Haces de luz vectoriales y la frontera

clásico-cuántica

F. De Zela

Departamento de Ciencias – Sección Física – Grupo de Óptica Cuántica

Pontificia Universidad Católica del Perú

XXV Simposio Peruano de Física

10 – 14 de octubre de 2016

Resumen

Desigualdad de Bell-CHSH

Violaciones de la desigualad Bell-CHSH mediante

haces vectoriales

Haces de luz estocásticos

Comparación entre los marcos clásico y cuántico

Einstein – Bohr

1927 John Bell

1964

1935

Contexto: Einstein vs. Bohr, EPR, y las

desigualdades de Bell

La MC es una

teoría

“incompleta”

A = +1

B’ = +1

A = -1B’ = -1

Desigualdad de Bell-Clauser-Horn-Shimony-Holt (CHSH)

1

2

1

2

Estados de BellEstados de máximoenmarañamiento

Desigualdad de Bell-CHSH

Dos orientaciones para Alice (a, a’) y dos para Bob (b, b’)

(CHSH)

En la MC,

Estado “singlete”

Para el singlete es posible encontrar direcciones a, a’, b, b’ tales

que

La MC viola la desigualdad de CHSH

Los experimentos confirman la predicción de la MC

Schrödinger

(1935) Enmarañamiento (“entanglement”): es el

“sello característico de la mecánica cuántica”,

“…aquello que le impone su divergencia respecto a

las líneas de pensamiento clásico”

A partir de 1980 se empieza a ver el

entrelazamiento y la no-localidad como

“recursos informáticos”

Se introduce el e-bit : “entanglement-bit”

D-Wave Systems Inc.

(2016) OSA “Incubator Meeting”

Emerging Connections: Quantum and Classical Optics

“Recently, a number of detailed examinations of the structure of

classical light beams have revealed that effects widely thought to be

solely quantum in origin also have a place in classical optics”.

”Interference, polarization, coherence, complementarity and

entanglement are a partial list of elementary notions that now

appear to belong to both quantum and classical optics”.

Estados de Polarización:

0 /2

0

/2

RCP

LCP

LP

Elipticidad -> cociente de amplitudes (circulares)Orientación -> diferencia de fase (circulares)

2b

a

2

ˆ e H

ˆ e L

ˆ e D

ˆ e A

ˆ e R

ˆ e V

s3

s1

s2

Haces vectoriales

de E. J. Gálvez

Colgate Univ.

𝑬 = 𝑒𝑖𝜃 cos 𝜒𝒆𝑅 + 𝑒−𝑖𝜃 sin 𝜒 𝒆𝑙

Haces vectoriales

Galvez et al Coherence and Quantum Optics IX (2014)

Haces vectoriales y desigualdades de Bell

“Separable” 𝑬𝑆 𝒓 = 𝑓 𝒓 𝒆 𝒆: vector (unitario) de polarización

𝑓 𝒓 : modo espacial

No separable o “entrelazado” 𝑬𝑁𝑆 𝑟 =1

2𝑓𝑉 𝒓 𝒆𝑉 + 𝑓𝐻(𝒓)𝒆𝐻

“Rotaciones” en el modo espacial y de polarización

𝒆+ = cos𝛼 𝒆𝑉 + sin𝛼 𝒆𝐻𝒆− = sin𝛼 𝒆𝑉 − (cos𝛼)𝒆𝐻

𝑓+ 𝒓 = cos𝛽 𝑓𝑉 𝒓 + sin 𝛽 𝑓𝐻 𝒓𝑓− 𝒓 = sin 𝛽 𝑓𝑉 𝒓 − cos𝛽 𝑓𝐻 𝒓

𝑬𝑁𝑆 𝑟 =1

2𝑓𝑉 𝒓 𝒆𝑉 + 𝑓𝐻(𝒓)𝒆𝐻

⇕

| 𝑬𝑁𝑆 =1

2| 𝑓𝑉 ⨂| 𝑒𝑉 + | 𝑓𝐻 ⨂| 𝑒𝐻 ≠ | 𝐹 ⨂| 𝐸

Enmarañamiento en campos clásicos

(modo espacial ⨂ polarización)

𝑬𝑁𝑆 𝒓 =1

2cos 𝛽 − 𝛼 𝑓+ 𝒓 𝒆+ + 𝑓− 𝒓 𝒆− + sin(𝛽 − 𝛼) 𝑓− 𝒓 𝒆+ + 𝑓+ 𝒓 𝒆−

Intensidades

𝐼++ 𝛼, 𝛽 + 𝐼+− 𝛼, 𝛽 + 𝐼−+ 𝛼, 𝛽 + 𝐼−− 𝛼, 𝛽 = 1

Correlaciones

𝑀 𝛼, 𝛽 = 𝐼++ 𝛼, 𝛽 + 𝐼−− 𝛼, 𝛽 − 𝐼+− 𝛼, 𝛽 − 𝐼−+ 𝛼, 𝛽 = cos 2 𝛽 − 𝛼

𝑆 = 𝑀 𝛼1, 𝛽1 +𝑀 𝛼1, 𝛽2 +𝑀 𝛼2, 𝛽1 −𝑀(𝛼2, 𝛽2)

Parámetro de Bell

Borges et al.

