Hidráulica de canales · 2020. 6. 12. · De acuerdo con el cambio en la profundidad de flujo con...
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Canales Abiertos
Por
Dr. Juan Arcadio Saiz Hernández
Departamento de Ingeniería Civil y Minas División de Ingeniería Universidad de Sonora
Material didáctico para el curso de Hidráulica I
Programa de Ingeniería Civil
Dra. María Victoria Olavarrieta Carmona
Ing. Juan Alejandro Saiz Rodríguez
Hermosillo, Sonora, México, Septiembre de 2012
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Acueducto3_Lou.jpg
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Contenido Introducción 3
Tipos de flujo 4
Estado del flujo 7
Propiedades de los canales abiertos 12
Geometría del canal prismático 13
Distribución de la velocidad en un canal abierto 17
Distribución de presión en una sección de canal 20
Energía en canales abiertos 21
Interpretación de fenómenos locales 26
Flujo Uniforme 30
Velocidad del flujo uniforme 32
Cálculo del flujo uniforme 39
Diseño de canales con flujo uniforme 52
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Introducción En el curso de Física II se estudiaron los conceptos básicos de la Hidrostática, que comprende el estudio del agua sin movimiento. Los casos prácticos que se trataron consistieron en determinar las fuerzas sobre las paredes de los tanques, presas y las compuertas ¿Pero qué pasa cuando el agua se mueve? Cuando el agua se transporta, se hace por medio de tuberías a presión o canales abiertos, cambiando completamente el comportamiento físico del fluido. El flujo en canal abierto debe tener una superficie libre, a diferencia del flujo en tubería, que está confinado en un conducto.
Nivel de referencia
hf
V22/2g
y2
z2 z1
y1
V12/2g
V1
V2
Es mucho más complicado analizar el flujo en canales que en tuberías porque: •La superficie libre puede cambiar. •La profundidad del flujo, el caudal y las pendientes del fondo del canal y de la superficie libre son interdependientes. •Un canal puede ser de cualquier forma y varia con el tiempo. •La rugosidad del canal varía con la posición de la superficie libre. Figura 1. Flujo en canal abierto. 3
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Tipos de flujo
Tipos de flujo: De acuerdo con el cambio en la profundidad de flujo con respecto al tiempo: Flujo permanente: La profundidad de flujo no cambia durante el intervalo de tiempo considerado. Flujo no permanente: La profundidad cambia con el tiempo. Casi siempre se estudian los canales en flujo permanente; sin embargo, en estudios de avenidas o crecientes, el nivel de flujo cambia y es necesario considerar flujo no permanente para su estudio. Para cualquier flujo, el caudal Q que pasa en una sección es:
Q = VA con V, velocidad media y A, el área de la sección En un flujo continuo permanente, el caudal es constante en todo el tramo y el gasto es igual en las distintas secciones:
Q = V1A1 = V2A2 = V3A3 = … En caso de flujo espacialmente variado o discontinuo, es decir, cuando el caudal de un flujo permanente no es uniforme a lo largo del canal, esta última ecuación no válida (flujo espacialmente variado o discontinuo: cunetas a lo largo de las carreteras, vertederos de canal lateral, canales principales de riego, etc.)
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De acuerdo con el cambio en la profundidad de flujo con respecto al espacio: Flujo uniforme: La profundidad del flujo es la misma en cada sección del canal. Puede ser permanente o no permanente, según cambie o no la profundidad con el tiempo. La condición de flujo uniforme permanente, es fundamental para el estudio de canales. El término “flujo uniforme” se utilizará para referirse al flujo uniforme permanente. Flujo variado: La profundidad de flujo cambia a lo largo del canal. Puede ser permanente o no permanente. El término “Flujo no permanente” se utiliza para referirse al flujo variado no permanente. El flujo variado puede ser: Rápidamente variado: La profundidad cambia en distancias cortas (resalto hidráulico y caída, es un fenómeno local) Gradualmente variado: La profundidad cambia no tan abruptamente en distancias largas.
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Resumen
Flujo permanente: Flujo uniforme Flujo variado Flujo gradualmente variado Flujo rápidamente variado Flujo no permanente: Flujo uniforme no permanente (poco común) Flujo no permanente (flujo variado no permanente) Flujo gradualmente variado no permanente Flujo rápidamente variado no permanente
Ejercicio. Escriba la definición de cada tipo de flujo del cuadro anterior.
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Estado del flujo El estado o comportamiento del flujo en un canal abierto es gobernado por la
viscosidad y la gravedad relativa a las fuerzas de inercia.
Efectos de la viscosidad: El flujo puede ser laminar, turbulento
o de transición
Flujo laminar:
Cuando el gradiente de velocidad es bajo, la fuerza de inercia es mayor que la de
fricción, las partículas se desplazan pero no rotan, o lo hacen pero con muy poca
energía, el resultado final es un movimiento en el cual las partículas siguen
trayectorias definidas, y todas las partículas que pasan por un punto en el campo
del flujo siguen la misma trayectoria.
