Investigacion Operativa IExamen de Septiembre. Curso 2007/2008.

1. Dado el siguiente problema de optimizacion, se pide:

1.5 punto a.- Formula el problema como un problema de programacion entera.

0.75 puntos b.- Escribe la relajacion lineal de dicho problema en formato estandar.

0.75 puntos c.- Escribe el dual de dicha relajacion lineal.

A un hotel solo le que quedan dos habitaciones libres: una individual y otra doble, perotiene ofertas de cuatro posibles huespedes muy interesados en ocuparlas. La tabla siguienterecoge la cantidad en euros que ofrece cada cliente por ocupar cada habitacion. Queclientes debe asignar el hotel a cada habitacion y cuales debe rechazar para maximizar losingresos?

I DCliente 1 500 50Cliente 2 600 200Cliente 3 500 0Cliente 4 200 200

Solucion.

1.a. Definimos xij como una variable binaria que vale uno cuando al cliente i se le asigna lahabitacion j, y cero en caso contrario, para cliente i = 1, 2, 3, 4 y habitacion j = Individual,Doble.

max 500x1I + 50x1D + 600x2I + 200x2D + 500x3I + 200x4I + 200x4Ds.a. x1I + x2I + x3I + x4I 1

x1D + x2D + x3D + x4D 1xij {0, 1}, i = 1, 2, 3, 4, j = I,D.

Tambien sera valido si las restricciones son de igualdad.

1.b. La relajacion lineal de dicho problema sera

max 500x1I + 50x1D + 600x2I + 200x2D + 500x3I + 200x4I + 200x4Ds.a. x1I + x2I + x3I + x4I 1

x1D + x2D + x3D + x4D 1xij 0, i = 1, 2, 3, 4, j = I,D.

(1)

Tambien valdra si se escribe xij [0, 1].Ahora, lo ponemos en formato estandar.

min 500x1I 50x1D 600x2I 200x2D 500x3I 200x4I 200x4Ds.a. x1I + x2I + x3I + x4I + s1 = 1

x1D + x2D + x3D + x4D + s2 = 1xij 0, i = 1, 2, 3, 4, j = I,Ds1 0, s2 0.

1

1.b. El dual, lo haremos a partir del problema (2).

min y1 + y2s.a. y1 500

y1 600y1 500y1 200y2 50y2 200y2 0y2 200y1 0y2 0

(2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Dado el problema lineal

min 8x1 + 3x2s.a. 2x1 + x2 4

2x1 + 3x2 8x1, x2 0

2 puntos a.- Resuelve el problema el metodo del Simplex.

0.5 puntos b.- Indica a cual/cuales de los siguientes casos pertenece este problema:

Problema degenerado: solucion optima multiple.

Problema no degenerado con solucion optima multiple.

Problema no acotado: la funcion objetivo puede crecer indefinidamente.

Problema no acotado: la funcion objetivo puede decrecer indefinidamente.

Problema con solucion optima finita.

Problema infactible.

0.5 puntos c.- Indica a cual/cuales de los siguientes casos pertenece el dual de este problema:

Problema degenerado: solucion optima multiple.

Problema no degenerado con solucion optima multiple.

Problema no acotado: la funcion objetivo puede crecer indefinidamente.

Problema no acotado: la funcion objetivo puede decrecer indefinidamente.

Problema con solucion optima finita.

Problema infactible.

1 punto d.- Formula el dual de dicho problema.

Solucion.

1.a. Lo primero que hacemos es ponerlo en formato estandar:

2

0 0 0 0 1 1x1 x2 s1 s2 w1 w2

w1 2 1 -1 0 1 0 4w2 2 3 0 -1 0 1 8

4 4 -1 -1 0 0 12

x1 x2 s1 s2 w1 w2x1 1 1/2 -1/2 0 1/2 0 2w2 0 2 1 -1 -1 1 4

0 2 1 -1 -2 0 4

min 8x1 + 3x2s.a. 2x1 + x2 s1 = 4

2x1 + 3x2 s2 = 8x1, x2 0s1, s2 0

Como no tenemos la identidad en la matriz A, entonces tenemos que empezar por el problemaauxiliar.

A =

(2 1 1 02 3 0 1

)El problema auxiliar es:

min w1 + w2s.a. 2x1 + x2 s1 + w1 = 4

2x1 + 3x2 s2 + w2 = 8x1, x2 0s1, s2 0w1, w2 0

Como tenemos una solucion optima con w1 = 0 y w2 = 0, tenemos una tabla inicial para elproblema original.

x1 x2 s1 s2 w1 w2x1 1 0 -3/4 1/4 3/4 -1/4 1x2 0 1 1/2 -1/2 -1/2 1/2 2

0 0 0 0 -1 -1 0

3

x1 x2 s1 s2x1 1 0 -3/4 1/4 1x2 0 1 1/2 -1/2 2

0 0 -9/2 1/2 14

x1 x2 s1 s2s2 4 0 -3 1 4x2 2 1 -1 0 4

-2 0 -3 0 12

La solucion optima tiene x1 = 0 y s1 = 0, por ser variables basicas, y x

2 = 4, s2 = 4. Es decir,

la solucion optima del problema original es x1 = 0 y x2 = 4 con valor objetivo 12.

1.b. Problema con solucion optima finita.

1.c. Problema con solucion optima finita.

1.d. El problema dual es:

max 4y1 + 8y2s.a. 2y1 + 2y2 8

1y1 + 3y2 3y1, y2 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Considera un problema de Programacion Entera en el que se debe minimizar la funcion objetivo3x1 + 2x2 + x3 + x4 + 5x5. En la resolucion del problema, hemos comenzado resolviendo larelajacion lineal y hemos ido anadiendo cortes del tipo xi b y xi b + 1. Durante laresolucion del problema, hemos llegado a un arbol como el de la figura.

Las soluciones correspondientes a los nodos finales vienen dadas en la siguiente tabla:

Nodo Solucion valorP4 ( 3, 0,

32, 3, 0) 13.5

P5 ( 0,911, 1511, 0, 3) 18

P6 ( 0, 0, 1, 3, 3) 19P7 ( 2, 0, 2, 0, 0) 8P9 infactibleP10 ( 3, 3, 3, 0, 0) 18

A partir de esa informacion, contesta a las siguientes preguntas:

1 punto a.- Como se llama el metodo usado? Explcalo brevemente con tus palabras.

1 punto b.- Puedes asegurar que la solucion (3,3,3,0,0) es optima? razona tu respuesta.

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Figure 1: Arbol de ramificacion y acotacion.

1 punto c.- Cual sera una cota superior para la diferencia entre el del mejor valor optimo enteroencontrado y el valor de la solucion entera optima? (sera el GAP).

Solucion.

1.a. Se llama metodo de ramificacion y acotacion.

[Pregunta abierta. Cada alumno respondera con sus propias palabras, resumiendo lo explicadoen las clases teoricas.]

1.b. No lo es, puesto que existe una mejor (2,0,2,0,0).

1.b. El mejor valor optimo entero es 8. Al ramificar desde P4 y P5 puedo asegurar que voy aobtener valores iguales o peores que 13.5 y 18 respectivamente. Los otros nodos son infactibleso tienen solucion optima entera. Por tanto, puedo asegurar que la solucion optima del problemaes 8. El gap, por tanto sera cero.

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