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Geometra Analtica

1. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto 4,1 y tiene un ngulo de inclinacion de135

Sol. : x + y 3 = 0

2. Los vrtices de un cuadriltero son A0,0; B2,4; C6,7, D8,0. Hallar las ecuacin de suslados

Sol :

2x y = 0

3x 4y + 10 = 0

7x + 2y 56 = 0

y = 0

3. Hallar el valor de k para que la recta L1 sea paralela a la recta L2

L1 : kx + k + 1y 18 = 0

L2 : 4x + 3y + 7 = 0

Sol : k = 4

4. Encuentre la ecuacin de cada una de las siguientes rectas:

a. Perpendicular a 6x + 5y = 2, conteniendo el punto 0,4b. Paralela a 3x + 4y 15 = 0, conteniendo al punto 0,3c. Paralela a 5y 5x + 12 = 0, conteniendo al punto 0,3d. Pendiente m = 2, pasando por el punto de interseccin de x + y = 3 y 2x 3y + 9 = 0

Sol :

a. 6y 5x 24 = 0

b. 3x + 4y 12 = 0

c. x y 3 = 0

d. 2x + y = 3

5. Encuentre la distancia entre 2,1 y la recta de la ecuacin x 2y = 8

Sol : 8

5

6. Encuentre los siguientes elementos de un tringulo de vrtices

A = 3,3,B = 1,5 y C = 6,0

a. Las ecuaciones de los lados.

b. Las ecuaciones de las simetrales y su punto de interseccin.

Sol :

a. 2x y = 3; x + y = 6; 5x 7y = 30

b. x + 2y = 1; x y = 3; 7x + 5y = 5; 53, 4

3

7. Encuentre la ecuacin de la recta que est a una distancia 7 del origen y pasa por 7,14

Sol :

x = 7; 3x 4y + 35 = 0

8. Encuentre el centro y el radio de la circunferencia inscrita en el tringulo:

a. cuyos lados estn sobre 2x + y = 12, 2x y = 4, x 2y 4 = 0

b. cuyos vrtices son 8,1, 2,4, 2,4

Sol :

a. 2,2; r = 65

5

b. 3,1; r = 5

9. Encuentre el punto en cada lado del tringulo con lados sobre x + 4y 8 = 0, x 4y + 10 = 0 y4x y 1 = 0, que equidista de los otros dos lados

Sol :

1316, 94

; 227, 23

7 ; 4

25, 4925

10. Encuentre la ecuacin de los puntos x,y tales que su distancia a 3x + 4y 5 = 0 es el doblede la distancia a 4x + 3y = 6

Sol :

5x + 2y = 7; 11x + 10y = 17

11. Encuentre la distancia entre las paralelas 3x 4y 1 = 0 y 6x 8y 9 = 0

Sol :

dL1,L2 = 1110

12. Encuentre las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto de interseccin de 7x + 7y = 24y x y = 0, y que forman con los ejes de coordenadas:

a. un tringulo de rea 7 15

b. un tringulo de permetro 12

Sol :

a. y = 25x + 12

5; y = 5

2x + 6

b. 4x + 3y = 12; 3x + 4y = 12

13. Encuentre todas las ecuaciones de las rectas:

a. cuya pendiente es 23

b. que forman con los ejes un tringulo de permetro 6

c. que pasan por el punto medio del trazo de extremos 2,2 y 0,6d. cuyo intercepto sobre el eje x es 2

3del intercepto sobre el eje y

Sol :

a. y = 23x + b

b. xa +y

b= 1 donde a = 6 b + | bm | m

2 + 1

c. y = mx 2 + m

d. y = 32x + b

14. Calcular los valores de m y n tales que la recta

2m n + 5x + m + 3n 2y + 2m + 9n + 19 = 0

es paralela al eje y e intercepta al eje x en el punto 5,0. Encuentre la ecuacin.

Sol :

m = 358

; n = 178

; x = 5

15. El rea de un tringulo es 8. Dos de sus vrtices son A = 1,2, B = 2,3, y el tercer vrticeC est en la recta 2x + y = 2. Determine las coordenadas de C.

Sol :

C = 1,4

16. Demuestre que:

a. Las diagonales de un rectngulo son iguales

b. Las diagonales de un paralelogramo se bisectan

c. La recta que une los puntos medios de dos lados de un tringulo es igual a la mitad deltercer lado

Indicacin: Suponer un vrtice en el origen.

17. Demuestre que la suma de los cuadrados de las distancias de cualquier punto a dos vrticesopuestos de un rectngulo, es igual a la suma de los cuadrados de sus distancias a los otros dosvrtices

Indicacin: Considere un vrtice en el origen y 2 lados sobre los semiejes positivos. Usepitgoras.