Las partículas se desplazan en forma de capas o láminas.
Flujo turbulento:
Al aumentar el gradiente de velocidad se incrementa la fricción entre partículas
vecinas al fluido y adquieren una energía de rotación apreciable; la viscosidad
pierde su efecto y debido a la rotación las partículas cambian de trayectoria las
partículas chocan entre sí y cambian de rumbo en forma errática.
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Flujo laminar
Flujo turbulento
Si las fuerzas de inercia del fluido en movimiento son muy bajas, la viscosidad
es la fuerza dominante y el flujo es laminar. Cuando predominan las fuerzas
de inercia el flujo es turbulento.
El número de Reynolds permite establecer el tipo de flujo
Figura 2. Flujo laminar y flujo turbulento.
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Número de reynolds
VLR
V, es la velocidad del flujo.
L, es la longitud característica (igual al radio hidráulico Rh del conducto)
n, viscosidad cinemática del agua.
Rangos del Número de Reynolds, para canales abiertos:
Flujo Laminar Re < 500
Flujo Turbulento Re > 2000
Flujo en Transición 500 < Re < 2000
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Efecto de la gravedad:
El efecto de la gravedad sobre el estado del flujo se representa por la
relación entre las fuerzas inerciales y las fuerzas gravitacionales.
Número de Froude:
Donde V, es la velocidad media del flujo, g la aceleración de la gravedad y L, la
longitud característica.
En canales abiertos, L es igual a la profundidad hidráulica D, definida como el
área de la sección transversal del agua perpendicular a la dirección de flujo en
el canal, dividida entre el ancho de la superficie libre.
Para canales rectangulares, L es igual a la profundidad de la sección de flujo.
Si F = 1;
Si F < 1;
Si F > 1;
Estado crítico
Flujo subcrítico
Flujo supercrítico
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Cuando se presenta flujo subcrítico, el papel de las fuerzas gravitacionales es
más dominante: el flujo tiene una velocidad baja, es tranquilo y la corriente es
lenta.
Cuando el flujo es supercrítico las fuerzas inerciales se vuelven dominantes:
el flujo tiene una alta velocidad y se describe como rápido, ultrarrápido y
torrencial.
Regímenes de flujo: Efecto de la viscosidad y la gravedad
1) Subcrítico-laminar
2) Supercrítico-laminar
3) Supercrítico-turbulento
4) Subcrítico-turbulento
Los dos primeros no son frecuentes en la hidráulica de canales; sin
embargo, ocurren en flujos con profundidades pequeñas y son
importantes en el estudio de flujo sobre el terreno y el control de la
erosión en ese flujo.
Ejercicio: poner los rangos de valores de R y de F para los cuatro
regímenes de flujo
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Propiedades de los canales abiertos
Un canal abierto es un conducto en el que el agua fluye con una superficie libre.
Canal natural. Son todos los que existen de manera natural en la tierra: arroyuelos,
arroyos, ríos, estuarios de mareas, entre otros.
Las propiedades hidráulicas de un canal natural son muy complejas, para su
estudio se hacen suposiciones razonables para tratarlos con los principios de la
hidráulica teórica. Los estudia la Hidráulica Fluvial.
Canal artificial. Son todos los construidos mediante esfuerzo humano: Canales de
navegación, canales de centrales hidroeléctricas, canales y canaletas de irrigación,
cunetas de drenaje, vertederos, canales de desborde, cunetas de carreteras,
canales de laboratorio, etc.
Las propiedades hidráulicas de estos canales pueden ser controladas hasta un
nivel deseado o diseñadas para cumplir requisitos determinados.
El canal artificial es un canal largo con pendiente suave, construido sobre el suelo,
que puede ser no revestido o no revestido con roca, concreto, madera o materiales
bituminosos, entre otros.
En este curso se estudiarán canales prismáticos, que se construyen con una
sección transversal invariable y una pendiente de fondo constante. 12
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Geometría del canal prismático Sección del canal. Es la sección transversal de un canal tomada en forma
perpendicular a la dirección del flujo.
Sección vertical del canal. Es la sección vertical que pasa a través del punto
más bajo de la sección de canal.
Los canales artificiales se diseñan con secciones de figuras geométricas
regulares.
El canal trapecial es uno de los que más se construyen por sus ventajas de
construcción.
Elementos geométricos de una sección de canal
Estos elementos son muy importantes para el cálculo del flujo. En un canal
artificial se definen en términos de la profundidad de flujo y las dimensiones de la
sección; en canales naturales se determinan curvas que representen la relación
entre los elementos y la profundidad del flujo.
Área (A). Es el área mojada o área de la sección transversal del flujo,
perpendicular a la dirección de flujo.
