HOMOTECIA Nº 1-11 Enero 2013servicio.bc.uc.edu.ve/homotecia/2013/1-2013.pdfsucedan cosas como...

HOMOTECIA Nº 1 – Año 11 Lunes, 7 de Enero de 2013 1

2013. Este nuevo año significa para nuestra Revista HOMOTECIA su año décimo primero de continua publicación. Ya se nos ha hecho tradición su elaboración y edición mensual. Años atrás siempre estábamos atento al si podíamos seguir con ella o no. Por los momentos ya no será esto un motivo de preocupación. Ahora estaremos pendiente de lo que hemos de vivir y presenciar en estos próximos trescientos sesenta y cinco nuevos días. Por lo pronto, nuestra facultad seguirá envuelta en el proceso al cual obliga el desarrollo del concurso de oposición para optar a cargos de profesores ordinarios, comenzado a finales de 2012. Esperamos que esta actividad termine de la mejor manera posible y sean ganadores los mejores participantes. A nivel nacional, luego de que la población participara en dos eventos electorales muy importantes, la elección del presidente de la república y la de gobernadores y diputados regionales, estamos viviendo algo inédito en la historia del país: las expectativas generadas por el incierto estado de salud del presidente nuevamente electo, días antes de ratificar su ocupación al cargo. Las circunstancias contextuales de carácter constitucional a las cuales queda circunscrita la anterior situación, están fuera del marco editorial de nuestra revista; por ello solo nos limitaremos a comentar que esperamos que todo se resuelva en buenos términos. Otro hecho que preocupó hasta última hora, fue las referencias a la fecha 21 de diciembre de 2012. Ya se había hecho tradición en el país, desde la época de nuestros años juveniles, la preocupación por el vaticinio del fin de la humanidad o del mundo según registros provenientes de la antigua civilización de los mayas. No somos muy creyentes de estos mitos, puesto que siempre hay dudas sobre lo válido de las traducciones que se desprenden de los petroglifos y que al fin de cuentas no son otra cosa que interpretaciones producto de la subjetividad de algunos personajes considerados expertos. Aun así, algo que se pudo constatar en instancias mundiales es la preocupación que esto causó. La variedad de interpretaciones generadas llevó a concebir ese final como el producto de una nueva guerra mundial, o de la proliferación de un sinnúmero de enfermedades letales, o de la sucesión de incontables catástrofes naturales como terremotos, diluvios, tormentas, etc.; o el choque de un enorme meteorito que causaría estragos similares a los que supuestamente causó el que produjo la extinción de los dinosaurios, o simplemente que nuestro planeta Tierra explotara como un globo. Proliferaron quienes a cada suceso poco normal lo identificaban como señal indicadora de la tesis de aniquilación por ellos defendida. Pero al final la catástrofe esperada no se sucedió, y como alguien comentó, todo debería haberse reducido a alegrarse por esta nueva oportunidad para la humanidad. Pero no fue así. Como cosas de locos, por prensa pudimos informarnos que algunos de los exacerbantes defensores de las tesis del exterminio humano, así como admitir en algunos casos errores cometidos al interpretar los escritos mayas, difundían que la fecha no era el 21 sino el 23, que el año involucrado no era 2012 sino 2042, etc. Nos preguntamos: ¿Está tan enferma la humanidad que muchos desean su fin? ¿No es más sano pensar en que tenemos otra oportunidad para hacerlo mejor de lo hecho hasta ahora? ¿Cuán fidedignamente científico puede ser un escrito maya de hace cientos de años atrás para acreditarle tanta certeza? ¿Qué razones podían tener los mayas de esos tiempos para creer en un final? ¿En sus escritos realmente los mayas trataron de un final? Indudablemente si la humanidad no mejora en cuanto a lo que es su naturaleza, el sentido de lo humano, es posible que nos estemos dirigiendo a un final. Pero algo si es cierto, el que se sucedan cosas como estas, es decir el fallo de los mitos, cuentos y leyendas, conduce a los seres humanos a liberarse de los obstáculos que como cadenas y candados cercan de forma enferma el ideario de los pueblos del mundo. Posiblemente, después de este año, surja una nueva y mejorada humanidad. Por ahora dediquémonos a vivir con entusiasmo el nuevo año.

LEOPOLD KRONECKER

Nació el 7 de diciembre de 1823 en Liegnitz, Prusia (ahora Legnica, Polonia) y murió el 29 de diciembre de 1891 en Berlín, Alemania.

Leopold Kronecker realizó contribuciones de gran importancia en los campos de las funciones elípticas y de la teoría de los números (en especial de los números enteros). Demostró, entre otros, que la solución de las ecuaciones de quinto grado puede expresarse con la ayuda de funciones modulares. Formuló diversas contribuciones en el campo de la geometría proyectiva y de la arítmetización de la matemática. Estudió también los criterios de convergencia de las series no absolutamente convergentes.

LEOPOLD KRONECKER Y LA TEORÍA DE LOS NÚMEROS.-

El padre de Kronecker, Isidor Kronecker, era un exitoso hombre de negocios judío mientras que su madre, Johanna Prausnitzer, era también judía de familia rica. Así, esa fue su religión hasta un año antes de su muerte, en que se convirtió al cristianismo. Sus padres contrataron tutores privados para instruir al joven Leopold hasta que el momento en que entró en el Gymnasium de Liegnitz, su ciudad natal. Kronecker empezó a aprender matemáticas en esta etapa con Kummer. Éste inmediatamente reconoció el talento de Kronecker y le empujó hacia la investigación. En 1841, fue a estudiar a la universidad de Berlín y recibió las enseñanzas de Dirichlet y Steiner. No solo estudió matemáticas, sino también astronomía, metereología y química. Estaba especialmente interesado en filosofía y estudió a Descartes, Leibniz, Kant, Spinoza y Hegel.

El verano de 1843 lo pasó en la universidad de Bonn, estudiando astronomía. Después fue a la Universidad de Breslau durante el semestre de invierno de 1843-44 para encontrarse de nuevo con su viejo profesor Kummer. Regresó a Berlín en 1844-45, donde trabajó en su tesis doctoral sobre teoría de números algebraicos bajo la supervisión de Dirichlet. La tesis, sobre raíces de la unidad la presentó el 30 de julio de 1845 con 22 años.

El matemático Jacobi tuvo que dejar Königsberg por problemas de salud y regresó a Berlín. Otro matemático, Eisenstein, cuya salud era débil también, estaba de profesor en Berlín y Kronecker los conoció y estuvo influenciado por sus investigaciones. Sin embargo, no emprendió una carrera académica, Kronecker dejó Berlín para llevar los negocios familiares. Estuvo trabajando en la banca de la hermana de su madre y, en 1848, se casó con su prima, Fanny Prausnitzer. También, sacaba tiempo para trabajar en matemáticas. Cuando las circunstancias cambiaron en 1855, volvió a Berlín. No quería un puesto en la universidad, ya que no lo necesitaba para vivir, sino más bien tomar parte en la vida matemática de la universidad e interactuar con las investigaciones de los otros matemáticos. En 1856, un año después, estaban trabajando en Berlín a pleno rendimiento Weierstrass, Kummer, Borchardt y Kronecker.

(CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA)

Reflexiones "Lo malo de nuestro tiempo es que el futuro ya no es lo que era".

Paúl Valery

HOMOTECIA Nº 1 – Año 11 Lunes, 7 de Enero de 2013 2 (VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR)

Kronecker publicó mucho en teoría de números, funciones elípticas y algebra, pero lo más importante, exploró la interconexión entre ellas. Kummer propuso a Kronecker para la Academia de Berlín en 1860, apoyada por Borchardt y Weierstrass, fue elegido miembro el 23 de enero de 1861. En 1868, se le ofreció le puesto de jefe del departamento de matemáticas en la famosa Universidad de Göttingen, pero lo rechazó por quedarse en Berlín. Aceptó sin embargo el cargo de miembro de la Academia de Paris ese mismo año y mantuvo una buena relación con comunidad matemática. En 1870, sin embargo estas relaciones empezaron a cambiar. Todas sus investigaciones utilizaban una idea constructiva (hoy día se reconoce a Kronecker por esos logros), o sea, argumentos que implican (sólo) a los números enteros y un número finito de pasos. Hoy día diríamos que era un defensor a ultranza de la programación informática de las matemáticas. Su famosa frase es: "Dios creó a los enteros y el hombre hizo todo lo demás"

En 1870, Kronecker se opuso frontalmente al uso de los números irracionales, a los límites superiores e inferiores, y al teorema de Bolzano-Weierstrass, a causa de su naturaleza no constructiva. Otra consecuencia de su filosofía de las matemáticas fue negar la existencia de los números reales o complejos trascendentes. En 1886, hizo públicas sus ideas. Arguyó contra la teoría de los irracionales desarrollada por Dedekind, Cantor y Heine. En 1882, Lindemann había probado que el número π es trascendente, Kronecker dijo que era una bonita demostración pero que Lindemann no había probado nada porque los números trascendentes no existían. Esto le valió el ataque de casi todo el mundo matemático. El eco de ese debate todavía llega a nuestros días. Aunque, después de la crisis de los fundamentos de la matemática de finales del XIX, y después de la reformulación axiomática y formalista de la matemática de principios del XX, esos debates ya no tienen la importancia de entonces.

A pesar de la polémica, Kronecker fue uno de los primeros en comprender plenamente los resultados de Galois y, en 1870, ofreció la primera definición axiomática de un grupo conmutativo finito. En 1882 introdujo el concepto de sistema modular, gracias al cual estudió la divisibilidad del anillo de los polinomios de grado n. Su consideración de que todo teorema de existencia debía estar fundado en una construcción efectiva y ser desarrollado en un número finito de etapas le condujo a rechazar formalmente la Teoría de Conjuntos propuesta por su contemporáneo George Cantor y generó un enconado debate que polarizó las matemáticas de su tiempo. Kronecker fue discípulo y amigo de Ernst Kummer.

2. OBRA MATEMÁTICA

El finitismo es una forma extrema de constructivismo, de acuerdo a la cual un objeto matemático no existe a menos que sea construido partiendo de los números naturales en un número de pasos finitos. En contraste, la mayoría de constructivistas admiten un conjunto de pasos infinito numerable. Se puede buscar el origen del constructivismo en el trabajo de Kronecker sobre el finitismo. Reuben Goodstein es otro exponente del finitismo. Parte de su trabajo implicaba construir el análisis partiendo de fundamentos finitistas. Aunque lo negase, gran parte de los escritos matemáticos de Ludwig Wittgenstein tiene una gran afinidad con el finitismo.

El Intuicionismo es una aproximación a las matemáticas a partir de una vista mental constructiva humana. Todo objeto matemático es considerado producto de la mente humana, y, por ende, la existencia de un objeto es equivalente a la posibilidad de su construcción. Esto contrasta con el enfoque clásico, que formula que la existencia de un objeto puede ser demostrada refutando su falsedad. Para los Intuicionistas esto no es válido; la refutación de la falsedad de un objeto matemático no significa que es posible hallar una prueba constructiva de su existencia. Para el Intuicionismo la validez de un enunciado matemático es equivalente a haber sido probado, pues, ¿qué otro criterio puede ser válido si los objetos son meras construcciones mentales? Esto significa que un enunciado matemático no tiene el mismo significado para un Intuicionista que para un Matemático clásico. Por ejemplo, decir A o B, para un Intuicionista significa que A o B pueden ser probados. En particular la Ley de Tercero Excluido o Principio de Bivalencia, A o A negada, no es valida por el hecho de que no se puede probar El Intuicionismo también rechaza la abstracción del infinito; no considera asignarles a algún conjunto dado entidades infinitas como el campo de los números naturales, o una secuencia arbitraria de números racionales.

El finitismo de Kronecker lo convirtió en un precursor del intuicionismo.

2.1. Resolución de la ecuación quíntica.

Se denomina ecuación quíntica o de quinto grado a una ecuación polinómica en que el exponente de la variable independiente de mayor grado es cinco. Es de la forma general:

02345 =+++++ fexdxcxbxax

donde a, b, c, d, e y f son miembros de un cuerpo (habitualmente el de los números racionales, reales o complejos, y 0≠a . Debido a que son de grado impar, la gráfica de las funciones quínticas normales se parece a la de las funciones cúbicas normales, excepto en que pueden poseer un máximo y un mínimo locales adicionales. La derivada de una función quíntica es una función cuántica. Algunas ecuaciones de quinto grado se pueden resolver mediante factorización de radicales. Otras quínticas no pueden factorizarse de manera sencilla. Evariste Galois desarrolló técnicas para determinar si una ecuación dada podría ser resuelta mediante factorización, lo que dio pie al campo de la teoría de Galois. Usando esta teoría, John Stuart Glashan, George Paxton Young y Carlo Ruge mostraron en 1885 que cualquier quíntica resoluble irreducible en forma de Bring-Jerrard x5 + ax + b = 0 debe forzosamente tener la siguiente forma:

( ) ( )( )0

1

34124

1

3452

5

2

45 =

++++

+++

v

vvux

v

vux

donde µ y ν son racionales. En 1994, Spearman y Williams dieron una alternativa, ( ) ( )0

1

2114

1

4352

5

2

45 =

++∈−

++

∈−+

c

cex

c

cex

con 1/+∈= . (CONTINÚA EN LA SIGUIENTE PÁGINA)

HOMOTECIA Nº 1 – Año 11 Lunes, 7 de Enero de 2013

(VIENE DE LA PÁGINA ANTERIOR)

Una transformación de Tschirnhauses un tipo de asignación de polinomios. Puede definirse convenientemente por medio de la teoría del campo, como la transformación en polinomios mínimos que implica una elección diferente de elemento primitivo. Esta es la tranmás general de un polinomio irreducible que tiene una raíz en cierta función racional aplicada a esa raíz. En concreto, sea K un campo, y P (t) un polinomio sobre K. Si P es irreducible, entonces K [t] / (P (t)) = L, el anillo cociente del anillo de polinomios e] [K pogenerado por P, es una extensión del campo de K. Hemos L = K (otras opciones β del elemento primitivo en L: para cualquier oferta de este tipo de sobre K. De hecho esto se deriva del cociente de la representación anterior. Ahora bien, si Q es el polinomio mínimo de llamar a una transformación de Tschirnhaus Q de P. Por lo tanto el conjunto de todasirreducible para ser designados por atropellar a todas las formas de cambiar P, L, pero dejando la misma. Dado que haciendo ude las transformaciones de Tschirnhaus se puede convertir una qpara que se pueda resolver mediante raíces. La relación entre las parametrizaciones de 1885 y 1994 puede verse definiendo la

Donde

y obtenemos la primera parametrización usando el caso negativo de la raíz cuadrada, mientras que el caso positivo nos da la s1. Por tanto esto es una condición necesaria (pero no suficiente) para que la quíntica resoluble

con coeficientes racionales debe satisfacer la curva cuadrática simple

siendo a e y racionales.

Kronecker resolvió la ecuación quíntica desarrollando una manera más sencilla de derivar el resultado prácticamente al mismo tiempo que Francesco Brioschi.

2.2. La Delta de Kronecker

Una función definida a trozos o función por partesUna función real f definida a trozos de una variable real x es la relación cuya definición está dada por varios conjuntos disdominio conocidos como subdominios. Las funciones definidas a trozos se expresan con una notación funcional común, donde el cuerpo de la función es una lista de expresiones matemáticas asociadas a un subdominio (intervalo). Por lo tanto, para evaluar una funcióntrozos en un determinado valor del dominio, seleccionamos la expresión matemática cuyo subdominio contiene el valor a evaluar para quvalor del rango sea el correcto. Una función definida a trozos es continua en un intervalo dado si está definida en todo el iexpresiones matemáticas apropiadas que constituyen a la función son continuas en ese intervalo, y no hay discontinuidad en niextremo de los subdominios en ese intervalo.

La delta de Kronecker es una función de dos variables, que val

como una notación más que como la función definida a trozos:

Se utiliza en muchas áreas de la matemática. En Algebra Lineal, la ma

las señales se le denota como el impulso unitario de tiempo discreto.

2.3. El producto de Kronecker

Si A es una matriz m n y B es una matriz p q

Año 11 Lunes, 7 de Enero de 2013

un tipo de asignación de polinomios. Puede definirse convenientemente por medio de la teoría del campo, como la transformación en polinomios mínimos que implica una elección diferente de elemento primitivo. Esta es la tran

omio irreducible que tiene una raíz en cierta función racional aplicada a esa raíz. En concreto, sea K un campo, y P (t) un polinomio sobre K. Si P es irreducible, entonces K [t] / (P (t)) = L, el anillo cociente del anillo de polinomios e] [K pogenerado por P, es una extensión del campo de K. Hemos L = K (α) donde α es t módulo (P). Es decir, α

del elemento primitivo en L: para cualquier oferta de este tipo de β tendremos β = F (sobre K. De hecho esto se deriva del cociente de la representación anterior. Ahora bien, si Q es el polinomio mínimo de llamar a una transformación de Tschirnhaus Q de P. Por lo tanto el conjunto de todas las transformaciones de Tschirnhaus es un polinomio irreducible para ser designados por atropellar a todas las formas de cambiar P, L, pero dejando la misma. Dado que haciendo ude las transformaciones de Tschirnhaus se puede convertir una quíntica a forma de Bring-Jerrard, esto da una condición necesaria y suficiente para que se pueda resolver mediante raíces. La relación entre las parametrizaciones de 1885 y 1994 puede verse definiendo la

( )( )[ ]aaab +−++= 520205

4

( )1

3452 +

+=v

va

y obtenemos la primera parametrización usando el caso negativo de la raíz cuadrada, mientras que el caso positivo nos da la s. Por tanto esto es una condición necesaria (pero no suficiente) para que la quíntica resoluble irreducible

0545 =++ µµ bzaz

con coeficientes racionales debe satisfacer la curva cuadrática simple

( )( )aay +−= 5202

Kronecker resolvió la ecuación quíntica desarrollando una manera más sencilla de derivar el resultado prácticamente al mismo tiempo que Francesco Brioschi.

función por partes es una función cuya definición cambia dependiendo del valor de la variable independiente. Una función real f definida a trozos de una variable real x es la relación cuya definición está dada por varios conjuntos dis

dominios. Las funciones definidas a trozos se expresan con una notación funcional común, donde el cuerpo de la función es una lista de expresiones matemáticas asociadas a un subdominio (intervalo). Por lo tanto, para evaluar una función

n un determinado valor del dominio, seleccionamos la expresión matemática cuyo subdominio contiene el valor a evaluar para quvalor del rango sea el correcto. Una función definida a trozos es continua en un intervalo dado si está definida en todo el iexpresiones matemáticas apropiadas que constituyen a la función son continuas en ese intervalo, y no hay discontinuidad en ni

es una función de dos variables, que vale 1 si son iguales, y 0 si son diferentes. Se escribe con el símbolo

como una notación más que como la función definida a trozos:

≠=

=jisi

jisiij 0

1δ

Se utiliza en muchas áreas de la matemática. En Algebra Lineal, la matriz identidad puede ser escrita como:

las señales se le denota como el impulso unitario de tiempo discreto.

q, entonces el producto de Kronecker A B es la matriz bloque

⋅

=bmnabma

bnaba

AL

MOM

L

1

111

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un tipo de asignación de polinomios. Puede definirse convenientemente por medio de la teoría del campo, como la transformación en polinomios mínimos que implica una elección diferente de elemento primitivo. Esta es la transformación

omio irreducible que tiene una raíz en cierta función racional aplicada a esa raíz. En concreto, sea K un campo, y P (t) un polinomio sobre K. Si P es irreducible, entonces K [t] / (P (t)) = L, el anillo cociente del anillo de polinomios e] [K por el ideal principal

α es un elemento primitivo de L. Habrá = F (α), α = G (β), polinomios con F y G

sobre K. De hecho esto se deriva del cociente de la representación anterior. Ahora bien, si Q es el polinomio mínimo de β sobre K, podemos las transformaciones de Tschirnhaus es un polinomio

irreducible para ser designados por atropellar a todas las formas de cambiar P, L, pero dejando la misma. Dado que haciendo un uso juicioso Jerrard, esto da una condición necesaria y suficiente

para que se pueda resolver mediante raíces. La relación entre las parametrizaciones de 1885 y 1994 puede verse definiendo la expresión

y obtenemos la primera parametrización usando el caso negativo de la raíz cuadrada, mientras que el caso positivo nos da la segunda con ε = − irreducible

Kronecker resolvió la ecuación quíntica desarrollando una manera más sencilla de derivar el resultado de Hermite usando Teoría de Grupos,

es una función cuya definición cambia dependiendo del valor de la variable independiente. Una función real f definida a trozos de una variable real x es la relación cuya definición está dada por varios conjuntos disjuntos de su

dominios. Las funciones definidas a trozos se expresan con una notación funcional común, donde el cuerpo de la función es una lista de expresiones matemáticas asociadas a un subdominio (intervalo). Por lo tanto, para evaluar una función definida a

n un determinado valor del dominio, seleccionamos la expresión matemática cuyo subdominio contiene el valor a evaluar para que el valor del rango sea el correcto. Una función definida a trozos es continua en un intervalo dado si está definida en todo el intervalo, las expresiones matemáticas apropiadas que constituyen a la función son continuas en ese intervalo, y no hay discontinuidad en ningún punto

e 1 si son iguales, y 0 si son diferentes. Se escribe con el símbolo ijδ y se usa

triz identidad puede ser escrita como: ijδ o bien i

jδ . En el campo de

es la matriz bloque mp nq




Con las siguientes propiedades:

1) Bilinealidad y asociatividad: El producto de Kronecker es un caso especial del producto tensorial, así que es bilineal y asociativo.