18. Encuentre de modo que el punto 2 , + 1 equidiste de 1,4 y de la recta x + 2y = 5

Sol :

= 23

23

55

19. Encuentre la ecuacin de la circunferencia tangente a 4x + 3y 70 = 0, en 10,10, con radio10.

Sol :

x2 + y2 4x 8y = 80; x2 + y2 36x 32y + 480 = 0

20. Encuentre las ecuaciones de las parbolas dados los siguientes datos:

a. Vrtice 3,4, directriz en el eje de las yb. Vrtice en 0,0, eje en el eje de las y, contiene al punto 4,5c. Vrtice 4,2, foco 2,2d. Directriz y + 3 = 0, foco 1,7

Sol :

a. y2 8y 12x + 52 = 0

b. y = 516x2

c. y 22 = 8x + 32

d. x 12 = 8y 40

21. Encuentre los focos, exentricidad y longitud del lado recto de las siguientes elipses:

a. x2 + 2y2 = 8

b. 25y2 + x2 = 25

c. 9x2 + 49y2 = 250

Sol :

a. F1 = 2,0; F2 = 2,0; e =2

2; l. l. r : 2 2

b. F1 = 2 6 ,0 ; F2 = 2 6 ,0 ; e =2 6

5; l. l. r : 2

5

c. F1 =10021

, 0 ; F2 = 10021

, 0 ; e = 257 10

; l. l. r :30 10

49

22. Encuentre las ecuaciones de las elipses, dados los siguientes datos:

a. a = 8, b = 4, focos en el eje de las y

b. a = 6, lado recto de longitud 3, focos en el eje de las x

c. a = 5b, contiene el punto 7,2, centro en 0,0, focos en el eje de las xd. centro en 0,0, ejes en los ejes de coordenadas, contiene a los puntos 3,0 y 0,2e. centro en 0,0, ejes en los ejes de coordenadas, radio mayor 3 veces el radio menor,

contiene al punto 9,5

Sol :

a. x2

16+

y2

64= 1

b. x2

36+

y2

9= 1

c. x2

149+

25y2

149= 1

d. x2

9+

y2

4= 1

e. x2

306+

y2

34= 1; 9x

2

754+

y2

754= 1

23. Encuentre las ecuaciones de las hiprbolas, dados los siguientes datos:

a. centro 0,0, a = 4, b = 5, focos en el eje de las yb. centro 0,0, a = 6 , c = 6, eje conjugado (recta perpendicular al eje por el centro), en

el eje de las y.

c. centro 0,0, a = 7, lado recto 14, eje conjugado en el eje de las yd. e = 15 , centro 0,6, a = 2, focos en el eje de las y

Sol :

a. x2

16

y2

25= 1

b. x2

6

y2

30= 1

c. x2 y2 = 49

d.y62

4 x

2

56= 1

24. Encuentre la ecuacin de la hiprbola con eje transversal en el eje de las y, que tiene a la recta3y 2x = 0 como una de sus asntotas y un foco en 0,4

Sol :

52y2 117x2 = 576

25. Demuestre que las circunferencias

C1 : x 32 + y 12 = 8

C2 : x 22 + y + 22 = 2

se cortan en ngulo recto. (El ngulo formado por las respectivas tangentes en el punto deinterseccin es recto)

26. Encontrar la ecuacin de la circunferencia que pasa por el vrtice y el foco de la parbola de laecuacin y2 = 8x y que tiene su centro en la recta x y + 2 = 0

Sol :

x 12 + y 32 = 10

27. Los extremos de un dimetro de la circunferencia son los puntos 2,3 y 4,5. Hallar laecuacin de la circunferencia.

Sol : x 32 + y + 12 = 17

28. Determine si las siguientes ecuacin representan o no circunferencia, en un caso afirmativoindique centro y radio

a. 2x2 + 2y2 6x + 10y + 7 = 0

Sol : C = 32, 5

2 ; r = 5

b. 4x2 + 4y2 + 28x + 8y + 53 = 0

Sol : No es una circunsferencia

29. Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por el punto 1,4 y es tangente a lacircunferencia de ecuacin

x2 + y2 + 6x + 2y + 5 = 0

en el punto 2,1

Sol : x + 12 + y 32 = 5

30. Escriba la ecuacin de la hiprbola cuyos focos son los puntos 1,1 y 1,11. y sus vrtices lospuntos 1,3, 1,9

Sol : H :y 62

9

x 12

16= 1

31. Determine las distancia entre los vrtices de la cnica dada por la ecuacin

9x2 + 18x + 4y2 + 24y = 9

Sol : d = 6

32. Encuentre el foco y la ecuacin de la directriz de la parbola

2y2 8x 24y + 56 = 0

Sol :

F : 1,6

d : x = 3

33. Encuentre la ecuacin. de una elipse horizontal si su centro es 5,1 y dimetro mayor es iguala 10 de longitud del eje menor es 8

x 52

25+

y 12

16= 1

34. Encuentre la ecuacin. de la parbola cuyo vrtice es 2,3 y foco es el punto 2,5

Sol : x 22 = 8y 3

35. Una curva C pasa por los puntos 1,2, 0,0 y 3,6. Encuentre la ecuacin de la curva C, siC es una;

a. Parbola vertical

Sol : x 12

2

= y + 14

b. Circunferencia

Sol : x 52

2

+ y 52

2

= 252

36. Encuentre la ecuacin de la circunsferencia de centro 1;5 y radio 5 y determine lascoordenadas de los puntos de la circunsferencia cuya abscisa sea 2.