Perímetro mojado (P). Es la longitud de la línea de intersección de la superficie
de canal mojada y de un plano transversal perpendicular a la dirección de flujo.
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Radio hidráulico (R). Es la relación del área mojada con respecto a su
perímetro mojado:
Ancho superficial (T). Es el ancho de la sección del canal en la superficie
libre.
Profundidad hidráulica (D). Es la relación entre el área mojada y el ancho en
la superficie:
Factor de sección (Z). Se utiliza para el cálculo de flujo crítico. Es el producto
del área mojada y la raiz cuadrada de la profundidad hidráulica:
Profundidad de flujo (y). Es la distancia vertical desde el punto más bajo de
una sección del canal hasta la superficie libre.
Nivel. Es la elevación o distancia vertical desde un nivel de referencia hasta la
superficie libre.
Factor de sección para el cálculo de flujo uniforme (AR2/3). Es el producto
del área mojada y el radio hidráulico elevado a la potencia (2/3). 14
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Ejercicios: Determine los elementos geométricos de las siguientes secciones de
canales abiertos:
b=2.00
Y =1.50
A=?
P=?
R=?
T=?
D=?
Z=?
t=0.5
1 y=1.50
b=2.00
t=0.5
y=1.00
1) 2)
3)
Ejercicio: Determine los elementos anteriores aplicando las relaciones propuestas
por Ven Te Chow. 15
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Tabla 1.Propiedades geométricas de los canales abiertos
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Distribución de la velocidad en un canal abierto La velocidad en un canal no es constante ni la misma en cada punto de una sección
del canal. La viscosidad, la rugosidad y la forma del canal, entre otros factores,
afectan al flujo. En un canal trapecial, la velocidad sería como se muestra en el
esquema siguiente:
La velocidad media en la sección se determina midiendo la velocidad a 0.6 de la
profundidad en cada franja en que se divide la sección, o bien, se toma el promedio
de las velocidades tomadas a 0.2 y a 0.8 de la profundidad.
Figura 4. Velocidad
en planta y perfil en
un canal trapecial.
Figura 5. Velocidades y
áreas para aforo de un
canal trapezoidal.
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Figura 3. Distribución de velocidades en distintas secciones de canales. 18
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La rugosidad en un canal natural es más variable y difícil de determinar por lo que la
distribución de velocidades es más compleja:
Debido a la distribución no lineal de la velocidad en la sección de un canal, el valor
calculado es menor que la velocidad real, por eso al plantear la ecuación de la
energía, la altura de la velocidad se debe expresar como:
Donde es el coeficiente de energía o coeficiente de Coriolis.
α ϵ(1.03-1.36) para canales prismáticos aproximadamente rectos. El valor es alto
para canales pequeños y bajo para corrientes grandes y profundidad considerable.
Figura 6. Distribución de
velocidades en un canal natural.
Tabla 2. Coeficiente de energía para distintos canales abiertos
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Distribución de presión en una sección de canal
La presión en cualquier punto de la sección en un canal con pendiente baja puede
medirse por medio de la altura de la columna de agua en un tuvo piezométrico
instalado en el punto.
La distribución de presiones a lo largo de la sección transversal del canal es igual
a la distribución hidrostática de presiones.
Condición: flujo paralelo (las líneas de corriente no tienen curvatura ni divergencia,
en consecuencia, no hay componentes de aceleración apreciables).
Para propósitos prácticos, la ley hidrostática de distribución de presiones
es aplicable tanto a flujo gradualmente variado como al flujo uniforme.
Figura 7. Distribución de presión hidrostática en un canal.
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Energía en canales abiertos La energía total del agua en m-kg por kg de cualquier línea de corriente que pasa a
través de una sección de canal puede expresarse como la altura total en metros de
agua, que es igual a la suma de la elevación por encima del nivel de referencia, la
altura de presión y la altura de velocidad.
Figura 8. Energía de un flujo gradualmente variado 21
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Por ejemplo, con respecto al plano de referencia, la altura H de una sección 0 que
contiene el punto A en una línea de corriente del fluido de un canal de pendiente
alta, puede escribirse como:
De acuerdo con el principio de conservación de energía, la altura de energía total
en la sección 1 localizada aguas arriba debe de ser igual a la altura de energía total
en la sección 2 localizada aguas abajo más la pérdida de energía hf entre las dos
secciones:
Esta ecuación es aplicable a flujos paralelos o gradualmente variados. Para un canal
de pendiente pequeña (cosᵩ ≈ 0) se escribe como:
Estas dos ecuaciones se conocen como ecuaciones de la energía
Cuando hf = 0 y α1 = α2 = 1, se convierte en la ecuación de bernoulli
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Energía específica. La energía específica en una sección de canal se define como la energía de agua
en cualquier sección del canal medida con respecto al fondo de éste.