( ) (( ) (( ) ( ) ( )( ) ( ),

,

CBACBA

BAkkBABkA

AsiCBCACBA

BsiCABACBA

⊗⊗=⊗⊗⊗=⊗=⊗

⊗+⊗=⊗+⊗+⊗=+⊗

donde A, B y C son matrices y k es un escalar.

2) El producto de Kronecker no es conmutativo: en general,

equivalentes en permutación, lo que quiere decir que existen matrices permutación

son matrices cuadradas, entonces A⊗3) La propiedad del producto mixto: Si A

A esto se llama la propiedad del producto mixtoBA⊗ es irreversible si y solo si A y B

4) Espectro: Supongamos que A y B son matrices cuadradas de tamaños respectivos los de B listados de acuerdo a la multiplicidad. Entonces los autovalores de

Se deduce que la traza y el determinante de un producto de Kronecker vienen dados por

tr

5) Valores singulares: Sean A y B dos matrices rectangulares. Supongamos que

De forma similar, denotamos los valores singulares no nulos de

Entonces el producto de Kronecker A

Dado que el rango de una matriz es igual al número de sus valores singulares no nulos, encontramos que

El producto de Kronecker de matrices corresponde al producto tensorial abstracto de aplicaciones lineales. Específicamente, smatrices A y B representan las transformaciones lineales el producto tensorial de las dos aplicaciones,

representación conveniente de algunas ecuaciones matriciales. Consideremos por un momento la ecuación son matrices dadas y X es la incógnita. Podemos reescribir esta ecuación como

Se sigue entonces de las propiedades del producto de Kronecker que la ecuación inversibles. Aquí, vecX señala el vector formado por los elementos de la matriz entonces

[=vecX


El producto de Kronecker es un caso especial del producto tensorial, así que es bilineal y asociativo.

)),,

sdimensioneigualesdesonByA

sdimensioneigualesdesonCyB

es un escalar.

2) El producto de Kronecker no es conmutativo: en general, A B y B A son matrices diferentes. Sin embargo,

equivalentes en permutación, lo que quiere decir que existen matrices permutación P y Q tales que

AByB ⊗⊗ son incluso de permutación similar, lo que quiere decir que podemos tomar

A, B, C y D son matrices de manera que se puedan formar los productos

( )( ) ⋅⊗=⊗⊗ BDACDCBA

propiedad del producto mixto, porque mezcla el producto ordinario de matrices y el de Kronecker. Se deduce que B son inversibles, en cuyo caso la inversa la da

( ) .111 −−− ⊗=⊗ BABA

son matrices cuadradas de tamaños respectivos n y q. Sean λ1

listados de acuerdo a la multiplicidad. Entonces los autovalores de BA⊗ son

.,1,,1, qjniji KK ==µλ

Se deduce que la traza y el determinante de un producto de Kronecker vienen dados por

( ) ( ) ( ) ( )detdetdet np BABAytrBtrABAtr =⊗=⊗dos matrices rectangulares. Supongamos que A tiene rA valores singulares no nulos

.,,1,, AriiA K=σ

De forma similar, denotamos los valores singulares no nulos de B con

.,,1,, BriiB K=σ

B⊗ tiene rArB valores singulares no nulos,

.,,1,,,,1,,, BrjArijBiA KK ==σσ


( ) .rangBrangABArang =⊗

El producto de Kronecker de matrices corresponde al producto tensorial abstracto de aplicaciones lineales. Específicamente, srepresentan las transformaciones lineales V1 → W1 y V2 → W2, respectivamente, entonces la matriz

el producto tensorial de las dos aplicaciones, .2121 WWVV ⊗→⊗ Se puede usar el producto de Kronecker para obtener una

representación conveniente de algunas ecuaciones matriciales. Consideremos por un momento la ecuación es la incógnita. Podemos reescribir esta ecuación como

( ) ( ) .vecCAXBvecvecXAB ==⊗Τ

Se sigue entonces de las propiedades del producto de Kronecker que la ecuación AXB = C tiene solución única si y sólo si señala el vector formado por los elementos de la matriz X. Específicamente, si

[ nnmm xxxxxxxx ,,,,,,,,,,,, 212221212111 KKKK


El producto de Kronecker es un caso especial del producto tensorial, así que es bilineal y asociativo.

son matrices diferentes. Sin embargo, A B y B A son

tales que ( )QABPBA ⊗=⊗ . Si A y B

son incluso de permutación similar, lo que quiere decir que podemos tomar P = QT.

son matrices de manera que se puedan formar los productos AC y BD, entonces

, porque mezcla el producto ordinario de matrices y el de Kronecker. Se deduce que

1,..., λn los autovalores de A y µ1,..., µq

.n

valores singulares no nulos


El producto de Kronecker de matrices corresponde al producto tensorial abstracto de aplicaciones lineales. Específicamente, si las , respectivamente, entonces la matriz BA⊗ representa

Se puede usar el producto de Kronecker para obtener una

representación conveniente de algunas ecuaciones matriciales. Consideremos por un momento la ecuación AXB = C, donde A, B y C

tiene solución única si y sólo si A y B son . Específicamente, si X es una matriz m 'n',

]Τmnx,


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2.4. Teorema de Kronecker-Weber

Kronecker proporcionó la mayor parte de la prueba en 1853, cuyos huecos rellenaron Weber en 1886 y Hilbert en 1896. Se puede probar mediante una construcción algebraica directa, aunque también es una consecuencia sencilla de la Teoría de Cuerpos de Clases yprobar juntando datos locales sobre el campo p-

Un cuerpo o campo es una estructura algebraica en la cual las operaciones de adición y multiplicación se pueden realizar y cumplen las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva, además de la existencia de un inverso aditivo y de un inverso multiplicpermiten efectuar la operaciones de sustracción y división (excepto la división por cero).

Dada una estructura algebraica sobre un conjunto un Grupo abeliano con respecto a la operación "

1. tiene estructura algebraica de grupo.

2. tiene la Propiedad conmutativa.

Un grupo G es pro-finito si existe un conjunto dirigid

para cada par de elementos Iji ∈, con i ≤kji ≤≤ con las propiedades: G es isomorfo como grupo al límite proyectivo;

Lim

con la multiplicación componente a componente.

Un grupo cíclico es un grupo que puede ser generado por un solo elemento; es decir, hay un elemento tal que todo elemento de G puede ser expresado como una potencia de elemento de G se puede expresar como na, para un elemento de G es, en sí mismo, un subgrupo de probar que éste es cíclico. Es posible generar infinitos elementos y no formar nugrupo sería un grupo cíclico infinito, isomorfo al grupo cíclico para cada cantidad finita de elementos, y exactsimplemente por el grupo "canónico" al que son isomorfos: si el grupo es de orden {0,..., n-1} bajo la adición módulo n. Si es infinito, éste es, como cabe esperarse,

Todo grupo cíclico es isomorfo a Zn, o bien, a Dado un grupo cíclico G de orden n (donde n puede valer infinito), y dado

• G es abeliano; es decir, su operación es conmutativa:

de enteros a y b, a + b mód n = b + a mód

• Si n < ∞, entonces gn = e, puesto que

• Si n = ∞, entonces el grupo tiene exactamente dos generadores: 1 y

infinitos.

• Todo subgrupo de G es cíclico. De hecho, para

infinito, todo subgrupo de G corresponderá a un subgrupo

Z.

Los generadores de Zn son los enteros que son primos relativos con función φ de Euler. En general, si d es un divisor de n).

Si p es primo, el único grupo con p elementos (salvo isomorfismos) es

El producto directo de dos grupos cíclicos Zn isomorfo a Znm. Por ejemplo, Z12 es isomorfo a

El teorema fundamental de los grupos abelianos afirma que todo número finito de grupos cíclicos.

Zn y Z son también anillos conmutativos. Si n cuerpo con n elementos es isomorfo al ya descrito.

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de la prueba en 1853, cuyos huecos rellenaron Weber en 1886 y Hilbert en 1896. Se puede probar mediante una construcción algebraica directa, aunque también es una consecuencia sencilla de la Teoría de Cuerpos de Clases y

-diádico de cada primo p.

es una estructura algebraica en la cual las operaciones de adición y multiplicación se pueden realizar y cumplen las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva, además de la existencia de un inverso aditivo y de un inverso multiplicpermiten efectuar la operaciones de sustracción y división (excepto la división por cero).

Dada una estructura algebraica sobre un conjunto A , y con una ley de composición interna binaria: "pecto a la operación "" si:

tiene estructura algebraica de grupo.

si existe un conjunto dirigid I , una colección de grupos finitos { } IiH i ∈ , y homomorfismos

j , que satisfacen 1=iiα para todo jkijIi ααα =∈ o

es isomorfo como grupo al límite proyectivo;

( ) ( ){ }jihhHhHLim ijiiii j ≤∀=Π∈= ,: α ,

con la multiplicación componente a componente.

es un grupo que puede ser generado por un solo elemento; es decir, hay un elemento apuede ser expresado como una potencia de a. Si la operación del grupo se denota aditivamente, se dirá que todo

, para n entero. G es cíclico, con generador a, si G = {an | n ∈es, en sí mismo, un subgrupo de G, basta con demostrar que el único subgrupo de G que contiene a

probar que éste es cíclico. Es posible generar infinitos elementos y no formar nunca un ciclo real: es decir, que cada , isomorfo al grupo Z de los enteros bajo la adición. Salvo isomorfismos, existe exactamente un grupo

cíclico para cada cantidad finita de elementos, y exactamente un grupo cíclico infinito. Por esto, los grupos cíclicos normalmente se denotan simplemente por el grupo "canónico" al que son isomorfos: si el grupo es de orden n, para n entero, dicho grupo es el grupo

. Si es infinito, éste es, como cabe esperarse, Z.

, o bien, a Z. Basta entonces con examinar dichos grupos para entender los grupos cíclicos en general. puede valer infinito), y dado g ∈ G, se tienen las siguientes propiedades:

es abeliano; es decir, su operación es conmutativa: ab = ba para cualesquiera a y b ∈ G. Esto es cierto, puesto que cualquier par

mód n.

, puesto que n mód n = 0.

∞, entonces el grupo tiene exactamente dos generadores: 1 y -1 en Z, y sus imágenes isomórficas en otros grupos cíclicos

es cíclico. De hecho, para n finito, todo subgrupo de G es isomorfo a un

corresponderá a un subgrupo mZ de Z (el cual es también isomorfo a

son los enteros que son primos relativos con n. El número de tales generadores se designa por es un divisor de n, el número de elementos de Zn de orden d es φ (d).

elementos (salvo isomorfismos) es Zp.

y Zm es cíclico si y solo si m y n son primos entre síes isomorfo a Z3×Z4, pero no a Z6×Z2.

El teorema fundamental de los grupos abelianos afirma que todo grupo abeliano finitamente generado es isomorfo al producto directo de un

es un número primo, Zn es un cuerpo finito, también denotado por elementos es isomorfo al ya descrito.

Lunes, 7 de Enero de 2013 5

de la prueba en 1853, cuyos huecos rellenaron Weber en 1886 y Hilbert en 1896. Se puede probar mediante una construcción algebraica directa, aunque también es una consecuencia sencilla de la Teoría de Cuerpos de Clases y se puede

es una estructura algebraica en la cual las operaciones de adición y multiplicación se pueden realizar y cumplen las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva, además de la existencia de un inverso aditivo y de un inverso multiplicativo, los cuales

". Se dice que la estructura es

, y homomorfismos ijij HH →:α

ikα para todos los Ikji ∈,, con

a del grupo G llamado generador de G, . Si la operación del grupo se denota aditivamente, se dirá que todo

∈ Z}. Dado que un grupo generado por que contiene a "a" es el mismo G para

nca un ciclo real: es decir, que cada gn sea distinto. Un tal de los enteros bajo la adición. Salvo isomorfismos, existe exactamente un grupo

amente un grupo cíclico infinito. Por esto, los grupos cíclicos normalmente se denotan entero, dicho grupo es el grupo Zn de enteros

. Basta entonces con examinar dichos grupos para entender los grupos cíclicos en general. , se tienen las siguientes propiedades:

. Esto es cierto, puesto que cualquier par

, y sus imágenes isomórficas en otros grupos cíclicos

es isomorfo a un Zm, donde m es divisor de n; y si n es

(el cual es también isomorfo a Z), bajo el isomorfismo entre G y

. El número de tales generadores se designa por φ(n), donde φ designa la ). El orden del elemento m es n / mcd (m,

son primos entre síí; en tal caso, el grupo obtenido será

grupo abeliano finitamente generado es isomorfo al producto directo de un

es un cuerpo finito, también denotado por Fn o GF(n). Cualquier otro




Todos los subgrupos y grupos cocientes de un grupo cíclico son, a su vez, cíclicos. En particular, un grupo cíclico es simple si y solo si su orden (el número de sus elementos) es primo. Dado un grupo cíclico C de orden n, con generador g, el tamaño del subgrupo generado por gk para un entero k será el mínimo entero positivo m tal que mk es múltiplo de n; fácilmente se puede demostrar que m = n/ mcd (k, n). El índice del subgrupo generado por gk (esto es, el tamaño del grupo cociente C/<gk>) es, por lo tanto, mcd(k,n).

Sea (K, +, ·) un cuerpo. Un cuerpo L es una extensión de K si K es un subcuerpo de L, es decir si (L,+,·) es un cuerpo y (K,+,·) es un cuerpo con la restricción a K de las operaciones + y · en L. Si L es extensión sobre K se denota L:K o L/K. Si L es una extensión de K, entonces L es un espacio vectorial sobre K. En efecto, La adición de K sirve también de adición en el espacio vectorial, y la multiplicación de un elemento de K por uno de L define el producto escalar del espacio vectorial:

Por definición de cuerpo, (L, +) es grupo abeliano, y podemos considerar el producto por escalares LLK →×⋅: como una restricción a

LK × del producto en .: →×⋅ LL De esta forma es inmediato que se cumple que:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ),1

,

,

,

αααα

αααβαβα

=⋅•⋅⋅=⋅⋅•

⋅+⋅=⋅+•⋅+⋅=+⋅•

baba

baba

aaa

cualesquiera que sean .,, LyKba ∈∈ βα Las dos primeras propiedades son debidas a la distributividad del producto respecto de la suma en

L y a que LK ⊂ , la tercera se debe a que el producto es asociativo en L, y la cuarta se debe a que K es subcuerpo de L, por lo que el elemento unidad de L es el elemento unidad de K.

Supongamos que E es una extensión del cuerpo F. Consideremos el conjunto de todos los automorfismos de cuerpos de E/F; esto es, los isomorfismos α de E a sí mismo, tal que α(x) = x para cada x en F. Este conjunto de automorfismos junto con la operación de composición de funciones forma un grupo G, denotado habitualmente Aut(E/F) o AutFE. Si E/F es una extensión de Galois, entonces G es llamado el grupo de Galois de la extensión, y se denota normalmente Gal(E/F). Se puede demostrar que E es algebraico sobre F si y sólo si el grupo de Galois es profinito.

Una extensión abeliana es una extensión de Galois cuyo grupo de Galois es abeliano. Cuando el grupo de Galois es un grupo cíclico, entonces tenemos una extensión cíclica. Cualquier extensión finita de un cuerpo finito es una extensión cíclica. Hay dos conceptos ligeramente diferentes de extensiones ciclotómicas: éstas pueden significar extensiones formadas mediante el adjuntado de raíces de la unidad, o subextensiones de tales extensiones. Cualquier extensión ciclotómica es abeliana. Si un cuerpo K una n-ésima raíz primitiva de la unidad y la n-ésima raíz de un elemento de K es adjuntada, el resultado, llamado extensión de Kummer es una extensión abeliana. Sin embargo, en general, el grupo de Galois de de las raíces n-ésimas de elementos operan conjuntamente sobre las raíces n-ésimas y sobre las raíces de la unidad, dando un grupo de Galois no abeliano como producto semidirecto.

El Teorema de Kronecker-Weber establece que cada extensión abeliana finita del cuerpo de los números racionales QQQQ , o en otras palabras cada cuerpo de números algebraicos cuyo grupo de Galois sobre QQQQ sea abeliano, es un subcuerpo de un cuerpo ciclotómico, es decir un cuerpo obtenido al añadir una raíz de la unidad a los números racionales. Para una extensión abeliana K de QQQQ existe de hecho un campo ciclotómico mínimo que la contiene. El teorema le permite a uno definir el conductor f de K, como el entero n más pequeño tal que K resida en el cuerpo generado por las raíces enésimas de la unidad.

2.5. Teorema de Kronecker

Un operador es un símbolo matemático que indica que debe ser llevada a cabo una operación especificada sobre un cierto número de operandos. El núcleo de un operador r A es el conjunto de todos los operandos cuya imagen sea el vector nulo. En notación matemática:

{ }0~:~Nucl =∈= vAVvA

Una clausura es el mínimo conjunto que es "cerrado" bajo una cierta propiedad o que contiene justo la mínima cantidad de elementos que hace determinada propiedad sea cierta para el conjunto.

Supónganse dos conjuntos parcialmente ordenados (A, ≤) y (B, <=). Una conexión de Galois entre estos consiste en dos funciones monótonas: F : A → B y G : B → A, tales que para todo a en A y b en B, tenemos

)()( bGabaF ≤⇔≤

En esta situación se llama a F adjunto inferior de G y a G, adjunto superior de F.




Un espacio topológico es un conjunto E de elementos junto con T, una colección depropiedades:

1. El conjunto vacío y E están en T.

TET ∈∈ ,φ

2. La intersección de cualquier colección finita de conjuntos de

( ) ( )TOOTOTO ∈∩⇒∈∈ 2121 ,

3. La unión de toda colección de conjuntos de T

( ) ( )TOTOIi iIii ∈∪⇒∈∈∀ ∈,

Esta condición también se puede escribir:

TOTS SO ∈∪⊂∀ ∈,

Los conjuntos en T son los conjuntos abiertos, y sus complementos en E"topología" en E. Los elementos de E suelen llamarse puntos, aunque pueden ser cualquiera de los objetos matemáticos. Al conjllama substrato del espacio topológico.

Dado un espacio topológico (X, T), C es un conjunto cerradoespacio topológico X es cerrado en X sí y sólo sí cada límite de cada red de elementos de satisface el primer axioma de numerabilidad, es suficiente considerar solamente las secuencias, en vez de todas las redes. Nócaracterización también depende del espacio ambiente están presentes en X. Un manera equivalente de definir a un conjunto cerrado es diciendo que "un conjunto es cerrado si y sólo si es igual a su clausura.

Sea un espacio topológico, se dice que es un todo el espacio. Se cumple que las siguientes proposiciones para

1. A es denso en X

2. cerrado

3.

Un grupo topológico G es un grupo que es también un espacio topológico tal que la minversión G -> G son aplicaciones continuas. Además la topología asociada a dicho espacio tiene que ser T1. Es común requerir que la topología sobre G sea Hausdorff.

El teorema de Kronecker es un resultado en aproximación diofántica aplicado a muchos números reales teorema de la equidistribución, el hecho de que un subgrupo cíclico infinito del círculo unitario es un subconjunto denso. Enúmeros, tomados como una sola N-tupla y un punto toro T′ contenido en T. El teorema de Kroneckerjunto con 1 deberían ser linealmente independientes sobre los números racionales, también es suficiente. Si alguna combinacióxi y 1 con coeficientes no nulos racionales es cero, entonces los coeficientes deben tomarse cal carácter trivial toma el valor 1 en P. Por la dualidad de Pontryagin tenemos hecho, un uso exhaustivo de la dualidad de Pontryagin muestra de los núcleos de χ con χ(P) = 1.

Esto da una conexión de Galois entre subgrupos cerrados conjuntos de caracteres con núcleo que contienen un punto dado. No todos los subgrupos cerrados aparecen como monogénicos; por ejemplo,un subgrupo que tiene un toro de dimensión ≥ 1 como componente conectado del elemento identidad, y que no está conectado, no tal subgrupo. El teorema deja abierta la cuestión de cómo de bien (uniformemente) cierran la clausura los múltiples

2.6. Lema de Kronecker

Si ( ) 1=∞nnx es una secuencia infinita de números reales tal que

y ∞→nb que .01

1 =∑=∞→

n

kkkxb

nbn

Lim


es un conjunto E de elementos junto con T, una colección de subconjuntos de E que satisfacen las siguientes

2. La intersección de cualquier colección finita de conjuntos de T está también en T.

T está también en T.

