Herramientas estadísticas

Herramientas estadísticas• Contenido:

• Distribución de probabilidad• Esperanza matemática y varianza • Distribución normal• Distribución normal estándar

• Las aplicaciones logísticas: • Son de carácter no determinístico (Probabilidad)• Muchas decisiones dependen de Probabilidades basadas en

información limitada o incierta• Gráficas de desempeño logístico

• Objetivo: revisar herramientas estadísticas básicas en la toma de decisiones logísticas

Herramientas estadísticas• Distribuciones de probabilidad discretas: distribuciones en las

cuales los valores asociados no son continuos

• Variables discretas: probabilidades asociadas a cada suceso

• Reglas de las distribuciones de probabilidad:• Los sucesos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos• Las probabilidades están comprendidas entre 0 y 1• La suma de las probabilidades es igual 1

• El gráfico de la distribución de probabilidades: da una imagen de su forma, y ayuda a identificar la tendencia central de la distribución (esperanza matemática) y la variabilidad o dispersión de la distribución (varianza)

Distribución de probabilidad discreta

Esperanza matemática

Ejemplo: esperanza matemática

Ejemplo

Datos no agrupados

Distribución Binomial: B(n;p) Mide la probabilidad de que en n sucesos o

ensayos se obtengan k éxitos: Ejemplo: número de clientes que llegan en

15minutos. Media = np (por ejemplo: número de éxitos p o de

fracasos q) Varianza: pq/n Eventos independientes La probabilidad de observar el evento es constante

en cada intento (n<0,10N, o reposición)

knkkx pp

knk

nP

)1()!(!

!)(

Ejercicio . La proporción de individuos de una población con renta superior a los $20000 es de 0,005% (p). Determinar la probabilidad de que entre 5000 (n) individuos consultados haya 2 () con ese nivel de renta, suponiendo que todos los consultados responden. Ajustar el problema a un modelo binomial y al modelo de Poisson equivalente, comprobando que ambas leyes de probabilidad coinciden en la práctica.

Distribución Binomial: ejemplo

Solución:

X= individuos que tienen una renta superior a los 20000$ es una variable binomial con n = 5000 y p =0,00005. La probabilidad pedida es P(x=2) = 2,4%


P(X=2) la calcularemos mediante la distribución binomial B(5000;0,00005)

Aproximación:


Dado que p es muy pequeño y n muy grande , y m = np =5000*0,00005= 0,25<5 y p <0,01 ya podemos aproximar la variable X= B(5000;0,00005) por una variable de Poisson de parámetros m = np = 0,25.

Realizar n tentativas de un evento, y observar el número k de ocurrencias: Ejemplo: número de

clientes que llegan en 15minutos.

Media = µ (por ejemplo: 5/hora)

Probabilidad:

0,0

0,3

0,6

0 1 2 3 4 5X

P(X)

0,0

0,3

0,6

0 2 4 6 8 10X

P(X)

= 0,5= 0,5

= 6,0= 6,0

Distribución de Poisson:

xe

)x(Px

Especifica la probabilidad de que n clientes lleguen en T períoods de tiempo

(λT)n

P(n) = n !e – λT para n=1,2,3.…

Condiciones: Las mismas de la binomial, además de: “Muchas oportunidades de ocurrencia, pero con baja

probabilidad en cada tentativa con respecto a np”: nq es muy pequeño respecto a n

Aproximaciones a la binomial: P es pequeño con respecto a n


Cualquier fenómeno aleatorio que ocurre por unidad (de área, volumen, de tiempo, etc.)

Las variaciones de µ, en fenómenos como los descritos anteriormente, definen una familia de distribuciones Poisson con :

Media = µ Varianza = µ

Para k=0,1,2… µ = np (n>50 y p <0,10) µ=λt, donde λ es la tasa (constante) de ocurrencia del evento

por unidad (pequeña) de tiempo, longitud, de masa, de área, de volumen, ….


!)(

k

ekxP

k

Distribución de Poisson: ejemplo

Distribución de Poisson: ejemplo

Para representar la ley de probabilidad relativa a la distribución de Poisson seleccionaremos su rango de valores (x;p(x)).

Distribuciones de Poisson para tiempos de llegada

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x

0,00

0,05

0,10

0.15

0,20

0,25

0,30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x

Prob

abilid

ad

Prob

abilid

ad

=2 =4

= promedio de clientes por unidad de tiempo

Herramientas estadísticas

Distribuciones de probabilidad continuas

El punto medio (y más elevado) es el valor de la media µ de la distribución normal

En el eje de abscisas se mide en términos del número de desviaciones σ estándar, a partir de la media

Distribuciones de probabilidad continuas

Tabla normal estándar

Tabla normal estándar

=

Gráfica de desempeño

• Proporcionan una descripción gráfica del desempeño y una comparación del desempeño entre varios períodos

• Para proporcionar un seguimiento en el tiempo:• De los costos logísticos• Del servicio al cliente• De los índices de productividad

• Para dar una señal de alerta cuando ocurre una tendencia adversa

Gráfica de desempeño

• Un ejemplo de rotación de inventarios

M eta o promedio

Límite in ferior

Límite superior

Indi

ce d

e ro

taci

ón d

ein

vent

ario

s

9

8

7

tiempo

Ejemplo• Un servicio de paquetería express ofrece que todos los paquetes serán entregados

dentro de las 24 horas siguientes a su recolección. En la práctica, la compañía desea que al menos 90% de las entregas se realicen dentro de este período. Se han recopilado muestras de 100 entregas por cada uno de los 10 días operativos representativos. Los resultados fueron los siguientes:

Muestra

Entregas

1 94

2 93

3 94

4 95

5 94

6 93

Muestra Entregas

7 92

8 93

9 96

10 95

Total 939

Ejemplo

• Solución:• Se utiliza una gráfica p• Promedio del proceso

• Desviación estándar del proceso para un tamaño de muestra n = 100

• Los límites de control, para una z =1,96 (con una confianza del 95%) son:

94,0)100)(10(

939

entregasdetotalnúmero

tiempoaentregasdenúmerop

98,0)02,0(96,194,0 p

zpLSC

98,0)02,0(96,194,0 p

zpLSC

Ejemplo

98,0)02,0(96,194,0 p

zpLSC

98,0)02,0(96,194,0 p

zpLSC

M eta o promedio

Límite in ferior

Límite superior

Ind

ice

de

ro

taci

ón

de

inve

nta

rio

s

0 ,98

0,94

0,90

número demuestra

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