Para un canal con pendiente pequeña y α=1, la energía es:
Como V=Q/A, puede escribirse como E=y+Q2/2gA2.
Para una sección de canal y caudal Q determinados, la energía específica en
una sección de canal sólo es función de la profundidad de flujo.
Energía específica: profundidad del agua + la altura de velocidad
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http://3.bp.blogspot.com/_oRbyhP8jrt8/R_mQW1-kEGI/AAAAAAAAAFo/nTFetKZH4WA/s1600-h/Dibujoyu6.jpg
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Curva de energía específica: Se grafica la profundidad de flujo contra la energía
para una sección de canal y un caudal determinados.
La rama AC se aproxima asintóticamente al eje horizontal. La rama BC se aproxima a la línea OD a medida
que se extiende hacia arriba y hacia la derecha. La línea OD pasa a través del origen y tiene un ángulo de
inclinación de 45°. Para un canal de pendiente alta, el ángulo de inclinación será diferente. La ordenada
representa la profundidad y la abscisa representa la energía específica, que es igual a la suma de la altura
de presión "y" y la altura de velocidad V2/2g.
Figura 9. Curva de energía específica en un canal.
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Para una energía específica determinada, existen dos posibles profundidades, la
profundidad baja y1 y la profundidad alta y2. La profundidad baja es al profundidad
alterna de la profundidad alta, y viceversa.
En el punto C, la energía específica es mínima. Por consiguiente, en el estado
crítico es claro que las dos profundidades alternas se convierten en una, la cual es
conocida como profundidad crítica yc.
Cuando la profundidad de flujo es mayor que la profundidad crítica, la velocidad
de flujo es menor que la velocidad crítica para un caudal determinado y, por
consiguiente, el flujo es subcrítico. Cuando la profundidad de flujo es menor que la
profundidad crítica, el flujo es supercrítico. Por tanto, y1 es la profundidad de un
flujo supercrítico y y2 es la profundidad de un flujo subcrítico.
Criterio para el estado crítico del flujo.
Fr = 1 => flujo crítico: la energía específica es mínima para un caudal determinado.
Como V=Q/A y α=1
Derivando con respecto a y, considerando Q constante:
Considerando que dA = Tdy y la profundidad hidráulica es D=A/T:
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Interpretación de fenómenos locales
Fenómeno local: Cambio rápido en una distancia corta en el estado del flujo
de supercrítico a subcrítico, o viceversa (flujo rápidamente variado) que se
dan con un correspondiente cambio en la profundidad del flujo.
Dos tipos de fenómenos locales:
Caída Hidráulica y Resalto hidráulico
En estado crítico de flujo, la energía específica es mínima (dE/dy = 0), entonces:
En el estado crítico de flujo la altura de velocidad es igual a la mitad de la
profundidad hidráulica
Condiciones para validez de este criterio:
Flujo paralelo o gradualmente variado, canal con pendiente baja, coeficiente
de energía α = 1
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Caída hidráulica: un cambio rápido en la profundidad de un flujo de nivel alto a un
nivel bajo, resultará en una depresión abrupta de la superficie del agua. Es
consecuencia de un cambio brusco de pendiente o de la sección transversal del
canal. En la región de transición de la caída, aparece una curva invertida que
conecta las superficies del agua antes y después de dicha caída. El punto de
inflexión de la curva, indica la posición aproximada de la profundidad crítica para la
cual la energía es mínima y el flujo pasa de ser subcrítico a supercrítico.
Caída libre: es un caso especial de la caída hidráulica. Ocurre cuando existe una
discontinuidad en el fondo de un canal plano. A medida que la caída avanza en el
aire en forma de lámina, no existirá curva invertida en la superficie del agua hasta
que esta choque con algún obstáculo en la elevación más baja. Si no se añade
energía externa, la superficie del a gua buscará siempre la posición más baja
posible, la cual corresponde al menor contenido de disipación de energía. Si la
energía específica en una sección localizada aguas arriba es E, como se muestra
en la curva, la energía continuará disipándose en el recorrido hacia aguas abajo
hasta alcanzar una energía mínima Emín.
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La curva de energía
específica muestra que la
sección de energía mínima o
sección crítica, debe ocurrir
en el borde de la caída, pero
no es la sección crítica tal
como se calcularía por el
método de superposición de
flujo paralelo.
El flujo en el borde es
curvilíneo por lo que no es
válido para determinar la
profundidad crítica en el
borde.
Si la energía en una sección aguas arriba es E, la energía se irá disipando en la
caída hasta alcanzar el mínimo Emin. La curva indica que la sección crítica (sección
de energía mínima) debe ocurrir en el borde de la caída. La profundidad en el borde
no puede ser menor que la profundidad crítica debido a que una disminución
adicional en la profundidad implicaría un incremento en la energía específica lo cual
es imposible a menos que se suministre energía externa compensatoria.