Los conjuntos en T son los conjuntos abiertos, y sus complementos en E son llamados conjuntos cerrados. La colección T es llamada "topología" en E. Los elementos de E suelen llamarse puntos, aunque pueden ser cualquiera de los objetos matemáticos. Al conj

conjunto cerrado en X si y sólo si X-C pertenece a T, por tanto, abierto. Un subconjunto sí y sólo sí cada límite de cada red de elementos de A también pertenece a

satisface el primer axioma de numerabilidad, es suficiente considerar solamente las secuencias, en vez de todas las redes. Nócaracterización también depende del espacio ambiente X porque el que una secuencia o una red converja o no en

. Un manera equivalente de definir a un conjunto cerrado es diciendo que "un conjunto es cerrado si y sólo si es igual a su

se dice que es un conjunto denso en X si y solamente si A=Xtodo el espacio. Se cumple que las siguientes proposiciones para A son todas equivalentes:

es un grupo que es también un espacio topológico tal que la multiplicación del grupo son aplicaciones continuas. Además la topología asociada a dicho espacio tiene que ser T1. Es común requerir que la

es un resultado en aproximación diofántica aplicado a muchos números reales teorema de la equidistribución, el hecho de que un subgrupo cíclico infinito del círculo unitario es un subconjunto denso. E

tupla y un punto P del toro T = RN/ZN, la clausura del subgrupo <Pteorema de Kronecker original establecía que la condición necesaria para T

junto con 1 deberían ser linealmente independientes sobre los números racionales, también es suficiente. Si alguna combinacióy 1 con coeficientes no nulos racionales es cero, entonces los coeficientes deben tomarse como enteros y un carácter

. Por la dualidad de Pontryagin tenemos T′ contenida en el núcleo de hecho, un uso exhaustivo de la dualidad de Pontryagin muestra que el teorema de Kronecker describe la clausura de <

Esto da una conexión de Galois entre subgrupos cerrados monogénicos de T (aquellos con un solo generador, en el sentido topológico) y de caracteres con núcleo que contienen un punto dado. No todos los subgrupos cerrados aparecen como monogénicos; por ejemplo,

≥ 1 como componente conectado del elemento identidad, y que no está conectado, no tal subgrupo. El teorema deja abierta la cuestión de cómo de bien (uniformemente) cierran la clausura los múltiples

es una secuencia infinita de números reales tal que sxn

m =∑∞

=1

existe y es finita, entonces tenemos para


subconjuntos de E que satisfacen las siguientes

son llamados conjuntos cerrados. La colección T es llamada "topología" en E. Los elementos de E suelen llamarse puntos, aunque pueden ser cualquiera de los objetos matemáticos. Al conjunto E se le

C pertenece a T, por tanto, abierto. Un subconjunto A de un también pertenece a A. En un espacio que

satisface el primer axioma de numerabilidad, es suficiente considerar solamente las secuencias, en vez de todas las redes. Nótese que esta porque el que una secuencia o una red converja o no en X depende de qué puntos

. Un manera equivalente de definir a un conjunto cerrado es diciendo que "un conjunto es cerrado si y sólo si es igual a su

A=X, es decir, la clausura del conjunto es

ultiplicación del grupo G × G -> G y la operación de son aplicaciones continuas. Además la topología asociada a dicho espacio tiene que ser T1. Es común requerir que la

es un resultado en aproximación diofántica aplicado a muchos números reales xi, para 1 ≤ i ≤ N, que generaliza el teorema de la equidistribución, el hecho de que un subgrupo cíclico infinito del círculo unitario es un subconjunto denso. En el caso de N

P> generado por P será finita, o algún T′ = T, que es la de que los números xi

junto con 1 deberían ser linealmente independientes sobre los números racionales, también es suficiente. Si alguna combinación lineal de los omo enteros y un carácter χ del grupo T diferente

contenida en el núcleo de χ, y por tanto no es igual a T. De que el teorema de Kronecker describe la clausura de <P> como la intersección

(aquellos con un solo generador, en el sentido topológico) y de caracteres con núcleo que contienen un punto dado. No todos los subgrupos cerrados aparecen como monogénicos; por ejemplo,

1 como componente conectado del elemento identidad, y que no está conectado, no puede ser tal subgrupo. El teorema deja abierta la cuestión de cómo de bien (uniformemente) cierran la clausura los múltiples mP de P.

xiste y es finita, entonces tenemos para K≤≤≤< 3210 bbb




Demostración:

Sk denota las sumas parciales de los x. Utilizando la suma por partes

( )∑∑−

=+

=−−=

1

11

1

11n

kkkk

n

kkk SbbSxb

nb

nb n

cualesquiera ε > 0. Escogemos N tal que Sk es ε-cerrado a s para k > N. Esto puede hacerse cuando la secuencia Sk converge a s.

Entonces la parte derecha es:

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )∑∑

∑ ∑∑

∑∑

−

=+

−

=+

−

=

−

=++

−

=+

−

=+

−

=+

−−−−−=

=−−−−−−−=

=−−−−

−− 1

1

1

11

1 1

11

1

11

1

1

1

11

11

111

11

n

Nkkkk

N

kkkk

n

Nk

n

Nkkkkkk

N

kkkk

n

Nkkkk

N

kkkk

sSbbSbbS

sSbbsbbSbbS

SbbSbbS

nb

s

nb

Nb

nb

nb

nb

nb

nb

nb

nb

n

n

n

Ahora n tiende al infinito. El primer término tiende a s, el cual cancela con el tercer término. El segundo término tiende a cero. Ya que la

secuencia b está incrementándose, el último término está limitado por ( ) ./ ≤∈−∈ nNn bbb

3. BIBLIOGRAFÍA.-

• Ewald, William B. (1996). «On the concept of number». From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics. Oxford: Oxford Uni. Press.

• van Heijenoort, Jean (1967). From Frege to Gödel: A source Book in Mathematical Logic. 1879-1931. Cambridge: Harvard University Press.

• Bell, Eric Temple. (1986). Men of Mathematics. Nueva York: Simon and Schuster.


Aportes al conocimiento

TTeeoorreemmaa FFuunnddaammeennttaall ddeell CCáállccuulloo RREESSOOLLUUCCIIÓÓNN DDEE EEJJEERRCCTTEEOORREEMMAA FFUUNNDDAAMMEENNTTAALL

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL.

Mediante el Teorema Fundamental del Cálculo Integral se afirma que la inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la deri

Desde la época de los antiguos matemáticos griegos, como el caso de volúmenes, áreas y longitudes curvas, pero es por las ideas y aportes de 1643-1727) y Gottfried Wilhelm von Leibniz (alemán, 1646

EL teorema se utiliza cuando al hacer aplicaciones las siguientes:

)(,)(5

xfdttxfx

∫ ==

Es decir, son funciones expresadas mediante ecuaciones integrales donde se utilizan integrales definidas cuyos límites de intestán conformados por variables o por funciones en esas variables, algunas de las cuales pueden ser evaluadas directamenteotras no. Lo que si puede determinarse para cualquiera de ellas es su derivada y sobre eso trata la Fundamental del Cálculo Integral, el cual puede ser enunciado de la forma siguiente:

Primera Parte del Teorema Fundamental d

función definida por la ecuación integral F(

Consideración importante:

Como está enunciado el teorema, el límite de integración variable debe ser el superior pero s

∫=a

xdttfxF )()( , entonces se aplica una de las propiedades de las integrales definidas lo que permitirá ajustarnos al te

F

La posible dificultad que pueda presentarse al la ecuación integral involucrada. A continuación, trabajaremos algunos ejemplos donde pueda

Ejemplos.-

1.- Obtenga: dttSendx

d x

∫22 .

Solución:

Se aplica el Teorema Fundamental del Cálculo Integral:

Luego: 22

2xSendttSen

dx

d x=∫


IInntteeggrraall:: RRCCIICCIIOOSS AAPPLLIICCAANNDDOO LLAA PPRRIILL DDEELL CCÁÁLLCCUULLOO IINNTTEEGGRRAALL..

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL.

Mediante el Teorema Fundamental del Cálculo Integral se afirma que la derivación e integracióninversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma.

Desde la época de los antiguos matemáticos griegos, como el caso de Arquímedes, se utilizaban técnicas aproximadas para calcular s, áreas y longitudes curvas, pero es por las ideas y aportes de Isaac Barrow (inglés, 1630

(alemán, 1646-1716) que se llegó al enunciado y demostración de este teorema.

al hacer aplicaciones del cálculo integral, algunas veces hay necesidad de trabajar con

)(,)(,1

1 2 32

2txgdttSenygdt

t

y

y

x

x

xSen

xCos ∫ ∫∫+

⋅==−

=

Es decir, son funciones expresadas mediante ecuaciones integrales donde se utilizan integrales definidas cuyos límites de intestán conformados por variables o por funciones en esas variables, algunas de las cuales pueden ser evaluadas directamenteotras no. Lo que si puede determinarse para cualquiera de ellas es su derivada y sobre eso trata la

el cual puede ser enunciado de la forma siguiente:

Primera Parte del Teorema Fundamental del Cálculo Integral. Teorema: Si f (t) es continua en el intervalo

∫ ≤≤=x

abxaparadttfx )()( . Entonces F es una primitiva de

)()()( xfdttfdx

dxF

x

a=

=′ ∫

está enunciado el teorema, el límite de integración variable debe ser el superior pero si

aplica una de las propiedades de las integrales definidas lo que permitirá ajustarnos al te

)()()()( xfdttfdx

ddttf

dx

dxF

x

a

a

x−=

−=

=′ ∫∫

posible dificultad que pueda presentarse al aplicar el teorema no radica en el enunciado del teorema en sí, sino en lo complejo de la ecuación integral involucrada. A continuación, trabajaremos algunos ejemplos donde pueda detallarse esta observación.

Se aplica el Teorema Fundamental del Cálculo Integral: )()( xfdttfdx

d x

a=∫ .


RRIIMMEERRAA PPAARRTTEE DDEELL

integración de una función son operaciones vada de su integral es igual a ella misma.

, se utilizaban técnicas aproximadas para calcular (inglés, 1630-1677), Isaac Newton (inglés,

que se llegó al enunciado y demostración de este teorema.

hay necesidad de trabajar con funciones como

( ) .,5 etcdtt−

Es decir, son funciones expresadas mediante ecuaciones integrales donde se utilizan integrales definidas cuyos límites de integración están conformados por variables o por funciones en esas variables, algunas de las cuales pueden ser evaluadas directamente pero otras no. Lo que si puede determinarse para cualquiera de ellas es su derivada y sobre eso trata la Primera Parte del Teorema

es continua en el intervalo [a, b], y sea F la

es una primitiva de f; es decir:

i el variable es el inferior, es decir:

aplica una de las propiedades de las integrales definidas lo que permitirá ajustarnos al teorema:

no radica en el enunciado del teorema en sí, sino en lo complejo de detallarse esta observación.




2.- Calcule: dxxdy

dy∫ +5 3 21 .

Solución:

Al aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, se debe considerar que el límite inferior de integración es el variable, por lo que debe hacerse:

)()()( xfdttfdx

ddttf

dx

d x

a

a

x−=

−=

∫∫

Luego:

3.- Halle: dttSendx

d x

∫4

2

2 .

Solución:

Como la derivada no se puede plantear de la forma ∫x

adttf

dx

d)( puesto que xx ≠4

, para calcularla hay que aplicar la Regla de la

Derivada de la Función Compuesta (Regla de la Cadena):

[ ] [ ] [ ]dx

xgd

dx

xgdfxgf

dx

d )()())(( ⋅=o

Considérese entonces: ∫ ==)(

2

42 )()(xg

xxgydttSenxf .

Luego:

[ ] 83243)(

2

324

22

24)(44)(

)(4

SenxxxSenxxxgSendx

xddttSen

dx

ddttSen

dx

d xgx=⋅=⋅=

⋅= ∫∫

4.- Determine: ∫− +=′

v

vdt

tdv

dvF

23

1)( .

Solución:

Considerando que los límites de integración son variables, se hace un arreglo de la expresión de la derivada utilizando cero por ser intermedio a dos números opuestos:

(*)3

1

3

1

3

1

3

1

3

1)(

2

0

20 2

0

22=

++

+=

++

+=

+=′ ∫∫∫∫ −−− v

dttdv

ddt

tdv

ddt

tdv

ddt

tdv

dvF

v

v

v

v

v

Como en la derivada restante el límite inferior es el variable, se hace un segundo arreglo para que sea solo variable el límite de integración superior y se aplican la Regla de la Derivada de la Función Compuesta y el Teorema Fundamental del Cálculo Integral:

[ ]

2222222

2

)(

0 220 2

3

2

3

1

3

1

3

1

)(3

1

3

1

)(3

1

3

1)(

3

1

3

1

3

1)((*)

vvvvvvvg

vdv

vgddt

tdv

d

vdt

tdv

dvF

vgv

+=

++

+=

++

−+=

++

+=

=+

+⋅

+−=

++

+−=′= ∫∫

−


3 2

5

3 25 3 2 111 ydxxdy

ddxx

dy

d y

y+−=

+−=+ ∫∫



5.- Dada ∫=x

xdttCosxF

2

2)( , obtener )(xF′ .

Solución:

Visto los ejercicios anteriores, al ser ambos límites variables se hace un primer arreglo descomponiendo la derivada en la suma de dos (aplicación propiedades de las integrales definidas). Se debe considerar un valor constante intermedio entre ambos límites pero como no se conoce el valor de estos límites, entonces sea válido k como este valor numérico constante. Se hace un segundo arreglo para que sean variables solamente los límites superiores (nuevamente aplicación propiedades integral definida). Se aplica la Regla de la Derivada de la Función Compuesta y el Teorema Fundamental del Cálculo Integral.

[ ] [ ]

[ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( )

( ) ( )222

2222

22

)( 2)( 2

22

222

22

22)()(

)()(

)(

2

22

xCosxx

xCos

x

xCosxCosx

dx

xdxhCos

dx

xdxgCos

dx

xhddttCos

dx

d

dx

xgddttCos

dx

d

dttCosdx

ddttCos

dx

d

dttCosdx

ddttCos

dx

ddttCos

dx

dxF

xh

k

xg

k

x

k

x

k

x

k

k

x

x

x

⋅−=

=+⋅−=⋅+⋅−=

=⋅+⋅

−=

=+

−=

=+==′

∫∫

∫∫

∫∫∫

6.- Dada ( )( )

∫=32

233)(

xLn

xLndttxF , obtenga

dx

dF .

Solución:

Se procede igual que en el ejemplo anterior:

( )( )

( )( )

( ) ( )

[ ] [ ]

[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]x

xLnxLn

x

xLnxLn

x

xLnxLn

dx

xLndxh

dx

xLndxg

dx

xhddtt

dx

d

dx

xgddtt

dx

d

dttdx

ddtt

dx

d

dttdx

ddtt

dx

ddtt

dx

dxF

dx

dF

xh

k

xg

k

xLn

k

xLn

k

xLn

k

k

xLn

xLn

xLn

21137

336

2229

323

233

)( 3)( 3

33

333

6

66

)()(

)()(

)(

3223

32

23

32

23

−⋅=

=⋅⋅+⋅⋅−=

=⋅+⋅−=

=⋅

+⋅

−=

=

+

−=

=

+

=

=′=

∫∫

∫∫

∫∫∫




7.- Dada la función ∫∫ ∫ −=

+

−

3

5

21

3

2 )1(

2

2 )1()(

xdtt

dttdttxF , verifique que al obtener su derivada aplicando la

Primera Parte del Teorema Fundamental del Cálculo Integral, se cumple que:

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]239233939

62

140396561486140314032719083

1)( −+−⋅

−+−+−−+⋅⋅+⋅==′ xxxxxx

xx

dx

dFxF

Verificación:

Este ejemplo presenta mayor dificultad que los anteriores. Trataremos de detallar minuciosamente los pasos a seguir para que sea

clara su resolución.

[ ]

( )

[ ] [ ]

[ ] ( )[ ][ ] ( )[ ] [ ]

[ ] ( )[ ] ( )

[ ] ( )[ ]

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]( ) ( )( ) ( )[ ] (*)1111)1(3

3)(1)(11)(

3)(1)(1)1(

3)(1)1(

)1(

3)1)1(

)1(

)1)1()1(

)()1)1()1(

)1)1()1(

)()1()1(

)1()1(

)()1(

)1(

)(

232

52

21

322

2222

222)(

2

2

22

)(3

2)(

2

2

2

)(5

2)(3

2)(

2

2

3)(5

2)(3

2)(

2

2

)(5

2)(3

2)(

2

2

52)(

32

)(

2

2

)(3

2)(

2

2

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x

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Resolviendo la integral presente en (*). Para hacerlo, debe aplicarse la Segunda Parte del Teorema Fundamental del Cálculo Integral:

( )3

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52 −+

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+=∫ +=

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ttdttI

xx

Volviendo a (*)

( ) ( )[ ] (**)111)1(3(*)23

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39

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−+xdttx xx

xx

Resolviendo la integral presente en (**):

( ) ( ) ( )81

4861431403276

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Volviendo a (**)

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( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]239233939

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239233939

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2

3

1403

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140396561486140314032719083

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14039

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656148614031403273

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39

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−+−+−−+⋅⋅+⋅=

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−+−+−−+⋅⋅=

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∫ −⋅= −+

−+

xxxxxxxx

xxxxxxx

x

xdttx xxxx

L. Q. Q. V.

Hay una gran variedad de ejercicios interesantes para la aplicación de la Primera Parte del Teorema Fundamental del Cálculo

Integral, pero consideramos que los publicados aquí, por sus características, llamarán la atención del lector.

RAH-PGM


VVeerrssiióónn

Del libro ““HHiissttoorriiaa yy FFiilloossooffííaa ddee llaass MMaatteemmááttiiccaass””.. Autor: Ángel Ruiz Zúñiga. (Quinta Entrega)

ÁNGEL RUIZ ZÚÑIGA, matemático, filósofo y educador nacido en San José, Costa Rica. Campo de investigación: educación matemática, historia y filosofía de las matemáticas, filosofía política y desarrollo social, sociología e historia de las ciencias y la tecnología, problemas de la educación superior, y asuntos de la paz mundial y el progreso humano. Autor de numerosos libros y artículos académicos, expositor y conferencista en más de un centenar de congresos internacionales, y organizador constante de eventos científicos internacionales y nacionales, ha sido, también, consultor y asesor en asuntos científicos, académicos, universitarios y políticos durante muchos años dentro y fuera de Costa Rica. Continuación.-

Primera Parte: EN LA ANTIGÜEDAD.

Capítulo V: El Mundo Alejandrino.-

En este capítulo nos adentraremos en los resultados matemáticos de una etapa de la civilización griega que tuvo la mayor importancia para el desarrollo de las ciencias. En el mundo presocrático encontramos una primera búsqueda por explicar racionalmente la realidad física, ya fuera con sustancias únicas o con números. El mundo ateniense incluyó desde el apogeo político y social de esta gran ciudad-Estado hasta una decadencia que se asoció con el desenlace de las guerras con Esparta; se trata de una época que vio grandes sistemas de especulación filosófica, con un fuerte carácter moral y un foco intelectual en el ser humano, con formulación de métodos y objetos para el conocimiento, pero, también, con el establecimiento de fronteras y obstáculos para el progreso de las ciencias. Una etapa que tal vez pueda decirse fue muy ideológica.

El mundo alejandrino va a tener un espíritu distinto, conjunción de muchos factores. Para empezar, con la diversidad y los intercambios culturales que la expansión macedónica supuso, con el contacto con otras civilizaciones desde la India a Egipto, pasando por Mesopotamia. Este es el escenario que vamos a estudiar en este capítulo.

5.1 Los Alejandrinos.-

Bien dice Sarton que el término "helenística'' está correctamente usado para designar esta etapa de la civilización griega antigua: "La palabra helenística está bien elegida, sugiere lo helénico y algo más, extraño a éste: lo egipcio y lo oriental.'' Ahora bien, todo empezó con un "alumno'' de Aristóteles: Alejandro el Grande.

Alejandro transformó el mundo griego en pocos años. Al morir en el 323 a.C., su imperio se dividió en tres partes:

"... cayendo Egipto bajo el poder de uno de sus generales, Ptolomeo, quien como el propio Alejandro había estudiado con Aristóteles. Ptolomeo contrató a Estratón, quien más tarde sería director del Liceo, como tutor de su hijo, y fundó el Museo de Alejandría, instituto de investigación y de enseñanza que seguía el plan del Liceo, aunque a una escala mucho mayor. El museo tenía una nómina de algo así como un centenar de profesores que recibían un salario del estado. Estaba dotado de una biblioteca de cerca de medio millón de rollos y tenía también un zoo, jardines botánicos, observatorio astronómico y salas de disección. El Museo duró unos seiscientos años, aunque los primeros doscientos fueron los más importantes para la ciencia”. [Mason, Stephen: Historia de las Ciencias 1. La Ciencia Antigua, la Ciencia en Oriente y en la Europa Medieval, pgs. 59-60]

Para la ciencia y las matemáticas debe resaltarse el imperio ptolemaico, centrado alrededor de la ciudad de Alejandría, el lugar del Museo y de la Biblioteca cuyo destino terminó en manos de la guerra y la política.

Este Museo tendría una gran relevancia, como consigna Sarton:

"El Museo hizo mucho durante el primer siglo de su existencia. Euclides, Eratóstenes de Cirene, que fue el primero en medir el tamaño de la Tierra, con notable precisión, y Apolonio de Perga, que escribió el primer tratado sobre secciones cónicas, hicieron investigaciones matemáticas. Otro gigante contemporáneo, Arquímedes, vivió en Siracusa, pero pudo haber visitado Alejandría y en él influyó ciertamente la escuela de matemáticas de aquella ciudad. Igualmente notables fueron los trabajos en astronomía. Alejandría era un lugar ideal para el sincretismo astronómico; allí podían mezclarse libremente las ideas griegas, egipcias y babilónicas, en primer lugar porque no existía una tradición establecida ni 'intereses creados' de ninguna clase y, luego, porque podían encontrarse allí, como de hecho lo hacían, representantes de diversas razas y credos. Aristilo y Timocaris hicieron observaciones astronómicas y, un poco más tarde, Conón de Samos; este último utilizó y discutió las observaciones de los babilonios sobre los eclipses. Otro natural de Samos, Aristarco, no sólo llevó a cabo observaciones propias, sino que defendió teorías tan atrevidas que ha sido llamado 'el Copérnico de la Antigüedad”. [Sarton, George: Ciencia antigua y civilización moderna, p. 15.].

Una las características interesantes del imperio de los ptolomeos fue la integración de varias etnias y culturas: persas, judíos, griegos, árabes, romanos, etc., en un contexto histórico que vivió una ampliación de los límites y perspectivas intelectuales como producto de una potenciación del comercio y los viajes, algunos de éstos en busca de conocimiento. No es extraño que los alejandrinos tuvieran un buen conocimiento geográfico, técnicas de navegación mejoradas y novedosos mecanismos de medida del tiempo.

