I. RESUMEN vi II. INTRODUCCIÓN 1 III. REVISIÓN … · iv LISTA DE TABLAS Tabla 1. Ubicaciones...
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i
ÍNDICE
I. RESUMEN ...................................................................................................... vi
II. INTRODUCCIÓN ............................................................................................ 1
2.1. Hipótesis ......................................................................................................................................... 2
2.1.1. Hipótesis general 2
2.1.2. Hipótesis específicas 2
2.2. Objetivos del estudio ...................................................................................................................... 2
2.2.1. Objetivo general 2
2.2.2. Objetivos específicos 3
III. REVISIÓN DE LITERATURA ....................... ............................................. 4
3.1. Estimación de las precipitaciones máximas .................................................................................... 4
3.2. Relaciones intensidad – duración – frecuencia .............................................................................. 7
3.3. Análisis de información hidrológica ................................................................................................ 7
3.4. Funciones de distribución de probabilidad usadas en hidrología .................................................. 7
3.4.1. Distribución Log-normal 8
3.4.2. Distribución de Gumbel y Log – Gumbel 8
3.4.3. Distribución Pearson III y Log – Pearson III 9
3.5. Regionalización hidrológica .......................................................................................................... 10
3.6. Proceso de regionalización ........................................................................................................... 10
3.6.1. Hipótesis de partida 10
3.6.2. Distribución regional de las lluvias máximas 11
3.7. Regresión lineal múltiple .............................................................................................................. 11
3.8. El error estándar de la regresión múltiple (Sxy) ............................................................................. 12
3.9. El coeficiente de determinación r2 ................................................................................................ 12
3.10. Sistema hidrológico ..................................................................................................................... 13
3.11. Modelo del sistema hidrológico ................................................................................................. 13
3.12. Modelos ...................................................................................................................................... 13
3.13. Modelos estocásticos .................................................................................................................. 13
3.14. Modelo determinístico ............................................................................................................... 14
IV. METODOLOGÍA ......................................................................................... 15
4.1. Extensión y Ubicación ................................................................................................................... 15
4.2. Geología ........................................................................................................................................ 16
ii
4.3. Topografía ..................................................................................................................................... 16
4.4. Climatología .................................................................................................................................. 17
4.5. Materiales ..................................................................................................................................... 18
4.5.1. Información Meteorológica 18
4.5.2. Información Cartográfica 18
4.5.3. Equipos 18
4.6. Métodos ........................................................................................................................................ 18
4.6.1. Diseño Estadístico 18
4.6.2. Calibración de la relación 19
4.6.3. Validación de la relación 19
4.6.4. Análisis de Variancia 19
4.6.5. Estimación de parámetros 19
V. RESULTADOS Y DISCUSIÓN .................................................................... 21
4.1. Prueba de bondad de ajuste de precipitación máxima a distribuciones de probabilidad ........... 21
4.2. Influencia de los factores climáticos en la regionalización de precipitaciones máximas ............. 23
4.2.1. Modelo regional de frecuencia de precipitación máxima para las estaciones 23
4.2.2. La prueba de normalidad de Anderson Darling y estadística descriptiva 23
4.2.2. Determinación grupos homogéneos de estaciones a través del análisis clúster 27
4.3. Influencia de los elementos climáticos en la regionalización de precipitaciones máximas ......... 37
4.3.1. Influencia de la oscilación de temperatura media y humedad relativa 37
4.3.2. Modelo de Regresión no lineal entre factores, elementos climáticos y precipitación máxima
38
4.3.3. Modelo de Regresión no lineal 1 entre factores, elementos climáticos y precipitación máxima
39
4.3.4. Modelo de Regresión no lineal 2 entre elementos climáticos y precipitación máxima 40
4.3.5. Modelo de Regresión no lineal 3 entre elementos climáticos y precipitación máxima 41
4.4. Discusión de resultados ................................................................................................................ 41
4.4.1. Influencia de los factores climáticos en la regionalización de precipitación máxima 41
4.4.2. Influencia de los elementos climáticos en la regionalización de precipitación máxima 42
4.4.3. Modelos empíricos de precipitación máxima en función de factores y elementos climáticos
43
VI. CONCLUSIONES ........................................................................................ 44
VII. RECOMENDACIONES ............................................................................. 45
VIII. BIBLIOGRAFÍA O REFERENCIAS .................. ................................... 46
iii
ANEXOS .............................................................................................................. 48
iv
LISTA DE TABLAS
Tabla 1. Ubicaciones geográficas de las estaciones meteorológicas estudiadas ......................................... 15
Tabla 2. Resultados de la prueba de bondad de ajuste a las distribuciones ................................................ 22
Tabla 3. La prueba de normalidad de Anderson Darling y estadística descriptiva .................................... 23
Tabla 4. Coeficiente de asimetría de las variables originales ..................................................................... 24
Tabla 5. Transformaciones realizadas de las variables ............................................................................... 24
Tabla 6. Coeficiente de asimetría de las variables transformadas ............................................................. 25
Tabla 7. Resultados del modelo regresión lineal múltiple .......................................................................... 25
Tabla 8. Análisis de variancia de la regression de valores transformados ................................................. 25
Tabla 9. Estaciones meteorológicas con variables para la aplicación del análisis clúster .......................... 27
Tabla 10. Grupos homogéneos de estaciones por análisis clúster ............................................................. 28
Tabla 11. Transformaciones de precipitación máxima y periodo de retorno ............................................ 29
Tabla 12. Análisis de regresión del modelo para la región I ....................................................................... 29
Tabla 13. Análisis de variancia del modelo para la region I ........................................................................ 29
Tabla 14. Transformaciones realizadas ....................................................................................................... 30
Tabla 15. Resultados del análisis de regresión del modelo para la región II .............................................. 31
Tabla 16. Análisis de varianza de regresión del modelo para la región II ................................................... 31
Tabla 17. Transformaciones realizadas ....................................................................................................... 32
Tabla 18. Resultados del análisis de regresión del modelo para la región III ............................................. 33
Tabla 19. Análisis de varianza de regresión del modelo para la región III .................................................. 33
Tabla 20. Transformaciones realizadas ....................................................................................................... 34
Tabla 21. Resultados del análisis de regresión del modelo para la región IV ............................................. 35
Tabla 22. Análisis de varianza de regresión del modelo para la región IV.................................................. 35
Tabla 23. Modelo de Regresión Lineal entre factores y elementos climáticos con precipitación máxima 38
Tabla 24. Modelo de Regresión no lineal entre factores y elementos climáticos y precipitación máxima 39
Tabla 25. Modelo de Regresión no lineal entre factores y elementos climáticos y precipitación máxima 39
Tabla 26. Modelo de Regresión no lineal entre elementos climáticos y precipitación máxima ................. 40
Tabla 27. Modelo de Regresión no lineal entre elementos climáticos y precipitación máxima ................ 41
v
LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Gráficos de análisis de los residuales de regresión ...................................................................... 26
Figura 2. Dendograma del análisis clúster .................................................................................................. 28
Figura 3. Gráficos de análisis de los residuales de regresión ...................................................................... 30
Figura 4. Gráficos de análisis de los residuales de regresión ...................................................................... 32
Figura 5. Gráficos de análisis de los residuales de regresión ...................................................................... 34
Figura 6. Gráficos de análisis de los residuales de regresión ...................................................................... 36
Figura 7. Ajuste del modelo potencial en la estación Isla Taquile .............................................................. 37
LISTA DE ABREVIATURAS
IDF = Intensidad – duración – frecuencia
T = tiempo de retorno
TDPS = sistema hidrográfico Titicaca – Desaguadero – Poopó – Salar de Coipasa
SENAMHI = Servicio nacional de meteorología e hidrología
Alt = altitud (msnm)
Lat = latitud sur
Long = longitud oeste
Osc = oscilación media de temperatura (°C)
HR = humedad relativa (%)
vi
I. RESUMEN
El presente trabajo de regionalización de precipitaciones máximas se ha efectuado dentro de la vertiente
del lago Titicaca en el lado peruano, donde existe una carencia de datos pluviográficos que permitan
confeccionar las relaciones IDF, por lo que se recurre al uso de alturas de precipitación máxima de 24
horas a fin de cubrir estos vacíos de información, basándose en la hipótesis de la similitud estadística
regional. El objetivo del trabajo es determinar la influencia de factores y elementos climáticos en la
regionalización de las precipitaciones máximas de 24 horas. La metodología se basa en el uso de
información pluviométrica de las estaciones, su ajuste a distribuciones de probabilidad, análisis de
frecuencia, análisis clúster y aplicación de regresión lineal y no lineal múltiple. Se han considerado como
factores climáticos: latitud, longitud, altitud; y como elementos se han considerado: oscilación de la
temperatura, humedad relativa y tiempo de retorno; realizado el modelamiento con variable dependiente
la precipitación máxima y las variables independientes los factores y elementos climáticos, se ha
seleccionado variables en base a las probabilidades p < 0.05 de los coeficientes de los predictores que
explican mejor la precipitación máxima, además se utilizó el análisis clúster para agrupar las estaciones
meteorológicas con datos similares en 05 grupos. En los modelos generados en base a factores climáticos
se obtuvieron parámetros estadísticos poco significativos; sin embargo, en los modelos generados en base
de elementos climáticos se han obtenido parámetros estadísticos altamente significativos (p<0.05). La
influencia de los elementos climáticos como la oscilación de temperatura media anual y la humedad
relativa media, junto con los factores climáticos sobre la precipitación máxima en un modelo no lineal de
tipo potencial obtuvo un r2 = 47.98% y un r2ajustado = 45.00 %, un error estándar de regresión de 12.55 y un
estadístico de Durbin-Watson de 0.64, indicando que las variables independientes tienen influencia sobre
la variación de las precipitaciones máximas de 24 horas y que la regresión no es espuria. El modelo más
adecuado obtenido tiene como ecuación: Pmax = 193.9512 (T)0.1586(Osc)-0.6508 dónde: Pmax =
precipitación máxima en 24 horas (mm), T = periodo de retorno (años), Osc = oscilación media de
temperatura (°C); este modelo presenta coeficientes estadísticamente significativos al 95% de confianza,
un r2 = 50% y un estadístico de Durbin-Watson de 0.52 que indica que la regresión no es espuria.
Palabras claves: regionalización, precipitación máxima, vertiente del lago Titicaca, análisis de clúster.
vii
ABSTRACT
This paper of regionalization of maximum precipitation was carried out within the watershed of Lake Titicaca on the Peruvian side, where there is a lack of data to make IDF pluviographic relationships, so is used of heigths of maximum precipitation of 24 hours to cover these gaps, based on the hypothesis of regional statistical similarity. The aim of the study was to determine the influence of climatic factors and elements in the regionalization of the maximum rainfall of the 24-hour. The methodology is based on the use of rainfall information of the stations, the probability distributions adjustment, frequency analysis, cluster analysis and application of non-linear regression and multiple. Have been considered climatic factors: latitude, longitude, altitude, and like climatic elements have been considered: temperature oscillation, humidity and time of return, conducted the modeling with the maximum precipitation as dependent variable and the independent variables the factors and climatic elements has been selected variables based on p < 0.05 of the coefficients of predictors that best explain the maximum precipitation, also was used cluster analysis to group the meteorological stations with similar data in 05 groups. In the generated models based on climatic factors insignificant statistical parameters were obtained, but in the generated models based on climatic elements were obtained statistical parameters highly significant (p < 0.05). The influence of climatic elements such as the oscillation of annual average temperature and average relative humidity, together with climatic factors on the maximum rainfall in a nonlinear model type potential obtained an: r2 = 47.98 %, r2adj. = 45.00 %, standard error of regression of 12.55 and Durbin-Watson statistic of 0.64, indicating that the independent variables influence the variation of maximum precipitation of 24 hours and that the regression is not spurious. The most suitable model is obtained as equation: Pmax = 193.9512 (T)0.1586(Osc)-0.6508 where: Pmax = maximum precipitation of 24-hour (mm ), T = return period (years), Osc = average temperature oscillation (°C), this model has statistically significant coefficients at 95 % confidence, r2 = 50 % and Durbin- Watson statistic of 0.52 indicating that the regression is not spurious.
Keywords: regionalization, high rainfall, watershed of Lake Titicaca, cluster analysis
1
II. INTRODUCCIÓN
En obras hidráulicas en las que se requiere de un diseño hidrológico, se recurre al uso de curvas intensidad –
duración - frecuencia (IDF) para estimar una tormenta asociada a un tiempo de recurrencia y calcular el
caudal pico mediante simulación del proceso lluvia-escorrentía.
Sin embargo, en muchas regiones del altiplano existe una carencia de datos pluviográficos que permitan
confeccionar las relaciones IDF. Por lo que se recurre a la regionalización a fin de cubrir estos vacíos de
información, basándose en la hipótesis de la similitud estadística regional.
Unos de los métodos de extrapolación de curvas IDF es el denominado “de relación entre duraciones” cuya
principal hipótesis considera que los eventos de lluvias de gran intensidad y corta duración obedecen a
procesos atmosféricos similares, que aparentemente son independientes de la región de estudio. Para ello
utiliza datos pluviométricos de distintas estaciones en la zona, que son relativamente más fáciles de obtener
que los pluviográficos (Farías & Olmos, 2007).
Uno de los problema fundamentales que se observa a nivel de la vertiente del lago Titicaca, es la ocurrencia
de eventos máximos de precipitación, los cuales causan problemas, como inundaciones dentro de las partes
bajas de la cuenca, destrucción de obras hidráulicas y los deterioros de los suelos agrícolas por la acción de
erosión hídrica, entre otros.