Figura 10. Interpretación de la caida libre
mediante la curva de energía específica. 28
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Resalto hidráulico: El cambio rápido de profundidad de flujo de un nivel bajo a uno
alto como resultado una subida abrupta de la superficie del agua.
Ocurre con frecuencia en un canal por debajo de una compuerta deslizante de
regulación, en la parte aguas debajo de un vertedor o donde un canal con pendiente
alta se vuelve casi horizontal de manera súbita.
Las profundidades inicial y1 y secuente y2 son las profundidades reales antes y
después del resalto en el cual ocurre una pérdida de energía ΔE.
La energía específica E1 correspondiente a la profundidad inicial y1 es mayor que la
energía específica E2 correspondiente a la profundidad secuente y2 en una cantidad
igual a la pérdida de energía ΔE.
Si no existieran pérdidas de energía, las profundidades inicial y secuente se
volverían idénticas a las profundidades alternas en un canal prismático.
Figura 11. Resalto hidráulico interpretado con curvas de energía y fuerza específica.
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La profundidad, el área mojada, la velocidad y el caudal en cada sección del
canal son constantes.
La línea de energía, la superficie del agua y el fondo del canal son paralelos
(pendientes de la línea de energía, del agua y del fondo del canal son iguales: Sf
= Sw = So = S).
Cuando el flujo ocurre en un canal abierto, el agua encuentra resistencia a
medida que fluye aguas abajo, que es contrarrestada por las componentes de
las fuerzas gravitacionales que actúan sobre el cuerpo de agua en la dirección
del movimiento.
Un flujo uniforme se alcanzará si la resistencia se equilibra con las fuerzas
gravitacionales. La profundidad del flujo uniforme se conoce como profundidad
normal.
Flujo Uniforme
Para el diseño de canales abiertos sería ideal que se tuvieran flujos
uniformes por que se tendría un canal con una altura constante.
El flujo uniforme turbulento es el que se trata en problemas de
Ingeniería: no ocurre a velocidades muy altas porque se vuelve inestable
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Establecimiento del flujo uniforme.
El flujo uniforme se logra en una
sección de un canal suficientemente
largo en pendiente subcrítica, crítica y
supercrítica.
N.D.L. Línea de profundidad normal.
C.D.L. Línea de profundidad crítica
Figura 12. Establecimiento de flujo uniforme en un canal largo.
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Velocidad del flujo uniforme
La mayor parte de las ecuaciones para determinar la velocidad del flujo uniforme se
expresan de la forma:
Con V = velocidad media; R = radio hidráulico; S = pendiente de energía, x y y son
exponentes, y C = factor de resistencia al flujo.
Ecuación de Chézy (Francia 1769).
V = velocidad media
R = radio hidráulico
S = pendiente de la línea
de energía
C = factor de resistencia o
C de Chézy.
Figura 13. Esquema para la deducción de la ecuación
de Chézy para flujo uniforme en canal abierto 32
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Suposición 1. La fuerza que resiste el flujo por unidad de área del lecho de la
corriente es proporcional al cuadrado de la velocidad, (KV2). La superficie de
contacto del flujo con el lecho de la corriente es igual al producto del perímetro
mojado y la longitud del tramo del canal o PL y la fuerza total que resiste al flujo
es igual a KV2PL.
Suposición 2. En el flujo uniforme la componente efectiva de la fuerza
gravitacional que causa el flujo debe ser igual a la fuerza total de resistencia. La
componente efectiva de la fuerza gravitacional es paralela al fondo del canal e
igual a wALsenq =wALS, donde w es el peso unitario del agua; A, es el área
mojada, q es el ángulo de la pendiente y S es la pendiente del canal. Entonces,
wALS=KV2PL; como A/P=R, y si el radical se reemplaza por un factor C, la
ecuación anterior se reduce a la ecuación de Chézy:
Deducción de la ecuación de Chézy
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Ecuación de Manning (Irlanda, 1889)
donde V es la velocidad media, R es el radio hidráulico, S es la pendiente de la
línea de energía y n es el coeficiente de rugosidad, específicamente conocido
como n de Manning.
Esta ecuación fue desarrollada a partir de siete ecuaciones diferentes, basada en
los datos experimentales de Bazin y además verificada mediante 170
observaciones.
Debido a la simplicidad de su forma y los resultados satisfactorios que arroja en
aplicaciones prácticas, la ecuación de Manning se ha convertido en la más
utilizada de todas las ecuaciones de flujo uniforme para cálculos en canales
abiertos.
Factores que afectan el coeficiente de rugosidad de Manning:
Rugosidad superficial, vegetación, irregularidad del canal, alineamiento del
canal, sedimentación y socavación, obstrucción, tamaño y forma del canal,
nivel y caudal, cambio estacional, material en suspensión y carga de lecho.
Analizar los valores del coeficiente de rugosidad n de Manning
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Tabla 3. Coeficiente de rugosidad (n). Los valores en negrillas son los valores
recomendados para el diseño.