PRA 82, 033833 (2010)

𝑆𝑆 = 1.05 ± 0.03

𝑺𝑵𝑺 = 𝟐. 𝟏𝟎 ± 𝟎. 𝟎𝟑

Según la desigualdad de Bell-CHSH,

𝑺𝑵𝑺 ≤ 𝟐

𝐼++ 𝛼, 𝛽𝐼+− 𝛼, 𝛽𝐼−+ 𝛼, 𝛽𝐼−− 𝛼, 𝛽

Kagalwala et al., Nat. Phot. (2012)

Polarización y “paridad espacial”

entrelazados

Kagalwala et al. Nat. Phot. (2012)

Experimentos con fotones: tests de Bell

(Colaboración PUCP- Colgate University, Hamilton, NY)

B. Gadway

(LeRoy Apker Award 2007)

Prof. E. J. Gálvez

B. Gadway, E. Galvez, F. De Zela

J. Phys. B 42, 015503 (2009)Single-photon test

Mecánica Cuántica:

Los estados entrelazados violan la desigualdad de Bell-CHSH

Los estados producto no violan la desigualdad de Bell-CHSH

Teorías de “variables ocultas” o modelos locales y realistas:

Se satisface la desigualdad de Bell-CHSH

Experimentos:

Salvo “loopholes”, todos violan la desigualdad de

Bell-CHSH

“Haces vectoriales” (Electrodinámica clásica):

Los estados entrelazados violan la desigualdad de Bell-CHSH

Los estados producto no violan la desigualdad de Bell-CHSH

Experimentos con “haces vectoriales”:

Confirman la violación de la desigualdad de Bell-CHSH

Situación actual

Haces de luz estocásticos

Créd.: B. E. A. Saleh

Feynman: Experimento de la doble rendija (Young)

contiene la esencia de la mecánica cuántica

𝑬 𝑃,𝜔 = 𝐾1𝑬 𝑃1, 𝜔𝑒𝑖𝑘𝑅1

𝑅1+ 𝐾2𝑬(𝑃2, 𝜔)

𝑒𝑖𝑘𝑅2

𝑅2

𝑊𝑖𝑗 𝒓1, 𝒓2, 𝜔 = 𝐸𝑖∗(𝒓1, 𝜔)𝐸𝑗(𝒓2, 𝜔)

𝑆 𝑃, 𝜔 = 𝑇𝑟 𝑊 𝑃, 𝑃, 𝜔 = 𝑬∗ 𝑃,𝜔 ∙ 𝑬(𝑃, 𝜔)

𝑆 𝑃, 𝜔 = 𝑆 1 𝑃,𝜔 + 𝑆 2 𝑃, 𝜔 + 2 𝑆 1 (𝑃, 𝜔)𝑆 2 (𝑃, 𝜔) 𝑅𝑒 𝜂(𝑃1, 𝑃2, 𝜔)𝑒𝑖𝑘 𝑅1−𝑅2

𝑆 𝑗 𝑃,𝜔 =𝐾𝑗2

𝑅𝑗2 𝑆 𝑃𝑗 , 𝜔

Arreglo de Young óptico

“Cross- spectral

density matrix”

Intensidad

Intensidad en P

𝜂 𝛼, 𝛽 = cos 𝛼 − 𝛽

𝑆𝑌 = 𝜂 𝛼, 𝛽 + 𝜂 𝛼′, 𝛽 + 𝜂 𝛼, 𝛽′ − 𝜂 𝛼′, 𝛽′

Medida de Bell

con

y 𝛼 = 0, 𝛽 =3𝜋

4, 𝛼′ =

3𝜋

2, 𝛽′ =

5𝜋

4

se obtiene 𝑆𝑌 = 2 2

𝜂 𝑃1, 𝑃2, 𝜔 = 𝜂 𝑃1, 𝑃2, 𝜔 𝑒𝑖𝜙 𝑃1,𝑃2,𝜔 =

𝑇𝑟𝑊 𝑃1, 𝑃2, 𝜔

𝑇𝑟𝑊 𝑃1, 𝑃1, 𝜔 𝑇𝑟𝑊 𝑃2, 𝑃2, 𝜔

0 ≤ 𝜂 𝑃1, 𝑃2, 𝜔 ≤ 1

Grado espectral de coherencia

(Límite de Cirelson)