Sin embargo el conocimiento del análisis de máximas avenidas es de mucha importancia, ya que los
Ingenieros de estructuras hidráulicas aplican el tema de dimensionamiento de obras hidráulicas ya sea para
sistemas de riego, aprovechamiento de la energía hidráulica, carreteras, sistemas de drenaje agrícola,
evacuación de aguas pluviales en las zonas urbanas, entre otras. Pero es necesario e importante indicar que,
los estudios hidrológicos constituyen una herramienta básica para establecer hasta qué punto es factible y
seguro un proyecto de desarrollo hidráulico, dentro de una cuenca hidrográfica. Uno de los problemas
hidrológicos que presenta la vertiente del lago Titicaca es la ocurrencia de máximas avenidas que causan
inundaciones, riesgo de vida útil de las obras de canalización, erosión y transporte de sedimentos, debido al
exceso de lluvias en los meses de Enero, Febrero, y Marzo.
Los daños que causan las avenidas, son notorios en el aspecto económico y social en las comunidades de la
vertiente, con mayor incidencia en las actividades agrícolas, pecuarias y urbanas de la zona en estudio. Por
otro lado, la selección correcta de una avenida de proyecto constituye un aporte esencial de los estudios de
ingeniería, para prevenir y controlar los problemas mencionados, es importante tener un criterio técnico muy
amplio en el estudio hidrológico del potencial de avenidas. Para ello, es necesario disponer de información
de series de precipitaciones máximas de mayor longitud de registro, esta nos permitirá interpretar el
comportamiento hidrológico de un evento, con el propósito de predecir el riesgo que puede sufrir los
proyectos de mayor envergadura y garantizar la vida económica de estructuras hidráulicas.
2
La razón fundamental de la presente investigación es realizar el estudio del efecto de las variables
geográficas en las precipitaciones máximas de la vertiente, con de propósito de establecer un modelo
regional que permita determinar la precipitación en cualquier punto dentro de la vertiente.
Por otra parte, los métodos estadísticos se apoyan en la existencia de series de datos de caudales en el lugar
de interés, las cuales son sometidas a un análisis de frecuencias usando técnicas tradicionales de estudio.
Esto implica que la curva de frecuencia definida para un determinado lugar es válida rigurosamente para ese
lugar; cuando generalmente la información que se requiere es en un lugar diferente, donde no existen datos
medidos; la regionalización de datos permite combinar informaciones de diversos lugares en la cuenca o
región, para producir por ejemplo, una curva regional de frecuencias, válida en toda la región y lugares sin
información; este recurso entre tanto, está limitado a descargas de hasta 100 años de período de retorno. Los
resultados podrían ser confiables siempre que existan suficientes datos disponibles y no hayan ocurrido
modificaciones importantes en el régimen del curso de agua durante el período de registro, o después; se
acepta entonces, la condición de que el comportamiento del sistema continuará siendo el mismo durante el
período de cálculo (en el futuro).
En el presente proyecto nos planteamos las siguientes interrogantes:
¿Cómo es la influencia de factores climáticos en la regionalización de precipitaciones máximas en la
vertiente del lago Titicaca?
2.1. Hipótesis
2.1.1. Hipótesis general
Existe influencia directa de los factores climáticos en la regionalización de precipitaciones máximas en la
vertiente del lago Titicaca.
2.1.2. Hipótesis específicas
Los factores climáticos tienen influencia directa en la regionalización de precipitaciones máximas en la
vertiente del lago Titicaca.
Los elementos climáticos influyen directamente en la regionalización de precipitaciones máximas en la
vertiente del lago Titicaca.
2.2. Objetivos del estudio
2.2.1. Objetivo general
Determinar la influencia de factores climáticos en la regionalización de precipitaciones máximas en la
vertiente del lago Titicaca
3
2.2.2. Objetivos específicos
− Determinar la influencia de la latitud, longitud y altitud en la regionalización de precipitaciones máximas
en la vertiente del lago Titicaca.
− Determinar la influencia de los elementos climáticos en la regionalización de precipitaciones máximas en la
vertiente del lago Titicaca.
4
III. REVISIÓN DE LITERATURA
3.1. Estimación de las precipitaciones máximas
En un trabajo abordaron un método simple de estimación de las precipitaciones máximas en 24 horas, ellos
proponen una relación entre las alturas mensuales de precipitación y su valor máximo en 24 horas del tipo
potencial, esto es (Morales, Casanova, Castellaro, & Mattar, 2005):
á
Dónde: P(i) corresponde a la precipitación media mensual, a y b son constantes a determinar
Ellos (Morales, Casanova, Castellaro, & Mattar, 2005) consideraron la frecuencia de precipitaciones media
mensual como una combinación lineal del lugar de presión máxima en Chile o lpm (Saavedra, Müller, &
Foppiano, 2002), de tal forma que la ecuación que los relaciona es del tipo:
Dónde: Lat = representa a la latitud del lugar considerado y lpm(i)= es el lugar de presión máxima en Chile
para el mes i. Los coeficientes a y b dependen de la latitud (Lat) y longitud (lon) y están dados por:
0.987 0.6850 ∙ 0.1910 ∙ )
3.483 0.0862 ∙ 0.0221 ∙ )
Donde el coeficiente de determinación muestra que las relaciones explican el 87,9% de la variabilidad,
además p < 0,01, lo que indica que las variables están relacionadas significativamente con un 99% de
confianza.
Ellos calcularon la precipitación máxima en 24 horas a partir de la relación (Morales, Casanova, Castellaro,
& Mattar, 2005)
á 21.359495-../ Su modelo explica el 67.2% de la variabilidad, además p < 0.01, indica que los valores de precipitación
máxima en 24 horas y los montos medios mensuales están relacionados significativamente con un 99% de
confianza.
Así mismo en un trabajo realizaron el siguiente procedimiento en su estudio de análisis estadístico y
regionalización de las precipitaciones utilizando alturas de precipitación anual, diarias e intensidades
(Nouvelot, Le Goulven, Alemán, & Pourrut, 1995):
- Determinación de la altura pluviométrica promedio anual 0, ya sea utilizando una estación de referencia o
por interpolación en el mapa de isoyetas.
- Estimación de las alturas anuales para diversas frecuencias, ya sea a partir de ecuaciones generales
derivadas de las leyes estadísticas o mediante las relaciones del tipo
-.1 2/0, -./ 2-.1; -.-/ 2.-./ Dónde:
5
P0.5, P0.1, P0.01 = alturas de precipitación anual para una probabilidad de 0.5, 0.1 y 0.01 respectivamente
(período de retorno de 2, 10 y 100 años).
- Determinación de la precisión de los resultados en función del número de años de observaciones
disponible.
- Estimación de las alturas pluviométricas diarias H para diversos períodos de retorno, a partir de las leyes
estadísticas o mediante las relaciones:
5-.1 2/56,5-./ 25-.1;5-.-/ 2.5-./ - Estimación de diversas frecuencias de las intensidades I ( o de las láminas precipitadas h)
correspondientes a diferentes intervalos de tiempo t, a partir de las lluvias diarias de igual frecuencia F:
78 Φ, 58 Bell con las extrapolaciones realizadas por el USBW para los períodos de retorno de 50 y 100 años llegó a la
siguiente ecuación (Bell, 1969):
:;:/- 0.21 ln> 0.522 ? > ? 100
Dónde: T = período de retorno (años), t = duración (min), :/- = altura de lluvia para una duración
de t y 10 años de período de retorno, en mm, :; = altura de lluvia para la duración t y un período de
retorno T, en mm.
Para representar la relación matemática lluvia-duración, Bell encontró que la siguiente ecuación es
la más conveniente (Bell, 1969)
:;@-; 0.54-.1 0.505 ? ? 120
Dónde:
@-; = altura de lluvia para 60 minutos y un período de retorno T
Realizando la combinación de las ecuaciones anteriores obtenidas por Bell se obtiene (Bell, 1969)
:; 0.21 ln> 0.520.54-.1 0.50@-;
Si 2 ≤T ≤100 en años y 5 ≤ t ≤120 en minutos.
Con la ecuación anterior se pueden estimar la lluvia para cualquier duración entre 5 minutos y 2
horas, siempre y cuando no se pierda de vista que es una ecuación empírica y se respeten los rangos
indicados; la única desventaja que se tiene en este caso es que se necesita el valor de la
precipitación con duración de una hora y el período de 10 años, por lo cual se requiere de contar con
datos pluviográficos.
Cheng (1983) propone la ecuación siguiente con la cual se puede calcular la precipitación para
cualquier duración y período de retorno.
6
:; ///- log10C>C/ D E 60F Válida para T ≥ 1año y 5min ≤t≤ 24h
Dónde:
:; = precipitación, en milímetros para una duración t y un período de retorno T, T = período de
retorno (años), t= duración (min).
G :/--:/-
Los valores de a, b y c = Parámetros de la tormenta que pueden variar según el factor de
convectividad
H /;;
Cheng presenta un nomograma en el cual gráfica los parámetros de tormenta contra R (Cheng,
1983).
La desventaja de esta última fórmula es que requiere dos valores más que la propuesta por Bell,
pero también se toma en cuenta que tiene menos suposiciones (Bell, 1969).
Según Cheng las suposiciones de Bell no responden a las variaciones geográficas que toma en
cuenta la relación H IJKILMK , ni aquellas medidas por la relación G INJOOINJO (Cheng, 1983).
Si, tomando en cuenta las consideraciones que realizo Bell, para las relaciones de duración y
período de retorno se supone un IJKILMK 40% y G INJOOINJO 1.48 la ecuación se reduce a (Bell, 1969):
:; 22.57//- log10-.1>-.Q 7.48-.R.Q E 60F
De esta manera sólo se requiere el valor de //-, los valores de a1 = 22.57, b1 = 7.48 y
c1 = 0.738 se obtienen de acuerdo a la relación de IJKILMK 40% , según el nomograma de
Cheng (Cheng, 1983).
De acuerdo con los resultados anteriores, se pueden usar varias opciones: si sólo se tienen el valor
de //- , se empleará la ecuación de Bell, aunque es más fácil tener valores de /- y mediante un
análisis regional se puede obtener el valor de H /;/; , para deducir //-. Por otra parte, si se
tiene un buen registro de años en 24 h, se puede obtener directamente el valor de x, en caso
contrario, se puede utilizar el valor de 1.48 propuesto por Bell (Bell, 1969).
7
3.2. Relaciones intensidad – duración – frecuencia
En muchos proyectos de diseño hidrológico, como el diseño de un drenaje urbano, es la determinación del
evento o los eventos de lluvia que deben usarse. La forma más común de hacerlo es utilizar una tormenta de
diseño o un evento que involucre una relación entre la intensidad de lluvia, la duración y las frecuencias o
períodos de retorno apropiados para la obra y el sitio. En muchos casos existen curvas estándar de
intensidad-duración-frecuencia (IDF) disponibles para el sitio, luego no hay que llevar a cabo este análisis.
Sin embargo es conveniente entender el procedimiento utilizado para desarrollar estas relaciones.
Usualmente los datos se presentan en forma gráfica, con la duración en el eje horizontal y la intensidad en el
eje vertical, mostrando una serie de curvas, para cada uno de los períodos de retorno de diseño (Chow,
Maidment, & Mays, 1994).
3.3. Análisis de información hidrológica
Los datos hidrológicos en general, están constituidos por una larga secuencia de observaciones de alguna
fase del ciclo hidrológico obtenidas para un determinado lugar. No obstante que un registro largo sea lo
deseable, se debe reconocer que cuanto más largo es el período de registro, mayor será la posibilidad de
error. Una serie generada en esas condiciones, si los errores o cambios fueran apreciables, es inconsistente, o
carece de homogeneidad.
Para verificar éste tipo de inconsistencia, se usa el método de la curva de doble masa, basado en el hecho de
que un gráfico de una cantidad acumulada ploteada contra otra cantidad acumulada durante el mismo
período, debe ser una línea recta siempre que las cantidades sean proporcionales, la inclinación de la recta
representa la constante de proporcionalidad. Una alteración en la pendiente de la recta, indicará que ocurrió
un cambio en la constante de proporcionalidad entre las dos variables o que tal vez la proporcionalidad no es
constante en todos los niveles de acumulación (Mejia, 2001).
La consistencia en la determinación de caudales de diseño por transformación lluvia-caudal y análisis de
frecuencia es de vital importancia para el diseño de obras hidráulicas. En la ingeniería práctica, el
dimensionamiento de distintos tipos de obras requiere el cálculo de la crecida de diseño para lo cual es
necesario asociar una magnitud de crecida con la probabilidad anual de ser superada, con lo que se presenta
el riesgo hidrológico del evento (Paoli, Caick y Morreci, 2002).
3.4. Funciones de distribución de probabilidad usadas en hidrología
En la estadística existe decenas de funciones de distribución de probabilidad teóricas; De hecho, existen
tantas como se quiera, y obviamente no es posible probarlas todas para un problema particular. Por lo tanto,
es necesario escoger, de esas funciones, las que se adapten mejor al problema bajo análisis. Entre las
funciones de distribución de probabilidad usadas en hidrología, se estudiarán las siguientes:
Normal, Lognormal, Pearson III y Gumbel.
8
Las funciones anteriores, aun cuando son las más comúnmente usadas en la hidrología aplicada, no son
todas, pues el enfoque no es exhaustivo.
3.4.1. Distribución Log-normal
Es una distribución para una variable aleatoria cuyos logaritmos siguen una distribución normal, con
parámetros µ y σ. Los datos hidrológicos, a veces, tienen una distribución fuertemente asimétrica y en
general en esos casos una transformación logarítmica la convierte en una distribución normal.
Así la función de densidad y la función de distribución acumulada de probabilidad son:
2
2
1
2
1)(
−−
= σµ
πσ
Y
eYf
dYeYFYYPY Y
dado ∫∞−
−−
==< σµ
πσ2
1
2
1)()(
Dónde:
Y = ln Q o PP para precipitación; µ= media poblacional. Promedio de Y.; y σ= desviación estándar
de Y (Sy).
La distribución Log – Normal es de gran utilidad porque abre el amplio campo teórico de aplicación de la
distribución Normal. Como ambas distribuciones, Normal y Log-Normal son de dos parámetros, basta
calcular la media y la desviación estándar de los caudales o las precipitaciones y de sus respectivos
logaritmos. El grado de ajuste de una serie de datos puede, como en los demás casos, ser examinado a través
del uso del papel de probabilidades Log – Normal, donde debe resultar una recta.
