieres llegar?

¿Hay suficiente información?

¿Hay información extraña?

¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?

Paso 2: Configurar un Plan.

¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un

artificio ingenioso que conduce a un final).

Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).

Usar una variable.

Buscar un Patrón

Hacer una lista.

Resolver un problema similar más simple.

Hacer una figura.

Hacer un diagrama

Usar razonamiento directo.

Usar razonamiento indirecto.

Usar las propiedades de los Números.

Resolver un problema equivalente.

Trabajar hacia atrás.

Usar casos

Resolver una ecuación

Buscar una fórmula.

Usar un modelo.

Usar análisis dimensional.

Identificar sub-metas.

Usar coordenadas.

Usar simetría.




Paso 3: Ejecutar el Plan.

Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el

problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.

Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita

una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que "se te

prenda el foco" cuando menos lo esperes!).

No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una

nueva estrategia conducen al éxito.

Paso 4: Mirar hacia atrás.

¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?

¿Adviertes una solución más sencilla?

¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?

Comúnmente los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita.

Así, para resolver un problema, uno traslada las palabras a una forma equivalente del

problema en la que usa símbolos matemáticos, resuelve esta forma equivalente y luego

interpreta la respuesta. Este proceso lo podemos representar como sigue, algunas

sugerencias hechas por quienes tienen éxito en resolver problemas.

Además del Método de Cuatro Pasos de Polya nos parece oportuno presentar en este

apartado una lista de sugerencias hechas por estudiantes exitosos en la solución de

problemas:

1. Acepta el reto de resolver el problema.

2. Reescribe el problema en tus propias palabras.

3. Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar...

4. Habla contigo mismo. Hazte cuantas preguntas creas necesarias.

5. Si es apropiado, trata el problema con números simples.

6. Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado, no

dudes en tomarte un descanso -el subconsciente se hará cargo-. Después inténtalo de nuevo.

7. Analiza el problema desde varios ángulos.

8. Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar

9. Muchos problemas se pueden de resolver de distintas formas: solo se necesita encontrar

una para tener éxito.

10. No tenga miedo de hacer cambios en las estrategias.

11. La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaje con montones de

ellos, su confianza crecerá.

12. Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y asegurarte de que

realmente entendiste el problema.

Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo dos o tres veces ya que la

comprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución.

13. Siempre, siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fue el paso

clave en tu solución.

14. Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedas

entenderla si la lees 10 a años después.

15. Ayudar a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran

ayuda para uno mismo: No les des soluciones; en su lugar provéelos con sugerencias

significativas.

16. ¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa.

Tomado de I. E. S. Rosa Chacel. Dpto. de Matemáticas




EJEMPLOS DE ALGUNAS ESTRATEGIAS PARA LA RESOLUCION DE

PROBLEMAS

A continuación describiremos algunas estrategias para resolver problemas y enunciaremos

algunos ejemplos para su análisis:

Existen varias estrategias para resolver problemas. Cada vez que te enfrentes a uno de ellos,

debes preguntarte: “¿hay otra manera de hacerlo?” Si tu respuesta es afirmativa, procede en

la forma que has pensado; comprobarás que muchas veces utilizamos una combinación de

dos o más estrategias para resolver un problema.

Algunas de estas estrategias se describen a continuación:

Descubrir un patrón: Te ayuda a describir algo que ocurre en repetidas ocasiones. Un

patrón en un problema se puede presentar como un comportamiento en el cual una misma

cantidad se sume, reste, multiplique o divide. En otras ocasiones el patrón no tiene que ver

con números, sino con figuras geométricas, letras o comportamientos.

Ejemplo:

Para cada uno de los patrones siguientes, determina los dos términos que siguen:

a. 1, 3, 5, 7, …

b. 1, -2, 3, -4, …

c. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

d. 3, 12, 48, 192, …

e.

SOLUCIÓN:

a. 9 y 11. Cada número es impar positivo.

b. 5 y -6. El valor absoluto de cada número es uno más que el anterior. Los

números son alternos en signos.

c. 21 y 34. A partir del tercer número cada uno es la suma de los dos anteriores.

(Nota: este patrón se conoce como la sucesión de Fibonacci)

d. 768, 3072. Cada número es el producto de 4 por el número anterior.

e.

De atrás hacia adelante

Esta estrategia también se conoce como comenzar por el final. Es útil cuando tienes

que comenzar por la conclusión del problema y trabajar hacia delante.

Ejemplo:

El manatí que cuidaban en la Parguera, atrajo a muchas personas. El primer día acudieron a

verlo 80 espectadores menos que el segundo. El segundo día fueron 250 personas menos

que el tercero. En éste acudieron 50 personas más que el cuarto. Al cuarto día fueron 500

personas. ¿Cuántos espectadores vieron el manatí el primer día?




