7/25/2019 hoja1del1516

1/2

Matemtica Discreta y Lgica Matemtica

Grupo B. Curso 2015/16

Hoja 1.Facultad de Informtica.

1. Demuestra mediante induccin que las siguientes propiedades se cumplen para todo nmero enteron 1. Indica en cada caso que tipo de induccin usas.

a) 1 + 2 +. . .+n= (n2+n)2

b) 12 + 22 +. . .+n2 = n(n+1)(2n+1)6

c) 13 + 23 +. . .+n3 =

n(n+1)2

2

d) 1123+

1234 + +

1n(n+1)(n+2) =

n(n+3)

4(n+1)(n+2) .e) 1

2+ 3

22 + 5

23 + + 2n1

2n = 3 2n+3

2n .

2. Demuestra mediante induccin que las siguientes propiedades se cumplen para todo nmero natural.Indica en cada caso que tipo de induccin usas.

a)

n

i=1(4 i 3) =n (2 n 1).

b) 3 + 3 5 + + 3 5n = (3/4) (5n+1 1).

3. Demuestra que para todo enteron 2 se cumple la siguiente igualdad:

1 2 + 2 3 + 3 4 +. . .+ (n 1) n= (n 1)n(n+ 1)

3

4. Llamamos factorial de n al producto 1 2 . . . n, que escribimos n!. Demuestra que para todoentero n 2, n!< nn.

5. Demuestra que para todo enteron 1, n impar, existe un entero m tal quen2 1 = 8m.

6. Demuestra que para todo enteron 4, n2 >3n.

7. Demuestra que para todo enteron 2 se cumplen las siguientes desigualdades:

a) n2 > n+ 1

b) 2n+1 1324

8. Demuestra que para todo naturaln, 23n

1 es divisible por 7.

9. Demuestra que la suma de los cubos de tres nmeros naturales consecutivos es divisible por 9.

10. Demuestra que, para todo n 1, 23n1 + 5n es mlltiplo de 3.

11. Demuestra que dados dos nmeros enterosa,b con a = 0y b = 1, para todo n natural, se verifica laigualdad:

a+ab+ab2 +. . .+abn = abn+1 a

b 1

12. Encuentra a partir de qu valor natural la desigualdad2n >2n + 1es vlida y demuestra que as es,utilizando induccin.

7/25/2019 hoja1del1516

2/2

13. Encuentra el valorn0adecuado para la base de la induccin y prueba que la propiedad n2+6n8 0

se verifica para todo entero n n0.

14. Conjetura una frmula que de el valor deSn= 11!+22! + . . . + nn!en funcin den y demuestrapor induccin que es correcta.

Pista: Escribe los valores de S1, S2, S3, S4, . . .y conjetura un valor para Sn a partir de ellos.