3.4.2. Distribución de Gumbel y Log – Gumbel
Los valores extremos en cuestión serían las descargas o precipitaciones diarias máximas anuales, ya que cada
una es la máxima entre los 365 valores del año. Para aplicar esa ley, se debe tener en cuenta que existen
muestras, cada una constituida de 365 elementos, del universo de la población infinita de la variable aleatoria
que es el caudal o precipitación diaria. De acuerdo con la ley de los extremos, la ley de distribución de la
serie de n términos constituidos por los mayores valores de cada muestra tiende asintóticamente para una ley
simple de probabilidades, que es independiente de la que rige la variable aleatoria a las diferentes muestras y
en el propio universo de la población infinita.
Esa es la base del método de Gumbel (o distribución de valores extremos Tipo I), en el cual se calcula P por
la siguiente relación:
reeP−−−= 1
9
( )QQQY σ45.07997.0
1 +−=
Dónde:
Q = la media de los n caudales o precipitaciones máximas; P= es la probabilidad de que un máximo caudal o
precipitación media diaria de un año cualquiera sea mayor o igual a Q, y σQ= la desviación estándar de los n
caudales máximos.
La expresión de Y muestra que existe una relación lineal entre él y el valor de Q; esa recta puede ser
diseñada conociéndose: ( )
1
2
−−
== ∑∑n
QQSy
n
QQ Q
El eje donde están marcados los valores de Y puede ser graduado en tiempos de retorno a través de la
relación P
T1= y de esta manera, a cada caudal le corresponde un período de retorno; conociéndose a este
como Papel de Distribución Gumbel.
El método de Gumbel es de fácil aplicación y se basa sólo en dos parámetros, la media y la desviación
estándar, mientras que otros métodos incluyen el coeficiente de asimetría.
Cuando la asimetría es grande, se toma QY ln= y se procede al análisis como en el caso anterior,
constituyéndose una distribución Log-Gumbel; el gráfico establecido corresponde a una recta en el papel de
probabilidades correspondiente, si el ajuste es adecuado.
3.4.3. Distribución Pearson III y Log – Pearson III
La distribución Pearson III posee las características de ser asimétrica y no negativa, lo que la hace adecuada
para describir los caudales máximos; es una distribución de tres parámetros. La media, desviación estándar y
el coeficiente de asimetría, son definidos por las siguientes relaciones:
( )1
2
−−
== ∑∑n
QQS
n
QQ Q
( )( )
( )( ) ( )3
323
2
3
)2)(1(
23
2 QQ
QSnnn
QnQQnQn
QQS
QQc
−−
+−=
−
−= ∑ ∑∑∑
∑∑
La función de densidad de y la función de probabilidad acumulada están dadas por:
10
)(
)()(
1
γβα
γ
βα
γ
Γ−=
−−−
Q
eQQf
∫ Γ−==<
−−−Q
Q
dado dQeQ
QFQQP0
1
)(
)()()(
γβα
γ
βα
γ
Dónde:
α= parámetro de posición: βγα +=Q
β= parámetro de escala: γβ=QS
γ= parámetro de forma: γ2=Qc
De forma análoga al caso anterior, si se hace Y = ln Q, se genera la distribución Log – Pearson III,
procediéndose con un análisis semejante (Aparicio, 1992).
3.5. Regionalización hidrológica
“El proceso de regionalización de lluvias máximas en una cuenca o región hidrológica involucra varios
aspectos relacionados con la orografía, con los fenómenos meteorológicos que inciden en la ocurrencia de las
lluvias, con la presencia de barreras montañosas y con algunos otros más (Cortes, 2003)
En términos generales, el proceso de regionalización equivale a obtener fórmulas o procedimientos factibles
de aplicarse a una región hidrológica, aprovechando las características que son comunes para todos los
puntos de la región y señalando las particularidades que no son comunes”.
3.6. Proceso de regionalización
“El procedimiento implementado para llevar a cabo de regionalización de tormentas convectivas implica
relacionar, en forma integral, varios conceptos asociados con las hipótesis de partida, la distribución regional
de las lluvias máximas, los factores de ajuste asociados con cortas y largas duraciones, el factor de reducción
por periodo de retorno, el factor de reducción por área (FRA) y la distribución temporal de la lluvia (Cortes,
2003).
3.6.1. Hipótesis de partida
“Las hipótesis establecidas son el punto de inicio del proceso de regionalización, ya que se formulan para
analizar el comportamiento de las lluvias de algún tipo”. En otras cuencas hidrológicas ocurren
precipitaciones de tipo orográfico o ciclónicas y en otras de tipo convectivo, y en estos casos específicos las
11
hipótesis que se formulen deben realizarse para analizar el comportamiento de la lluvia que ocurre con
mayor frecuencia” (Cortes, 2003).
3.6.2. Distribución regional de las lluvias máximas
“ La distribución regional de las lluvias máximas se estructura con el apoyo de la hipótesis establecida y para
tal efecto se estipula que los atributos que diferencian un área de otra, se reflejan en un mapa de isoyetas,
construido con datos de precipitaciones medias anuales y las ventajas obtenidas son: El mapa de isoyetas se
ha construido con información obtenida en un gran número de estaciones de la cuenca de estudio, registrada
durante un periodo de tiempo grande, lo cual garantiza su confiabilidad; El valor de la variancia de los datos
de precipitación media anual, es menor que los valores asociadas con duraciones menores; y La hipótesis
establecida, como punto de partida, puede ser aceptada o rechazada de acuerdo con los resultados obtenidos.
Sin embargo, el proceso de la distribución regional de lluvias máximas debe realizarse para precipitaciones
máximas asociadas a cortas y largas duraciones, y para llevar a cabo tal procedimiento se construyen tres
planos de isoyetas, uno de base y dos de apoyo, con las características siguientes:
El plano base se construye con datos de precipitación media anual y se elabora con datos de precipitación
máxima anual asociada a una duración de 30 minutos y un periodo de retorno de 5 años.
El segundo base se construye para el mismo periodo de retorno y con datos de lluvia máxima anual
asociados a una duración de 24 horas (Cortes, 2003).
3.7. Regresión lineal múltiple
“En el caso más general de la regresión múltiple, existen dos o más variables independientes
$ ...Y b b X b X= + + +0 1 1 2 2
La estimación de los coeficientes de una regresión múltiple es un cálculo bastante complicado y laborioso,
por lo que se requiere del empleo de programas de computación especializados. Sin embargo, la
interpretación de los coeficientes es similar al caso de la regresión simple: el coeficiente de cada variable
independiente mide el efecto separado que esta variable tiene sobre la variable dependiente. El coeficiente
de determinación, por otro lado, mide el porcentaje de la variación total en Y que es explicado por la
variación conjunta de las variables independientes” (COLE, 2002).
“El análisis de regresión múltiple, dispone de una ecuación con dos variables independientes adicionales:
T, ,+/X1 + b2X2
Se puede ampliar para cualquier número “m” de variables independientes:
T, ,+/X1 + b2X2 + …+bnXn
12
Para poder resolver y obtener los parámetros en una ecuación de regresión múltiple el cálculo se presenta
muy tedioso porque se tiene que atender 3 ecuaciones normales que se generan por el método de mínimo de
cuadrados:
Para poder resolver se puede utilizar programas informáticos como AD+, SPSS, Minitab y Excel (Robles,
2009).
3.8. El error estándar de la regresión múltiple (Sxy)
Es una medida de dispersión, la estimación se hace más precisa conforme el grado de dispersión alrededor
del plano de regresión se hace más pequeño (Robles, 2009).
Para medirla se utiliza la fórmula:
UV W∑YT TZ[ 1
Dónde:
Y=Valores observados en la muestra
TZ = Valores estimados a partir a partir de la ecuación de regresión
n= Número de datos
m = Número de variables independientes
3.9. El coeficiente de determinación r2
Según (Robles, 2009), mide la tasa porcentual de los cambios de Y que pueden ser explicados por 1x , 2x
y 3x simultáneamente.
\ U]^_^ óaU]::
13
3.10. Sistema hidrológico
(Chow, Maidment, & Mays, 1994) Indican, que los fenómenos hidrológicos son extremadamente complejos
y es posible que nunca se les entienda en su totalidad. Sin embargo, en ausencia de un conocimiento
perfecto, pueden representarse en forma simplificada por medio del concepto de sistema. Un sistema es un
conjunto de partes conectadas entre sí, que forman un todo. El ciclo hidrológico puede tratarse como un
sistema cuyos componentes son precipitación, evaporación, escorrentía y otras fases del ciclo hidrológico.
Estos componentes pueden agruparse en subsistemas del ciclo total; para analizar el sistema total, estos
subsistemas más simples pueden analizarse separadamente y combinarse los resultados de acuerdo con las
interacciones entre los subsistemas.
3.11. Modelo del sistema hidrológico
(Chow, Maidment, & Mays, 1994) El objetivo del análisis del sistema hidrológico es estudiar la operación
del sistema y predecir su salida. Un modelo de sistema hidrológico es una aproximación al sistema real; sus
entradas y salidas son variables hidrológicas mensurables y su estructura es un conjunto de ecuaciones que
conectan las entradas y las salidas. Central a la estructura del modelo está el concepto de transformación del
sistema.
Las entradas y las salidas pueden expresarse como funciones del tiempo, I(t) y Q(t) respectivamente, en
donde t pertenece al rango de tiempo T en consideración. El sistema realiza una transformación de la entrada
en la salida representada por
La cual se conoce como ecuación de transformación del sistema. El símbolo Ω es una función de
transferencia entre la entrada y la salida. Si esta relación puede representarse mediante una ecuación
algebraica, entonces Ω es un operador algebraico.
3.12. Modelos
(Ponce, 1998) En ingeniería hidrológica, existe cuatro tipos de modelos matemáticos: (1) Determinístico, (2)
Probabilístico, (3) Conceptual y (4) Paramétrico. Un modelo conceptual es una representación simplificada
del proceso físico, obtenida por las variaciones espacial y temporal, agregado, y descrito en términos de
cualquiera de las ecuaciones diferenciales ordinarias o ecuaciones algebraicas. Un modelo paramétrico
representa procesos hidrológicos por medio de ecuaciones algebraicas, este contiene parámetros claves para
ser determinados en forma empírica.
3.13. Modelos estocásticos
(Chow, Maidment, & Mays, 1994) Son modelos de variables aleatorias o probabilísticas que no tienen valor
fijo en un punto particular del espacio y del tiempo, pero que están descritas a través de distribuciones de
probabilidad. Estos modelos hacen predicciones. Por ejemplo la lluvia que caerá mañana en un lugar
particular no puede pronosticarse con exactitud.
14
3.14. Modelo determinístico
(Chow, Maidment, & Mays, 1994) No considera la aleatoriedad, una entrada dada produce siempre una
misma salida. Modelos determinísticos hacen pronósticos. Por ejemplo. Modelo determinístico para la
determinación de evaporación diaria en un lugar dado.
)()( tItQ Ω=
15
IV. METODOLOGÍA
4.1. Extensión y Ubicación
La vertiente del Lago Titicaca, está delimitada geográficamente entre las coordenadas 14°03' y 20° 00' de
Latitud Sur y entre 66° 21' y 71°07' de Longitud Oeste. La superficie del Sistema TDPS es de 144,590.46
Km², y abarca gran parte del departamento de Puno - Perú, su extensión es equivalente al
Tabla 1. Ubicaciones geográficas de las estaciones meteorológicas estudiadas
Estación Pmax (Mm) Altitud Latitud Longitud
Ananea 52.86 4660 14.67872222 69.53452778
Arapa 50.94 3830 15.13555556 70.11861111
Ayaviri 55.96 3928 14.88111111 70.59277778
Azangaro 57.16 3863 14.91472222 70.19111111
Cabanillas 56.11 3900 15.63930000 70.34638889
Capachica 54.47 3933 15.61580000 69.84430000
Capazo 44.38 4530 17.18638889 69.74555556
Chuquibambilla 57.31 3971 14.79638889 70.72833333
Cojata 54.17 4380 15.01666667 69.35555556
Crucero 63.78 4183 14.36260000 70.02380000
Desaguadero 66.94 3808 16.56880000 69.04040000
Huancane 59.84 3890 15.20333333 69.76250000
Huaraya Moho 65.62 3890 15.38972222 69.49138889
Isla Taquile 84.04 3850 15.77944444 69.69472222
Juli 70.26 3812 16.20361111 69.45972222
Lampa 54.82 3892 15.35583333 70.37277778
Laraqueri 66.21 3900 16.15250000 70.06777778
Los Uros 50.41 3808 15.79638889 69.91500000
Mañazo 61.54 3920 15.81333333 70.33888889
Mazo Cruz 40.22 4003 16.74555556 69.71166667
Muñani 40.5 3948 14.77944444 69.96583333
Pampahuta 45.99 4400 15.49138889 70.67750000
Pizacoma 49.76 3930 16.91500000 69.37277778
Progreso 42.46 3980 14.69472222 70.35555556
Pucara 56.53 3900 15.03361111 70.37277778
Puno 63.61 3812 15.82333333 70.01805556
Putina 48.30 3878 14.9150000 69.86805556
Tahuacoyunguyo 56.72 3891 16.3050000 69.06750000
Taraco 68.61 3849 15.3050000 69.98250000
Fuente: SENAMHI-Puno
16
33.9% del TDPS, asimismo abarca los departamentos de La Paz y Oruro - Bolivia con una extensión
equivalente al 60.8% del TDPS y una pequeña parte que está en territorio chileno equivalente al 5.2% del
área total del sistema TDPS. Por sus características físico naturales, el lago Titicaca constituye el elemento
de mayor importancia del sistema hídrico, tiene una superficie de 8400 Km² para un nivel promedio de 3810
m.s.n.m. y embalsa aproximadamente un volumen de 932 mil millones de metros cúbicos.