Solución:

Comprender el Problema

Se desea determinar el número de personas que fueron a ver el manatí el primer día. Se

sabe que ese día fueron 80 espectadores menos que el segundo, cuando fueron 250 menos

que el tercero. Durante éste acudieron 50 personas más que el cuarto día, en el que se

presentaron 500 personas.

Desarrollar un Plan

Este problema se resuelve trabajando de atrás hacia adelante. Como se conoce la cantidad

que fue el cuarto día, se calcula cuantos fueron el tercero, el segundo y por último el primer

día.

Llevar a cabo el Plan

Si se sabe que el cuarto día fueron 500 personas y el tercero 50 más, cabe concluir que ese

día hubo 550 asistentes. Con este dato y el hecho de que el segundo día fueron 250

personas menos que el tercero, se obtiene que la asistencia del segundo día fue de 300

personas. Para determinar la cantidad que acudió el primer día, solo queda restar 80 a la

cantidad del segundo día. Esto da 220 personas.

Este procedimiento también se pudo organizar haciendo uso de la estrategia elaboración de

una tabla:

DIA ASISTENCIA

CUARTO 500

TERCERO 500 + 50 = 550

SEGUNDO 550 – 250= 300

PRIMERO 300 – 80 = 220

Comprobar:

Se puede revisar invirtiendo el proceso de adelante hacia atrás: si el primer día fueron 220

personas, el segundo día fueron 80 más, o sea 300. El tercer día acudieron 250 más que el

segundo; es decir 550. El cuarto día fueron 50 menos que el tercero. Lo cual coincide con el

hecho de que el cuarto día acudieron 500 personas.

Tanteo y error

Esta estrategia te ayuda cuando no conoces otra. En esencia, consiste en realizar varios

intentos para llegar a la solución.

Ejemplo:

Escribe símbolos de suma y resta entre números compuestos de los dígitos

3 5 9 1 0 5 3

De modo que obtengas 257 como resultado. Los dígitos no se pueden repetir y se tienen

que presentar en el mismo orden que aparecen.

Solución:

Comprender el problema:




Se establece que los números son compuestos solo hay que usar los símbolos de suma y

resta, utilizar los dígitos una vez y seguir el orden en que aparecen. 3,5,9,1,0,5y3.

Además, el resultado tiene que ser 257.

Desarrollar un Plan

El plan que conviene utilizar es tantear colocando los símbolos de suma y resta en

posiciones diferentes. Como el resultado tiene tres dígitos, 257, cabe suponer que al menos

una cifra tiene tres dígitos y está entre 100 y 300.


A partir de 359 se pueden agrupar los números en esta forma:

359 + 10 – 53 = 316; entonces, esta combinación no funciona.

Luego, se intenta con 105, ya que 910 está muy lejos, y resulta;

35 + 9 + 105 – 3 = 146; este ejercicio tampoco da 257.

Por último, se prueba una combinación con 359 y 105:

359 – 105 + 3 = 257; ¡es el arreglo correcto!

Comprobar:

Obviamente se puede ver que las condiciones del problema se cumplen.

Elaboración de una tabla:

Con esta estrategia puedes llevar la cuenta de los números, datos y combinaciones de

números en forma organizada. Una tabla es un arreglo rectangular de la información,

acomodada en filas y columnas.

EJEMPLO

Los estudiantes de una clase de Botánica llevaron 300 hojas para estudiar sus características

y propiedades curativas. La clase analizó 10 hojas el primer día, el segundo estudió 15, el

tercero 20 hojas y así sucesivamente. ¿Alrededor de cuántos días tardarán en estudiar todas

las hojas?

Comprender el problema:

En este caso se dice que la clase estudió 10 hojas el primer día, 15 el segundo, 20 el tercero

y así sucesivamente. Además, la cantidad total de hojas que tienen que estudiar es 300. Se

desea saber cuántos días más o menos tardarán en estudiar todas las hojas.

Desarrollar un Plan

Se observa que la cantidad de hojas por estudiar aumenta cinco cada día. Esto define un

patrón. Una vez descubierto, se pueden organizar los datos en una tabla con tres columnas.

La primera se refiere al día que estudiaron las hojas, la segunda a la cantidad de hojas que

analizaron ese día y la tercera representa la cantidad de hojas acumuladas. De esta manera

se continúa el patrón hasta llegar a la solución.