𝑬𝑎 = cos 𝜃𝑎, sin 𝜃𝑎 𝑒𝑖𝜔𝑡

𝑬𝑏 = cos 𝜃𝑏, sin 𝜃𝑏 𝑒𝑖𝜔𝑡

𝜃𝑎𝜃𝑏 = 𝜌𝜎2

𝑝 𝜃𝑎, 𝜃𝑏 =1

2𝜋𝜎2 1 − 𝜌2𝑒𝑥𝑝 −

𝜃𝑎2 + 𝜃𝑏

2 − 2𝜃𝑎𝜃𝑏𝜌

2 1 − 𝜌2 𝜎2

𝜂 𝛼, 𝛽 = 𝑒− 1−𝜌 𝜎2cos 𝛼 − 𝛽

Campos estocásticos

Para una configuración tipo

Young se obtiene

Dependiendo de los valores de 𝜌 y 𝜎 se puede o no violar la

desigualdad de Bell-CHSH

𝑆 𝑃, 𝜔 = 𝑆 1 + 𝑆 2 + 2 𝑆 1 𝑆 2 𝜂 cos 𝜙 + 𝛿

𝑣 𝑃 =𝑆𝑚𝑎𝑥 − 𝑆𝑚𝑖𝑛

𝑆𝑚𝑎𝑥 + 𝑆𝑚𝑖𝑛=2 𝑆 1 𝑆 2

𝑆 1 + 𝑆 2𝜂(𝑃)

𝑆 1 = 𝑆 2 ⟹ 𝜂 𝑃 = 𝑣 𝑃

𝛿 ≈ 0 ⟹ cos 𝜙 =𝑆 − 2𝑆(1)

2𝑆(1)𝑣

Visibilidad

Cómo medir 𝜼

Tenemos que

con 𝝓 = 𝒂𝒓𝒈 𝜼

Para 𝑆 1 ≈ 𝑆 2 ≈ const., definimos

Teniendo 𝜂 𝑃 y 𝜙 = arg 𝜂 , tenemos 𝜼

Φ 𝒓,𝜔 = (𝜙𝑖𝑗 𝒓, 𝜔 ) = (𝑊𝑖𝑗 𝒓, 𝒓, 𝜔 )

𝜙𝑖𝑗 𝒓, 𝜔 = 𝜙𝑖𝑗1 𝒓,𝜔 + 𝜙𝑖𝑗

2 𝒓,𝜔 +

+ 2 𝑇𝑟Φ 1 𝒓,𝜔 𝑇𝑟Φ 2 (𝒓, 𝜔) 𝜂𝑖𝑗 𝑃1, 𝑃2, 𝜔 𝑒−𝑖𝑘 𝑅1−𝑅2 + 𝜂𝑖𝑗(𝑃2, 𝑃1, 𝜔)𝑒

𝑖𝑘(𝑅1−𝑅2)

𝜂𝑖𝑗 𝑃1, 𝑃2, 𝜔 =𝑊𝑖𝑗 𝑃1, 𝑃2, 𝜔

𝑇𝑟Φ 1 𝒓, 𝜔 𝑇𝑟Φ 2 (𝒓, 𝜔)

Φ 𝒓,𝜔 =1

2

𝑛=0

3

𝑆𝑛(𝒓, 𝜔)𝜎𝑛 𝑆𝑛 𝒓, 𝜔 = 𝑇𝑟 Φ 𝒓,𝜔 𝜎𝑛

Parámetros de Stokes generalizados

Definimos

Considerando una configuración tipo Young

donde

Parámetros de Stokes relativos a Φ 𝒓,𝜔 :