4.2. Geología
Según los estudios geológicos, durante el cuaternario, la evolución del altiplano ha estado ligada
fundamentalmente a los c de clima. La alternancia de los períodos húmedos y secos, cálidos y glaciares, han
determinado en la cuenca endorreica del altiplano el desarrollo de lagos sucesivamente más amplios o más
reducidos que los actuales. Los estudios existentes (SERVANT, FONTES) muestran que durante el
Pleistoceno superior se sucedieron varias fases glaciares que determinaron una progresiva reducción de la
superficie lacustre, que al comienzo del Pleistoceno se nivelaba alrededor de 200 m por encima de su nivel
actual, con un área de más de 50.000 km2; contra aproximadamente 8.400 actuales.
Los lagos más antiguos del cuaternario (Mantaro y Cabana) ocupaban todo el altiplano, el cual ya formaba
una cuenca endorreica. Los posteriores lagos Ballivian, al norte y Escara al sur, estaban separados por el
paso Ulloma-Callapa. Sin embargo, en la época del lago Minchín todo el área comenzó a tributar hacia los
salares de Copaisa y otras depresiones meridionales. En algunos períodos del Pleistoceno, el Lago Titicaca
alcanzó niveles bastante más bajos que los actuales, de manera especial durante las glaciaciones (algunos
autores hablan de 60 m). En el Holoceno, las investigaciones arqueológicas y los datos de espesor de
aluviones muestran que el nivel del Lago alcanzó fluctuaciones cercanas a los 30 m. Hace 500 años el nivel
del Lago era mayor que el actual, en unos pocos metros.
Durante los periodos de descenso el clima era seco y el Desaguadero no llevaba agua fuera de la cuenca
endorreica del Titicaca. La divisoria con las cuencas del sur se encontraba en la zona de Aguallamaya. Los
ríos que tributaban al Titicaca presentaban lechos erosionados y formaban canales que penetraban en el lago
actual varias centenas de metros.
Evidencias de tales canales se encuentran en el fondo del lago, a profundidades de 10 y 20 metros frente a
las desembocaduras actuales (en el Lado peruano se ha encontrado una formación arcillosa lacustre con
paleocauces colmatados a 30 m de profundidad con respecto al nivel actual, debajo de un relleno de limos,
arenas y gravas). Evidentemente, durante los periodos de bajos niveles el río Desaguadero vertía al lago
mismo, al igual que los flujos de todas las napas localizadas aguas arriba de Aguallamaya. Al sur de esta
divisoria, los flujos se dirigían hacia el Desaguadero y los lagos del sur.
4.3. Topografía
Es una típica cuenca de montaña, donde la porción del altiplano es reducida y en gran parte cubierta por las
aguas del Lago, rodeadas por las cordilleras oriental y occidental. Las vertientes oriental y nor-oriental son
17
muy irregulares, con pendientes moderadas a altas y están constituidas por montañas y colinas de rocas
sedimentarias en gran parte disectadas y con importantes acumulaciones de material detrítico, especialmente
fluvioglaciar; la red hidrográfica es bien organizada y densa.
La vertiente occidental, en su mayor parte perteneciente a la cordillera occidental, está constituida
principalmente por macizos montañosos volcánicos de laderas redondeadas y amplias intercaladas con
algunos relieves sedimentarios.
4.4. Climatología
Todos los datos utilizados, tanto para las interpretaciones climáticas como hidrológicas, provienen de los
Servicios Nacionales de Hidrología y de Meteorología (SENAMHI) de La Paz y Puno, quienes efectuaron
las colecciones. En las zonas de altitud inferior a 4.000 m, las temperaturas medias anuales varían entre 7 y
10 ºC. Alrededor del lago mismo, las temperaturas son, sin embargo, superiores a 8 ºC. (Boulange y Aquize,
1981) evalúan que la temperatura media anual a nivel del lago debería ser de 0 ºC y atribuyen la diferencia
de temperatura al efecto térmico de la masa de agua.
No obstante, el mapa de las temperaturas medias anuales de Bolivia (Roche et al., 1990) muestra también
valores próximos a 8 ºC en toda la mitad este del Altiplano boliviano (7,3 ºC en Uyuni) y en el lago Poopó,
de influencia térmica más reducida. Se debe también notar que estaciones comprendidas entre 3.900 y 4.000
m, en los extremos sur y norte de la región del lago, tienen temperaturas del orden de 7 ºC. El lago tempera
el clima, sobre todo disminuyendo la amplitud de las temperaturas, pero no parece ocasionar en su contorno
un aumento de la temperatura media anual superior a 2 ºC.
El mapa de curvas isotermas de la hoyada fue trazado con la correlación establecida entre temperatura y
altitud, y a partir del mapa de curvas de nivel. Los datos de algunas estaciones situadas fuera de la cuenca
fueron también tomados en consideración para obtener una escala de altitudes la más amplia posible.
El gradiente térmico es de 0,76 ºC/100 m. Para la zona comprendida entre 3.800 y 4.000 m, la dispersión de
las temperaturas es grande debido a los efectos de exposición, de abrigo y de distancia al lago. En las cimas
más altas que delimitan la cuenca, la temperatura media anual desciende bajo cero alrededor de 5.100 m., las
temperaturas medias más bajas tienen lugar en julio, en pleno invierno, mientras que las más elevadas se
sitúan de diciembre a marzo, generalmente centradas en febrero.
Por otra parte, según las “Memorias del Simposio Internacional sobre el Sistema del Lago Titicaca” (2001) la
zona de la cuenca del Lago se caracteriza por tratarse de un clima templado, diferenciado en distintas áreas:
El tipo de clima lluvioso y semifrígido con otoño, invierno y primavera secos ocurre en las cabeceras de las
cuencas del río Suchez, río Ramis y cuenca del río Coata a altitudes entre 4.400 y los 5.000 metros. Los días
helados son superiores a los 150 días.
18
Si bien la precipitación tiene un carácter lluvioso, precipita entre los 700 y 1.000 mm, las características
térmicas determinan una restricción en la utilización de la tierra con fines agrícolas. El área circunlacustre,
cuenca del río Suchez, parte media de la cuenca del río Ramis, cuenca del río Coata y cuenca del río Ilave
quedan incluidos dentro del tipo climático lluvioso y frío con otoño, invierno y primavera secos. Su carácter
lluvioso está dando precipitaciones también entre 700 y 1000 mm.
El tipo de climático semilluvioso frío con otoño, invierno y primavera secos corresponde a la parte baja de la
cuenca del río Ramis y gran parte de la cuenca del río Huancané, y al sur del lago, hasta las zonas de
Pizacoma en el Perú e Irpa Chico en Bolivia. En esta subzona la precipitación disminuye y varía entre 600 y
800 mm. El número de heladas es menor y las condiciones para las actividades agrícolas son buenas
4.5. Materiales
4.5.1. Información Meteorológica
Para la modelación, se utilizará registros meteorológicos de cinco Estaciones, dependientes de la Oficina del
Servicio Nacional de Meteorología e Hidrología Puno, de una longitud de registro no menor de 26 años,
consistente en lo siguiente.
Factores climáticos: Latitud, longitud, altitud, etc.
Elementos climáticos: Temperatura media mensual de las mínimas, Temperatura media mensual de las
máximas, Humedad Relativa media mensual, Evaporación mensual, Radiación solar, Insolación diaria media
del mes y Velocidad media del viento. Las estaciones meteorológicas utilizadas han sido todas las estaciones
existentes de la vertiente del lago Titicaca.
4.5.2. Información Cartográfica
Se utilizará como auxilio las cartas Nacionales actualizadas a escala 1:100 000. (Modelo de elevación
digital).
4.5.3. Equipos
Equipo de cómputo, con software: Excel, CROPWAT 8.0, ArcGis 10 y Eviews 5.
4.6. Métodos
4.6.1. Diseño Estadístico
Para este efecto se utilizó el software: MINITAB 16.0, EXCEL 2010 y SAS 9.2 (sistema para el análisis
estadístico) para cálculos estadísticos. Para los cálculos de regresiones y correlaciones se utilizó el software
MINITAB 16.0 y Excel 2010. Para la solución del modelo de regresión múltiple de ser el caso, empleando
el siguiente modelo:
b 2G, c/, c, … , ca
19
Donde
θi, i=1,2,…,n = parámetros del modelo.
Para la obtención de parámetros se soluciona las ecuaciones normales de la regresión múltiple.
4.6.2. Calibración de la relación
La calibración se realizó aplicando la estimación mínimo cuadrática de coeficientes de regresión lineal
múltiple para el período determinado.
4.6.3. Validación de la relación
La validación se realizó comparando el modelo o relación con los valores observados de las estaciones.
4.6.4. Análisis de Variancia
Para efectuar los análisis comparativos se ha utilizado el diseño completo al azar cuyo modelo estadístico se
presenta a continuación:
be f g he Dónde:
i= 1.2...,t; t= número de tratamientos (valores estimados y los valores observados); j= 1,..., n (número de
meses del año); y ε = error experimental
4.6.5. Estimación de parámetros
La estimación de los parámetros se hizo empleando el método de la máxima verosimilitud. Este método de
estimación se utiliza cuando se supone conocida la función de densidad de probabilidad (pdf) del término de
perturbación del modelo de regresión múltiple.
Sea el modelo de regresión lineal general UXY += β . Si ese tiene información sobre la función de
distribución del error, f(u) es posible utilizar el método de la máxima verosimilitud para estimar los
parámetros del modelo de manera más eficiente. Si suponemos que los errores son variables aleatorias
independientes y normalmente distribuidas, con media cero y varianza constante, se tendría:
U∼NID(0; nu I2σ )
La función de densidad de probabilidad del error, pdf (ui):
−
=2
2
2
1
22
1)( u
iu
n
i euf σ
πσ
20
Si los errores, ui, son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (iid), la función de
densidad conjunta del vector de errores es:
∏=
−
==n
i
u
n
nu
i
eufufufuf1
2
1
221
2
2
2
1)()...().()( σ
πσ
UUn
n
un
n
ui
u eeuf'
2
1
2
2
1
2
22
2
2
1
2
1)( σσ
πσπσ
−−
=
∑
=
Si reemplazamos U = Y - Xβ en la función conjunta obtendremos la función de verosimilitud,
( ) ( ) ( )ββσπσσβ
σβXYXYn
uu
u
ueXYL
XYL
−−−−=
'2
1
222
2
2
2);;;(
:);;;(
Con fines de facilitar los cálculos, podemos hallar el logaritmo de la función de verosimilitud o la “log-
likelihood function”, l(.) = log (L(.))
( ) ( ) ( )YXXXYYnn
XYlu
uu ''2'''2
1log
22log
2);;;(
2
22 βββσ
σπσβ −+−−−=
( ) YXXXYYXYXY ''2''')(' βββββ −+=−−
El método de la máxima verosimilitud consiste en maximizar la función de verosimilitud, L(.) o equivalente
mente la función de log verosimilitud l(.) con respecto de β y σu2, esto es:
2
2~;~0
(.);0
(.)(.) u
u
lllMax σβ
σβ⇒=
∂∂=
∂∂
⇒
Donde 2~;~
uσβ son los estimadores por máxima verosimilitud de β y σu2, respectivamente, obtenidos de
resolver el sistema de ecuaciones simultaneas.
21
V. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
4.1. Prueba de bondad de ajuste de precipitación máxima a distribuciones de probabilidad
En estudios hidrológicos el análisis de frecuencia es una herramienta utilizada para, predecir el
comportamiento futuro de los eventos máximos en un sitio de interés, a partir de la información histórica de
datos hidrológicos. Es un método basado en procedimientos estadísticos que permite calcular la magnitud del
caudal asociado a un período de retorno. Su confiabilidad depende de la longitud y calidad de la serie
histórica, además de la incertidumbre propia de la distribución de probabilidades seleccionada. Cuando se
pretende realizar extrapolaciones, período de retorno mayor que la longitud de la serie disponible, el error
relativo asociado a la distribución de probabilidades utilizada es más importante, mientras que en
interpolaciones la incertidumbre está asociada principalmente a la calidad de los datos a modelar; en ambos
casos la incertidumbre es alta dependiendo de la cantidad de datos disponibles. La extrapolación de
frecuencias extremas en una distribución empírica de crecientes es extremadamente riesgosa.
En el presente trabajo de investigación, se ha visto por conveniente realizar las pruebas de bondad de ajuste
de las series históricas de datos de precipitaciones máximas de 24 horas y para las 29 estaciones que se
encuentran dentro de la vertiente del Lago Titicaca. En el cuadro 02 se presentan los resultados, de la prueba
de bondad de ajuste determinado en base del paquete estadístico de HIDROESTA, mostrando si la
distribución se ajusta y el valor del D calculado entre paréntesis, según la prueba de bondad de ajuste de
Kolmogorov-Smirnov, en la última columna se presenta la distribución que mejor se ajusta, por tener un
menor valor de D calculado.
Para el análisis de frecuencia de precipitación máxima, una vez escogida la distribución de probabilidad que
mejor se ajusta, se realizó la determinación de precipitaciones máximas para los períodos de retorno de 25,
50, 100 y 200 años, valores usualmente utilizados en diseños para soportar caudales máximos
El valor de D calculado es la máxima diferencia entre la probabilidad acumulada empírica y teórica, en valor
absoluto.
Las distribuciones de Log Normal 3 p y Log Gumbel son las que se ajustan mejor las precipitaciones
máximas de 24 horas en todas las estaciones de la vertiente del lago Titicaca.