En este paso se prepara la tabla mencionada:

DIA HOJAS ESTUDIADAS TOTAL DE HOJAS

ESTUDIADAS

1 1O 10

2 15 25

3 20 45

4 25 70

5 30 100

6 35 135

7 40 175

8 45 220

9 50 270

10 30 300

Comprobar

Revisa si la respuesta tiene sentido. Observa que el patrón continúa hasta el noveno día y

cambia en el décimo porque solo quedan 30 hojas por estudiar.

En conclusión, el grupo demorará aproximadamente unos diez días en estudiar las 300

hojas.

ACTIVIDADES

A continuación se presenta un conjunto de problemas, resuélvalos aplicando los pasos del

modelo de Polya.

1. Roberto y Alfredo están más alegres que Tomás, mientras que Alberto está menos

alegre que Roberto pero más que Alfredo. ¿Quién está más alegre? ¿quién es

menos?

2. Cuándo en la ciudad de Barranquilla son las 12 del día en Moscú son las 8 de la

noche. Un avión sale de la Ciudad de Barranquilla a las 7 de la mañana (hora de

Barranquilla) y efectúa un viaje de 11 horas. ¿A qué hora aterrizó en Moscú (hora

de Moscú)?

3. Llegan 9 personas a un baile y cada una le da un apretón de manos a la otra.

¿Cuántos apretones de manos se dan en total?

4. Elabora un esquema para el siguiente problema que no incluya datos numéricos

Se tiene una cierta cantidad de posturas de árboles frutales, de las cuales una parte

corresponde a naranjas, otra a mangos y la tercera a guayabas. ¿Cómo se puede

saber qué parte corresponde a guayabas, si se conoce la de naranjas y la de mangos?

5. La figura representa datos respecto a la población de varias ciudades. Inventar un

problema que pueda resolverse con esa figura.

Bogotá Medellín Barranquilla Santa Marta




6. Elaborar una misma situación que corresponda con un esquema dado.

a)

Una solución: Todos los alumnos de un aula están en un grupo artístico, 22 de ellos en

danza y 20 en teatro. ¿Cuántos están solo en danza, si en total son 30?

Segunda solución:

b)

7. La edad de un padre y la de su hijo suman 47 años. Si dentro de 14 años el padre

tendrá el duplo de la edad del hijo, ¿cuál es la edad del padre?

8. Un autobús escolar con capacidad para 36 personas, en su primera parada recoge un

estudiante, en el segundo recoge dos, en la tercera recoge tres y así sucesivamente.

Sin ningún estudiante se baja del autobús, después de que parada se llenará el

autobús?

9. Un cubo de madera que mide 10 cm por lado se pinta de rojo. El cubo pintado se

corta en cubos pequeños de 2 cm por lado. ¿Cuántos cubos de 2 cm por lado no

tienen pintada ninguna cara?

10. Un libro se abre al azar. El producto de los números de las dos páginas donde se

abrió el libro 3192. ¿Cuáles son los números de las páginas en que se abrió el libro?

11. ¿Cuáles de las siguientes pelotas no pertenecen al mismo conjunto?

Una bola de billar.

Una pelta de beisbol.

Una pelota de baloncesto.

Una de futbol americano.

12. Para celebrar el inicio de las clases, los alumnos de sexto año deciden organizar una

fiesta en la casa de María. Su hermano observa que al abrir la puerta por primera

vez llega un invitado, la segunda vez llegan tres invitados, al abrir por tercera

ocasión la puerta entran cinco invitados, y así sucesivamente. ¿Cuántos invitados

abran entrado en la novena vez que se abre la puerta? ¿Cuántas veces se ha abierto

la puerta cuando han entrado 23 invitados?

13. José tiene menos de diez canicas. Si las arregla en grupo de tres, se da cuenta de que

no le sobra ninguna, sin embargo, cuando las agrupa de cuatro en cuatro se da

cuenta que le sobra una. ¿Cuántas canicas tiene José?

14. Luis pesa 40kg, y José y Mateo pesan juntos 80 kg. Si mateo pesa más que José,

¿Quién es el que pesa menos y quién es el que pesa más de los tres?

10 12

8

10

4 4 4

4




15. En una tienda de discos los CD se venden a $5, $10 y $15. Si planeas gastar $30 en

la compra de CD. Muestra todas las combinaciones de CD que puedes comprar

16. Julia tiene un carro pequeño que le rinde 30 kilometros por galón en el pueblo, y 36

kilómetros por galón en el expreso. El tanque de su carro tiene capacidad de 15

galones, la gasolina regular cuesta a $ 0.28 el litro hy la premiun a $ 0.32 el litro.