Debe decirse que, de muchas maneras, fueron introducidos cambios en el valor de las técnicas, la mecánica, las artes, es decir: de la actividad material de los habitantes, lo que no podían dejar de afectar la construcción científica y matemática de la época. Entonces, se observa en esta etapa de la civilización griega un cambio en relación con el periodo clásico que desestimó el mundo terrenal y empírico privilegiando la abstracción separada de la práctica humana y concreta. Más que un cambio, incluso un renacimiento: "... el hecho capital de que el Renacimiento alejandrino fue un completo renacimiento”. [Sarton, George: Ciencia antigua y civilización moderna, p. 17].

Es por eso, incluso, que se sostiene la opinión de un tipo diferente de matemáticas en el periodo alejandrino en relación con la etapa clásica de la matemática griega.




Resulta extraordinariamente interesante, sin embargo, que hayan sido dos intelectuales alejandrinos los que hayan codificado calidad las matemáticas clásicas del mundo griego: Euclides y

El nuevo carácter de las matemáticas alejandrinas se encuentra con mayor propiedad en de la preocupación de los geómetras alejandrinos estuvo en los resultados para calcular longitudes, áreas y volúmenes. Si bien es cierto que algunos de estos asuntos aparecen en los Elementos de Euclides, sólo lo hacen de una manera muy aislada, mientras que para los alejandrinos su importa

Otra de las diferencias en relación con la matemática clásica es el uso más amplio de los irracionales, que es probable que ttradiciones babilonias que los utilizaron como números en el cálculo de longen el desarrollo de la geometría de la Grecia helenística. Puede decirse que los alejandrinos revivieron la aritmética y el áénfasis cualitativo sin referencia a las medidas numéricas.

La matemática helenística dedicó también su atención a la mecánica. Otra diferencia relevante. Es decir que, mientras las matreducían a la aritmética de números enteros, geometría, música y astronomía, las helenísticas incluían además mecánica, astronomía, óptica, geodesia, la aritmética aplicada (lo que los griegos llamaron logística

Es interesante señalar una distinción en el seno de las matemáticas alejandrinas realizlos materiales. Aritmética y geometría correspondían a la primera.

5.2 Arquímedes

Nació en Siracusa en el 287 a.C. y murió en el 212 a.C.. Se considera el matemático más brillante de toda la Antigüedad. Recibió su educación en Alejandría. Se afirma con toda justicia que el trabajo geométrico de Arquímedesmatemática alejandrina.

Arquímedes usó resultados de Euclides y Aristeo. Demostró teoremas sobre áreas y volúmenes por medio del método de exhausción, es decir, usando figuras líneas inscritas y circunscritas para llenar el área de un volumen. Sin embargo, también utilizó el método indirecto en algún momento de sus demostraciones. Es decir, no llegó a dar el salto hacia el concepto moderno de límite. Esto lo realiza en su libro Sobre la esfera y el cilindro. Debe mencionarse que el segundo libro de esta obra incluye resultados de álgebra geométrica.

Es famoso en muchos campos. Se conoce muy bien y que afirma que al sumergirse un cuerpo en el agua, el agua ejerce sobre ese cuerpo una presión vertical de abajo hacia arriba que es igual al peso del agua desplazada. Se dice que aquí empezó la hidrostática.

Arquímedes realizó importantes estudios sobre palancas.

El método de Exhausción

El método de Exhausción nace del problema de comparar las figuras curvilíneas y las rectilíneas. Como usted sabe, uno de los Antigüedad era cómo reducir el círculo, o longitudes curvas, a segmentos de recta, y otro: cómo reducir cuatraduce como la construcción de figuras curvas usando solo regla y compás). No obstante, el "método de Exhausción'' no fue llmucho tiempo después que Gregoire de St. Vincent (1589

En ese escenario fueron usados dos principios generales sobre los números y sus relaciones con el infinito, que aparecieron drelevantes para la utilización del método que analizamos.

Primer principio:

"Cualquier cantidad, por más pequeña que sea, puede hacerse tan grande como se quiera multiplicándola por un número suficientemente grande''.

Este se puede formular de la siguiente manera:

"Dadas dos magnitudes diferentes α y β (con β<α

a) un número n tal que nβ>α (esto se encuentra en el Libro V de los

b) un número n tal que n (α-β)>γ donde γ

esfera y el cilindro de Arquímedes Libro I)''.

Segundo principio:

"Si de cualquier magnitud sustraemos una parte no menor que su mitad, y si del resto sustraemoscontinuamos repitiendo este proceso de sustracción, terminaremos por obtener como resto una magnitud menor que cualquier magnantemano''.

Lo anterior se puede poner también así:

"Dadas dos magnitudes diferentes α y β (con β<α), existe un número

Libro X, Def. 1)”.


Resulta extraordinariamente interesante, sin embargo, que hayan sido dos intelectuales alejandrinos los que hayan codificado calidad las matemáticas clásicas del mundo griego: Euclides y Apolonio.

El nuevo carácter de las matemáticas alejandrinas se encuentra con mayor propiedad en Arquímedes, Herón, Ptolomeoalejandrinos estuvo en los resultados para calcular longitudes, áreas y volúmenes. Si bien es cierto que algunos de estos

de Euclides, sólo lo hacen de una manera muy aislada, mientras que para los alejandrinos su importa

Otra de las diferencias en relación con la matemática clásica es el uso más amplio de los irracionales, que es probable que ttradiciones babilonias que los utilizaron como números en el cálculo de longitudes, áreas y volúmenes. De hecho, esto explicaría las características específicas en el desarrollo de la geometría de la Grecia helenística. Puede decirse que los alejandrinos revivieron la aritmética y el á

cualitativo sin referencia a las medidas numéricas.

La matemática helenística dedicó también su atención a la mecánica. Otra diferencia relevante. Es decir que, mientras las mateometría, música y astronomía, las helenísticas incluían además mecánica, astronomía, óptica, geodesia, la logística).

Es interesante señalar una distinción en el seno de las matemáticas alejandrinas realizada por ellos mismos: aquella referida a los conceptos intelectuales y a los materiales. Aritmética y geometría correspondían a la primera.

Nació en Siracusa en el 287 a.C. y murió en el 212 a.C.. Se considera el matemático más brillante de toda la Antigüedad. Recibió su educación en Alejandría. Se afirma

ímedes fue el punto máximo de la

usó resultados de Euclides y Aristeo. Demostró teoremas sobre áreas y volúmenes por medio del método de exhausción, es decir, usando figuras líneas inscritas y circunscritas para llenar el área de un volumen. Sin embargo, también

to en algún momento de sus demostraciones. Es decir, no llegó a dar el salto hacia el concepto moderno de límite. Esto lo realiza en su libro

. Debe mencionarse que el segundo libro de esta obra

Es famoso en muchos campos. Se conoce muy bien el principio que lleva su nombre e afirma que al sumergirse un cuerpo en el agua, el agua ejerce sobre ese cuerpo

una presión vertical de abajo hacia arriba que es igual al peso del agua desplazada. Se

lancas.

OBRAS DE ARQUÍMEDES. UNA VERSIÓN DE 1 458, POR JACOBUS CREMONENSIS

El método de Exhausción nace del problema de comparar las figuras curvilíneas y las rectilíneas. Como usted sabe, uno de los Antigüedad era cómo reducir el círculo, o longitudes curvas, a segmentos de recta, y otro: cómo reducir cualquier línea curva a líneas rectas y círculos (esto se traduce como la construcción de figuras curvas usando solo regla y compás). No obstante, el "método de Exhausción'' no fue ll

(1589 - 1667) lo bautizaría de esa manera.

En ese escenario fueron usados dos principios generales sobre los números y sus relaciones con el infinito, que aparecieron drelevantes para la utilización del método que analizamos.

ás pequeña que sea, puede hacerse tan grande como se quiera multiplicándola por un número suficientemente grande''.

β<α) existe entonces:

(esto se encuentra en el Libro V de los Elementos de Euclides, Def. 4);

γ es cualquier magnitud de la misma clase (esto se llama el Axioma de Arquímedes

Libro I)''.

"Si de cualquier magnitud sustraemos una parte no menor que su mitad, y si del resto sustraemos de nuevo una cantidad no menor que su mitad, y si continuamos repitiendo este proceso de sustracción, terminaremos por obtener como resto una magnitud menor que cualquier magn

), existe un número n tal que (1-p)n x α < β, donde p≥½ (esto se encuentra en los


Resulta extraordinariamente interesante, sin embargo, que hayan sido dos intelectuales alejandrinos los que hayan codificado con tanta sistematización y

Ptolomeo, Menelao, Diofanto, o Pappus. El foco alejandrinos estuvo en los resultados para calcular longitudes, áreas y volúmenes. Si bien es cierto que algunos de estos

de Euclides, sólo lo hacen de una manera muy aislada, mientras que para los alejandrinos su importancia fue central.

Otra de las diferencias en relación con la matemática clásica es el uso más amplio de los irracionales, que es probable que tenga su origen en un rescate de las itudes, áreas y volúmenes. De hecho, esto explicaría las características específicas

en el desarrollo de la geometría de la Grecia helenística. Puede decirse que los alejandrinos revivieron la aritmética y el álgebra. La matemática clásica tuvo un

La matemática helenística dedicó también su atención a la mecánica. Otra diferencia relevante. Es decir que, mientras las matemáticas del periodo clásico se eometría, música y astronomía, las helenísticas incluían además mecánica, astronomía, óptica, geodesia, la

ada por ellos mismos: aquella referida a los conceptos intelectuales y a

OBRAS DE ARQUÍMEDES. UNA VERSIÓN DE 1 458, POR JACOBUS CREMONENSIS

El método de Exhausción nace del problema de comparar las figuras curvilíneas y las rectilíneas. Como usted sabe, uno de los grandes problemas de la lquier línea curva a líneas rectas y círculos (esto se

traduce como la construcción de figuras curvas usando solo regla y compás). No obstante, el "método de Exhausción'' no fue llamado así por los griegos, sería

En ese escenario fueron usados dos principios generales sobre los números y sus relaciones con el infinito, que aparecieron de diferente forma, y fueron

ás pequeña que sea, puede hacerse tan grande como se quiera multiplicándola por un número suficientemente grande''.

Axioma de Arquímedes, en el trabajo Sobre la

de nuevo una cantidad no menor que su mitad, y si continuamos repitiendo este proceso de sustracción, terminaremos por obtener como resto una magnitud menor que cualquier magnitud del mismo tipo dada de

(esto se encuentra en los Elementos de Euclides,




Podemos ilustrar los principios usados por los griegos de la siguiente manera, uejercicios resueltos:

Tómese α=2000, β=2 y γ=8000. La primera forma del principio dice que se puede encontrar un

Se puede considerar n mayor que 1000 y ya funciona. Veamos, si n=1500 entonces a 2 x 1500=300≥2000. La segunda forma del principio: Α-β=2000-2=1998.

Se debe encontrar un n tal que n x (α-β) ≥ γ. Es decir, de tal manera que n x 1998 ≥ 8000. Este n=1500 sirve; pues 1500 x 1998 ≥ 8000. Veamos ahora el segundo principio:

Sea p=3/4, y los mismos α y β de antes. Queremos encontrar un O que (1-3/4)n x 2000 ≤ 2. Es decir: (1/4)n x 2000 ≤ 2. Con n=5 obtenemos (1/4)5 x 2000 = 0,000976563 x 2000= 1,953125.

Y entonces: 1,953125 ≤ 2.

Polígonos y círculos.-

El Libro XI de los Elementos de Euclides incluye el método de Exhausción en los 18 teoremas sobre áreas y volúmenes que posee, especialmente de figuras curvilíneas acpara demostrar que algunas propiedades de los polígonos se dan en los círculos. Por ejemplo, para probar si se tiene dos círculos que: "la razón de sus áreas es la misma que la que existe entre los cuarespectivos''.

El método consistía en: aproximar el área de los círculos con polígonos regulares inscritos y circunscritos, (y como esa propiedad se cumplía para los polígonos) entonces se deducía que se cumplía para los círculos. Es decir, se cumplía para los polígonos que: "La razón de las áreas de dos polígonos similares inscritos en círculos es la misma que existe entre los cuadrados de los diámetros de los círculos''.

El infinito.-

La idea es que el proceso se puede hacer de manera polígonos. Entonces: las propiedades de los círculos se pueden conocer estudiando los polígonos regulares (que resultan más fáciles de "manejar'').

Es en este momento donde se ocupa el segundo principiosalto de los polígonos de un número finito de lados a un círculo (que sería como el límite infinito de esos polígonos).

En resumen: el método permitía demostrar la posibilidad de aproximar áreas por polígonos, aumentandoble de lados en cada ocasión.

Repetimos: fue Arquímedes quien más lejos llevaría el método de Exhausción.

Un ejemplo.-

Considere el siguiente ejemplo de cómo funciona el método de exhausción, tomado de nuestro libro Elementos de Cálculo Diferencial. Historia y ejercicios resuelto

A) Constrúyase un cuadrado inscrito y otro circunscrito al círculo

Acir: área del círculo

Acuad: área cuadrado inscrito

ACuad: área cuadrado circunscrito

Un detalle importante es que .2cir

cuad

AA >


Podemos ilustrar los principios usados por los griegos de la siguiente manera, usando un pasaje de nuestro libro Elementos de Cálculo Diferencial. Historia y

La primera forma del principio dice que se puede encontrar un n tal que β x n ≥ α; entonces: 2 x n ≥ 2000.

mayor que 1000 y ya funciona.

de antes. Queremos encontrar un n tal que (1-p)n x α ≤ β.

2000= 1,953125.

de Euclides incluye el método de Exhausción en los 18 teoremas sobre áreas y volúmenes que posee, especialmente de figuras curvilíneas acotadas por superficies. El método se usa, por ejemplo, para demostrar que algunas propiedades de los polígonos se dan en los círculos. Por ejemplo, para probar si se tiene dos círculos que: "la razón de sus áreas es la misma que la que existe entre los cuadrados de sus diámetros

El método consistía en: aproximar el área de los círculos con polígonos regulares inscritos y circunscritos, (y como esa propiedad se cumplía para los polígonos) entonces se deducía que se cumplía para los círculos. Es decir, se

que: "La razón de las áreas de dos polígonos similares inscritos en círculos es la misma que existe entre los cuadrados de los diámetros de los círculos''.

La idea es que el proceso se puede hacer de manera indefinida, aumentando el número de lados de los polígonos. Entonces: las propiedades de los círculos se pueden conocer estudiando los polígonos regulares

segundo principio que mencionamos arriba, para poder garantizar ese salto de los polígonos de un número finito de lados a un círculo (que sería como el límite infinito de esos

En resumen: el método permitía demostrar la posibilidad de aproximar áreas por polígonos, aumentando el

quien más lejos llevaría el método de Exhausción.

dere el siguiente ejemplo de cómo funciona el método de exhausción, tomado de nuestro libro Elementos de Cálculo Diferencial. Historia y ejercicios resueltos:

A) Constrúyase un cuadrado inscrito y otro circunscrito al círculo

ARQUÍMEDES, PINTADO POR FETTI, ESTAMPILLA


Elementos de Cálculo Diferencial. Historia y

de Euclides incluye el método de Exhausción en los 18 teoremas sobre áreas y otadas por superficies. El método se usa, por ejemplo,

para demostrar que algunas propiedades de los polígonos se dan en los círculos. Por ejemplo, para probar si se tiene drados de sus diámetros

El método consistía en: aproximar el área de los círculos con polígonos regulares inscritos y circunscritos, (y como esa propiedad se cumplía para los polígonos) entonces se deducía que se cumplía para los círculos. Es decir, se

que: "La razón de las áreas de dos polígonos similares inscritos en círculos es la misma

ARQUÍMEDES, PINTADO POR FETTI, ESTAMPILLA




B) En la siguiente figura el cuadrado circunscrito se divide en 8 triángulos iguales:

Es fácil ver que: 7632

Cuadcuad

AAAAAA =+++=

Ahora obsérvese el rectángulo formado por 21 AA +

Claramente este rectángulo es mayor que la mitad del área del círculo.

LA APROXIMACIÓN DE LAS ÁREAS

B es el punto del círculo donde se biseca el arco AC

El área del rectángulo ACJI es claramente mayor que el área del segmento de círculo encerrado por

ABC .

Entonces la mitad del área del rectángulo ACJImencionado.

Ahora, note que el área del triángulo ABC es la mitad del área del rectángulo

Entonces:

22

círculoSegmentoÁreaACJIÁreaABCÁrea >=

Note que el área del triángulo ABC es lo que se añade al cuadrado para formar el octógono a partir del lado

De esta forma el área del octógono es la suma de las siguientes áreas:

EFGCDEABCinscritocuadrado ∆+∆+∆+

El octógono así construido permite mejorar la aproximación en más de la mitad de la diferencia del área del círculo y la del

Otros resultados.-

Mediante un polígono de 96 lados, Arquímedes mostró que

Por exhausción mostró el área de una elipse, el área limitada por cada cuerda en una parábola, y sobre el cono: su volumen y su superficie. Uno de los resultados más famosos en ese sentido se encuentra en la obra cilindro:

"Una esfera cualquiera es igual a cuatro veces el cono que tiene como base un círculo máximo de la esfera y altura igual al radio de la esfera''.

Y, también, se encuentra el siguiente:

"Cualquier cilindro cuya base es el círculo más grande de una esfera y cuya altura es igual al diámetro de la esfera, es

3/2 (del volumen) de la esfera, y su superficie junto con sus bases es

Arquímedes quiso que este resultado con el cilindro circunscrito en la esfera fuera colocado en su tumba. El romano Cicerón relata haber encontrado en Siracusa, años después, una tumba con esta inscripción gravada. El asumió que se trataba de la tumba de Arquímedes.


B) En la siguiente figura el cuadrado circunscrito se divide en 8 triángulos iguales: .,,, 821 AAA K

2Cuad (cuatro triángulos hacen la mitad del cuadrado circunscrito).

,432 AA ++ que también es la mitad del cuadrado grande.

Claramente este rectángulo es mayor que la mitad del área del círculo.

Entonces:

.2cir

cuad

AA >

Ahora vamos a construir un octógono ABCDEFGH a partir del cuadrado inscrito.

Esto se hace para mejorar la aproximación al área del círculo que hacía el cuadrado.

Si llamamos con difA la diferencia entre el área del círculo y el área del cuadrado inscrito, vamos

a mostrar que este octógono va a tener un área que cubre más de la mitad de

Es decir, la mejoría de la aproximación es muy precisa. Para simplificar concentrémonos en el lado AC . Vea la figura siguiente.

AC ( HFD ,, se construyen de igual manera).

es claramente mayor que el área del segmento de círculo encerrado por

ACJI es mayor que la mitad del segmento de círculo

es la mitad del área del rectángulo ACJI .

ABCcírculo

es lo que se añade al cuadrado para formar el octógono a partir del lado AC .

De esta forma el área del octógono es la suma de las siguientes áreas:

.GHA∆+

El octógono así construido permite mejorar la aproximación en más de la mitad de la diferencia del área del círculo y la del

mostró que 7

13

71

103 <<π .

Por exhausción mostró el área de una elipse, el área limitada por cada cuerda en una parábola, y sobre el cono: su los resultados más famosos en ese sentido se encuentra en la obra Sobre la esfera y el

"Una esfera cualquiera es igual a cuatro veces el cono que tiene como base un círculo máximo de la esfera y altura igual


3/2 (del volumen) de la esfera, y su superficie junto con sus bases es 3/2 de la superficie de la esfera."

quiso que este resultado con el cilindro circunscrito en la esfera fuera colocado en su tumba. El romano Cicerón relata haber encontrado en Siracusa, años después, una tumba con esta inscripción gravada. El asumió que se


(cuatro triángulos hacen la mitad del cuadrado circunscrito).

CÍRCULOS Y POLÍGONOS

a partir del cuadrado inscrito.

Esto se hace para mejorar la aproximación al área del círculo que hacía el cuadrado.

la diferencia entre el área del círculo y el área del cuadrado inscrito, vamos

a mostrar que este octógono va a tener un área que cubre más de la mitad de difA .

. Vea la figura siguiente.

UN LADO

.

El octógono así construido permite mejorar la aproximación en más de la mitad de la diferencia del área del círculo y la del cuadrado inscrito.

Por exhausción mostró el área de una elipse, el área limitada por cada cuerda en una parábola, y sobre el cono: su Sobre la esfera y el

"Una esfera cualquiera es igual a cuatro veces el cono que tiene como base un círculo máximo de la esfera y altura igual


quiso que este resultado con el cilindro circunscrito en la esfera fuera colocado en su tumba. El romano Cicerón relata haber encontrado en Siracusa, años después, una tumba con esta inscripción gravada. El asumió que se

ESFERA Y CILINDRO


HOMOTECIA Nº 1 – Año 11 Lunes, 7 de Enero


El Axioma de Arquímedes mencionado antes ha sido usado por más de dos mil años.

El trabajo llamado Sobre conoides y esferoides trata de algunas propiedades de figuras de revolución generadas por cónicas. realizó algunos trabajos sobre las secciones cónicas.