22
Tabla 2. Resultados de la prueba de bondad de ajuste a las distribuciones
Estación Log Normal 3 p Log Pearson tipo III Log Gumbel Distribución elegida
Ananea Si (0.0490) Si (0.05728) Si (0.0624) Log Normal 3 p
Arapa Si (0.0762) Si (0.07378) Si (0.0639) Log Gumbel
Ayaviri Si (0.0628) Si (0.07523) Si (0.0964) Log Normal 3p
Azangaro Si (0.1329) Si (0.11593) Si (0.0806) Log Gumbel
Cabanillas Si (0.0527) No Si (0.0960) Log Normal 3 p
Capachica Si (0.0606) Si (0.06643) Si (0.0610) Log Normal 3 p
Capazo Si (0.0755) Si (0.06919) Si (0.0818) Log Pearson tipo III
Chuquibambilla Si (0.0929) Si (0.09269) Si (0.0959) Log Pearson tipo III
Cojata Si (0.0793) Si (0.07677) Si (0.0955) Log Pearson tipo III
Crucero Si (0.0818) No Si (0.1535) Log Normal 3 p
Desaguadero Si (0.0544) No Si (0.0981) Log Normal 3 p
Huancané Si (0.0718) No Si (0.0916) Log Normal 3 p
Huaraya Moho Si (0.0665) No Si (0.0973) Log Normal 3 p
Isla Taquile Si (0.0934) No Si (0.0658) Log Gumbel
Juli Si (0.0730) No Si (0.0696) Log Gumbel
Lampa Si (0.0723) No Si (0.1369) Log Normal 3 p
Laraqueri Si (0.0760) Si (0.10361) Si (0.0915) Log Normal 3 p
Los Uros Si (0.0428) No Si (0.1115) Log Normal 3 p
Mañazo Si (0.0734) No Si (0.0950) Log Normal 3 p
Mazo Cruz Si( 0.0682) No Si (0.1179) Log Normal 3 p
Muñani Si (0.0544) No Si (0.1228) Log Normal 3 p
Pampahuta Si (0.1094) No Si (0.1619) Log Normal 3 p
Pizacoma Si (0.0524) No Si (0.1109) Log Normal 3 p
Progreso Si (0.0737) Si (0.06941) Si (0.0888) Log Pearson tipo III
Pucará Si (0.0693) No Si (0.1305) Log Normal 3 p
Puno Si (0.0733) Si (0.07102) Si (0.0618) Log Gumbel
Putina Si (0.0607) No Si (0.1192) Log Normal 3 p
TahuacoYunguyo Si (0.0481) Si (0.04274) Si (0.0593) Log Pearson tipo III
Taraco Si (0.0784) Si (0.09224) Si (0.0919) Log Normal 3 p
Fuente: Prueba de Kolmogorov-Smirnov (HidroEsta)
23
4.2. Influencia de los factores climáticos en la regionalización de precipitaciones máximas
La vertiente del lago Titicaca, cuyas zonas agroclimáticas están influenciadas supuestamente por los factores
y elementos climáticos en las cuencas hidrográficas que conforman ríos afluentes del lago Titicaca, para el
presente trabajo se ha considerado los factores climáticos más importantes: latitud, longitud, altitud, y
considerando las precipitaciones máximas como variable dependiente.
Por otro lado, conocemos que la mayoría de las estaciones meteorológicas con que cuenta la vertiente del
lago Titicaca no están dotadas con instrumentos modernos para medir las intensidades máximas de
precipitación, por estas razones se ha tenido la intención de regionalizar las precipitaciones máximas de 24
horas las cuales se utilizan en vez de las intensidades máximas y teniendo como criterio de que los factores y
elementos climáticos explican la variabilidad de la ocurrencia de las precipitaciones máximas.
4.2.1. Modelo regional de frecuencia de precipitación máxima para las estaciones
Para determinar el modelo regional se utilizó primeramente regresión lineal múltiple, cuyo modelo planteado
es el siguiente:
2>, i, , )j, c Dónde: Pmax = precipitación máxima (mm) de 24 horas, T = período de retorno (años), Alt = altitud
(msnm), Lat = latitud (grados), Long = longitud (grados), y θi = parámetro i del modelo, i = 1, 2,…, n, n =
número de parámetros del modelo.
4.2.2. La prueba de normalidad de Anderson Darling y estadística descriptiva
Se evaluó si los datos son normales con la prueba de bondad de ajuste gráfica, cuyos valores de estadística
descriptiva prueba de Anderson Darling se muestran en el cuadro. En la cual los valores de probabilidad de
excedencia menor al valor (P < 0.05) por lo tanto se rechaza la hipótesis nula por lo tanto existe significancia
estadísticamente.
De acuerdo a la prueba de normalidad de Anderson Darling, obtuvo la probabilidad de excedencia menor a
una significancia de 0.05, por tanto, se rechaza la hipótesis nula que los datos de periodo de retorno son
normales; la prueba de normalidad de Anderson Darling 9.351,
Tabla 3. La prueba de normalidad de Anderson Darling y estadística descriptiva
Variables Media Desviación Estándar Observaciones Anderson Darling Probabilidad
Periodo de retorno 93.75 67.31 116 9.351 <0.005
Precipitación máxima 67.31 17.14 116 1.480 <0.005
Altitud 3984 220.8 116 14.759 <0.005
Latitud 15.53 0.7203 116 1.923 <0.005
Longitud 69.93 0.4419 116 0.759 0.047
24
Se obtuvo la probabilidad de excedencia menor a una significancia de 0.05, por tanto, se rechaza la hipótesis
nula planteada, que los datos de precipitación máxima son normales; el valor de la prueba de normalidad de
Anderson Darling es de 1.480, obtiene una probabilidad de excedencia menor a una significancia de 0.05,
por tanto, se rechaza la hipótesis nula que los datos de altitud son normales;
La prueba de normalidad de Anderson Darling cuyo valor es de 14.759, obtiene una probabilidad de
excedencia menor a una significancia de 0.05, por tanto, se rechaza la hipótesis nula que los datos de latitud
son normales; y la prueba de normalidad de Anderson Darling 1.923, obtiene una probabilidad de excedencia
ligeramente menor a una significancia de 0.05, por tanto, se rechaza la hipótesis nula que los datos de latitud
son normales y La prueba de normalidad de Anderson Darling 0.759, obtiene una probabilidad de excedencia
es mayor a una significancia de 0.05, por tanto, no se rechaza la hipótesis nula que los datos de longitud no
son normales.
Se ha determinado los coeficientes de asimetría de los datos de las variables para utilizar una transformación
apropiada, esto a fin de aplicar la modelación correspondiente.
Tabla 4. Coeficiente de asimetría de las variables originales
Variable T (años) Pmax (mm) Altitud Latitud Longitud
Coeficiente de asimetría 0.67 1.13 1.89 0.60 -0.16
Se realizó la transformación de variables como muestra el siguiente cuadro.
Tabla 5. Transformaciones realizadas de las variables
Variable Transformación
Tiempo de retorno log/- >
Precipitaciones máximas GC-.-Rk Altitud iCR.@R/ l 10/-
Latitud [email protected]/ l 10Q
Longitud )j/.././10
Después de haber realizada la transformación se realizó la prueba de bondad de ajuste de Anderson-Darling,
obteniéndose los resultados que se muestran en las figuras presentadas en los anexos.
La prueba concluye que la variable transformada periodo de retorno sigue siendo no normal, que la variable
transformada precipitación máxima cumple con la normalidad, que la variable transformada altitud sigue sin
25
cumplir la normalidad, que la variable transformada latitud estrictamente no cumple con la normalidad y la
variable transformada longitud si cumple con la normalidad.
En el siguiente cuadro se presenta los valores de coeficiente de asimetría obtenidos después de la
transformación de datos. Los coeficientes de asimetría son cercanos a cero por lo cual se considera haber
normalizado los datos para que tengan una distribución de frecuencia simétrica a la media.
Tabla 6. Coeficiente de asimetría de las variables transformadas
Variable transformada T (años) Pmax (mm) Altitud Latitud Longitud
Coeficiente de Asimetría 9.11619E-16 -0.073337303 -0.00025 -1.4E-05 -0.00041304
Con las variables transformadas se realizó un análisis de regresión. Los resultados se muestran a
continuación en el cuadro y en la figura siguiente.
Tabla 7. Resultados del modelo regresión lineal múltiple
Predictor Coeficiente SE coeficiente Estadístico t Probabilidad
Constante 0.21088000 0.01830000 11.52 0.0000
log/- > -0.02515900 0.00388000 -6.47 0.0000
iCR.@R/ l 10/- -0.00002693 0.00000571 -4.71 0.0000
[email protected]/ l 10Q -0.00452100 0.00293700 -1.54 0.0000
)j/.././10 0.02042000 0.01065000 2.10 0.0380
S = 0.0140920 R-Sq = 38.8% R-Sq(adj) = 36.5%
Tabla 8. Análisis de variancia de la regression de valores transformados
F. de V. GL SC CM Fc Probabilidad
Regresión 4 0.0139494 0.0034873 17.56 0.000000
Error 111 0.0220430 0.0001986
Total 115 0.0359924
Estadístico de Durbin – Watson = 0.545605
Los coeficientes de regresión son diferentes de cero al nivel de significancia de 0.05, excepto el coeficiente
de la variable transformada latitud que no es significativo estadísticamente. El coeficiente de determinación
muestra que solo el 38.8% de la varianza de la precipitación máxima es explicado por las variables
independientes y según el análisis de varianza la este coeficiente de determinación es diferente de cero
siendo significativo. El estadístico Durbin-Watson es mayor al coeficiente de determinación por lo tanto la
26
regresión no es espuria, además este estadístico al ser mayor a cero muestra que los residuos no están
autocorrelacionados.
El modelo de regresión obtenido para la vertiente del Lago Titicaca es
G m0.211 0.0252 log/- > 0.000027iCR.@R/ l 10/- [email protected]/ l 10Q 0.0224)j/../.10 nC//-.-Rk
Dónde:
Pmax = precipitación máxima de 24 horas (mm), T = período de retorno (años), Alti = altitud (msnm), Lat =
latitud sur (grados), y Long = longitud oeste (grados)
0.0500.0250.000-0.025-0.050
99.9
99
90
50
10
1
0.1
Residual
Percent
0.2100.1950.1800.1650.150
0.04
0.02
0.00
-0.02
-0.04
Fitted Value
Residual
0.030.020.010.00-0.01-0.02-0.03
30
20
10
0
Residual
Frequency
1101009080706050403020101
0.04
0.02
0.00
-0.02
-0.04
Observation Order
Residual
Normal Probability Plot Versus Fits
Histogram Versus Order
Figura 1. Gráficos de análisis de los residuales de regresión
Los residuales siguen una distribución aproximadamente normal según el gráfico de probabilidad normal y el
histograma, su variación respecto a los valores ajustados seria casi constante, respecto al orden puede existir
un problema de heteroscedasticidad.
Según las figuras de variación de los residuales respecto a las variables independientes que se presentan en
los anexos, los residuales no dependen de ninguna variable independiente por lo tanto no están
correlacionados con estas variables.
27
4.2.2. Determinación grupos homogéneos de estaciones a través del análisis clúster
La fisiografía que presenta el altiplano de Puno, los factores y elementos climáticos experimentan diferentes
variaciones, era necesario realizar la aplicación del análisis de clúster para poder determinar grupos
homogéneos de estaciones meteorológicas con datos similares, esto a fin de encontrar un modelo más
adecuado, que en la práctica nos permitirá su aplicación del modelo determinado-
Sin embargo, se han observado en los cálculos el bajo ajuste de modelo regional general se procedió a
realizar un análisis clúster para determinar cinco grupos homogéneos de las 29 estaciones meteorológicas en
función de las variables de los factores del clima: latitud, longitud y altitud y para tiempos de retorno (25, 50,
100 y 200 años).
Tabla 9. Estaciones meteorológicas con variables para la aplicación del análisis clúster
Nº Estación T = 25 T = 50 T = 100 T = 200 Altitud Latitud Longitud
1 Ananea 52.86 66.58 82.7 101.5 4660 14.67872222 69.53452778
2 Arapa 50.94 57.89 65.71 74.57 3830 15.13555556 70.11861111
3 Ayaviri 55.96 62.62 69.43 76.44 3928 14.88111111 70.59277778
4 Azangaro 57.16 63.94 70.76 77.69 3863 14.91472222 70.19111111
5 Cabanillas 56.11 61.6 67.01 72.38 3900 15.63930000 70.34638889
6 Capachica 54.47 61.8 69.63 78 3933 15.61580000 69.84430000
7 Capazo 44.38 50.23 56.52 63.29 4530 17.18638889 69.74555556
8 Chuquibambilla 57.31 64.18 71.23 78.5 3971 14.79638889 70.72833333
9 Cojata 54.17 61.52 69.39 77.85 4380 15.01666667 69.35555556
10 Crucero 63.78 70.74 77.63 84.52 4183 14.36260000 70.02380000
11 Desaguadero 66.94 74.22 81.58 89.09 3808 16.56880000 69.04040000
12 Huancane 59.84 64.52 69.04 73.45 3890 15.20333333 69.76250000
13 Huaraya moho 65.62 71.1 76.49 81.83 3890 15.38972222 69.49138889
14 Isla Taquile 84.04 99.09 116.69 137.34 3850 15.77944444 69.69472222
15 Juli 70.26 81.3 93.96 108.55 3812 16.20361111 69.45972222
16 Lampa 54.82 59.57 64.22 68.81 3892 15.35583333 70.37277778
17 Laraqueri 66.21 77.5 89.92 103.56 3900 16.15250000 70.06777778
18 Los uros 50.41 54.22 57.79 61.19 3808 15.79638889 69.91500000
19 Mañazo 61.54 69.18 76.97 84.95 3920 15.81333333 70.33888889
20 Mazo cruz 40.22 42.86 45.29 47.56 4003 16.74555556 69.71166667
21 Muñani 40.5 43.44 46.27 49.02 3948 14.77944444 69.96583333
22 Pampahuta 45.99 48.49 50.85 53.10 4400 15.49138889 70.67750000
23 Pizacoma 49.76 54.05 58.18 62.20 3930 16.91500000 69.37277778
24 Progreso 42.46 46.02 49.52 52.99 3980 14.69472222 70.35555556
25 Pucara 56.53 61.84 67.03 72.14 3900 15.03361111 70.37277778
26 Puno 63.61 73.7 85.3 98.67 3812 15.82333333 70.01805556
27 Putina 48.3 51.44 54.36 57.13 3878 14.91500000 69.86805556
28 Tahuacoyunguyo 56.72 64.43 72.75 81.73 3891 16.30500000 69.06750000
29 Taraco 68.61 81.06 94.77 109.85 3849 15.30500000 69.98250000
28
El resultado del análisis clúster definiendo 5 zonas homogéneas se presenta en la siguiente figura.