Sol : x 12 + y + 52 = 25

P : 2; 24 5 y 2; 24 5

37. Encuentre la ecuacin de la circunsferencia que tiene como dimetro el segmento que va desde

1,3 a 7,11.

Sol : x 42 + y 72 = 25

38. Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por el punto de interseccin de las rectas cuyasecuaciones son:

3x + 4y = 8

6x 10y = 7

y que es perpendicular a la primera de esas rectas

Sol : y 12

= 43x 2

39. Encuentre la ecuacin de la hiprbola que tiene como centro a 2,1,Vrtice 4,1 y Foco 5,1. Adems calcule la distancia desde el foco derecho a una de lasasntotas

Sol :

x 22

4

y + 12

5= 1

d5,1, l = 5

40. Escribir las ecuacin de la circunferencia C que pasa por los puntos 2,3 y 1,6 cuyo centroesta sobre la recta de ecuacin;

L : 2x + 5y + 1 = 0

Sol : x + 32 + y 12 = 29

41. Encuentre las ecuacin de la recta perpendicular a la recta de ecuacin

L : 30y + 2x + 3 = 0

Sol :

y 4 = 15x 1

y 4 = 15x + 5

42. Encuentre la ecuacin del conjunto de puntos tales que sus distancia al punto 0,6 es 32

de la

distancia a la recta de ecuacin: 3y = 8, y describa a qu cnica corresponde.

Sol : hiprbola

y2

16 x

2

20= 1 e = 3

2

43. Encontrar la parbola que pasa por los puntos 3,3; 6,5; 6,3 y describa sus elementos

Sol : y 12 = 4x 2

V : 2,1

directriz : x = 3116

foco : 3616

,1

L : 14

44. Encontrar la ecuacin de una elipse con un foco en 1,1, directriz correspondiente a x = 0

y excentricidad e =2

2, encuentre los restantes elementos

Sol :x + 2

2

2

+y + 12

1= 1

foco2 : 3,1

directriz : x = 4

Centro : 2,1

45. Encontrar la ecuacin de la circunferencia que es tangente a la recta

L : 4x + 3y 70 = 0

en el punto 10,10 y su radio es 10

Sol :

x 22 + y 42 = 102

x 182 + y 162 = 102

46. Determine la ecuacin de la hiprbola cuyo eje (eje transversal) esta sobre el eje 0Y, un foco en

0,5 y su excentricidad es e = 32

9y2

100 9x

2

125= 1

47. Determine e identifique el lugar geomtrico de todos los puntos x,y R2 tales que, la sumade las distancias de un punto cualquiera a los puntos

P1 = 4,0yP2 = 4,0

es igual a 10

Sol : x2

52+y2

32= 1

48. Identifique la cnica de ecuacin

x2 + 2y2 6x 4y + 9 = 0

identicando sus elementos principales

Sol :x 32

2+ y 12 = 1

que es la ecuacin de una elipse centrada en el punto 3,1Corresponde a una elipse centrada en el origen y rotada en

6respecto a los ejes coordenados

49. Sean las ecuaciones de las curvas

x2 + y2 = 7,y2 = 3x

a. Determine los puntos P,Q interseccion de las curvas

b. Encuentre la ecuacin de la parbola con foco el punto medio del segmento que une P y Qy con vrtice en el punto 6,0

Sol :

a : P : 1,5; 2, 1 Q : 1,5; 2, 1

b : y2 = 18x 6

50. Determine la ecuacin de la circunferencia de radio 9 que pasa por el foco de la parabola

y = x2

9+ 4 y cuyo centro se encuentra en la recta l : x + y + 2 = 0

Sol : C = x 42 + y + 6 = 81

51. Determine si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, justificando su respuesta.

a. Las rectas 5x y + 12 = 0,3x + 5y 3 = 0 son paralelas

b. La distancia del punto 1,1 a la recta 3x + 4y 5 = 0 es 25

c. El centro de la circunferencia 2x2 + 2y2 10x 4y + 28 = 0 es 5,2d. El vrtice de la parbola y2 2x + 7 = 0 es V = 2,0e. El eje mayor de la elipse 2x2 + 4y2 36x + 8y + 39 = 0 es paralelo al eje x

Sol. a : falso

b : falso

c : falsa, x 52 + y 12 = 12

d : falso V = 72,0

e : verdadera,C :x 92

1272

+y + 12

1274

= 1