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La ecuación de continuidad y una ecuación de flujo uniforme son la base para el
cálculo del flujo uniforme.
Si se utiliza la ecuación de Manning como ecuación de flujo uniforme, se puede:
1. Calcular la profundidad normal. Se determina el nivel de flujo en un canal
determinado.
2. Calcular el caudal normal. Se obtiene de la capacidad de un canal determinado.
3. Determinar la velocidad de flujo. Se estudian efectos de socavación,
sedimentación o cumplimiento de normas de operación y diseño de un canal
determinado.
4. Determinar la rugosidad del canal. Se estima el coeficiente de rugosidad en un
canal. El coeficiente determinado puede utilizarse en otros canales similares.
5. Calcular la pendiente del canal. Se ajusta la pendiente de un canal
determinado.
6. Determinar las dimensiones de la sección de canal. Este análisis se aplica para
el diseño de un canal.
Cálculo del flujo uniforme
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Conductividad de una sección de canal (K). Medida de la capacidad de
transporte de la sección de canal.
Q = VA = CRxSy * A= KSy
K = CARx
Cuando se utiliza la ecuación de Manning o la ecuación de Chézy (y=1/2):
Q = KS1/2
Esta ecuación permite conocer la conductividad si se conoce Q y S
Si se utiliza la ecuación de Chézy: K = CAR1/2
Si se utiliza la ecuación de Manning:
Factor de sección para cálculo de flujo uniforme: AR(2/3)
(de la ec. de manning)
(con )
Para una determinada condición de n, Q y S, solo existe una profundidad
posible para mantener un flujo uniforme, la profundidad normal.
Cuando en una sección de canal se conocen n y S existe solo un caudal para
mantener un flujo uniforme, el caudal normal. 40
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Profundidad normal y velocidad normal.
El calculo de la profundidad y de la velocidad normal se obtiene a partir de la
geometría y elementos del canal y la ecuación de Manning. En el ejemplo siguiente
se ilustra el procedimiento aplicando los métodos de tanteos y analítico
Ejercicio 1:
Un canal trapezoidal con b = 6 m, z = 2, s = 0.0016 y n = 0.025, transporta un
gasto de 10 m3/s. Calcule la profundidad y la velocidad normales.
Solución 1. Método de tanteos:
Se calcula el miembro derecho de la ecuación:
Se propone un valor de “y” y se calcula el factor de sección AR2/3. Se hacen
tanteos hasta que el valor del factor de sección se parece al valor calculado del
miembro derecho de la ecuación. Se recomienda hacer una tabla con y, A, R,
R2/3, AR2/3 y observaciones.
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Solución 2. Método analítico:
El radio hidráulico y el área mojada de la sección se expresan en términos de la
profundidad y.
En la ecuación de Manning,
En el segundo miembro se sustituye el radio hidráulico, n y la pendiente. La
ecuación queda como:
El primer miembro será:
Se sustituyen los valores y se puede reducir a su mínima expresión. Se resuelve
la ecuación no lineal para determinar el tirante normal y se determina el área y
la velocidad normal.
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Ejercicio 2. Calcular el gasto del canal de concreto terminado con llana metálica.
La pendiente longitudinal es S =0. 0016.
1.5
1
3.0
2.5
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Ejercicio 3. Un canal rectangular de concreto sobre roca bien excavada con b =
6 m y pendiente longitudinal s = 0.0015, transporta un gasto de 10 m3/s. Calcule
la profundidad y la velocidad normales.
6.0 m
Yn
¿Cuál sería el tirante si el canal fuera de concreto terminado con llana metálica?
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Ejercicio 4. Calcular la velocidad normal y el gasto normal del canal de concreto
con acabado llana de madera de la figura. La pendiente longitudinal es S = 0.0020.
1.45 m
6.5 m
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Canales circulares
Es el tipo de canal más utilizado debido a que se emplea en todas las ciudades
para la eliminación del agua residual. En el curso de Ingeniería Sanitaria II aplicarás los
procedimientos vistos en este curso y la normatividad para el diseño y operación para
los sistemas de alcantarillado con este tipo de canales.
Si el tubo va lleno el cálculo hidráulico también se puede realizar con la formula de
Manning:
V = 1/n R2/3 S1/2
R = A/P
Donde:
V = Velocidad media, en m/s
n = Coeficiente de rugosidad
R = Radio hidráulico
A = Área hidráulica, en m2
P = Perímetro mojado, en m
S = Pendiente del gradiente hidráulico o de la plantilla del canal.
Los valores más comunes de n son:
n = 0.013 Para tubos de concreto prefabricados.
n = 0.16 Para tubos de concreto colados in-situ.
Sólamente cuando los tubos trabajan llenos, el radio hidráulico R= D/4.
R = A/P = (πD2/4)/( πD)
R=D/4 46
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Diámetro (cm.)