2320722242110198327181261652542142926171513281191
0.00
33.33
66.67
100.00
Observations
Similarity
Figura 2. Dendograma del análisis clúster
Se formaron 05 grupos homogéneos de estaciones como muestra el cuadro siguiente.
Tabla 10. Grupos homogéneos de estaciones por análisis clúster
Estaciones GRUPO
Ananea, Cojata I
Arapa, Ayaviri, Azangaro, Cabanillas, Capachica, Chuquibambilla, Crucero, Huancane, Lampa,
Los Uros, Mañazo, Muñani, Pampahuta, Progreso, Pucara, Putina
II
Capazo, Mazo Cruz, Pizacoma III
Desaguadero, Huaraya Moho, Juli, Laraqueri, Puno, Tahuacoyunguyo, Taraco IV
Isla Taquile V
a) Modelo regional para el grupo I
Se realizó la estimación de parámetros de regresión del modelo para la región 1 con una previa
transformación de datos a normales. Las transformaciones son las mostradas en el siguiente cuadro.
29
Tabla 11. Transformaciones de precipitación máxima y periodo de retorno
Variable Transformación
T log/- >
Pmax GC.-Rk
Luego se hizo la prueba gráfica de normalidad como se muestra en las figuras de los anexos.
En el siguiente cuadro se presentan los resultados del análisis de regresión.
Tabla 12. Análisis de regresión del modelo para la región I
Predictor Coeficiente SE coeficiente Prueba estadístico t Probabilidad
Constante 0.0010619 0.0002749 3.8600 0.0120
log/- > -0.00020102 0.00002493 -8.0600 0.0000
Altitud -0.00000011 0.00000006 -1.8700 0.1210
S = 0.0000237293 R-Sq = 93.2% R-Sq(adj) = 90.5%
Tabla 13. Análisis de variancia del modelo para la region I
F. de V. GL SC CM Fc Probabilidad
Regresión 2 3.85769E-08 1.92884E-08 34.26 0.001
Error 5 2.81540E-09 5.63079E-10
Total 7 4.13923E-08
Estadística de Durbin-Watson 1.39176
El coeficientes de regresión del período de retorno es diferente de cero al nivel de significancia de 0.05, pero
el coeficiente de la variable transformada altitud no es significativo estadísticamente. El coeficiente de
determinación muestra que 93.2% de la varianza de la precipitación máxima es explicado por las variables
independientes y según el análisis de varianza este coeficiente de determinación es significativamente
diferente de cero al 0.05. El estadístico Durbin-Watson es mayor al coeficiente de determinación por lo tanto
la regresión no es espuria, además este estadístico al ser mayor a cero muestra que los residuos no están
autocorrelacionados.
El modelo de regresión obtenido para la región 1 es:
G 0.0010619 0.000201 log/- > 0.00000011iC//.-Rk Dónde:
30
Pmax = precipitación máxima de 24 horas (mm), T = período de retorno (años), y Alti = altitud (msnm).
Las variables latitud y longitud no fueron consideradas en el modelo por que generan multicolinealidad con
las demás variables independientes y además en este grupo sólo se tiene dos estaciones.
En los siguientes gráficos se muestra la variación de los residuales como pruebas de la normalidad y
homogeneidad de varianzas.
0.0000500.0000250.000000-0.000025-0.000050
99
90
50
10
1
Residual
Percent
0.000300.000250.000200.000150.00010
0.00004
0.00002
0.00000
-0.00002
Fitted Value
Residual
0.00004
0.00003
0.00002
0.00001
0.00000
-0.00001
-0.00002
3
2
1
0
Residual
Frequency
87654321
0.00004
0.00002
0.00000
-0.00002
Observation Order
Residual
Normal Probability Plot Versus Fits
Histogram Versus Order
Figura 3. Gráficos de análisis de los residuales de regresión
Se muestra que los residuales presentan una distribución aproximadamente normal y una varianza constante.
Según las figuras mostradas en los anexos, los residuales no dependen de ninguna variable independiente por
lo tanto los residuales no están correlacionados con estas variables.
b) Modelo regional para el grupo II
Se realizó la estimación de parámetros de regresión del modelo para la región 2 con una previa
transformación de datos a normales. Las transformaciones son las mostradas en el siguiente cuadro.
Tabla 14. Transformaciones realizadas
Variable Transformación Tiempo de retorno log/- > Precipitaciones máximas G-.1@1/ Altitud i Latitud C-.Q@@ Longitud )j
31
Luego se hizo la prueba gráfica de normalidad como se muestra en las figuras de los anexos.
En el siguiente cuadro se presentan los resultados del análisis de regresión.
Tabla 15. Resultados del análisis de regresión del modelo para la región II
Predictor Coeficiente SE coeficiente Prueba estadístico t Probabilidad
Constante -13.5200000 27.0100000 -0.5000 0.6190
log/- > 1.6673000 0.3171000 5.2600 0.0000
iitud -0.0012359 0.0008330 -1.4800 0.1430
C-.Q@1 -10.29000000 48.0000000 -0.2100 0.8310
)jop 0.3778000 0.3941000 0.9600 0.3420
S = 0.853910 R-Sq = 33.9% R-Sq(adj) = 29.4%
Tabla 16. Análisis de varianza de regresión del modelo para la región II
F. de V. GL SC CM Fc Probabilidad
Regresión 4 22.0409 5.5102 7.5600 0.000
Error 59 43.0206 0.7292
Total 63
Durbin-Watson statistic = 0.407823
El coeficiente de la variable transformada período de retorno es el único que es estadísticamente diferente de
cero al nivel de significancia 0.05, en cambio los coeficientes de las otras variables independientes no lo son.
El 33.9% de la varianza de la precipitación máxima está explicado por las variables independientes, siendo
este coeficiente de determinación estadísticamente diferente de cero según el análisis de varianza al 95% de
confianza. Como el coeficiente de determinación es menor al estadístico de Durbin-Watson, entonces la
regresión no es espuria, además este estadístico de Durbin-Watson al ser mayor a cero muestra que los
residuos no están autocorrelacionados.
La forma del modelo para la región 2 es la siguiente
G 13.5 1.67 log/- > 0.00124i 10.3C-.Q@@ 0.378)j//-.1@1/
Dónde:
Pmax = precipitación máxima de 24 horas (mm), T = período de retorno (años), Alt = altitud (msnm),
32
Lat = latitud sur (grados), y Long = longitud oeste (grados)
En los siguientes gráficos se muestra la variación de los residuales.
210-1-2
99.9
99
90
50
10
1
0.1
Residual
Percent
11.010.510.09.59.0
2
1
0
-1
-2
Fitted Value
Residual
1.60.80.0-0.8-1.6
16
12
8
4
0
Residual
Frequency
605550454035302520151051
2
1
0
-1
-2
Observation Order
Residual
Normal Probability Plot Versus Fits
Histogram Versus Order
Figura 4. Gráficos de análisis de los residuales de regresión
Se muestra que los residuales presentan una distribución aproximadamente normal y una varianza constante.
Según los gráficos de los anexos, los residuales no dependen de ninguna variable independiente por lo tanto
los residuales no están correlacionados con estas variables.
c) Modelo regional para el grupo III
Se realizó la estimación de parámetros de regresión del modelo para la región III, con una previa
transformación de datos a normales. Las transformaciones son las mostradas en la siguiente tabla.
Tabla 17. Transformaciones realizadas
Variable Transformación
T log/- >
Pmax GC-.1.Q Altitud i Latitud
Longitud )j
Luego se hizo la prueba gráfica de normalidad como se muestra en las figuras de los anexos.
33
En el siguiente cuadro se presentan los resultados del análisis de regresión.
Tabla 18. Resultados del análisis de regresión del modelo para la región III
Predictor Coeficiente SE coeficiente Prueba estadístico t Probabilidad
Constante 1.5281 0.1243000 12.3000 0.000
log/- > -0.020893 0.0022200 -9.4100 0.000
i 0.00004689 0.0000058 8.0800 0.000
-0.089414 0.0085410 -10.4700 0.000
S = 0.00258779 R-Sq = 96.2% R-Sq(adj) = 94.8%
Tabla 19. Análisis de varianza de regresión del modelo para la región III
F. de V. GL SC CM Fc Probabilidad
Regresión 3 0.00136161 0.00045387 67.78 0.0000000
Error 8 0.00005357 0.00000670
Total 11 0.00141518
Durbin-Watson statistic = 0.947292
Los resultados muestran que los coeficientes son significativos al nivel de confianza de 95%. La varianza de
la precipitación máxima transformada es explicada en un 96.2% por las variables independientes
transformadas. El coeficiente de determinación es diferente de cero al nivel de significancia de 0.05. El
estadístico de Durbin-Watson es mayor a cero por lo tanto no existe auto-correlación entre los residuos.
Además este estadístico a no ser muy menor al coeficiente de determinación está mostrando que la regresión
no es espuria.
El modelo para la región 3 es el siguiente
G 1.5281 0.020893log/- > 0.00004689i 0.089414C//-.1.Q
Dónde:
Pmax = precipitación máxima de 24 horas (mm), T = período de retorno (años), Alt = altitud (msnm), y Lat
= latitud sur (grados).
La longitud no se consideró debido a que genera un problema de multicolinealidad con otras variables
independientes.
34
En los siguientes gráficos se muestra la variación de los residuales.
0.00500.00250.0000-0.0025-0.0050
99
90
50
10
1
Residual
Percent
0.190.180.170.160.15
0.004
0.002
0.000
-0.002
-0.004
Fitted Value
Residual
0.004
0.003
0.002
0.001
0.000
-0.001
-0.002
-0.003
3
2
1
0
Frequency
121110987654321
0.004
0.002
0.000
-0.002
-0.004
Observation Order
Residual
Normal Probability Plot Versus Fits
Histogram Versus Order
Figura 5. Gráficos de análisis de los residuales de regresión
Se muestra que los residuales presentan una distribución aproximadamente normal y una varianza constante.
Según los gráficos de anexos, los residuales no dependen de ninguna variable independiente por lo tanto los
residuales no están correlacionados con estas variables.
d) Modelo regional para el grupo IV
Se realizó la estimación de parámetros de regresión del modelo para la región 4 con una previa
transformación de datos a normales. Las transformaciones son las mostradas en el siguiente cuadro.
Tabla 20. Transformaciones realizadas
Variable Transformación
T log/- >
Precipitación máxima GC-.R-/1Q-.1R/ Altitud i Latitud /.R.10/1 Longitud )j-.kk-k/10R1
35
Luego se hizo la prueba gráfica de normalidad como se muestra en las figuras de los anexos.
En el siguiente cuadro se presentan los resultados del análisis de regresión.
Tabla 21. Resultados del análisis de regresión del modelo para la región IV
Predictor Coeficiente SE coeficiente Prueba estadístico t Probabilidad
Constante -0.05037 0.04399 -1.1400 0.2640
log/- > -0.013619 0.001240 -10.9800 0.0000
i 0.00003377 0.00001122 3.0100 0.0060
/.R/10/1 -0.0002114 0.0007210 -0.2900 0.7720
)j-.kk-k/10R1 -0.0022157 0.0006388 -3.4700 0.0020
S = 0.00220914 R-Sq = 86.3% R-Sq(adj) = 83.9%
Tabla 22. Análisis de varianza de regresión del modelo para la región IV
F. de V. GL SC CM Fc Probabilidad
Regresión 4 0.00070815 0.000017704 36.2800 0.0000
Error 23 0.00011225 0.00000488
Total 27 0.00082040
Durbin-Watson statistic = 0.874236
Los resultados muestran que los coeficientes son significativos para todas las variables independientes
excepto para la variable latitud, al nivel de confianza de 95%. La varianza de la precipitación máxima
transformada es explicada en un 86.3% por las variables independientes transformadas. El coeficiente de
determinación es diferente de cero al nivel de significancia de 0.05. El estadístico de Durbin-Watson es
mayor a cero por lo tanto no existe auto-correlación entre los residuos y como es mayor al coeficiente de
determinación se considera que la regresión no es espuria.
El modelo para la región 4 es el siguiente
G m0.05037 0.013619 log/- > 0.00003377i 0.0002114 /.R10/1 0.0022157 )j-.kk-k
10R1 nC//-.R- Dónde:
36
Pmax = precipitación máxima de 24 horas (mm), T = período de retorno (años), Alt = altitud (msnm),
Lat = latitud sur (grados), y Long = longitud oeste (grados).
En los siguientes gráficos se muestra la variación de los residuales.
0.00500.00250.0000-0.0025-0.0050
99
90
50
10
1
Residual
Percent
0.0550.0500.0450.0400.035
0.004
0.002
0.000
-0.002
Fitted Value
Residual
0.004
0.003
0.002
0.001
0.000
-0.001
-0.002
-0.003
6.0
4.5
3.0
1.5
0.0
Residual
Frequency
282624222018161412108642
0.004
0.002
0.000
-0.002
Observation Order
Residual
Normal Probability Plot Versus Fits
Histogram Versus Order
Figura 6. Gráficos de análisis de los residuales de regresión
Se muestra que los residuales presentan una distribución aproximadamente normal y una varianza constante.
Según los gráficos de anexos, los residuales no dependen de ninguna variable independiente por lo tanto los
residuales no están correlacionados con estas variables.
e) Modelo regional para el grupo V
Se realizó la estimación de parámetros de regresión del modelo para la región 5 la transformación previa a
datos a normales no fue necesaria puesto que se utilizó un modelo no lineal potencial. En este grupo solo
existe una estación la cual es la Isla Taquile por lo cual las variables geográficas no se pueden utilizar como
predictores. En la siguiente figura se presenta la ecuación de regresión potencial y el valor del r2.