El método.-

En otro libro titulado Cuadratura de la Parábola ofrece dos métodos para encontrar el área de un segmento parabólico. Sobre éste, Bell subraya el tratamiento original que Arquímedes realiza:

"El desprecio sublime de Arquímedes por todo lo convencional se ve en su trabajo más curioso. En el problema, que resolvió, de hallar el área de un segmento parabólico. La demostración es, por supuesto, rigurosa y equivale a una integración, ademostración no oficial la que ofrece mayor interés. Esto salió a relucir en 1 906 cuando se encontró en Constantinopla una odescribía su método heurístico. Para descubrir cuál era el área que se buscaba, Habiendo resuelto este último, afirma que el resultado no ha sido 'excesivamente demostrado'. Luego procede a dar una demostrdigámoslo de paso, realiza la primera suma de una serie infinita en la historia. La serie es

y utiliza el hecho de que n−4 tiende a 0 cuando n se aproxima al infinito.

Había ya sumado antes una serie finita,

[Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, p. 85.]

Este trabajo al que se refiere Bell, El método, descubierto en una biblioteca en Constantinopla en 1906, es uno de los más famosos de obra Arquímedes ilustra su procedimiento para encontrar el área del segmento parabólico y, a diferencia de los procedimientos deductivos clásargumentos que son en esencia físicos. Arquímedesrevolución.

En su prefacio o introducción, se expresa esta aproximación; dice

"Reconociendo, como digo, tu celo y tu excelente dominio en materia de filosofía, amén de que sabes apreciar, llegado el caso, la investigación de cuestionmatemáticas, he creído oportuno confiarte por escrito, y explicar en este mismo libro, las características propias de un métoabordar la investigación de ciertas cuestiones matemáticas por medio de la mecánica. Algo que, por lo demás, estoy convencidoen orden a la demostración de los teoremas mismos. Pues algunos de losdemostración por geometría, habida cuenta de que la investigación por ese método queda lejos de una demostración; como que esdemostración después de haber adquirido por ese método cierto conocimiento de los problemas, que buscarla sin la menor idea al respecto. <... Por esta razón, aun el caso> de los teoremas referentes al cono y a la pirámide, cuya demostración fue Eudoxo el primero en hallar, a saber: cilindro y la pirámide es la tercera parte del prisma, con la misma base e igual altura, conviene atribuir buena parte del méenunció esto sin demostración acerca de dichas figuras. También en mlugar de modo semejante al de los precedentes. Y he querido publicar el método una vez perfilado para que no den en pensar alhaberme referido a él anteriormente y, al mismo tiempo, porque estoy convencido de que puede representar una contribución no poco provechoinvestigación matemática. Pues supongo que algunos de mis contemporáneos o sucesores llegarán a encontrar por el método exptodavía no se me han ocurrido.

Así pues, expongo en primer lugar el resultado que también fue el primero en manifestarse por vía mecánica, a saber: que todocono rectángulo es cuatro tercios del triángulo que tiene la misma base e igual altura, y seguidamente, uno por uno, los resultados tratados de la misma manera. Al final del libro formulo las demostraciones geométricas de los teoremas cuyos enunciados te había enviado con anterioridad”35-36].

En su trabajo Sobre las espirales, no solo se reduce a utilizar figuras rectilíneas sino también pequeños sectores circulares que son inscritos o circunscritorealizar la aproximación. Siempre termina utilizando el método indirecto para completar sus demostraciones.

Si se hace un balance del trabajo matemático de Arquímedesdecisivas, ni tampoco su método. Sin embargo, hay consenso en que se trata de problemas novedosos y originales. Su trabajo enson originales completamente, en particular el hecho de ofrecer pruebas de naturaleza mateprácticos. Para Bell:

"Su trabajo más original fue, quizás, sus matemáticas aplicadas. En este campo, hasta donde se sabe hoy, fue un iniciador. con éxito el método del 'agotamiento' a problemas difíciles (el mismo el volumen de una pirámide), pero ninguno había aplicado la mecánica a las matemáticas.


El Axioma de Arquímedes mencionado antes ha sido usado por más de dos mil años.

trata de algunas propiedades de figuras de revolución generadas por cónicas.

ofrece dos métodos para encontrar el área de un segmento parabólico. Sobre éste, Bell subraya el tratamiento

por todo lo convencional se ve en su trabajo más curioso. En el problema, que resolvió, de hallar el área de un segmento parabólico. La demostración es, por supuesto, rigurosa y equivale a una integración, algo disfrazada de exhaución, en la demostración oficial; pero es la demostración no oficial la que ofrece mayor interés. Esto salió a relucir en 1 906 cuando se encontró en Constantinopla una odescribía su método heurístico. Para descubrir cuál era el área que se buscaba, Arquímedes tradujo el problema de geometría en otro equivalente de mecánica. Habiendo resuelto este último, afirma que el resultado no ha sido 'excesivamente demostrado'. Luego procede a dar una demostrdigámoslo de paso, realiza la primera suma de una serie infinita en la historia. La serie es

∑∞

=

−

0

4n

n

se aproxima al infinito.

∑=

n

s

as1

2”.

, descubierto en una biblioteca en Constantinopla en 1906, es uno de los más famosos de ilustra su procedimiento para encontrar el área del segmento parabólico y, a diferencia de los procedimientos deductivos clás

Arquímedes usó métodos mecánicos para encontrar teoremas sobre cilindros, esferas, esferoides y para

En su prefacio o introducción, se expresa esta aproximación; dice Arquímedes:

elo y tu excelente dominio en materia de filosofía, amén de que sabes apreciar, llegado el caso, la investigación de cuestionmatemáticas, he creído oportuno confiarte por escrito, y explicar en este mismo libro, las características propias de un métoabordar la investigación de ciertas cuestiones matemáticas por medio de la mecánica. Algo que, por lo demás, estoy convencidoen orden a la demostración de los teoremas mismos. Pues algunos de los que primero se me hicieron patentes por la mecánica, recibieron luego la demostración por geometría, habida cuenta de que la investigación por ese método queda lejos de una demostración; como que es

uirido por ese método cierto conocimiento de los problemas, que buscarla sin la menor idea al respecto. <... Por esta razón, aun el caso> de los teoremas referentes al cono y a la pirámide, cuya demostración fue Eudoxo el primero en hallar, a saber: cilindro y la pirámide es la tercera parte del prisma, con la misma base e igual altura, conviene atribuir buena parte del méenunció esto sin demostración acerca de dichas figuras. También en mi caso sucede que el descubrimiento de los teoremas que ahora doy a conocer ha tenido lugar de modo semejante al de los precedentes. Y he querido publicar el método una vez perfilado para que no den en pensar al

ido a él anteriormente y, al mismo tiempo, porque estoy convencido de que puede representar una contribución no poco provechoinvestigación matemática. Pues supongo que algunos de mis contemporáneos o sucesores llegarán a encontrar por el método exp

Así pues, expongo en primer lugar el resultado que también fue el primero en manifestarse por vía mecánica, a saber: que todoángulo que tiene la misma base e igual altura, y seguidamente, uno por uno, los resultados tratados de la misma manera.

Al final del libro formulo las demostraciones geométricas de los teoremas cuyos enunciados te había enviado con anterioridad”

, no solo se reduce a utilizar figuras rectilíneas sino también pequeños sectores circulares que son inscritos o circunscritorealizar la aproximación. Siempre termina utilizando el método indirecto para completar sus demostraciones.

Arquímedes, puede decirse que sus conclusiones en cuanto a sólidos, áreas o longitudes no son especiadecisivas, ni tampoco su método. Sin embargo, hay consenso en que se trata de problemas novedosos y originales. Su trabajo enson originales completamente, en particular el hecho de ofrecer pruebas de naturaleza matemática en torno a asuntos juzgados casi siempre como meramente

"Su trabajo más original fue, quizás, sus matemáticas aplicadas. En este campo, hasta donde se sabe hoy, fue un iniciador. con éxito el método del 'agotamiento' a problemas difíciles (el mismo Arquímedes menciona a Eudoxio y atribuye a el volumen de una pirámide), pero ninguno había aplicado la mecánica a las matemáticas.

de 2013 18

trata de algunas propiedades de figuras de revolución generadas por cónicas. Arquímedes al igual que Apolonio

ofrece dos métodos para encontrar el área de un segmento parabólico. Sobre éste, Bell subraya el tratamiento

por todo lo convencional se ve en su trabajo más curioso. En el problema, que resolvió, de hallar el área de un segmento lgo disfrazada de exhaución, en la demostración oficial; pero es la

demostración no oficial la que ofrece mayor interés. Esto salió a relucir en 1 906 cuando se encontró en Constantinopla una obra de Arquímedes en la que se tradujo el problema de geometría en otro equivalente de mecánica.

Habiendo resuelto este último, afirma que el resultado no ha sido 'excesivamente demostrado'. Luego procede a dar una demostración geométrica en la que,

, descubierto en una biblioteca en Constantinopla en 1906, es uno de los más famosos de Arquímedes. En esta ilustra su procedimiento para encontrar el área del segmento parabólico y, a diferencia de los procedimientos deductivos clásicos, utiliza

usó métodos mecánicos para encontrar teoremas sobre cilindros, esferas, esferoides y paraboloides de

elo y tu excelente dominio en materia de filosofía, amén de que sabes apreciar, llegado el caso, la investigación de cuestiones matemáticas, he creído oportuno confiarte por escrito, y explicar en este mismo libro, las características propias de un método según el cual te será posible abordar la investigación de ciertas cuestiones matemáticas por medio de la mecánica. Algo que, por lo demás, estoy convencido, no es en absoluto menos útil

que primero se me hicieron patentes por la mecánica, recibieron luego la demostración por geometría, habida cuenta de que la investigación por ese método queda lejos de una demostración; como que es más fácil construir la

uirido por ese método cierto conocimiento de los problemas, que buscarla sin la menor idea al respecto. <... Por esta razón, aun el caso> de los teoremas referentes al cono y a la pirámide, cuya demostración fue Eudoxo el primero en hallar, a saber: que el cono es la tercera parte del cilindro y la pirámide es la tercera parte del prisma, con la misma base e igual altura, conviene atribuir buena parte del mérito a Demócrito, el primero que

i caso sucede que el descubrimiento de los teoremas que ahora doy a conocer ha tenido lugar de modo semejante al de los precedentes. Y he querido publicar el método una vez perfilado para que no den en pensar algunos que hablaba por hablar al

ido a él anteriormente y, al mismo tiempo, porque estoy convencido de que puede representar una contribución no poco provechosa a la investigación matemática. Pues supongo que algunos de mis contemporáneos o sucesores llegarán a encontrar por el método expuesto otros teoremas que a mí

Así pues, expongo en primer lugar el resultado que también fue el primero en manifestarse por vía mecánica, a saber: que todo segmento de una sección de ángulo que tiene la misma base e igual altura, y seguidamente, uno por uno, los resultados tratados de la misma manera.

Al final del libro formulo las demostraciones geométricas de los teoremas cuyos enunciados te había enviado con anterioridad”. [Arquímedes: El Método, pp.

, no solo se reduce a utilizar figuras rectilíneas sino también pequeños sectores circulares que son inscritos o circunscritos para

, puede decirse que sus conclusiones en cuanto a sólidos, áreas o longitudes no son especialmente decisivas, ni tampoco su método. Sin embargo, hay consenso en que se trata de problemas novedosos y originales. Su trabajo en la mecánica, en hidrostática, sí

mática en torno a asuntos juzgados casi siempre como meramente

"Su trabajo más original fue, quizás, sus matemáticas aplicadas. En este campo, hasta donde se sabe hoy, fue un iniciador. Menaechmo y otros habían aplicado menciona a Eudoxio y atribuye a Demócrito la exposición del resultado para




Antes de Arquímedes no existió la mecánica científica. Es posible que hubiera reglas empíricas, pero éstas están en un universo diferente. Su descubrimiento de la ley de flotación creó prácticamente la ciencia de la hidrostática y su formulación de la teoría de la palanca hizo lo propio para la estática. Tan potentes fueron sus métodos que determinó las posiciones de equilibrio y de estabilidad de un paraboloide de revolución flotante en diferentes posiciones. Fiel a la tradición griega, Arquímedes basó su mecánica en postulados. Sus determinaciones de centroides fueron casi tan difíciles como las que hay en la actualidad en un curso de cálculo. Por ejemplo, halló el centroide de un semicírculo, un hemisferio, un segmento de esfera, y un segmento recto de un paraboloide de revolución. No es, pues, extraño, que los musulmanes sintieran por Arquímedes una veneración casi supersticiosa. Durante dos mil años no hubo nadie que pudiera comparársele”. [Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, pp. 84-85].

ARQUÍMEDES. MÁQUINA PARA HUNDIR BARCOS. EN UN DETALLE MURAL EN EL STANZINO DELLE MATEMATICHE EN LA GALLERIA DEGLI UFFIZI (FLORENCIA,

ITALIA).

OBRAS DE

ARQUÍMEDES, EN LIBRO POR

GEORGE COOKE, LONDRES 1807.

5.3 Herón.-

Realizó sus trabajos en un período entre el 100 a.C. y el 100 d.C., siendo relevante el uso de matemáticas con todo rigor a la vez que el uso de mecanismos de aproximación y fórmulas.

Se trata de otro representante del periodo alejandrino en la civilización griega con preocupaciones en la mecánica y las aplicaciones de la geometría.

Algunos historiadores de las matemáticas afirman que en su trabajo se aprecia el estilo egipcio: aplicación de fórmulas libremente y mediante aproximaciones. En su Métrica y Geométrica, Herón ofreció fórmulas y resultados para el cálculo de superficies y volúmenes de muchas figuras.

Usó resultados de Arquímedes.

También escribió una Geodesia y una Estereometría.

DISPENSADOR EGIPCIO DE AGUA BENDITA,

DISEÑADO POR HERÓN.

Es interesante señalar su preocupación por ofrecer en estas obras resultados de naturaleza numérica. Por ejemplo, en sus estudios de geodesia trata de demostrar los procedimientos para calcular la distancia entre dos puntos dado uno.

Algunos de los resultados eran aplicados al diseño de edificaciones.

Herón ofreció diseños para máquinas automáticas, máquinas para levantar pesos, máquinas de guerra, relojes de agua, todo en la misma dirección que encontramos en la obra de Arquímedes. En particular, inventó una turbina de vapor (rudimentaria, por supuesto), un primer aparato para la transformación de la energía térmica en mecánica.

Afirmó Herón que los rayos de luz iban de un punto a otro a través del camino más corto.

5.4 Trigonometría.-

Se trata de un campo totalmente creado en la etapa helenística por Hiparco, Menelao y Ptolomeo, con el propósito de responder a las necesidades de la astronomía, la construcción de calendarios, la navegación y la geografía.

En los alejandrinos se trataba de una trigonometría esférica aunque integraba, realmente, la trigonometría plana. Sin duda, la trigonometría esférica requería el conocimiento de la geometría esférica. Euclides, en su Phaenomena, hace poco geometría esférica, aunque basada en resultados anteriores.

Se sabe que Teodosio (c. 20 a.C.) hizo una recopilación de la geometría esférica en su Sphaericae, pero no era numérica ni permitía la interpretación de la posición de las estrellas para calcular la hora durante las noches.

Sin duda, el fundador de la trigonometría fue Hiparco, quien se supone murió alrededor del 125 a.C. Sus trabajos se conocen más bien gracias a la obra de Ptolomeo. Sus observaciones astronómicas y sus descubrimientos fueron muy importantes para la geografía y la evolución de la cosmología antigua.

Se afirma que el momento decisivo se alcanzó con Menelao (c. 100 d.C.). Su trabajo fundamental fue la Sphaerica, cuyo fin fundamental fue la demostración de teoremas sobre triángulos esféricos, similares a los que Euclides probó para los triángulos en un plano. Esta obra también incluye astronomía.

Ahora bien, la síntesis e integración de la trigonometría con la astronomía la realizó el famoso Claudio Ptolomeo, en su obra Syntaxis Mathematica, conocida también como Almagesto (nombre dado por los árabes), donde continúa y completa el trabajo de Hiparco y Menelao. Se trata de una obra de naturaleza matemática, porque la idea que subyace esta construcción intelectual es la de ofrecer un modelo matemático que integre el movimiento de los cuerpos celestes. Es decir, se trata de fundamentar la astronomía, la interpretación de los cielos, en el conocimiento que se reconoce como verdadero.

En contra de la opinión heliocéntrica de Aristarco, Ptolomeo afirmó una visión cosmología geocéntrica. La trigonometría de Ptolomeo perduró por más de mil años. Ya desarrollaremos esto.

Es interesante señalar, que en el mundo griego no fueron las necesidades de la medida de superficies o longitudes, la topografía, lo que determinó el desarrollo de la trigonometría. Para esos propósitos simplemente se usó la geometría. El origen de la trigonometría se encuentra en el reclamo de la astronomía, cuyas implicaciones en la navegación y la geografía y en el cálculo del tiempo sí son relevantes.

El periodo alejandrino termina en lo que se refiere a la geometría con el trabajo de algunos comentaristas: Teón de Alejandría, quien comentó la obra de Ptolomeo así como los Elementos de Euclides y su Óptica, y, su hija, Hipatia quien comentó los trabajos de Diofanto y Apolonio.

También debe mencionarse Proclus, quien comentó el Libro I de los Elementos de Euclides.

HIPATIA




5.5 Álgebra y aritmética.-

Es importante mencionar que en el mundo griego se hacía una distinción entre el cálculo numérico, al que se le daba el nombrenúmeros, para la cual se usaba el término arithmeticaligada a la práctica del comercio o la agrimensura, es decir a actividades lejanas de aquellas que el espíritu debía cultivarrecuento, evidentemente, de muchos resultados obtenidos en el cálculo numérico o en la medición con propósitos prácticos. No desarrollaron los matemáticos del periodo alejandrino.

Tal vez sea importante mencionar que la escritura de números en el periodo clásico no fue la misma de los alejandrinos; de heel sistema jónico o alejandrino, el cual utiliza las letras del alfabeto.

Como resultaba muy engorrosa la escritura de las fracciones comunes en los sistemas griego o egipcio para los cálculos astronastrónomos alejandrinos prefirieron el sistema babilónico con fracciones sexagesimale

"El Almagesto consagró el uso de las fracciones sexagesimales, pero retardó la extensión natural de los números decimales a las fracciones otras palabras, impidió que los submúltiplos decimales se usapor vez primera en 1585, y muy bien, la superioridad de las fracciones decimales, a cuyo uso exclusivo no se ha llegado aún eGeorge: Ciencia antigua y civilización moderna, pp. 82

Los alejandrinos, como Arquímedes, Herón, Diofantoreconocían una razón de números enteros.

El desarrollo de la aritmética y el álgebra como disciplinas independientes de la geometría fue escalonado en Grexiste una identificación entre aritmética y geometría, hasta cierto punto. La aritmética, como teoría de los números enterosfundamento último de la realidad. Al descubrirse los irraciodescartando la aritmética y dándole un valor extraordinario a la geometría sintética, es decir la geometría no cuantitativa. definitiva por los matemáticos griegos clásicos: sólo la geometría podía tener fundamento lógico, verdadero, y la aritmética "peligroso'', sujeto al error, con la presencia de entidades que no podían ser representadas ni c

En la etapa alejandrina, si bien hay una actitud diferente hacia la naturaleza de las matemáticas, que involucra la mecánica uniforme tampoco: Arquímedes, Apolonio y Ptolomeolongitudes de figuras geométricas); sin embargo, Herón, Nicomaco y y el álgebra. Por ejemplo, Herón formuló y resolvió problemas algebraicos por medio de procedimientos exclusivamente aritméticos, retomando tradiciones que refieren a los egipcios y babilonios.

De la misma manera, Nicomaco en una obra titulada tratada totalmente de manera independiente a la geometría: los números ya no eran segmentos de recta Nicomaco trató de reanimar la tradición pitagórica; de hecho, afirmó que la aritmética era la madre de la geometría, la música, y la astronomía. Los historiadores de las matemáticas consideran que Nicomaco hizo por la aritmética lo mismo que Euclides hizo por la geometría, contenidos no eran originales (más bien realizó un compendio de temas tratados esencialmente por los pitagóricos y otros auto

Diofanto

En relación con el álgebra alejandrina, la figura clave es

"Diofanto fue el primer matemático griego, si realmente fue griego, que mostró un talento genuino para el álgebra. Siguiendo a los pitagóricos, Euclides

dado equivalentes geométricos para las identidades sencillas de segundo grado, como

aaaxx ,22 =+ positiva, geométricamente. Diofanto

incógnitas, como .40,100 =−=+ yxyx Más importante aún, había empezado a usar los símbolos operando con ellos. Este largo paso hacia delante es

tanto más notable cuanto que su anotación algebraica, comparada con la de hoy o la

tan engorrosa como la logística griega. El que hiciera lo que hizo con la técnica disponible lo sitúa sin ningún género de du

[Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, p. 78.].

Su obra principal fue una Arithmetica (se supone que eran 13 libros, de los cuales sobrevivieron 6 para la histoel simbolismo. Diofanto usó un signo para una variable desconociDebe recordarse que los matemáticos clásicos no admitieron más de tres factores, porque no podían tener significado geométricesta obra de Diofanto, vale la pena señalar que el primer libro trataba problemas que conducen a ecuaciones de primer grado con una o más incóotros cinco libros, los que sobrevivieron, estudian ecuaciones de segundo grado.

El asunto más relevante del álgebra de Diofanto es precisamente la solución de ecuaciones indeterminadas. Debe mencionarse, sin embargo, que en la solución de las ecuaciones él sólo aceptó raíces racionales positivas. Esto es interesante, mientras que para Herón no había problemasrecordarse su énfasis en el cálculo y la medición, y mientras que el mismo Diofanto, con una aproximación algebraica, rechaza irracionales, negaelemento diferente en relación con las matemáticas clásicas. Ahora bien, en cada uno de los 189 problemas tratados en su diferente: no hay intento de encontrar un método general de solución. Sin duda, se encuentra en embargo, su simbolismo y la solución de ecuaciones indeterminadas superan de lejos aquellos resultados.