Para n=0.013 K
Para n=0.016 K
20 9.295413 14.080626
25 2.827583 4.283202
30 1.069339 1.619827
38 0.303098 0.459130
45 0.123016 0.186344
61 0.024285 0.036787
76 0.007518 0.011388
91 0.002877 0.004357
107 0.001213 0.001837
122 0.000602 0.000912
152 0.000186 0.000282
183 0.000069 0.000105
213 0.000031 0.000047
244 0.000015 0.000023
En el caso de canales circulares, la fórmula de Manning se puede expresar
como:
hf= K L Q2
K= 10.293 n2 / D16/3
Donde:
hf = Pérdidas por fricción, en M.
K = Constante que depende del coeficiente de rugosidad y del
diámetro del tubo.
L = Longitud, en metros.
Q = Gasto de diseño, en m3/s
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En el análisis de funcionamiento hidráulico de tubos que trabajen
parcialmente llenos, también se utiliza la formula de Manning y las gráficas que
relacionan las condiciones hidráulicas a tubo lleno y parcialmente lleno en
función de la relación tirante/diámetro, que tienen su origen en las siguientes
consideraciones:
D = Diámetro interior del tubo, en cm.
t = Tirante de agua, en cm.
α = Ángulo en radianes.
Cos(α/2)= (D/2 – t) / (d/2)
Cos(α/2)= 1 – 2 (t / D)
Área total del conducto (At):
At = π D2 / 4
Área hidráulica (A):
A = (π D2 /4 ) (α / 2 π) – 2[(D/2 Sen (α/2) D/2 Cos (α/2)) / 2]
A = (D2 / 8 α) – [D2/ 8 (Sen (α/2) Cos (α/2))]
A = (D2 / 8 α) – [D2 / 8 Sen α]
A = D2 / 8 (α - sen α)
Relacionamos A/At:
A/At = D2 / 8 (α - Sen α) / π D2 / 4
A/At = α / 2 π (1 – (Sen α)/ α)
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Pt = π D
Perímetro mojado (P):
P = α D/2
Se relaciona P/Pt: P/Pt = α D/2 / π D2
P/Pt = At / Pt
Radio hidráulico (R): R = A / P
Se relaciona R/Rt
R/Rt = At/Pt / A/P
R/Rt = (A/At) (Pt/P) R/Rt = [α/2 π (1 – (Sen α) / α)] [2 π / α]
R/Rt = 1 – (Sen α) / α Velocidad en el conducto trabajando lleno (Vt):
Vt = 1/n Rt2/3 S1/2
Velocidad del conducto trabajando parcialmente lleno (V):
V = 1/n R2/3 S1/2
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Se relaciona V/Vt:
V/Vt = (1/n R2/3 S1/2 ) / (1/n Rt2/3 S1/2)
V/Vt = [R / Rt] 2/3
V/Vt = [1 – (Sen α) / α ] 2/3
Gasto del conducto trabajando parcialmente lleno (Q):
Q = A V
Se relaciona Q/Qt:
Q/Qt = (A V) / (At Vt)
Q/Qt = [α/2 π (1 – (Sen α) / α)] [1 – (Sen α / α]2/3
Q/Qt = α / 2π (1 –(Sen α) / α)5/3
Se grafican los valores de A/At, R/Rt, V/Vt y Q/Qt a partir de los valores de α que se
calculados desde que t/D es igual a 0 hasta que t/D es igual a 1, con bastante
aproximación si los incrementos son de 0.05
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Ejercicio 5. Un canal circular de 36 pulgadas de diámetro tiene un desnivel
de 0.5 m por km. Calcular el gasto, si el área de flujo es igual al 50 % del
área del conducto. El coeficiente de rugosidad es n = 0.017.
θ
32 plg
18 plg
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Diseño de canales con flujo uniforme Diseño de canales no erosionables
Se trata aquí a los canales artificiales revestidos que pueden resistir la
erosión de manera satisfactoria. También se consideran los excavados en
cimentaciones firmes como un lecho en roca.
Un canal se reviste para prevenir la erosión pero eventualmente
puede hacerse para evitar las pérdidas por infiltración
Factores que se consideran en el diseño
Material del cuerpo del canal. Determina el coeficiente de rugosidad (n).
Puede ser concreto, mampostería, acero, hierro fundido, madera, vidrio,
plástico, etc. En este caso la velocidad máxima no se considera, aunque
podría mover losas de concreto y destruir el canal.
Velocidad mínima permisible. Evita la decantación de material o basura
y el crecimiento de hierva. Ven Te Chow recomienda 2 a 3 pies/s (0.61
.92 m/s) cuando no hay carga de limos y 2.5 pies/s (0.76 m/s) para
prevenir desarrollo de vegetación.
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Pendiente del fondo del canal. Definida por la topografía del sitio y
por la altura de energía requerida para el flujo de agua.
