Hermes Pantoja Carhuavilca

Introduccion Teoria de Errores Aritmetica del computador

Aritmetica del Computador

Hermes Pantoja Carhuavilca

Facultad de Ingenierıa MecanicaUniversidad Nacional de Ingenierıa

Metodos Numericos

Hermes Pantoja Carhuavilca Aritmetica del Computador


Contenido

1 Introduccion

2 Teoria de Errores

3 Aritmetica del computador



Introduccion al estudio de metodos computacionales



Aproximacion y Errores

Los calculos numericos inevitablemente conducen a errores

Estos son de dos clases principales:

1. Errores de Redondeo

Errores asociados con la representacion inexacta de numerosreales por la computadora.Errores asociados con la maquina.

2. Errores de Truncamiento

Errores asociados con el uso de un procedimiento numericoaproximado para reemplazar una expresion matematica exacta.Error asociados con el algoritmos matematico.

Ambos conducen al error total.



Fuentes de errores

Los errores en el calculo matematico tienen varia fuentes:

El modelado que da origen al problema matematico.

Incertidumbre de los datos del problema.

La codificacion del modelo.

Errores de redondeo.



Error absoluto, relativo y precision

Consideremos ”A” el valor exacto de la medida de cierta magnitud(en general desconocida) y sea ”a” un valor conocido que sellamara aproximacion de ”A”. Evidentemente la buena cualidad dela aproximacion es de acuerdo a cuan proximo esta ”a” de ”A”.

Error Absoluto

Llamamos error absoluto del numero aproximado ”a” al valor:

ξa = |A− a|

y todo numero ξ∗a ≥ ξa, se denominara cota del error absoluto.




Error Relativo

Llamamos error relativo del numero aproximado ”a” al valor:

δa =|A− a||A|

, A 6= 0

y todo numero δ∗a ≥ δa, se denominara cota del error relativo.

Ejemplo

Calcular el error absoluto y el error relativo:

a)p = 0,4 p = 0,41; b)p = 40 p = 41




Precision

Dado un ε > 0 (pequeno) decimos que el valor ”a” aproxima a”A” con una precision ε si:

ξa = |A− a| ≤ ε



Definiciones

Sean ”A” y ”a” dos numeros reales. Se dice que ”a” es unaaproximacion de ”A” con ”n” cifras decimales exactas (o que ”A”y ”a” coinciden en ”n” cifras decimales), si ”n” es el mayor enterono negativo tal que

ξa ≤ 0,5× 10−n

Ejemplo

Verificar que a = 3,1415 aproxima a A = π = 3,141592... con trescifras decimales exactas



Definiciones

Sean ”A” y ”a” dos numeros reales, con A6= 0. Se dice que ”a” esuna aproximacion de ”A” con ”n” cifras decimales significativasexactas (o que ”A” y ”a” coinciden en ”n” cifras decimalessignificativas), si ”n” es el mayor entero no negativo tal que

δa ≤ 5× 10−n

Ejemplo

Verificar que a = 124,45 aproxima a A = 123,45 con dos cifrassignificativas exactas



Exactitud vs Precision

Exactitud : Se refiere a que tan cercano esta el valor calculado omedido del valor verdadero.Precision: Se refiere a que tan cercanos se encuentran, uno deotros, diversos valores calculados o medidos.



Propagacion de errores

Al resolver un problema utilizando metodos numericos, el error quese genera sera consecuencia de un cumulo de errores ocurridos enpasos sucesivos, se debe estudiar la mecanica de ”propagacion” delos mismos a lo largo del calculo.




Propagacion de errores en sumas y diferencias

Datos iniciales:x ± ξx y ± ξySea su suma q = x + y y su diferencia q = x − y

¿Cual es la incertidumbre, ξq?

El error absoluto de la suma y de la diferencia de dos o masmagnitudes es la suma de los errores absolutos de dichasmagnitudes:

q = x ± y ⇒ ξq ≈ ξx + ξy




Ejemplo:En un experimento se introducen dos lıquidos en un matraz yse quiere hallar la masa total del lıquido. Se conocen:M1 = Masa del matraz 1 + contenido = 540± 10gm1 = Masa del matraz 1 = 72± 1gM2 = Masa del matraz 2 + contenido = 940± 20gm2 = Masa del matraz 2 = 97± 1gLa masa de lıquido sera:

M = (M1 −m1) + (M2 −m2) = 1311g

Su error:

ξM = ξM1 + ξm1 + ξM2 + ξm2 = 32g

El resultado se expresara:

M = 1311± 32gHermes Pantoja Carhuavilca Aritmetica del Computador



Propagacion de errores en productos y cocientesDatos iniciales:

x ± ξx = x

(1± ξx|x |

)y ± ξy = y

(1± ξy|y |

)Sea su producto q = xy y su cociente q = x/y¿Cual es la incertidumbre, ξq?El error relativo del producto y el cociente es igual a la sumade los errores relativos de dichas magnitudes:

q = xy ⇒ ξq|q|≈ ξx|x |

+ξy|y |

q = x/y ⇒ ξq|q|≈ ξx|x |

+ξy|y |


Ejemplo:Para medir la altura de un arbol L, se mide la longitud de susombra L1, la altura de un objeto de referencia L2, y lalongitud de su sombra L3. Por semejanza:

L = L1.L2

L3

Realizadas las medidas resultan:

L1 = 200± 2cm, L2 = 100,0± 0,4cm L3 = 10,3± 0,2cm

Por tanto

L = 200.100

10= 2000cm

su error sera

ξL|L|≈ ξL1

|L1|+ξL2

|L2|=

2

200+

0,4

100+

0,2

10,3

= (1 + 0,4 + 2) % = 3,4 %→ ξL =3,4

1002000 = 68

L = 2000± 68cm



Error en funcion de una variableDatos iniciales:x ± ξx . Sea q = f (x) una funcion cualquiera.