Es interesante señalar que el álgebra griega no usó letras para representar números, como los coeficientes en una ecuación.

Debe decirse que ni siquiera en los mejores momentos de la creación del álgebra en la civilización griega se buscó ofrecer unpermitiera construir y fundamentar la teoría de los números y el álgebra. La fortaleza deductiva y teórica que encontramos enEuclides, Apolonio y también Arquímedes, no está presente ni en la aritmética ni en el álgebra griega.


Es importante mencionar que en el mundo griego se hacía una distinción entre el cálculo numérico, al que se le daba el nombrearithmetica. Las matemáticas clásicas no se dedicaron a la logistica puesto que en la ideología dominante ésta estaba

ligada a la práctica del comercio o la agrimensura, es decir a actividades lejanas de aquellas que el espíritu debía cultivarrecuento, evidentemente, de muchos resultados obtenidos en el cálculo numérico o en la medición con propósitos prácticos. No

los matemáticos del periodo alejandrino.

Tal vez sea importante mencionar que la escritura de números en el periodo clásico no fue la misma de los alejandrinos; de hetras del alfabeto.

Como resultaba muy engorrosa la escritura de las fracciones comunes en los sistemas griego o egipcio para los cálculos astronastrónomos alejandrinos prefirieron el sistema babilónico con fracciones sexagesimales. De hecho, esto tuvo consecuencias:

consagró el uso de las fracciones sexagesimales, pero retardó la extensión natural de los números decimales a las fracciones otras palabras, impidió que los submúltiplos decimales se usaran de la misma manera que los múltiplos decimales. Fue el flamenco por vez primera en 1585, y muy bien, la superioridad de las fracciones decimales, a cuyo uso exclusivo no se ha llegado aún e

, pp. 82-83].

Diofanto, usaron las fracciones como números propiamente, mientras que los matemáticos clásicos sólo

El desarrollo de la aritmética y el álgebra como disciplinas independientes de la geometría fue escalonado en Grecia. Podría decirse que con los pitagóricos existe una identificación entre aritmética y geometría, hasta cierto punto. La aritmética, como teoría de los números enterosfundamento último de la realidad. Al descubrirse los irracionales, las perspectivas de la aritmética y la geometría chocan, se abre una crisis, la cual se resolvió descartando la aritmética y dándole un valor extraordinario a la geometría sintética, es decir la geometría no cuantitativa. definitiva por los matemáticos griegos clásicos: sólo la geometría podía tener fundamento lógico, verdadero, y la aritmética "peligroso'', sujeto al error, con la presencia de entidades que no podían ser representadas ni comprendidas en su marco teórico.

En la etapa alejandrina, si bien hay una actitud diferente hacia la naturaleza de las matemáticas, que involucra la mecánica Ptolomeo utilizaron la aritmética solamente para calcular cantidades geométricas (superficies, volúmenes,

longitudes de figuras geométricas); sin embargo, Herón, Nicomaco y Diofanto sí concedieron un lugar independiente, separado de la geometría, a la aritmética lvió problemas algebraicos por medio de procedimientos exclusivamente aritméticos, retomando tradiciones

De la misma manera, Nicomaco en una obra titulada Introductio Arithmetica, aunque usó sólo números enteros y razones de números enteros, su aritmética era tratada totalmente de manera independiente a la geometría: los números ya no eran segmentos de recta -como en Euclides

la tradición pitagórica; de hecho, afirmó que la aritmética era la madre de la geometría, la música, y la astronomía. Los historiadores de las matemáticas consideran que Nicomaco hizo por la aritmética lo mismo que Euclides hizo por la geometría, contenidos no eran originales (más bien realizó un compendio de temas tratados esencialmente por los pitagóricos y otros auto

En relación con el álgebra alejandrina, la figura clave es Diofanto. Según Bell:

emático griego, si realmente fue griego, que mostró un talento genuino para el álgebra. Siguiendo a los pitagóricos, Euclides

dado equivalentes geométricos para las identidades sencillas de segundo grado, como aababaa (,)( 2 ++=+Diofanto dio soluciones esencialmente algebraicas de las ecuaciones especiales de pr

Más importante aún, había empezado a usar los símbolos operando con ellos. Este largo paso hacia delante es

tanto más notable cuanto que su anotación algebraica, comparada con la de hoy o la del siglo XVII, cuando Descartes la perfeccionó prácticamente, era casi

tan engorrosa como la logística griega. El que hiciera lo que hizo con la técnica disponible lo sitúa sin ningún género de du

(se supone que eran 13 libros, de los cuales sobrevivieron 6 para la historia), donde se consigna su principal contribución: el simbolismo. Diofanto usó un signo para una variable desconocida, para expresar potencias, incluso superiores a 3. Esto último es un hecho sorprendente. Debe recordarse que los matemáticos clásicos no admitieron más de tres factores, porque no podían tener significado geométric

, vale la pena señalar que el primer libro trataba problemas que conducen a ecuaciones de primer grado con una o más incóotros cinco libros, los que sobrevivieron, estudian ecuaciones de segundo grado.

es precisamente la solución de ecuaciones indeterminadas. Debe mencionarse, sin embargo, que en la solución de las ecuaciones él sólo aceptó raíces racionales positivas. Esto es interesante, mientras que para Herón no había problemasrecordarse su énfasis en el cálculo y la medición, y mientras que el mismo Arquímedes se preocupaba por dar aproximaciones a los números irracionales,

, con una aproximación algebraica, rechaza irracionales, negativos y números complejos. No obstante, reconoce a las fracciones como números, un elemento diferente en relación con las matemáticas clásicas. Ahora bien, en cada uno de los 189 problemas tratados en su diferente: no hay intento de encontrar un método general de solución. Sin duda, se encuentra en Diofanto la influencia de los resultados babilonios; sin embargo, su simbolismo y la solución de ecuaciones indeterminadas superan de lejos aquellos resultados.

l álgebra griega no usó letras para representar números, como los coeficientes en una ecuación.

Debe decirse que ni siquiera en los mejores momentos de la creación del álgebra en la civilización griega se buscó ofrecer unpermitiera construir y fundamentar la teoría de los números y el álgebra. La fortaleza deductiva y teórica que encontramos en

, no está presente ni en la aritmética ni en el álgebra griega.


Es importante mencionar que en el mundo griego se hacía una distinción entre el cálculo numérico, al que se le daba el nombre de logistica, y la teoría de puesto que en la ideología dominante ésta estaba

ligada a la práctica del comercio o la agrimensura, es decir a actividades lejanas de aquellas que el espíritu debía cultivar. Entre Thales y Euclides no hay recuento, evidentemente, de muchos resultados obtenidos en el cálculo numérico o en la medición con propósitos prácticos. No sería ésta la actitud que

Tal vez sea importante mencionar que la escritura de números en el periodo clásico no fue la misma de los alejandrinos; de hecho, se suele llamar este último

Como resultaba muy engorrosa la escritura de las fracciones comunes en los sistemas griego o egipcio para los cálculos astronómicos, los matemáticos y s. De hecho, esto tuvo consecuencias:

consagró el uso de las fracciones sexagesimales, pero retardó la extensión natural de los números decimales a las fracciones decimales; o, en ran de la misma manera que los múltiplos decimales. Fue el flamenco Simón Stevin quien explicó

por vez primera en 1585, y muy bien, la superioridad de las fracciones decimales, a cuyo uso exclusivo no se ha llegado aún en nuestros días”. [Sarton,

, usaron las fracciones como números propiamente, mientras que los matemáticos clásicos sólo

ecia. Podría decirse que con los pitagóricos existe una identificación entre aritmética y geometría, hasta cierto punto. La aritmética, como teoría de los números enteros, era importante en tanto

nales, las perspectivas de la aritmética y la geometría chocan, se abre una crisis, la cual se resolvió descartando la aritmética y dándole un valor extraordinario a la geometría sintética, es decir la geometría no cuantitativa. Esto fue establecido de manera definitiva por los matemáticos griegos clásicos: sólo la geometría podía tener fundamento lógico, verdadero, y la aritmética era un territorio considerado

omprendidas en su marco teórico.

En la etapa alejandrina, si bien hay una actitud diferente hacia la naturaleza de las matemáticas, que involucra la mecánica y el cálculo, el proceso no es utilizaron la aritmética solamente para calcular cantidades geométricas (superficies, volúmenes,

sí concedieron un lugar independiente, separado de la geometría, a la aritmética lvió problemas algebraicos por medio de procedimientos exclusivamente aritméticos, retomando tradiciones

, aunque usó sólo números enteros y razones de números enteros, su aritmética era como en Euclides- sino cantidades de objetos.

la tradición pitagórica; de hecho, afirmó que la aritmética era la madre de la geometría, la música, y la astronomía. Los historiadores de las matemáticas consideran que Nicomaco hizo por la aritmética lo mismo que Euclides hizo por la geometría, aunque debe decirse que sus contenidos no eran originales (más bien realizó un compendio de temas tratados esencialmente por los pitagóricos y otros autores).

emático griego, si realmente fue griego, que mostró un talento genuino para el álgebra. Siguiendo a los pitagóricos, Euclides había

abbab 2) 222 ++=+ , y había resuelto

dio soluciones esencialmente algebraicas de las ecuaciones especiales de primer grado con dos y tres

Más importante aún, había empezado a usar los símbolos operando con ellos. Este largo paso hacia delante es

del siglo XVII, cuando Descartes la perfeccionó prácticamente, era casi

tan engorrosa como la logística griega. El que hiciera lo que hizo con la técnica disponible lo sitúa sin ningún género de duda entre los grandes algebristas”.

), donde se consigna su principal contribución: da, para expresar potencias, incluso superiores a 3. Esto último es un hecho sorprendente.

Debe recordarse que los matemáticos clásicos no admitieron más de tres factores, porque no podían tener significado geométrico. Para que se tenga una idea de , vale la pena señalar que el primer libro trataba problemas que conducen a ecuaciones de primer grado con una o más incógnitas. Los

es precisamente la solución de ecuaciones indeterminadas. Debe mencionarse, sin embargo, que en la solución de las ecuaciones él sólo aceptó raíces racionales positivas. Esto es interesante, mientras que para Herón no había problemas con el uso de irracionales, debe

se preocupaba por dar aproximaciones a los números irracionales, tivos y números complejos. No obstante, reconoce a las fracciones como números, un

elemento diferente en relación con las matemáticas clásicas. Ahora bien, en cada uno de los 189 problemas tratados en su Arithmetica, Diofanto usa un método la influencia de los resultados babilonios; sin

l álgebra griega no usó letras para representar números, como los coeficientes en una ecuación.

Debe decirse que ni siquiera en los mejores momentos de la creación del álgebra en la civilización griega se buscó ofrecer una estructura lógica, deductiva, que permitiera construir y fundamentar la teoría de los números y el álgebra. La fortaleza deductiva y teórica que encontramos en la geometría, en los trabajos de




Probablemente, lo que es opinión de varios autores, esto fue el resultado de dos factores: expresión, por un lado, de las tradiciones babilonias y egipcias (énfasis en procedimientos específicos), así como, por otro lado, sin duda, por el lugar que ocupó la geometría sintética y no cuantitativa en la matemáticas griegas. En todo caso, la realidad es que la fundamentación de la teoría de los números y del álgebra sería un problema capital de las matemáticas que no se resolvería sino hasta hace relativamente muy poco tiempo.

Pappus

Otro de los matemáticos de esta época que debe mencionarse es Pappus, quien un siglo después de Ptolomeo haría una recopilación de las matemáticas antiguas que es considerada por los historiadores de la ciencia como muy relevante: Colección Matemática (Synagoge). Sarton reseña este trabajo así:

"El conjunto de la Colección es un tesoro y, hasta cierto punto, la culminación de las matemáticas griegas. Poco se añadió a ella en la época bizantina, y el mundo occidental, habiendo perdido el conocimiento del griego, y el interés por las matemáticas superiores, no pudo aprovechar la riqueza que Pappus había acumulado. Las ideas recogidas o inventadas por él no sirvieron de estímulo a los matemáticos occidentales hasta mucho más tarde, pero cuando al fin lo hicieron, dieron origen a las matemáticas modernas: geometría analítica, geometría proyectiva, método centrobárico. Este nacimiento o renacimiento, surgido de las cenizas de Pappus, se llevó a cabo en un lapso de cuatro años (1637-40). De este modo, la geometría moderna quedó inmediatamente conectada con la antigua, como si nada hubiera acontecido entre tanto”. [Sarton, George: Ciencia antigua y civilización moderna, pp. 98-99].

Y su opinión es radical: "Pappus fue el más importante de los matemáticos del último periodo de la ciencia antigua y nadie lo emuló en la época bizantina. Fue el postrer gigante matemático de la Antigüedad”. [Sarton, George: Ciencia antigua y civilización moderna, p. 99].

Sobre su vida: Pappus nació alrededor del año 290 en Alejandría, Egipto. Fue el último gran geómetra griego que al parecer vivió siempre en Alejandría. Dedicó muchos de sus trabajos a Pandrosion, Megethion y Hermodorus, éste último al parecer fue su hijo.

En los escritos de Proclus se menciona a Pappus como el que encabezaba la Escuela de Alejandría. Su trabajo más importante fue un estudio de geometría que se publicó en una colección de ocho libros alrededor del año 340. Todo este conjunto de libros no mostró originalidad, pero en cambio, significó una honda comprensión y dominación de casi todos los temas y técnicas matemáticas; además es un trabajo de gran importancia para el estudio de la geometría griega. Aparte de este libro, son muchos los comentarios que hizo acerca de otros autores, uno de ellos es de Euclides y sus Elementos. Entre sus trabajos reconocidos existe uno de música y otro de hidrostáticos. Murió alrededor del año 350.

5.6 Otras ciencias.-

Otras disciplinas recibieron un impulso en el mundo griego también como parte de esa búsqueda de explicar la realidad circundante. Por ejemplo, en relación con la geografía: algunos mapas de la tierra conocida fueron construidos por Anaximandro y Hecateo de Mileto (siglo IV a.C.). Sin embargo, fue durante la época alejandrina, sobre todo, expresión de la ampliación de las fronteras, que se realizaron los principales trabajos. Es famosa la obra de Eratóstenes (c. 284 - c. 192 a.C.), que recopiló los datos geográficos disponibles en la época y realizó cálculos de varias distancias en la tierra (en su Geografía). Como señalan Rioja y Ordóñez:

"Una de las primeras cuestiones que intrigó a los geómetras griegos fue la referente al tamaño de la esfera terrestre. Se atribuye a Eratóstenes de Cirene (ca. 276 - ca. 195 a. C.) un procedimiento que le permitió conocer dicho tamaño con una exactitud tal que ha llegado a considerarse como uno de los logros más espectaculares de las astronomía griega (Thower, 1996: 20). No fue, sin embargo, el primero en intentarlo, ya que generalmente se admite que tuvo sus predecesores en Eudoxo de Cnido (408 - 355 a. C.) y en Aristarco de Samos (ca. 310 - ca. 230 a. C.)”. [Rioja, Ana, Ordóñez, Javier: Teorías del Universo, Volumen II de Galileo a Newton, p. 69].

Lo interesante es el método:

"El método empleado por Eratóstenes para medir la longitud de la circunferencia mayor terrestre es de una gran sencillez geométrica. Observó que durante el mediodía solar del solsticio de verano el gnomon de un reloj de sol no arrojaba ninguna sombra en la ciudad de Syene (la contemporánea Asuán), mientras que sí la daba en Alejandría, ciudad situada al norte de la primera. Si se suponía que ambas ciudades fueran paralelas, se podría medir el radio de nuestro planeta. Para ello era necesario conocer la distancia entre ambas ciudades y el ángulo que formaban los rayos solares con respecto al gnomon”. [Rioja, Ana, Ordóñez, Javier: Teorías del Universo, Volumen II de Galileo a Newton, p. 69.].

Se dice que Hiparco fue quien introdujo los términos de latitud y longitud para la localización de puntos sobre la tierra, así como se supone que fue el inventor de la proyección ortográfica. También Ptolomeo, en su Geographia de ocho libros, prestó atención a los métodos para la confección de mapas.

PTOLOMEO

Esta obra fue más importante de lo que se suele reconocer:

"El tratado geográfico de Tolomeo, o guía (geographice hyphegesis), es casi tan importante como el Almagesto. Abarcó toda la geografía matemática, del mismo modo que el Almagesto comprendió toda la astronomía matemática, e influyó en la geografía de una manera tan profunda y duradera como el Almagesto en la astronomía. Durante catorce siglos, por lo menos, el Almagesto fue la obra básica, podríamos decir la Biblia, de la astronomía, así como la Geografía fue la Biblia geográfica. El nombre de Tolomeo equivalió al de geografía para los geógrafos y al de astronomía para los astrónomos.

Tolomeo escribió la Geografía después del Almagesto, es decir, después del año 150. Constaba de ocho libros y se limitaba a la geografía matemática y a la información necesaria para el trazado de mapas con precisión. Sus conocimientos procedían principalmente de Eratóstenes, Hiparco, Estrabón (I-2 a.C.), y sobre todo, de Marino de Tiro (II-1), a quien elogió mucho, a pesar de haberle criticado”. [Sarton, George: Ciencia antigua y civilización moderna, pp. 62-63].

La mecánica recibió atención en el mundo griego, por lo menos desde la Física de Aristóteles, donde establece una teoría del movimiento: natural o violento. Sin embargo, la mejor expresión de la física y la mecánica en el mundo griego es, sin duda, Arquímedes. La obra significativa: Sobre el equilibrio los planos o Los centros de gravedad de los planos. Es interesante que él iniciaba sus trabajos con postulados acerca de las palancas y los centros de gravedad.

Como ya lo hemos mencionado, la hidrostática fue fundada por Arquímedes.

Aunque, desde los pitagóricos se dieron reflexiones sobre la naturaleza de la luz, el color, la óptica es tratada primeramente de una manera sistemática por Euclides, en Óptica y Catóptrica. Esta última describe el comportamiento de los rayos de luz reflejados en espejos planos, cóncavos, convexos y sus efectos en la visión de las cosas. Sobre la reflexión de la luz se sabe que hubo trabajos de Arquímedes, Apolonio y Diocles. Y sobre la refracción de la luz, incluso el mismo Ptolomeo trató de encontrar algunas de sus leyes.




Los resultados que hemos mencionado nos permiten obtener unas pinceladas de las matemáticas helenísticas, vislumbrar su espíritu intelectual y la naturaleza de sus aportes. Nos queda, sin embargo, un tema central, que condensó los intereses teóricos de la Antigüedad, y, también, llegó a ser central en la configuración de la ideología de la última parte de la Edad Media europea. Se trata de la cosmología.

5.7 Biografías.-

PAPPUS DE ALEJANDRÍA

Pappus (Papo) de Alejandría nació alrededor del año 290 en Alejandría, Egipto. Fue el último gran geómetra griego que al parecer vivió siempre en Alejandría. Dedicó muchos de sus trabajos a Pandrosion, Megethion y Hermodorus, éste último al parecer fue su hijo. En los escritos de Proclus se menciona a Pappus como el que encabezaba la Escuela de Alejandría.

Su trabajo más importante fue un estudio de geometría que se publicó en una colección de ocho libros alrededor del año 340. Todo este conjunto de libros no mostró originalidad, pero en cambio, significó una honda comprensión y dominación de casi todos los temas y técnicas matemáticas, además es un trabajo de gran importancia para el estudio de la geometría griega. Aparte de este libro, son muchos los comentarios que hizo acerca de otros autores, uno de ellos es de Euclides y sus Elementos. En otros de sus trabajos reconocidos existe uno de música y otro de hidrostáticos. Murió alrededor del año 350.

NICOMEDES

Nicomedes nació alrededor del año 280 a. C. en Grecia. No se conoce mucho de su vida, se sabe de él a través de sus trabajos.

Su estudio más importante fue el tratado Líneas Concoide, el cual contiene el descubrimiento de la curva conocida como el concoide de Nicomedes. Reconoció, además, tres distintas formas que al parecer, son las tres ramas de la curva. El concoide fue usado por Nicomedes para resolver problemas acerca de la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo. También, utilizó la cuadrática descubierta por Hippias, para resolver el problema de la cuadratura del círculo.

Murió alrededor de año 210 a. C.

DIOPHANTO DE ALEJANDRÍA

Diophantus (Diofanto) de Alejandría nació alrededor del año 200. Es reconocido como el “padre del álgebra”, pero aún así su vida se desconoce casi en totalidad. Basó su definición de número poligonal del trabajo de Hypsicles, escrito un poco más tarde del año 150 a. C.; y su trabajo fue comentado por Theon de Alejandría alrededor del año 350 d. C.

Otros datos que se tienen de su vida, son los dados en la Antología Griega, compilada por Metrodorus alrededor del año 500 d. C.; se cree que se casó a los veintiséis años y tuvo un hijo que murió a la edad de cuarenta y dos años, cuatro años antes, murió él a la edad de ochenta y cuatro años.

En 1570, Bombelli tradujo la mayoría de los trabajos de Diophanto, aunque estos nunca fueron publicados. La más famosa traducción de la Aritmética de Diophanto, fue la hecha por Bachet en 1 621. Murió alrededor del año 284.

Arquímedes nació alrededor del año 287 a. C. en Siracusa, Sicilia. Su padre fue un astrónomo llamado Phidias. De joven inició sus estudios en Alejandría con los sucesores de Euclides. Ahí fue fuertemente influenciado por su amigo cercano Conon de Samos.