con los parámetros de Stokes generalizados

Usando 𝑆𝑛 𝒓, 𝜔 = 𝑇𝑟 Φ 𝒓,𝜔 𝜎𝑛 y 𝑊 = 𝑇𝑟Φ 1 𝒓,𝜔 𝑇𝑟Φ 2 (𝒓, 𝜔) 𝜂

𝑆𝑛 𝒓, 𝜔 = 𝑆𝑛1 𝒓, 𝜔 + 𝑆𝑛

2 𝒓, 𝜔 + 2 𝑠𝑛 𝑃1, 𝑃2, 𝜔 cos 𝑎𝑟𝑔 𝑠𝑛 − 𝑘 𝑅1 − 𝑅2

𝑠𝑛 𝑃1, 𝑃2, 𝜔 = 𝑇𝑟 𝑊 𝑃1, 𝑃2, 𝜔 𝜎𝑛

𝑊 𝑃1, 𝑃2, 𝜔 =1

2

𝑛=0

3

𝑠𝑛(𝑃1, 𝑃2, 𝜔)𝜎𝑛

obtenemos

cos 𝑎𝑟𝑔 𝑠𝑛 =𝑆𝑛 − 𝑆𝑛

1 − 𝑆𝑛2

𝑆01 + 𝑆0

2 𝐶𝑛𝑠𝑛 =1

2𝑆01 + 𝑆0

2 𝐶𝑛

𝐶𝑛 𝒓,𝜔 =𝑚𝑎𝑥 𝑆𝑛 𝒓, 𝜔 − 𝑚𝑖𝑛 𝑆𝑛 𝒓,𝜔

𝑚𝑎𝑥 𝑆0 𝒓, 𝜔 + 𝑚𝑖𝑛 𝑆0 𝒓,𝜔=

2 𝑠𝑛 𝑃1, 𝑃2, 𝜔

𝑆01 𝒓,𝜔 + 𝑆0

2 𝒓,𝜔

Definimos los parámetros de contraste

Los parámetros de Stokes generalizados se obtienen entonces

midiendo módulo y fase, mediante

Medición de 𝒔𝒏(𝑷𝟏, 𝑷𝟐, 𝝎)B. Kanseri, S. Rath, and H. C. Kandpal, Opt. Lett. 34,

719 (2009) Densidad espectral en P: 𝜑 𝜃, 𝜙𝜃: ángulo de polarizador co eje x 𝜙: ángulo entre QWP y polarizador

𝑆01 𝒓, 𝜔 = 𝜑 0°, 0° + 𝜑 90°, 0°

𝑆11 𝒓,𝜔 = 𝜑 0°, 0° − 𝜑 90°, 0°

𝑆21 𝒓, 𝜔 = 𝜑 45°, 0° − 𝜑 135°, 0°

𝑆31 𝒓, 𝜔 = 𝜑 45°, 45° − 𝜑 135°, 45°

𝑆𝑛1 𝒓,𝜔 ≈ 𝑆𝑛

2 𝒓, 𝜔

𝜇𝑛 𝑃1, 𝑃2, 𝜔 = 𝐶𝑛 𝑃,𝜔

cos 𝑎𝑟𝑔 𝜇𝑛 =𝑆𝑛 − 2𝑆𝑛

1

2𝑆01 𝐶𝑛

From Kanseri et al.

Análogamente se mide 𝑆𝑛 𝒓,𝜔

𝐶𝑛 𝑃, 𝜔 =𝑚𝑎𝑥 𝑆𝑛 𝒓,𝜔 − 𝑚𝑖𝑛 𝑆𝑛 𝒓, 𝜔

𝑚𝑎𝑥 𝑆0 𝒓,𝜔 + 𝑚𝑖𝑛 𝑆0 𝒓,𝜔

Los parámetros de Stokes 𝑆𝑛 𝒓, 𝜔 = 𝑇𝑟 Φ 𝒓,𝜔 𝜎𝑛 se propagan según

𝑆𝑛 𝒓,𝜔 = 𝑠𝑛(0) 𝝆′1, 𝝆′2, 𝜔 𝐾 𝝆 − 𝝆

′1, 𝝆 − 𝝆′

2, 𝑧; 𝜔 𝑑2𝜌′1𝑑

2𝜌′2

donde 𝐾 𝝆 − 𝝆′1, 𝝆 − 𝝆′2, 𝑧; 𝜔 = 𝐺

∗ 𝝆 − 𝝆′1, 𝑧; 𝜔 𝐺 𝝆 − 𝝆′2, 𝑧; 𝜔

𝐺 𝝆 − 𝝆′, 𝑧; 𝜔 = −𝑖𝑘

2𝜋𝑧𝑒𝑥𝑝𝑖𝑘 𝝆 − 𝝆′ 2

2𝑧

Los vectores 𝝆 son bi-dimensionales, pertenecen a planos ortogonales al

haz (𝑧).

𝝆′1 y 𝝆′2 se refieren al plano 𝑧 = 0.

Dos haces estocásticos distintos pueden tener los mismos

parámetros de Stokes (estándar) en el plano z = 0

Los vectores de Stokes en z = 0 no determinan los vectores en z > 0

A = +1 B’ = +1

A = -1 B’ = -1

Test de Bell

𝐴𝐵 = 𝜌 𝜆 𝐴𝜆𝐵𝜆𝑑𝜆

Modelo (de Bell) realista y local

Comparación entre los

marcos clásico y cuántico

Conclusiones

El enmarañamiento no es una característica

exclusivamente cuántica

Las “medidas de Bell” - con las que se formula las

desigualdades de Bell - pueden aplicarse también en el

contexto clásico

Los modelos realistas y locales tipo Bell son muy

limitados y no describen, p. ej., lo observado con

campos clásicos estocásticos

Gracias por su atención