37
Figura 7. Ajuste del modelo potencial en la estación Isla Taquile
El modelo regional para la Isla Taquile es el siguiente
G 39.31>-..@
Dónde: Pmax = precipitación máxima de 24 horas (mm), y T = período de retorno (años).
4.3. Influencia de los elementos climáticos en la regionalización de precipitaciones máximas
4.3.1. Influencia de la oscilación de temperatura media y humedad relativa
Sabemos que, los factores climáticos más importantes son : altitud, latitud y longitud, desde un inicio se
pensó que existía influencia directa sobre la variación de la precipitación máxima, pero sin embargo la
relación que existe entre estas variables son muy bajas a nivel de las estaciones meteorológicas de la
vertiente del lago Titicaca; por lo que se ha optado en relacionar la precipitación máxima con la intervención
de los elementos climáticos y para el presente trabajo de investigación se ha considerado la oscilación de
temperatura media anual y el porcentaje de humedad conjuntamente con los factores climáticos.
y = 39.314x0.2362
R² = 1
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 50 100 150 200 250
Pm
ax
(m
m)
T (años)
Series1
Potencial (Series1)
38
Tabla 23. Modelo de Regresión Lineal entre factores y elementos climáticos con precipitación máxima
Variables Coeficiente Std. Error t-Statistic Probabilidad.
Coeficiente C(1) -39.34149 289.8880 -0.135713 0.8923
Tiempo de retorno C(2) 0.115367 0.017699 6.518139 0.0000
Altitud (msnm) C(3) -0.011544 0.007152 -1.614164 0.1095
Latitud C(4) 2.458878 2.206187 1.114538 0.2676
Longitud C(5) 1.684666 3.795017 0.443915 0.6580
Oscilación de T C(6) -2.467933 0.490804 -5.028346 0.0000
Humedad Relativa C(7) 0.371643 0.159594 2.328671 0.0218
R-squared 0.479874 Mean dependent var 66.69955
Adjusted R-squared 0.450152 S.D. dependent var 16.93067
S.E. of regression 12.55438 Akaike info criterion 7.958478
Sum squared resid 16549.31 Schwarz criterion 8.128384
Log likelihood -438.6748 Durbin-Watson stat 0.639558
La prueba t indica que las variables que presentan coeficientes significativos son el periodo de retorno, la
oscilación de temperatura y la humedad relativa al 95% de confianza, las demás variables no presentan
coeficientes significativamente diferentes de cero. El 48% de la variación de la precipitación máxima es
explicado por las variables independientes. La regresión no es espuria puesto que R2 < Durbin-Watson. La
ecuación obtenida es la siguiente.
Pmax = -39.3414+0.1153(T) - 0.01154(Alt)+2.4588 (Lat)+1.6846 (Long)-2.4679(Osc)+0.3716 (HR)
Dónde: Pmax = precipitación máxima en 24 horas (mm), T = periodo de retorno (años), Alt = altitud
(msnm), Lat = latitud sur (grados), Long = longitud oeste (grados), Osc = oscilación media de temperatura
(°C), HR = humedad relativa media (%).
4.3.2. Modelo de Regresión no lineal entre factores, elementos climáticos y precipitación máxima
En la siguiente tabla se presenta los resultados de regresión no lineal.
La prueba t indica que los logaritmos de las variables que presentan coeficientes significativos son el periodo
de retorno y la oscilación de temperatura al 95% de confianza, los demás logaritmos de las variables no
presentan coeficientes significativamente diferentes de cero. El 52% de la variación de la precipitación
máxima es explicado por las variables independientes. La regresión no es espuria puesto que R2 < Durbin-
Watson. La ecuación obtenida es la siguiente.
Pmax = 6633.116T0.1586(Alt) -0.4534(Lat)0.2566(Long)-0.3966(Osc)-0.5647(HR)0.2372
39
Dónde: Pmax = precipitación máxima en 24 horas (mm), T = periodo de retorno (años), Alt = altitud
(msnm), Lat = latitud sur (grados), Long = longitud oeste (grados), Osc = oscilación media de temperatura
(°C), HR = humedad relativa media (%).
Tabla 24. Modelo de Regresión no lineal entre factores y elementos climáticos y precipitación máxima
Variables Coeficiente Std. Error t-Statistic Probabilidad Coeficiente C(1) 6633.116 113963.8 0.058204 0.9537
Tiempo de retorno C(2) 0.158628 0.022223 7.137890 0.0000
Altitud C(3) -0.453417 0.420032 -1.079483 0.2828
Latitud C(4) 0.256619 0.500683 0.512538 0.6094
Longitud C(5) -0.396621 3.690114 -0.107482 0.9146
Oscilación de T C(6) -0.564742 0.101653 -5.555590 0.0000
Humedad Relativa C(7) 0.237298 0.136190 1.742398 0.0844
R-squared 0.516296 Mean dependent var 66.69955
Adjusted R-squared 0.488656 S.D. dependent var 16.93067
S.E. of regression 12.10684 Akaike info criterion 7.885880
Sum squared resid 15390.44 Schwarz criterion 8.055786
Log likelihood -434.6093 Durbin-Watson stat 0.567740
4.3.3. Modelo de Regresión no lineal 1 entre factores, elementos climáticos y precipitación máxima
En este modelo solo se tomó en cuenta las variables independientes el periodo de retorno, la altitud, la
oscilación media de la temperatura y la humedad relativa, omitiéndose la latitud sur y la longitud oeste.
Tabla 25. Modelo de Regresión no lineal entre factores y elementos climáticos y precipitación máxima
Variables Coeficiente Std. Error t-Statistic Probabilidad.
Coeficiente C(1) 3040.851 9233.601 0.329324 0.7426
Tiempo de Retorno C(2) 0.158573 0.022071 7.184617 0.0000
Altitud (msnm) C(3) -0.470853 0.412513 -1.141426 0.2562
Oscilación de T C(4) -0.572460 0.094918 -6.031109 0.0000
Humedad Relativa C(5) 0.228587 0.128737 1.775617 0.0786
R-squared 0.513868 Mean dependent var 66.69955
Adjusted R-squared 0.495695 S.D. dependent var 16.93067
S.E. of regression 12.02322 Akaike info criterion 7.855173
Sum squared resid 15467.69 Schwarz criterion 7.976534
Log likelihood -434.8897 Durbin-Watson stat 0.568185
La prueba t indica que los logaritmos de las variables que presentan coeficientes significativos son el periodo
de retorno y la oscilación de temperatura al 95% de confianza, los demás logaritmos de las variables no
40
presentan coeficientes significativamente diferentes de cero. El 51% de la variación de la precipitación
máxima es explicado por las variables independientes. La regresión no es espuria puesto que R2 < Durbin-
Watson. La ecuación obtenida es la siguiente.
Pmax = 3040.851(T) 0.1585(Alt) -0.4708(Osc)-0.5724(HR)0.2285
Dónde: Pmax = precipitación máxima en 24 horas (mm), T = periodo de retorno (años), Alt = altitud
(msnm), Osc = oscilación media de temperatura (°C), HR = humedad relativa media (%).
4.3.4. Modelo de Regresión no lineal 2 entre elementos climáticos y precipitación máxima
En este modelo solo se tomó en cuenta las variables independientes el periodo de retorno, la oscilación
media de la temperatura y la humedad relativa, omitiéndose la altitud, la latitud sur y la longitud oeste.
Tabla 26. Modelo de Regresión no lineal entre elementos climáticos y precipitación máxima
Variables Coeficiente Std. Error t-Statistic Probabilidad
Coeficiente C(1) 100.0919 53.51853 1.870228 0.0642
Tiempo de retorno C(2) 0.158973 0.022113 7.189181 0.0000
Oscilación de temperatura C(3) -0.626732 0.083010 -7.550109 0.0000
Humedad Relativa C(4) 0.144774 0.104415 1.386530 0.1684
R-squared 0.507760 Mean dependent var 66.69955
Adjusted R-squared 0.494086 S.D. dependent var 16.93067
S.E. of regression 12.04238 Akaike info criterion 7.849803
Sum squared resid 15662.05 Schwarz criterion 7.946892
Log likelihood -435.5889 Durbin-Watson stat 0.536759
La prueba t indica que los logaritmos de las variables que presentan coeficientes significativos son el periodo
de retorno y la oscilación de temperatura al 95% de confianza, los logaritmos de la variable humedad relativa
media no presenta un coeficiente significativamente diferente de cero. El 51% de la variación de la
precipitación máxima es explicado por las variables independientes. La regresión no es espuria puesto que R2
< Durbin-Watson. La ecuación obtenida es la siguiente.
Pmax = 100.0919 (T)0.1589(Osc)-0.6267(HR)0.1447
Dónde: Pmax = precipitación máxima en 24 horas (mm), T = periodo de retorno (años), Osc = oscilación
media de temperatura (°C), HR = humedad relativa media (%).
41
4.3.5. Modelo de Regresión no lineal 3 entre elementos climáticos y precipitación máxima
En este modelo solo se tomó en cuenta las variables independientes el periodo de retorno y la oscilación
media de la temperatura, omitiéndose la humedad relativa, la altitud, la latitud sur y la longitud oeste.
Tabla 27. Modelo de Regresión no lineal entre elementos climáticos y precipitación máxima
Variables Coeficiente Std. Error t-Statistic Probabilidad
Coeficiente C(1) 193.9512 46.41057 4.179031 0.0001
Tiempo de retorno C(2) 0.158619 0.022207 7.142771 0.0000
Oscilación de Temperatura C(3) -0.650821 0.082013 -7.935578 0.0000
R-squared 0.499140 Mean dependent var 66.69955
Adjusted R-squared 0.489950 S.D. dependent var 16.93067
S.E. of regression 12.09151 Akaike info criterion 7.849305
Sum squared resid 15936.31 Schwarz criterion 7.922122
Log likelihood -436.5611 Durbin-Watson stat 0.516210
La prueba t indica que los logaritmos de las variables que presentan coeficientes significativos diferentes de
cero, son el periodo de retorno y la oscilación de temperatura al 95% de confianza. El 50% de la variación de
la precipitación máxima es explicado por las variables independientes. La regresión no es espuria puesto que
R2 < Durbin-Watson. La ecuación obtenida es la siguiente.
Pmax = 193.9512(T)0.1586(Osc)-0.6508
Dónde:
Pmax = precipitación máxima en 24 horas (mm), T = periodo de retorno (años), Osc = oscilación media de
temperatura (°C).
4.4. Discusión de resultados
4.4.1. Influencia de los factores climáticos en la regionalización de precipitación máxima
Los resultados obtenidos siguen el método tradicional de análisis de frecuencia y prueba de bondad de ajuste
(Chow, Maidment, & Mays, 1994), puesto que una precipitación máxima siempre está asociada a un periodo
de retorno, a comparación en otro estudio se realizó una relación empírica entre la precipitación máxima de
24 horas y la precipitación mensual (Morales, Casanova, Castellaro, & Mattar, 2005). Otros autores
(Nouvelot, Le Goulven, Alemán, & Pourrut, 1995) relacionaron las precipitaciones para periodos de retorno
de 2 años con la precipitación promedio anual, luego la precipitación para periodo de retorno de 10 años con
la de 2 años, habiendo obtenido las precipitaciones con análisis de frecuencia a partir de distribuciones de
probabilidad.
42
El modelo regional propuesto en función de factores climáticos tiene la hipótesis que la precipitación
máxima es explicada por la frecuencia (periodo de retorno) y las variables geográficas de posición lo mismo
que otros autores (Morales, Casanova, Castellaro, & Mattar, 2005), (Saavedra, Müller, & Foppiano, 2002),
que relacionan la frecuencia de precipitación máxima de un mes (i) con el lugar de presión máxima del mes
(i), con la latitud y la longitud, entonces el modelo planteado en la presente investigación tiene base en la
literatura revisada.
Varios autores utilizaron modelos no lineales que predicen la precipitación máxima del mismo modo que los
resultados de la presente investigación, por ejemplo, utilizaron modelos potenciales y lineales combinados
(Morales, Casanova, Castellaro, & Mattar, 2005), (Saavedra, Müller, & Foppiano, 2002). Además de las
variables geográficas de posición y de frecuencia (período de retorno) relacionan la precipitación máxima
con la precipitación promedio (Nouvelot, Le Goulven, Alemán, & Pourrut, 1995) o con la precipitación para
un período de retorno y una duración (Bell, 1969), (Cheng, 1983). Referente a esto en el presente trabajo no
se consideró conveniente utilizan la precipitación media como predictor.
Se halló que la precipitación máxima de 24 horas se explica muy bien con el logaritmo del período de
retorno similar a lo que determinó anteriormente Bell (Bell, 1969) en un modelo no lineal de precipitación
para una duración t y un período de retorno T, donde incluye como variable de predicción la precipitación
para una duración t y un período de retorno de 10 años. Así mismo Cheng obtuvo un modelo no lineal que
relaciona la precipitación máxima de periodo de retorno T con duración t, a una función del logaritmo del
período de retorno T elevado a un exponente (x-1) donde x es la relación G INJOOINJO entre la precipitación
para T = 100 años y T = 10 años ambos para la misma duración (Cheng, 1983). Puesto que existe
gran escases de datos pluviométricos en la gran mayoría de las estaciones utilizadas en esta
investigación, no se tomó en cuenta la variable duración.
4.4.2. Influencia de los elementos climáticos en la regionalización de precipitación máxima
En estudios recientes el elemento climático que utilizaron como predictor de la precipitación máxima fue la
precipitación media en un modelo potencial (Morales, Casanova, Castellaro, & Mattar, 2005) y en función de
precipitaciones para periodos de retorno inferiores (Nouvelot, Le Goulven, Alemán, & Pourrut, 1995), en
cambio en la presente investigación se propone predecir la precipitación máxima a partir del periodo de
retorno, de la oscilación media de la temperatura y de la humedad relativa media como elementos del clima.