Cuando inventaba nuevos teoremas, enviaba sus teoremas a sus colegas en Alejandría, pero nunca incluía las pruebas de cómo lo había elaborado; con esto algunos tomaron crédito de sus invenciones. Cuando Arquímedes se dio cuenta de esta situación, la siguiente vez que envió sus teoremas incluyó dos que eran falsos, y demostró con esto que los que decían que descubrían estos teoremas pero sin poder demostrarlos, no eran más que personas en busca de descubrir lo imposible.

Plutarco menciona en uno de sus trabajos que Arquímedes fue amigo del Rey Hieron II de Siracusa, y se cree cierto ya que dedicó uno de sus libros al hijo del rey. Obtuvo una alta reputación al ser el creador de las máquinas que se utilizaron para la guerra en contra del ataque de los romanos a petición del rey. Es considerado como uno de los grandes matemáticos de la historia y se le conoció por su increíble fascinación hacia la geometría. Fue asesinado en el año 212 a. C. durante la captura de Siracusa por los romanos.

ARQUÍMEDES

TEÓN DE ALEJANDRÍA

Theon (Teón) de Alejandría nació alrededor del año 335, posiblemente en Alejandría, Egipto. Trabajó ahí como profesor de matemáticas y astronomía y observó un eclipse de sol el 16 de junio y un eclipse lunar el 25 de noviembre, ambos del año 364.

Aparentemente, vivió bajo el poderío del Emperador Theodosius I y fue miembro del Museo, el instituto de educación más alta en Alejandría. Fue padre de Hypatia, que fue asesinada poco tiempo después de la muerte de su padre.

Es famoso debido a sus comentarios en importantes trabajos como el Almagest de Ptolomeo y los trabajos de Euclides. Fue un matemático competente pero poco original. Existe una versión de los Elementos de Euclides escrito por Theon, aparentemente, con solo algunos cambios en los que corrigió supuestos errores, que en realidad eran correctos. Ayudó a que el entendimiento de la obra fuera más sencillo, por lo que iba dirigido especialmente para los estudiantes principiantes.

Entre los comentarios importantes están los de las obras astronómicas de Ptolomeo, Almagesto y Tablas Hábiles. Su hija participó en el comentario del Almagesto, y es, precisamente, este comentario el que es considerado como el mayor trabajo de Theon.

Murió alrededor del año 405.




5.8 Síntesis, análisis, investigación 1. Investigue. Haga una reseña biográfica de Alejandro el Grande. Resumidamente, explique la construcción del imperio de Alejandro, empezando con las conquistas

realizadas por su padre. ¿Qué fueron las llamadas "filípicas''. 2. ¿Quién fue el 'Copérnico de la Antigüedad'? ¿Por qué? 3. Explique las diferencias de percepción o actitud en relación con las actividades prácticas materiales que existieron en el periodo alejandrino y el clásico en la

Antigüedad griega. 4. Explique la idea fundamental del método de exhausción. 5. Construya dos ejemplos similares a los que introducimos en este capítulo para mostrar los principios que usaba Arquímedes en su método. 6. Utilice el método de exhausción de la manera que se hace en el ejemplo del texto, para aproximar el área de un círculo por medio de un polígono de 16 lados. 7. ¿Por qué considera usted que es importante el trabajo de Arquímedes llamado El método? 8. ¿Cuáles fueron los fines que dieron origen a la trigonometría en el mundo alejandrino? 9. Investigue sobre la vida de Hipatia. Escriba un resumen de su biografía. 10. Explique las diferencias entre logistica y arithmetica. 11. ¿Cuál fue el asunto más relevante que trató Diofanto? 12. Explique las diferencias de lugares intelectuales entre la geometría y el álgebra o aritmética en el mundo griego. 13. Explique las principales debilidades de las matemáticas griegas. 14. Lea el siguiente texto:

"Cuando los griegos se apoderaron de Mesopotamia, conocieron con detalle las matemáticas y la astronomía babilonias. En este momento, los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal, si bien al utilizar letras para representar números, perdieron el descubrimiento babilónico del valor de la posición. Se hicieron también con el álgebra mesopotámica En la solución de ecuaciones cuadráticas los griegos usaban claramente métodos babilonios, multiplicando la ecuación por el coeficiente del cuadrado en lugar de dividir, como hacemos nosotros. En esta época pasó también a Grecia una nueva oleada de astrología, hallando expresión en la filosofía estoica con el Hado impuesto al hombre por las estrellas. Este fue uno de los factores por los que la filosofía estoica resultaba tan próxima a los romanos, dado que éstos ya se hallaban familiarizados con la astrología babilonia y la adivinación por los hígados gracias a los etruscos, originarios de Asia Menor. También de los babilonios provino el conocimiento del orden correcto de los cuerpos celestes a partir de la tierra. Los primeros griegos creían que el sol estaba inmediatamente después de la luna, contando a partir de la tierra, viniendo luego los planetas. Los griegos posteriores sabían que después de la luna venía Mercurio, luego Venus, el sol, Marte, Júpiter, Saturno y finalmente las estrellas fijas. Cicerón nos cuenta que el estoico Diógenes de Babilonia, ca. 160 a.C., fue el primero que enseñó este último orden que había traído de Mesopotamia. Era también probable que Hiparco, 190 - 120 a.C., utilizase observaciones babilonias para medir la precesión de los equinoccios que había sido ya descubierta anteriormente por el babilonio Ki-Din-Nu (Cidenas), c. 340 a.C”. [Mason, Stephen: Historia de las Ciencias 1. La Ciencia Antigua, la Ciencia en Oriente y en la Europa Medieval, Págs. 59-60]. Explique el influjo babilónico en el mundo griego, según el autor.

15. Estudie con cuidado el siguiente texto de Arquímedes. "1. Si de una magnitud se quita otra magnitud y el centro de gravedad tanto de la magnitud entera como de la magnitud quitada es el mismo punto, este mismo punto es el centro de gravedad de la magnitud restante. 2. Si de una magnitud se quita otra magnitud sin que el centro de gravedad de la magnitud entera y el de la magnitud quitada sea un mismo punto, el centro de gravedad de la magnitud restante se halla en la prolongación de la recta que une los centros de gravedad de la magnitud entera y de la magnitud quitada, situado a una distancia cuya razón con la recta comprendida entre los centros de gravedad es la que guarda el peso de la magnitud que se ha quitado con el peso de la magnitud restante (Sobre el equilibrio de los planos, I, 8). 3. Si los centros de gravedad de tantas magnitudes cuantas se quiera se hallan sobre una misma recta (segmento de recta, en este contexto), el centro de gravedad de la magnitud compuesta por todas estas magnitudes se hallará también sobre la misma recta (Íbid., I, 4 y 5; II, 2 y 5). 4. El centro de gravedad de cualquier recta es el punto que divide la recta en dos partes iguales (Íbid., I, 4). 5. El centro de gravedad de cualquier triángulo es el punto donde se cortan las rectas trazadas desde los ángulos del triángulo hasta los puntos medios de los lados (Ibid., I, 14). 6. El centro de gravedad de cualquier paralelogramo es el punto en el que convergen las diagonales (Íbid., I, 10). 7. El centro de gravedad del círculo es el propio centro del círculo. 8. El centro de gravedad de cualquier cilindro es el punto que divide el eje en dos partes iguales. 9. El centro de gravedad de cualquier prisma es el punto que divide el eje en dos partes iguales. 10. El centro de gravedad de cualquier cono está sobre el eje, en un punto que lo divide de tal manera que la parte situada hacia el vértice es el triple de la parte restante. Me serviré también de este teorema [establecido en el escrito anterior Sobre Conoides]: Si tantas magnitudes cuantas se quiera y otras magnitudes en igual número guardan entre sí, tomadas de dos en dos las ordenadas de modo semejante, una misma razón; si, además, todas o algunas de las magnitudes primeras tienen razones cualesquiera con otras magnitudes, y las segundas tienen las mismas razones con otras magnitudes tomadas en el mismo orden, el conjunto de las magnitudes primeras es al conjunto de las magnitudes puestas en relación con ellas lo que el conjunto de las magnitudes segundas es al conjunto de las relacionadas con ellas.'' [Arquímedes: El Método, pp. 37-39.] Enumere las distintas maneras en que Arquímedes utiliza los términos "centro de gravedad''. ¿Por qué usa Arquímedes la expresión centro de gravedad de tantas maneras y qué relación tendría eso con su método en las matemáticas?

16. Lea el siguiente texto con cuidado. "En la antigua cosmología atomista se parte de un caos primitivo, en el que los átomos se encontraban diseminados sin orden ni criterio alguno. Lejos de cualquier tipo de plan o proyecto demiúrgico, el puro y frenético baile de esas partes elementales es causa de que, al ponerse en contacto en los choques, se entrelacen y formen compuestos en número ilimitado. Así se forman los mundos. Los átomos semejantes en tamaño y forma se reúnen entre sí. Los más sutiles se deslizan hacia el exterior del torbellino en el que se hallan retenidos formando una membrana envolvente; por su parte los más groseros se precipitan sobre la zona central dando lugar a una primera construcción esférica, la Tierra. Dentro de esa membrana, algunos se unen a otros hasta originar una mezcla húmeda, a modo de lodo, que gradualmente se deseca primero, y se pone incandescente después consecuencia del continuo movimiento. El resultado es la constitución de la materia de los astros. Tenemos pues una Tierra central, una envoltura externa y astros dispuestos entre ésta y aquélla. Ha nacido un mundo. Pero no es el único. El infinito número de astros desplazándose en el vacío infinito produce infinitos mundos con su correspondiente cuerpo central y cuerpos periféricos en cada torbellino. Y lo mismo que esos mundos nacen por unión o agregación, otros mueren por desunión o desagregación.'' [Rioja, Ana y Ordóñez, Javier: Teorías del universo. Volumen I. De los pitagóricos a Galileo, p. 90] Explique con base en este texto la visión atomista de la realidad.

Continuará en el próximo número…


IIssiiddoorr IIssaaaacc RRaabbii Nació el 29 de julio de 1898 en Rymanów, Polonia; y murió el 11 de enero de

1988 en Nueva York, E. E. U. U.

Físico estadounidense de origen austríaco. Recibió el Premio Nobel de Física en 1944.

ISIDOR ISAAC RABI

(1898-1988)

Fuentes:

• Biografías y Vidas.

• Wikipedia.

• MSN Encarta.

Consulta: Diciembre 27, 2011.

Isidor Isaac Rabi. Cuando nació el 29 de julio de 1898 en Rymanów, hoy Polonia, esta población formaba parte del Imperio Austrohúngaro. Un año después sus padres se instalaron en Nueva York.

Cursó estudios en las universidades de Columbia, Múnich, Copenhague, Hamburgo, Leipzig y Zúrich. En 1927, junto a Stern, introdujo nuevos métodos de observación de los espectros basados en la resonancia magnética atómica y de haces moleculares. A partir de este momento se abrió el camino para determinar con exactitud las propiedades magnéticas de las moléculas o núcleos atómicos; se calculó el momento magnético del electrón y se pudo probar la potencia de la teoría de la electrodinámica cuántica, trabajos que posteriormente le llevarían a recibir el Premio Nobel de Física. En este mismo año se doctoró en la Universidad de Columbia con un trabajo sobre las propiedades magnéticas de los cristales. En 1929 fue nombrado ayudante de cátedra y, más tarde, a partir de 1937, profesor de Física de la Universidad de Columbia, así como director del departamento de física.

A comienzos de la década de los 30, comienza a trabajar en el campo de la Física Nuclear en un proyecto de investigación de los efectos de los campos magnéticos externos sobre el núcleo de las partículas, desarrollando el método de resonancia magnética que permite el estudio de las propiedades magnéticas y la estructura interna de las moléculas, los átomos y los núcleos. A partir de estos estudios se desarrollaron aplicaciones como el láser, el máser, el reloj nuclear o la resonancia magnética utilizada en los diagnósticos médicos.

Desde 1940 a 1945 trabajó como Director Asociado del Laboratorio de Radiación en el Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT) en el desarrollo del radar. Finalizado este período regresó el Departamento de Física de a Universidad de Columbia.

Fue en 1944 cuando recibió el Premio Nobel de Física por el descubrimiento del método de resonancia gracias al que es posible verificar el

registro de las propiedades magnéticas de los átomos.

Mejoró el método de Otto Stern aumentando la exactitud de las mediciones en un factor 100, y descubrió que los momentos magnéticos de los átomos se deben a los giros en las órbitas y/o rotaciones propias (espín) de los electrones que rodean a los núcleos atómicos. Posteriormente investigó en el terreno del radar, aunque cada vez se vio más introducido en tareas administrativas y políticas.

Fue miembro de la Comisión para la Energía Atómica desde 1946 hasta 1956. Fue presidente del Comité Consultivo General adscrito a la delegación de la UNESCO que fundó el Laboratorio Brookhaven de la organización conocida como CERN, laboratorio de Ginebra dedicado al estudio de la física de altas energías.

Escribió el libro Mi tiempo y mi vida como físico en 1960.

Murió el 11 de enero de 1988 en Nueva York.

Imágenes obtenidas de:


Reflexiones de Postgrado

Dentro de las asignaturas conducentes de la Maestría en Educación Matemática, ofertada por la Direcciónde Estudios para Graduados de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo, está incluida “Epistemología de la Matemática”;f ilosóficos y epistemológicos en el docente de matemátmatemática dimensionada ciencia en sí como sobre el conocimiento propio de su ejercicio profesional

Fundamentado en este principio, una de las estrategias de trabajo (enero-abril) es la lectura y discusión crítica de la obra de algunos autores sobre epistemología en general, epistemología de la matemática y de la educación matemática.

Una de las discusiones realizadas durante este periodo Fermín, “La articulación Método, Metodología y Epistemología” Estudios Epistemológicos). La misma tuvo como producto la elaboración de ensayos pensatoripor los participantes, en su mayoría de gran calidad. Esto motivó a solicitarles permitieran publicar en nuestra Revista HOMOTECIA los considerados mejores, lo que resultó bastante difíc i l determinar por la calidad antes señalada y a la final dada una selección previa, se recurrió al azar para tal escogencia.

A part ir de la edición Nº 11-10 de la revista, comenzamos a publicar la selección mencionada, uno por sección, con características parecidas a artículos de opinión. último de esta serie.

Siguiendo las pautas que siempre hemos establecido, queremos traer a colación lo citado en nuestro índice: si algún lector tiene objeciones sobre las ideas planteadas por los autores de los artículos que publicamos en la revista, agradecemos nos haga llegar a través de nuestra dirección electrónica, homotecia2002mail.com, sus comentarios.

LLAA AARRTTIICCUULLAA

LICDA. ESTELA AQUINO, C.I. Nº 22.406.261; LICDO. A nivel general, la Educación es un proceso dinámico, cambiante y continuo que conduce a la obtención de nuevos conocimientosdecir, un todo coherente en el que se encuentran articmétodo establece un conjunto de reglas a seguir en la investigación y una metodología es la secuencia de los procedimientos prealizarla, mientras que la epistemología es el enecesario plantear un conjunto de reglas y pasos? El principal objetivo de ambos es prever la dirección y acciones a ejecutarinvestigación.

Por otra parte, la articulación del método, metodología y epistemología expresa un discurso interesante y un vínculo entre el conocer,pensar, reflexionar. Nos preguntamos: ¿Por qué la articulación entre el conocer, pensar y reflexionar son relevantes para lacientífica? En este caso, Kant (1993) admite la posibilidad de llegar a un conocimiento al margen de la experiencia, pero estconocimiento sólo puede aplicarse en el ámbito de la experiencia, ¿Cómo conozco lo que conozco? Interrogante que nos cplantear el conocimiento en donde el conocer es el procesoanalicen la racionalidad y reflexionar es hacerle preguntas al pensamiento, es de importancia estimular buenos hácon la finalidad de crear una integración social y los valores para la conservación del medio ambiente.

No Obstante, se puede señalar que el mayor valor del trabajo de Ugas Fermín, consiste en ser una detallada y objetiva compilaproporciona bases sólidas para emprender nuevos enfoques para la elaboración de un proyecto de investigación. Entonces vale p¿Es fundamental la epistemología como disciplina?, ¿posibilita definir un objetivo para el estudio científicoy así establecer parámetros al inicio de una investigación? En uqué tipo de ciencia es la Matemática, y comprender que en esta, laobtener cierto producto, que para la epistemología no tiene límites, es así, que el proceso de investigación es complejo y enarticularse aspectos o dimensiones importantes como su método y sus condicrespectivamente, de la epistemología y la sociología.

Así mismo, según Rodríguez (2009) hace referencia sobre: “Es interesante mencionar que la metodología, como campo disciplinarcuerpo de conocimientos establecidos, se vincula con las siguientes cuestiones:¿con qué? de la investigación en el área de las ciencias. Elproblema. El quién, a las unidades de análisis, a los objetos a investigar. Elproblema y el objeto de estudio. El hacia qué de técnicas y procedimientos que permiten construir datos y procesar la información”. Es por ello, la metodología como discipcentrada en la producción de conocimiento ligado al proceso de la investigación, al estudiointerdependientes que se encuentran implicadas en la práctica científica.


Dentro de las asignaturas conducentes de la Maestría en Educación Matemática, ofertada por la Direcciónde Estudios para Graduados de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo,

“Epistemología de la Matemática”; esto con el propósito de fortalecer los fundamentos fi losóficos y epistemológicos en el docente de matemática durante sus estudios de cuarto nivel , tanto en la

sobre el conocimiento propio de su ejercicio profesional.

Fundamentado en este principio, una de las estrategias de trabajo durante el Periodo Lectivo 1-2012 abril) es la lectura y discusión crítica de la obra de algunos autores sobre epistemología en general,

epistemología de la matemática y de la educación matemática.

Una de las discusiones realizadas durante este periodo lectivo, fue sobre el texto del Dr. Gabriel Ugas La articulación Método, Metodología y Epistemología” (2011, Venezuela: Ediciones del Taller Permanente de

tuvo como producto la elaboración de ensayos pensatorios conclusivos por los part icipantes, en su mayoría de gran calidad. Esto motivó a solicitarles permitieran publicar en nuestra Revista HOMOTECIA los considerados mejores, lo que resultó bastante difíci l determinar por la

l dada una selección previa, se recurrió al azar para tal escogencia.

de la revista, comenzamos a publicar la selección mencionada, uno por sección, con característ icas parecidas a artículos de opinión. El que publicamos a continuación, es el

Siguiendo las pautas que siempre hemos establecido, queremos traer a colación lo citado en nuestro si algún lector tiene objeciones sobre las ideas planteadas por los autores de los artículos que

en la revista, agradecemos nos haga llegar a través de nuestra dirección electrónica,

ENSAYO

AACCIIÓÓNN MMÉÉTTOODDOO,, MMEETTOODDOOLLOOGGÍÍAA YY EEPPIISSTTEEMMOOLLPor:

; LICDO. PEDRO ORTEGA, C.I. Nº18.435.974 y LICDA. VALENTINA

A nivel general, la Educación es un proceso dinámico, cambiante y continuo que conduce a la obtención de nuevos conocimientosdecir, un todo coherente en el que se encuentran articulados diferentes niveles: Método, Metodología y Epistemología; en este sentido, el método establece un conjunto de reglas a seguir en la investigación y una metodología es la secuencia de los procedimientos p

s el estudio crítico del desarrollo de los métodos de las ciencias. necesario plantear un conjunto de reglas y pasos? El principal objetivo de ambos es prever la dirección y acciones a ejecutar

parte, la articulación del método, metodología y epistemología expresa un discurso interesante y un vínculo entre el conocer,pensar, reflexionar. Nos preguntamos: ¿Por qué la articulación entre el conocer, pensar y reflexionar son relevantes para lacientífica? En este caso, Kant (1993) admite la posibilidad de llegar a un conocimiento al margen de la experiencia, pero estconocimiento sólo puede aplicarse en el ámbito de la experiencia, ¿Cómo conozco lo que conozco? Interrogante que nos cplantear el conocimiento en donde el conocer es el proceso-producto, pensar se convierte en una posibilidad para enunciar teorías que analicen la racionalidad y reflexionar es hacerle preguntas al pensamiento, es de importancia estimular buenos hácon la finalidad de crear una integración social y los valores para la conservación del medio ambiente.

No Obstante, se puede señalar que el mayor valor del trabajo de Ugas Fermín, consiste en ser una detallada y objetiva compilaproporciona bases sólidas para emprender nuevos enfoques para la elaboración de un proyecto de investigación. Entonces vale p¿Es fundamental la epistemología como disciplina?, ¿posibilita definir un objetivo para el estudio científicoy así establecer parámetros al inicio de una investigación? En una epistemología de la Educación Matemática, se debe, además de conocer qué tipo de ciencia es la Matemática, y comprender que en esta, la investigación es una actividad muy dinámica, donde su único fin es obtener cierto producto, que para la epistemología no tiene límites, es así, que el proceso de investigación es complejo y enarticularse aspectos o dimensiones importantes como su método y sus condiciones de realización, que son objeto de estudio, respectivamente, de la epistemología y la sociología.

Así mismo, según Rodríguez (2009) hace referencia sobre: “Es interesante mencionar que la metodología, como campo disciplinarconocimientos establecidos, se vincula con las siguientes cuestiones: ¿qué?, ¿quién?, ¿por qué?, el ¿hacia qué?, el ¿cómo? y el de la investigación en el área de las ciencias. El qué concierne al problema de investigación, a la formulación de pre

a las unidades de análisis, a los objetos a investigar. El por qué, a la justificación, a la formulación de objetivos. El cómo a la estrategia metodológi

de técnicas y procedimientos que permiten construir datos y procesar la información”. Es por ello, la metodología como discipcentrada en la producción de conocimiento ligado al proceso de la investigación, al estudio interdependientes que se encuentran implicadas en la práctica científica.