Pendientes laterales. Dependen del material, el método de
construcción, las pérdidas por infiltración, el tamaño del canal, entre
otras. El U.S. Bureau of Reclamation recomienda 1.5:1
Bordo libre. Es la diferencia de alturas entre la cota de la corona del
canal hasta la superficie del agua. Sirve para prevenir desbordes del
agua (Por vientos, en curvas, oleaje, etc.)
Eficiencia de la sección. Desde el punto de vista hidráulico, la sección
que tiene el menor perímetro mojado para una determinada área tiene
la máxima conductividad.
El semicírculo es la sección hidráulicamente más eficiente de
todas las secciones.
No siempre la sección hidráulicamente óptima es la prácticamente
recomendable para su construcción. 53
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Pasos para el cálculo de las dimensiones de la sección
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Tabla 4. Pendientes laterales recomendadas.
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Figura 14. Altura del bordo libre y de revestimiento para canales.
El U.S.B.R. recomienda una estimación preliminar con la relación
F, bordo libre en pies, y es el tirante y el coeficiente C varía desde 1.5 hasta 2.5 para canales
con capacidad de 20 pies3/s a 3000 pies3/s o mayores, respectivamente.
𝐹 = 𝐶𝑦
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Tabla 5. Secciones hidráulicas óptimas
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Ejercicio 6.
El gasto de diseño de un canal trapezoidal es Q = 15 m3/s y se va a construir en
lecho no erosionable con pendiente S = 0.0016 y n = 0.025. Determine las
dimensiones de la sección incluyendo el ancho en la superficie del canal
considerando el bordo libre resultante. Dibuje la sección.
1.0493 7.44856098 1.3425412
0.963277 7.63546716 1.30967756
0.8918 7.83321448 1.27661511
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Ejercicio 7.
El gasto de diseño de un canal trapezoidal es Q = 15 m3/s y se va a construir en
lecho no erosionable con pendiente S = 0.0016 y n = 0.025. Determine las
dimensiones de la sección óptima. Dibuje la sección incluyendo el bordo libre.
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Diseño de canales erosionables pero no sedimentables
Se describe el método de la velocidad permisible, que junto con el método de la
fuerza tractiva, son utilizados comúnmente para el diseño de canales erosionables
que se socavan, pero no se sedimentan.
Velocidad máxima permisible. Es la mayor velocidad promedio que no causará
erosión en el cuerpo del canal. En la tabla siguiente se muestran las velocidades
máximas permisibles para distintos materiales, recomendadas por Fortier y
Scobey y los valores correspondientes de fuerza tractiva unitaria (U.S.B.R.).
Los valores de esta tabla son para canales bien conformados, de pequeña
pendiente, y con tirantes de hasta 0.90 m.
Las velocidades máximas permitidas de la tabla se refieren a canales rectos. Para
canales sinuosos las velocidades a considerar son algo menores. Según Lane,
deben aplicarse los siguientes porcentajes de reducción:
5% para canales ligeramente sinuosos
13% para canales moderadamente sinuosos
20% para canales muy sinuosos
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Tabla 6. Velocidades máximas permisibles, valores de n de Manning y
valores correspondientes de fuerza tractiva.
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Procedimiento para el diseño de canales erosionables sin
carga de sedimento
1. Se determinan el coeficiente de rugosidad de Manning (n, de tabla 3), pendiente
del talud (z, de tabla 4) y la velocidad máxima permisible de acuerdo a la clase de
material done se construye el canal (de tabla 6).
2. Se calcula el radio hidráulico (R) con la ecuación de Manning.
3. Se calcula el área mojada requerida para el caudal de diseño y la velocidad
permisible determinada (A=Q/V).
4. Se calcula el perímetro mojado (P=A/R).
5. Utilizando las relaciones para A y P, se resuelven simultáneamente para b y y.
6. Se determina el bordo libre y se modifica la sección para hacerla factible desde el
punto de vista práctico de construcción y operación (figura 14).
7. Es recomendable determinar los números de Froude y Reynolds para verificar la
naturaleza del flujo.
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Un canal de sección trapezoidal debe transportar un gasto de 120 l/s con
una velocidad de 21 cm/s. El canal está abierto en tierra limpia después de
su exposición a la intemperie, sus paredes laterales deben estar inclinadas
30°respecto a la horizontal y la pendiente longitudinal es S = 0.0005.
Calcular sus dimensiones.
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Nota:
El material del curso fue elaborado a partir de los libros que se mencionan
en la bibliografía consultada y complementado con ejercicios y problemas
propuestos elaborados por los autores.
Bibliografía
Chow, Ven Te (1994). Hidráulica de Canales Abiertos. McGraw-Hill.
Olavarrieta Carmona, M.V. (2004). Abastecimiento de agua. Colección textos
académicos. Universidad de Sonora.
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