¿Cuánto le costará llenar el tanque de su auto con gasolina regular? (ayuda: 1 galón

es aproximadamente equivalente a litros )

17. La señora Martínez desea sembrar amapolas en el patio de su casa de modo que

formen una verja recta. La distancia que desea cubrir mide 30 pies. El jardinero le

indica que estas flores deben sembrarse a 2 pies de distancia entre ellas. ¿cuántas

debe comprar para cubrir la verja de extremo a extremo si desea sembrar la primera

amapola en uno de los extremos?

18. Carlos y Juan ganan la misma cantidad de dinero al mes, a pesas que uno de ellos

trabaja 5 días más que el otro. Si Carlos gana $28 al día y Juan gana $48 al día,

¿cuántos días trabajan cada uno al mes?

19. En el salón de historia están estudiando las banderas de los países de las Américas.

Cada día estudian algunas y aprovechan para estudiar la topografía del país. El

quinto día estudiaron 2 países más que el cuarto día. El cuarto día estudiaron tres

países menos que el tercer día. El tercer día estudiaron la misma cantidad de países

que estudiaron el segundo día. El segundo día estudiaron cuatro países. El primer

día estudiaron un país menos que en segundo día. ¿Cuántos países estudiaron en

total?

20. En el mismo orden que aparecen, agrupa los siguientes dígitos 6 3 5 4 7 y escribe

los símbolos de suma y resta para que obtengas 534

21. En el verano de 1995, José viajó a varias ciudades de Europa. Antes de salir de

viaje, sacó una tarjeta de estudiante internacional con la cual le dan descuentos. La

visita al Museo Carolino Augusto en Salzburgo, cuesta $3.35 a los adultos y a

$1.25, a los estudiantes con identificación. ¿Cuál es el por ciento que se ahorró José

en su tarjeta?

22. En la escuela del 11 de Noviembre, se espera que la matricula aumente en 50

estudiantes al año durante los próximos 8 años. Si la matricula actual es de 672

alumnos. ¿Cuántos estudiantes habrá en la escuela al cabo de este período?

23. El sueldo anual de Miguel ha aumentado la misma cantidad en los últimos años. Su

sueldo era de $18 000 anuales el primer año de trabajo. Si el séptimo año ganaba

$24000. ¿Cuántos años lleva en el trabajo si ahora gana $30 000 anuales?

24. Las agendas para el próximo año escolar están en oferta. Los precios son

independientes del color, pero dependen del tamaño. Si copras entre una o tres




agendas del tamaño regular, cuestan $47 cada una. Si compras entre 4 y 24 de las

mismas, cuestan $39.75 cada una. La agenda de bolsillo tiene los siguientes precios,

entre una y tres cuestan $16.95, entre 4 y 24 cuestan $13.50. Para el día del

ejecutivo, el presidente de JOTA MATEMAT decide comprar estas agendas para

sus empleados. Si compra diez agendas de bolsillo color marrón y dos agendas

negras de tamaño regular. ¿cuánto se ahorró?

25. Ricardo trabaja en el supermercado Grande, su sueldo es de $4.35 la hora por 20

horas a la semana, el doble desea cantidad por horas extras, más propinas. La

semana pasada ganó $72 en propinas y trabajo 31 horas. ¿cuánto ganó esa semana?

26. Muchas personas fueron al cine de Cine Mark a ver la última película de Harry

Potter: el primer día fueron 2000 personas, el segundo día 2500 y 3000 al tercero. Si

la asistencia continúa de esta forma en una semana. ¿en qué día habrán asistido en

forma acumulativa 19500 personas?

27. Conscientes de los problemas ambientales que causa la basura, en la Escuela IED 20

de Julio han iniciado un programa de reciclaje. Tony, uno de los estudiantes más

entusiasmados con la idea, recicla botellas de vidrio y de plástico. En la escuela han

decidido premiar al estudiante que acumule 2000 puntos. Se asignan 20 puntos por

reciclar una botella de plástico y 15 puntos por reciclar una de vidrio. Tony ha

acumulado 515 puntos, ¿cuántas botellas de cada clase ha reciclado?

BIBLIOGRAFIA

CAMPISTROUS, L., RIZO, C. “Aprende a resolver problemas aritméticos” (1996)

Editorial Pueblo y Educación.

RODRIGUEZ, J., CARABALLO, A., CRUZ, T., HERNANDEZ, O.

“Razonamiento Matemático, Fundamentos y Aplicaciones”. (1997). International

Thomson Editores.

SANTOS TRIGO, L. “La Resolución de Problemas Matemáticos Fundamentos

Cognitivos”. (2007). Editorial Trillas.

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