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Dentro de las asignaturas conducentes de la Maestría en Educación Matemática, ofertada por la Dirección de Estudios para Graduados de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Carabobo,

con el propósito de fortalecer los fundamentos ica durante sus estudios de cuarto nivel, tanto en la

2012 abril) es la lectura y discusión crítica de la obra de algunos autores sobre epistemología en general,

Gabriel Ugas : Ediciones del Taller Permanente de

os conclusivos por los participantes, en su mayoría de gran calidad. Esto motivó a solicitarles permitieran publicar en nuestra Revista HOMOTECIA los considerados mejores, lo que resultó bastante dif íci l determinar por la

de la revista, comenzamos a publicar la selección mencionada, uno por continuación, es el

Siguiendo las pautas que siempre hemos establecido, queremos traer a colación lo citado en nuestro si algún lector tiene objeciones sobre las ideas planteadas por los autores de los artículos que

en la revista, agradecemos nos haga llegar a través de nuestra dirección electrónica,

LLOOGGÍÍAA

VALENTINA VELIZ, C.I. Nº 16.784.694

A nivel general, la Educación es un proceso dinámico, cambiante y continuo que conduce a la obtención de nuevos conocimientos, es ulados diferentes niveles: Método, Metodología y Epistemología; en este sentido, el

método establece un conjunto de reglas a seguir en la investigación y una metodología es la secuencia de los procedimientos para studio crítico del desarrollo de los métodos de las ciencias. Cabe interrogarse: ¿Por qué es

necesario plantear un conjunto de reglas y pasos? El principal objetivo de ambos es prever la dirección y acciones a ejecutar en una

parte, la articulación del método, metodología y epistemología expresa un discurso interesante y un vínculo entre el conocer, pensar, reflexionar. Nos preguntamos: ¿Por qué la articulación entre el conocer, pensar y reflexionar son relevantes para la investigación científica? En este caso, Kant (1993) admite la posibilidad de llegar a un conocimiento al margen de la experiencia, pero este conocimiento sólo puede aplicarse en el ámbito de la experiencia, ¿Cómo conozco lo que conozco? Interrogante que nos conduce a

producto, pensar se convierte en una posibilidad para enunciar teorías que analicen la racionalidad y reflexionar es hacerle preguntas al pensamiento, es de importancia estimular buenos hábitos en cada estudiante con la finalidad de crear una integración social y los valores para la conservación del medio ambiente.

No Obstante, se puede señalar que el mayor valor del trabajo de Ugas Fermín, consiste en ser una detallada y objetiva compilación que nos proporciona bases sólidas para emprender nuevos enfoques para la elaboración de un proyecto de investigación. Entonces vale preguntar: ¿Es fundamental la epistemología como disciplina?, ¿posibilita definir un objetivo para el estudio científico de la Educación Matemática,

na epistemología de la Educación Matemática, se debe, además de conocer ctividad muy dinámica, donde su único fin es

obtener cierto producto, que para la epistemología no tiene límites, es así, que el proceso de investigación es complejo y en él, pueden iones de realización, que son objeto de estudio,

Así mismo, según Rodríguez (2009) hace referencia sobre: “Es interesante mencionar que la metodología, como campo disciplinar y como qué?, ¿quién?, ¿por qué?, el ¿hacia qué?, el ¿cómo? y el

concierne al problema de investigación, a la formulación de preguntas , a la justificación, relevancia y pertinencia del

a la estrategia metodológica. El con qué al conjunto de técnicas y procedimientos que permiten construir datos y procesar la información”. Es por ello, la metodología como disciplina estaría

del conjunto de fases lógicamente




Por otra parte, Guadarrama (1997) señala: “muchos autores hacen mención sobre la epistemología y la metodología con el hecho de que ambas comparten un mismo objeto de estudio”. Por lo tanto, es necesario preguntar: ¿Cuál es el papel de un tutor y un autor en un trabajo de investigación? Esta interrogante es interesante mencionar porque básicamente un tutor es aquel que se hace responsable del autor en su trabajo de investigación, que lleve coherentemente las observaciones pertinentes de acuerdo al nivel de conocimiento y con ello la redacción de la misma al momento de ser revisada en cada asesoría personal o a distancia con el implemento de herramientas tecnológicas.

Entonces, el éxito de una investigación científica depende de múltiples factores que el autor de una investigación de la misma debe tomar en cuenta, como la adecuada selección del área problemática, la determinación del objeto de estudio, la correcta formulación del problema, los objetivos y las hipótesis, la determinación de los métodos más correctos de verificación, la fuente documental y bibliográfica, pero, ante todo, depende del adecuado liderazgo del guía científico del grupo, de las correctas técnicas de dirección de este grupo, los mecanismos correctos de orientación, control y evaluación de las tareas, en los que se conjuguen la motivación de los participantes en el proyecto en ejecución.

FUENTE BIBLIOGRÁFICA.-

• Ugas Fermín, Gabriel. (2011). “La articulación Método, Metodología y Epistemología”. Venezuela: Ediciones del Taller Permanente de Estudios Epistemológicos.

BIBLIOGRAFÍA DE APOYO.-

• Guadarrama, P. (1997).Problemas teóricos y metodológicos para el estudio de las ideas filosóficas. En Humanismo y autenticidad en el pensamiento latinoamericano. Universidad INCCA de Colombia. Bogotá..

• Kant, I. (1993). Obras Selectas. Madrid-México: Alfaguara.

• Rodríguez Zoya, L. (2009). El método como sistema complejo. Sociogénesis y epistemología del conocimiento metodológico. Investigación científica. Un encuentro entre visiones paradigmáticas, editado por Juan Miguel González Velasco. Bolivia: IIICAB.


Thomas Alva Edison (1847-1931) fue un

inventor estadounidense famoso por

construir la primera bombilla o foco

eléctrico, un sistema generador de

electricidad, un aparato para grabar

sonidos y un proyector de películas llamado

kinetoscopio, la primera máquina que

producía películas mediante una rápida

sucesión de imágenes individuales. También

contribuyó al desarrollo del teléfono con su

transmisor telefónico de carbono. Todos

sus inventos tuvieron profundos efectos en

el desarrollo de la sociedad moderna.

Mientras trabajaba como operador de

telégrafos, Edison realizó su primer invento

destacado, un sistema telegráfico

automático que aumentó enormemente la

utilidad de las líneas telegráficas

existentes. Con los beneficios obtenidos con

la venta de accesorios telegráficos, Edison

pudo montar su propio laboratorio en 1876.

El 21 de octubre de 1879, tras cientos de

intentos, y cuantiosas pérdidas económicas,

construyó la primera bombilla, que lució

durante 48 horas de forma ininterrumpida.

FUENTE:

Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993--2008 Microsoft

Corporation. Reservados todos los derechos.

Imágenes:

Schenectady Museum; Hall of Electrical History Foundation /Corbis

LA LÁMPARA DE EDISON


JJoosséé OOrrtteeggaa yy GGaasssseett

"Yo soy yo y mi circunstancia", dijo este filósofo español

nacido en Madrid en 1883. Pensaba que las personas

somos lo que somos porque los acontecimientos que nos

suceden a lo largo de la vida nos van marcando. Y buscaba

una nueva forma de inteligencia práctica, que sirviera

para orientarnos en las continuas decisiones y problemas.

También le preocuparon la política y el ascenso del

nazismo y del comunismo. Fue un personaje fundamental

de la vida cultural europea en la primera mitad del siglo

XX, y fundó la Revista de Occidente, que continúa viva

hoy.

FFrriieeddrriicchh NNiieettzzsscchhee

Este radical filósofo alemán nacido en

1844 sostenía que las personas hacemos las

cosas porque tenemos ansias de poder y

que, por esa razón, los humanos

evolucionarían hacia una super-raza que

todo lo pueda (el superhombre). Su

pensamiento tuvo una gran influencia en la

ideología nazi. Su frase más conocida es:

"Dios ha muerto".

FUENTE:

Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993--2008 Microsoft Corporation.

IMÁGENES: Ortega y Gasset: The Everett Collection, Inc.

Nietzsche: The New York Public Library


GRIGORI ALEKSÁNDROVICH MARGULIS

Nació el 24 de febrero de 1946 en Moscú, Rusia

CCaammppoo ddee IInnvveessttiiggaacciióónn:: Geometría diferencial, Teoría ergódica, Dinámica de sistemas, Subgrupos de Lie.

Ganó su primer premio importante como matemático cuando era todavía estudiante en la Universidad de Moscú. Obtiene la Medalla Fields en 1978, junto con Deligne, Fefferman y Quillen. Entre sus muchos éxitos podemos mencionar la demostración lograda en 1986 de la llamada Conjetura de Oppenheim, que hasta entonces solo había sido probada para algunos casos particulares. Ha recibido otros honores, como la Medalla del Colegio de Francia (1991), el premio Humboldt en 1995, y es, desde 1991, miembro de la Sociedad Americana de Artes y Ciencias. También desde 1991 trabaja en la Universidad de Yale (EE.UU.).

Fuentes:

• Wikipedia.

• Artículo de: J. J. O'Connor y E. F. Robertson sobre Grigori Margulis.

Consulta: 4 de diciembre de 2011.

Grigori Aleksándrovich Margulis (el nombre a menudo escrito Gregory o Grigory ) es un matemático conocido por su trabajo de gran alcance sobre retículos en los grupos de Lie, y la introducción de métodos de la teoría ergódica para aproximaciones diofantinas. Se le otorgó una Medalla Fields en 1978 y un Premio Wolf en matemática en 2005, convirtiéndose en el séptimo matemático en recibir ambos premios.

Nació en una familia judía en Moscú, URSS. Estudió en la Universidad Estatal de Moscú, comenzando una investigación sobre la teoría ergódica bajo la supervisión de Yákov Sinái. Los primeros trabajos con David Kazhdan produjeron el teorema de Kazhdan-Margulis, un resultado básico en los grupos discretos. Su teorema de la superigidez de 1975 aclaró un área completa de conjeturas clásicas sobre la caracterización de grupos aritméticos entre retículos en grupos de Lie.

Se le concedió la Medalla Fields en 1978, pero no se le permitió viajar a Helsinki para aceptarla en persona. Su posición mejoró, y en 1979 visitó Bonn, y más tarde pudo viajar libremente, aunque seguía trabajando en un instituto técnico en vez de un departamento de matemática. En 1991 obtuvo una posición de profesor en la Universidad de Yale.

En 1986, Margulis completó la demostración de la conjetura de Oppenheim con formas cuadráticas y aproximaciones diofantinas. Esta era una cuestión que había estado abierta durante medio siglo, donde se hizo un progreso considerable con el método del círculo de Hardy-Littlewood; pero para reducir el número de variables hasta el punto de obtener los mejores resultados posibles, los métodos más estructurales de la teoría de grupos resultaron ser decisivos.

Ha formulado otro programa de investigación en la misma dirección, que incluye la conjetura de Littlewood. Esto ha tenido una extensa influencia.

En 2005, Margulis recibió el Premio Wolf por sus contribuciones a la teoría de retículos, las aplicaciones a la teoría ergódica, la teoría de representación, la teoría de números, la combinatoria y la teoría de la medida.

Biografía detallada.-

Gregori Margulis fue educado en la Escuela Secundaria de Moscú, donde se graduó en 1962. En ese año comenzó sus estudios universitarios en la Universidad de Moscú y obtuvo su primer título en 1967. Margulis se mantuvo en la Universidad de Moscú para sus estudios de postgrado.

Mostró un gran potencial como matemático y los primeros premios importantes que ganó fueron en su época de estudiante de posgrado, cuando recibió el premio de jóvenes matemáticos de la Sociedad Matemática de Moscú en 1968. Margulis completó sus estudios en 1970 y fue galardonado con el grado de Candidato en Ciencias con una tesis Sobre algunos problemas en la teoría de la U-Systems.

Después de ser galardonado con el Candidato en Ciencias (el equivalente a un Ph. D británico o americano), Margulis comenzó a trabajar en el Instituto de Problemas de Transmisión de Información. Fue trabajador científico junior desde 1970 hasta 1974 cuando fue promovido a trabajador científico senior. Ocupó este cargo hasta 1986 cuando nuevamente fue promovido, esta vez a líder de los trabajadores científicos.

Margulis fue honrado internacionalmente cuando en 1978 se le otorgó una Medalla Fields en el Congreso Internacional de Helsinki. Sin embargo, no pudo asistir a Helsinki para recibir la medalla porque las autoridades soviéticas no le permitieron viajar. Tits , pronunciando el discurso [ 7 ] señaló su tristeza por la ausencia de Margulis:

... No puedo sino expresar mi profunda decepción - sin duda compartida por muchas personas aquí - la ausencia de Margulis de esta ceremonia. A la vista del significado simbólico de esta ciudad de Helsinki, que había hecho motivos para esperar que hubiera una oportunidad por fin de conocer personalmente a un matemático del cual tengo referencia sólo a través de su trabajo y por quien siento el mayor respeto y admiración.

Quizás el comentario de Tits sobre "el significado simbólico" debe ser explicado. Pronunció el discurso en el Finlandia Hall de Helsinki, donde Margulis debería haber recibido la medalla, exactamente el lugar donde se firmó el Acuerdo de Helsinki el 1º de agosto de 1975. Este importante acuerdo fue firmado al final de la primera Conferencia sobre la Seguridad y la Cooperación en Europa. El Acuerdo de Helsinki fue firmado por todos los países de Europa (excepto Albania) y por los Estados Unidos y Canadá, diseñado para reducir la tensión de la guerra fría mediante la aceptación de las fronteras europeas tal como estaban para ese momento.




Tits disertó en [ 7 ] acerca de la gama de trabajo de Margulis en la combinatoria, geometría diferencial, la teoría ergódica, los sistemas dinámicos discretos y subgrupos de los grupos de Lie . La concesión de la Medalla Fields fue principalmente por su trabajo en este último tema:

Ya Poincaré se preguntaba sobre la posibilidad de describir todos los subgrupos discretos de lo finito covolume en un grupo de Lie G. La profusión de subgrupos, en G = PSL2 (R) tiene una duda en el primero de tal posibilidad. Sin embargo, PSL2 ( R ) fue durante mucho tiempo el único grupo de Lie simple, que se sabe que contiene subgrupos discretos no-aritméticos de covolume finito, y otros ejemplos descubiertos en 1965 por Makarov y Vinberg que involucraban otros pocos grupos de Lie, añadiendo así crédito a las conjeturas de Selberg y Pyatetski Shapiro - en el sentido de que "para la mayoría de los grupos de Lie semisimple" los subgrupos discretos de finito covolume son necesariamente una aritmética. El logro más espectacular de Margulis ha sido la solución completa del problema y, en particular, la prueba de la conjetura tratada.

Margulis pronto pudo alejarse del bloque soviético y, en 1979, pudo pasar tres meses en la Universidad de Bonn. Entre 1988 y 1991, Margulis realizó una serie de visitas al Max Planck Institute en Bonn, al Études Institut des Hautes y al Collège de France, a la Universidad de Harvard y al Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. Desde 1991 ha ocupado una cátedra en la Universidad de Yale.

La Conjetura de Oppenheim fue propuesta en 1929 y se refiere a los valores indefinidos de las formas cuadráticas irracionales en puntos enteros. Los primeros trabajos se basaron en los resultados de Jarnik y Walfisz. En la década de 1940 Davenport y Heilbronn contribuyeron a demostrar los casos especiales y en 1946 Watson amplió sus resultados mostrando que la conjetura era verdadera para otros casos especiales. Margulis demostró la conjetura completa en 1986 y ofreció un panorama hermoso de sus trabajos que lo condujeron a esta solución en [ 3 ]. Allí Margulis explica que:

Los diferentes enfoques a esta y otras conjeturas relacionadas (y teoremas) involucran a la teoría analítica de números, la teoría de los grupos de Lie y los grupos algebraicos, la teoría ergódica, la teoría de la representación , la teoría de la reducción, la geometría de los números y algunos otros temas.

Margulis ha recibido muchos honores por su trabajo. Además de la Medalla Fields ha sido galardonado con la Medalla de la Collège de France (1991) y en el mismo año fue elegido miembro honorario de la Academia. En 1995 recibió el Premio Humboldt y en 1996 fue honrado por la elección como miembro del Instituto Tata de Investigación Fundamental.

Margulis también ha sido galardonado con el Premio Internacional Lobachevsky de la Academia Rusa de Ciencias y ha sido elegido miembro honorario de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos. En 2005 fue galardonado con el Premio Wolf de Matemáticas:

... por su contribución monumental al álgebra, en particular a la teoría de redes en los grupos de Lie semi-simples, y aplicaciones sorprendentes de esta a la teoría ergódica, teoría de la representación, la teoría de números, combinatoria y teoría de la medida.

Un artículo publicado en mayo de 2005 como parte de los anuncios de la Sociedad Americana de Matemáticas explica el trabajo que llevó a la adjudicación:

En el centro de la obra de Gregory Margulis se encuentra su demostración de la Conjetura de Selberg-Piatetskii-Shapiro, afirmando que las redes en los grupos de mayor grado de Lie son una aritmética, una pregunta, cuyos orígenes se remontan a Poincaré. Esto se logró mediante un notable fuerte recorrido, en el que las ideas probabilísticas en torno a una versión no conmutativa del teorema ergódico se combinó con el análisis p-ádico y con las ideas de geometría algebraica que muestra que el fenómeno de la “rigidez", inicialmente establecido por Margulis y otros, podría ser formulada de tal manera ("súper-rigidez”) como implicar aritméticamente. Este trabajo muestra el virtuosismo de una impresionante y original técnica, que integra los métodos algebraico y analítico. Con este trabajo se reformuló posteriormente la teoría ergódica de acciones generales sobre las dimensiones de grupo.

En un segundo fuerte recorrido, Margulis resolvió en 1929 la Conjetura de Oppenheim, señalando que el conjunto de valores en puntos enteros de una forma cuadrática no degenerada indefinida irracional de más de tres variables es denso en Rn. Esto se ha reducido (por Rhagunathan) a una conjetura sobre los flujos unipotentes en espacios homogéneos, probados por Margulis. Este método transforma a esta configuración ergódica en una familia de preguntas hasta entonces investigada sólo en la teoría analítica de números.

Un tercer avance espectacular llegó cuando Margulis mostró que la "Propiedad T" de Kazhdan (conocida por mantener redes rígidas) podría ser utilizada en la construcción de una red única aritmética para resolver dos problemas aparentemente no relacionados. Uno de ellos fue la solución a un problema planteado por Rusiewicz, sobre las medidas finitamente aditivas en los ámbitos y espacios euclídeos. El otro fue la primera construcción explícita de familias infinitas de expansión de los gráficos de grado limitado, un problema de aplicación práctica en el diseño de redes de comunicación eficientes. El trabajo de Margulis se caracteriza por la extraordinaria profundidad, poder técnico, la síntesis de ideas creativas y métodos en las diferentes áreas de las matemáticas, y una gran unidad arquitectónica en su forma final. Aunque su trabajo se centra en profundos problemas no resueltos, sus soluciones se encuentran en los nuevos marcos conceptuales y metodológicos de aplicación amplia y duradera. Él es uno de los gigantes de la matemática de los últimos cincuenta años.

En 2008, la revista trimestral Matemática Pura y Aplicada produjo un número especial en honor de Margulis. En la introducción se puede leer:

Gregory Margulis es un matemático de gran profundidad y originalidad. Además de sus celebrados resultados sobre la súper-rigidez y lo aritmético de las redes irreducibles de alto rango de los grupos de Lie semisimples, y la solución de la Conjetura de Oppenheim sobre los valores de las formas cuadráticas indefinidas irracionales en los puntos enteros, también ha iniciado muchas otras líneas de investigación y abierto posibilidades para resolver famosos problemas.

Podemos terminar esta biografía con una cita de Tits [ 7 ]:

Margulis ha completado o casi completado la resolución de varios problemas importantes en la teoría de subgrupos discretos de grupos de Lie, problemas cuyas raíces se hunden en el pasado y cuya importancia va mucho más allá de la propia teoría. No es exagerado decir que, en varias ocasiones, ha desconcertado a los expertos por la resolución de cuestiones que parecían estar completamente fuera de su alcance en ese momento. Logró utilizar con gran dominio los recursos extraordinarios de una gran variedad de técnicas con habilidad e ingenio. Los nuevos y poderosos métodos que inventó ya han tenido otras aplicaciones importantes, además de aquellas para los que fueron creados y, teniendo en cuenta su generalidad, no tengo ninguna duda de que van a tener muchas más en el futuro.

Referencias.- 1. Biografía en Encyclopaedia Britannica. 2. http://www.britannica.com/eb/article-9097902/Gregori-Aleksandrovich-Margulis

Artículos: 2. S. Ihara, Works of G A Margulis (Japanese), Special issue: International Congress of Mathematicians, Helsinki, 1978, Sugaku 31 (1) (1979), 43-50. 3. G. A. Margulis, Oppenheim conjecture, in M Atiyah and D Iagolnitzer (eds.), Fields Medallists Lectures (Singapore, 1997), 272-327. 4. M. I. Monastyrskii, Laureates of the Fields Medal (Russian), Istor.-Mat. Issled. No. 31 (1989), 88-115. 5. G. D. Mostow, The Fields medals I. Relating the continuous and the discrete, Science 202 (4365) (1978), 297-298. 6. M. S. Raghunathan, The work of G A Margulis, Jahrbuch Überblicke Mathematik, 1979 (Mannheim, 1979), 153-155. 7. J. Tits, The work of Gregori Aleksandrovitch Margulis, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Helsinki, 1978 (Helsinki, 1980), 57-

63.

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