¿Cual es la incertidumbre, ξq ?

ξq = f (x + ξx)− f (x) ≈ df (x)

dxξx

Si x se mide con un error ξx y se utiliza para calcularq = f (x), el error aboluto de q viene dado por:

ξq =

∣∣∣∣df (x)

dx

∣∣∣∣ ξxHermes Pantoja Carhuavilca Aritmetica del Computador



Error en funcion de varias variablesLas reglas para el calculo de errores que hemos visto se puedendeducir de una formula mas general que nos permite resolvercasos mas complicados.Sean las medidas x e y con errores ξx y ξy usadas paracalcular:

q = f (x , y)

Mediante un desarrollo en serie para el caso de varias variables:

f (x + ξx , y + ξy ) = f (x , y) + |∂f∂x|ξx + |∂f

∂y|ξy + . . .

con lo que:

ξq = f (x + ξx , y + ξy )− f (x , y) ≈ |∂f∂x|ξx + |∂f

∂y|ξy



Aritmetica del Computador

Las operaciones de suma, resta, multiplicacion y division en elsistema de punto flotante (F), se denota por ⊕,,⊗,�respectivamente. Estas operaciones estan definidas por:x ⊕ y = fl(fl(x) + fl(y))x y = fl(fl(x)− fl(y))x ⊗ y = fl(fl(x)× fl(y))x � y = fl(fl(x)÷ fl(y)), fl(y) 6= 0, y 6= 0Estas operaciones no son cerradas sobre F, pues en algunos casosse genera underflow u overflow;



Representacion de numeros del computador

Los computadores trabajan con aritmetica real usando un sistemadenominado de ”punto flotante”. Suponen un numero real quetiene la expansion binaria:Numero Normalizado



Notacion Normalizada



Ejemplo



Conversion entre bases: ejemplos



Estandar IEEE-754

Precision Simple: 32 bits



Estandar IEEE-754



Ejemplo

¿Cual es la representacion en simple precision de: 347,625?

Solucion:

Convertir a binario: 347,625 = 101011011,101

Normalizar el numero (mover el punto decimal hasta que hayaun solo 1 a la izquierda)101011011,101 = 1,01011011101× (28)

mantisa: 01011011101

exponente:Bias = 2(8−1) − 1 = 127exp = E + 127 −→ exp = 8 + 127 = 135 = 10000111

El numero es positivo: bit de signo 0

Resultado: 01000011101011011101000000000000



Ejemplos:

Ejemplo

¿Cual es el valor de: 1 01111100 11000000000000000000000?

Solucion:

El bit de signo es 1:numero negativo

El exponente exp contiene 01111100 = 124

La mantisa es 0,11000 . . . = 0,75

El valor es:

(−1)× (1 + 0,75)× (2(124−127)) = −1,75× (2(−3)) = −0,21875



Notas importantes sobre el estandar IEEE 754

Como cero no es directamente representable en estandar IEEE 754,entonces dependiendo del exponente y la mantisa del numerocodificado, algunas representaciones tienen significadosparticulares, ası como se resume en la siguiente tabla:



Estandar IEEE-754

Precision Doble: 64 bits



Desbordamiento

Se puede producir cuando se operan dos datos y el resultadoexcede la capacidad de almacenamiento seleccionada.

Definicion (Overflow)

Se produce cuando el numero es muy grande y se excede el lımitemaximo de almacenamiento.

Definicion (Underflow)

Se produce cuando el numero es muy prqueno y se execede ellımite mınimo de almacenamiento.



El Epsilon (ε) de la Maquina

Definicion

El epsilon de la maquina es la distancia entre 1 y el siguientenumero maquina, se denota por eps.



Los numero maquina binarios

Cardinalidad

F (s + 1,m,M, 2) = 2(s+1).(M −m + 1) + 1



Ejemplo

Indicar los numeros que se pueden representar en el sistemaF (3,−2, 2, 2), ademas de su cardinalidad

Solucion:


Ejercicio:Vamos a considerar un hipotetico computador que en numeros depunto flotantes estan representados en una palabra de 16-bit. Unejemplo se muestra en la Figura 1:

Muestre la representacion en punto flotante y los bits del:

1 El numero eps (epsilon de la maquina)

2 Mayor valor positivo normalizado

3 Menor valor positivo normalizado

4 El numero 1 y -10.375

5 El infinito y NaN


Solucion



Cambio de Base



Ejemplo:


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