La influencia sobre la precipitación máxima, de la oscilación media de temperatura es inversa y de la
humedad relativa media es directa, así mismo, la influencia del periodo de retorno es directa, en las
investigaciones anteriores (Morales, Casanova, Castellaro, & Mattar, 2005), (Saavedra, Müller, & Foppiano,
43
2002), (Nouvelot, Le Goulven, Alemán, & Pourrut, 1995), (Bell, 1969) y (Cheng, 1983), no se utilizaron
estas variables explicativas.
4.4.3. Modelos empíricos de precipitación máxima en función de factores y elementos climáticos
Se obtuvo un modelo no lineal empírico que relaciona la precipitación máxima con el logaritmo del periodo
de retorno, la altitud, la latitud y la longitud, estas variables poseen coeficientes significativos al 95% de
confianza. Se determinaron también cinco modelos empíricos, para 5 regiones homogéneas, las cuales fueron
obtenidas por análisis clúster. En estos modelos la variable que posee mayor influencia en la precipitación
máxima es el periodo de retorno seguido por la altitud y la latitud dependiendo de la zona. Estos resultados
apoyan la hipótesis que la precipitación máxima se relaciona más con el logaritmo del periodo de retorno
como se obtuvo en los resultados de estudios anteriores (Bell, 1969), (Cheng, 1983) y la también muestran
consistencia con la influencia de la latitud y longitud en la frecuencia de precipitación mostrada por otros
estudios (Morales, Casanova, Castellaro, & Mattar, 2005), (Saavedra, Müller, & Foppiano, 2002).
En los modelos empíricos no lineales que relacionan la precipitación máxima con los elementos del clima y
el periodo de retorno, se observa que la oscilación media de la temperatura, la humedad relativa media y el
periodo de retorno, son las variables que tienen mayor influencia por tener coeficientes estadísticamente
significativos al 95% de confianza. En los estudios revisados (Morales, Casanova, Castellaro, & Mattar,
2005), (Nouvelot, Le Goulven, Alemán, & Pourrut, 1995) no se tuvo en cuenta los elementos climáticos
considerados en la presente investigación, en cambio solo consideraron la precipitación media y en otros
estudios (Bell, 1969), (Cheng, 1983) se consideró la precipitación para un periodo de retorno y una duración
especifica como una variable explicativa de los modelos no lineales que propusieron.
44
VI. CONCLUSIONES
- Las distribuciones Log normal 3 parámetros y Log Gumbel son las que se ajustan mejor a las
precipitaciones máximas de 24 horas para todas las estaciones meteorológicas de la vertiente del lago
Titicaca.
- La prueba de normalidad de Anderson-Darling para la precipitación máxima de 24 horas, los
factores climáticos latitud, longitud, altitud y el periodo de retorno, obtuvo probabilidades de
excedencia menores a 0.05 por lo que se tuvo que transformar los datos, además los estadísticos
descriptivos indican también no normalidad de datos.
- El modelo regional no lineal múltiple aditivo entre los factores climáticos y la precipitación máxima
de 24 horas, tiene un ajuste adecuado con datos que se han tenido que transformar con logaritmos y
exponentes.
- El resultado del modelo de regresión lineal con valores transformados obtuvo r2 = 38.8 %, r2ajustado =
36.5%, desviación típica de sy = 0.0141, análisis de varianza que concluye un coeficiente de
determinación significativo al 95% de confianza, un estadístico de Durbin-Watson de 0.5456 que
indica que la regresión no es espuria. Los valores indican en que el modelo no se ajusta
perfectamente a los datos.
- El análisis clúster determino 05 grupos de estaciones con características y valores similares, siendo
estos: grupo I (Ananea y Cojata), grupo II (Arapa, Ayaviri, Azangaro, Cabanillas, Capachica,
Chuquibambilla, Crucero, Huancane, Lampa, Los Uros, Mañazo, Muñani, Pampahuta, Progreso,
Pucará y Putina), Grupo III (Capazo, Mazocruz y Pizacoma), grupo IV (Desaguadero, Huaraya-
Moho, Juli, Laraqueri, Puno, Tahuaco-Yunguyo y Taraco) y grupo V (Isla Taquile); estos grupos son
homogéneos en función a factores climáticos y precipitación máxima para los periodos de retorno
considerados.
- La influencia de los elementos climáticos como la oscilación de temperatura media anual y la
humedad relativa media, junto con los factores climáticos sobre la precipitación máxima en un
modelo no lineal de tipo potencial obtuvo un r2 = 47.98% y un r2ajustado = 45.00 %, un error estándar
de regresión de 12.55 y un estadístico de Durbin-Watson de 0.64, indicando que las variables
independientes tienen influencia sobre la variación de las precipitaciones máximas de 24 horas y que
la regresión no es espuria.
- El modelo más adecuado obtenido tiene la siguiente forma
Pmax = 193.9512 (T)0.1586(Osc)-0.6508
Dónde: Pmax = precipitación máxima en 24 horas (mm), T = periodo de retorno (años), Osc =
oscilación media de temperatura (°C); este modelo presenta coeficientes estadísticamente
significativos al 95% de confianza, un r2 = 50% y un estadístico de Durbin-Watson de 0.52 que
indica que la regresión no es espuria.
45
VII. RECOMENDACIONES
Tomar en cuenta que al considerar solamente la información de precipitación máxima de 24 horas
en los cálculos de diseño hidráulico puede llevar a errores puesto que se oculta la distribución de a
precipitación en el tiempo, lo cual se puede mejorar investigando curvas intensidad-duración-
frecuencia; sin embargo, existen pocas estaciones pluviográficas.
Utilizar esta información, implica mejorar la exactitud de los cálculos y por consiguiente optimizar
la inversión en una obra. Los resultados presentados se convierten en un instrumento general y
versátil para la estimación de Lluvias de Diseño y, por lo tanto, en una herramienta de empleo
asegurado no solo en Hidrología, sino también en la agricultura, Ecología, Diseño de obras y
Planeamientos hidráulicos y obras en zonas de la región del altiplano.
Se recomienda para realizar una mejor caracterización de las tormentas extremas contar con datos
relativos a la temperatura, presión atmosférica e imágenes satelitales de los días pluviométricos, así
como en los días previos y posteriores al mismo, que harían posible encuadrar a cada evento dentro
de una clasificación dada por su génesis que no es posible realizar solo con los datos de
pluviometría.
46
VIII. BIBLIOGRAFÍA O REFERENCIAS
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UNALM.
48
ANEXOS
ESTACIONES METEOROLÓGICAS Y FACTORES CLIMÁTICOS Y P ERIODO DE RETORNO
Estación T (Años) Pmax (Mm) Altitud Latitud Longitud
Ananea 25 52.86 4660 14.67872222 69.53452778
50 66.58 4660 14.67872222 69.53452778
100 82.70 4660 14.67872222 69.53452778
200 101.50 4660 14.67872222 69.53452778
Arapa 25 50.94 3830 15.13555556 70.11861111
50 57.89 3830 15.13555556 70.11861111
100 65.71 3830 15.13555556 70.11861111
200 74.57 3830 15.13555556 70.11861111
Ayaviri 25 55.96 3928 14.88111111 70.59277778
50 62.62 3928 14.88111111 70.59277778
100 69.43 3928 14.88111111 70.59277778
200 76.44 3928 14.88111111 70.59277778
Azangaro 25 57.16 3863 14.91472222 70.19111111
50 63.94 3863 14.91472222 70.19111111
100 70.76 3863 14.91472222 70.19111111
200 77.69 3863 14.91472222 70.19111111
Cabanillas 25 56.11 3900 15.63930000 70.34638889
50 61.60 3900 15.63930000 70.34638889
100 67.01 3900 15.63930000 70.34638889
200 72.38 3900 15.63930000 70.34638889
Capachica 25 54.47 3933 15.61580000 69.84430000
50 61.80 3933 15.61580000 69.84430000
100 69.63 3933 15.61580000 69.84430000
200 78.00 3933 15.61580000 69.84430000
Capazo 25 44.38 4530 17.18638889 69.74555556
50 50.23 4530 17.18638889 69.74555556
100 56.52 4530 17.18638889 69.74555556
200 63.29 4530 17.18638889 69.74555556
Chuquibambilla 25 57.31 3971 14.79638889 70.72833333
50 64.18 3971 14.79638889 70.72833333
100 71.23 3971 14.79638889 70.72833333
200 78.50 3971 14.79638889 70.72833333
Cojata 25 54.17 4380 15.01666667 69.35555556
50 61.52 4380 15.01666667 69.35555556
100 69.39 4380 15.01666667 69.35555556
200 77.85 4380 15.01666667 69.35555556
49
ESTACIONES METEOROLÓGICAS Y FACTORES CLIMÁTICOS Y P ERIODO DE RETORNO
Estacion T (AÑOS) PMAX (mm) ALTITUD LATITUD LONGITUD
Crucero 25 63.78 4183 14.36260000 70.02380000
50 70.74 4183 14.36260000 70.02380000
100 77.63 4183 14.36260000 70.02380000
200 84.52 4183 14.36260000 70.02380000
Desaguadero 25 66.94 3808 16.56880000 69.04040000
50 74.22 3808 16.56880000 69.04040000
100 81.58 3808 16.56880000 69.04040000
200 89.09 3808 16.56880000 69.04040000
Huancane 25 59.84 3890 15.20333333 69.76250000
50 64.52 3890 15.20333333 69.76250000
100 69.04 3890 15.20333333 69.76250000
200 73.45 3890 15.20333333 69.76250000
Huaraya Moho 25 65.62 3890 15.38972222 69.49138889
50 71.10 3890 15.38972222 69.49138889
100 76.49 3890 15.38972222 69.49138889
200 81.83 3890 15.38972222 69.49138889
Isla Taquile 25 84.04 3850 15.77944444 69.69472222
50 99.09 3850 15.77944444 69.69472222
100 116.69 3850 15.77944444 69.69472222
200 137.34 3850 15.77944444 69.69472222
Juli 25 70.26 3812 16.20361111 69.45972222
50 81.3 3812 16.20361111 69.45972222
100 93.96 3812 16.20361111 69.45972222
200 108.55 3812 16.20361111 69.45972222
Lampa 25 54.82 3892 15.35583333 70.37277778
50 59.57 3892 15.35583333 70.37277778
100 64.22 3892 15.35583333 70.37277778
200 68.81 3892 15.35583333 70.37277778
Laraqueri 25 66.21 3900 16.15250000 70.06777778
50 77.50 3900 16.15250000 70.06777778
100 89.92 3900 16.15250000 70.06777778
200 103.56 3900 16.15250000 70.06777778
Los Uros 25 50.41 3808 15.79638889 69.91500000
50 54.22 3808 15.79638889 69.91500000
100 57.79 3808 15.79638889 69.91500000
200 61.19 3808 15.79638889 69.91500000
Mañazo 25 61.54 3920 15.81333333 70.33888889
50 69.18 3920 15.81333333 70.33888889
100 76.97 3920 15.81333333 70.33888889
200 84.95 3920 15.81333333 70.33888889
50
ESTACIONES METEOROLÓGICAS Y FACTORES CLIMÁTICOS Y P ERIODO DE RETORNO
Estación T (Años) Pmax (Mm) Altitud Latitud Longitud
Mazo Cruz 25 40.22 4003 16.74555556 69.71166667
50 42.86 4003 16.74555556 69.71166667
100 45.29 4003 16.74555556 69.71166667
200 47.56 4003 16.74555556 69.71166667
Muñani 25 40.5 3948 14.77944444 69.96583333
50 43.44 3948 14.77944444 69.96583333
100 46.27 3948 14.77944444 69.96583333
200 49.02 3948 14.77944444 69.96583333
Pampahuta 25 45.99 4400 15.49138889 70.67750000
50 48.49 4400 15.49138889 70.67750000
100 50.85 4400 15.49138889 70.67750000
200 53.10 4400 15.49138889 70.67750000
Pizacoma 25 49.76 3930 16.91500000 69.37277778 50 54.05 3930 16.91500000 69.37277778
100 58.18 3930 16.91500000 69.37277778
200 62.20 3930 16.91500000 69.37277778
Progreso 25 42.46 3980 14.69472222 70.35555556
50 46.02 3980 14.69472222 70.35555556
100 49.52 3980 14.69472222 70.35555556
200 52.99 3980 14.69472222 70.35555556
Pucara 25 56.53 3900 15.03361111 70.37277778
50 61.84 3900 15.03361111 70.37277778
100 67.03 3900 15.03361111 70.37277778
200 72.14 3900 15.03361111 70.37277778
Puno 25 63.61 3812 15.82333333 70.01805556
50 73.70 3812 15.82333333 70.01805556
100 85.30 3812 15.82333333 70.01805556
200 98.67 3812 15.82333333 70.01805556
Putina 25 48.30 3878 14.9150000 69.86805556
50 51.44 3878 14.9150000 69.86805556
100 54.36 3878 14.9150000 69.86805556
200 57.13 3878 14.9150000 69.86805556
Tahuacoyunguyo 25 56.72 3891 16.3050000 69.06750000
50 64.43 3891 16.3050000 69.06750000
100 72.75 3891 16.3050000 69.06750000
200 81.73 3891 16.3050000 69.06750000
Taraco 25 68.61 3849 15.3050000 69.98250000
50 81.06 3849 15.3050000 69.98250000
100 94.77 3849 15.3050000 69.98250000
200 109.85 3849 15.3050000 69.98250000
51
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO PUNO
OFICINA UNIVERSITARIA DE INVESTIGACIÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA AGRÍCOLA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA AGRÍCOLA
INFORME FINAL DE INVESTIGACIÓN
INFLUENCIA DE FACTORES CLIMÁTICOS EN LA REGIONALIZACIÓN DE PRECIPITACIONES
MÁXIMAS EN LA VERTIENTE DEL LAGO TITICACA
PRESENTADO POR:
EDUARDO FLORES CONDORI
EDUARDO LUIS FLORES QUISPE
PUNO – PERÚ
2013