TEORÍA DE NÚMEROS

EDUCACIÓN MATEMÁTICA

ESCUELA DE POSTGRADO

DOCENTE: FABIO A. CONTRERAS ORÉ

• TEOREMA DE LA DIVISIÓN EUCLIDEANA• IDEALES DE UN ANILLO• MCM Y MCD• ALGORITMOS PARA CALCULAR EL MCD Y EL MCM

• EUCLIDES • Matemático griego (330 ac – 275 ac).• Su obra Elementos.• Elementos texto ejemplar.• Estableció una proposición matemática.

ALGORITMO• Del latín, dixit algorithmus y éste a su vez del matemático

persa al – Jwarizmi).• Es una lista bien definida, ordenada y finita de operaciones

que permiten hallar la solución a un problema.• De entrada y salida.• Algoritmo se diferencia de un programa.

• ALGORITMO DE EUCLIDES• El algoritmo de Euclides es un método antiguo y práctico para

calcular el máximo común divisor (MCD).• Fue presentado en Elementos.

• ALGORITMO ORIGINAL DE EUCLIDES• En la concepción griega de la matemática, los números se

consideraban como magnitudes geométricas.• Conmensurabilidad de los segmentos: dos segmentos

(números) AB y CD son conmensurables cuando existe un tercer segmento PQ.

• En lenguaje moderno el algoritmo se presenta como :• Dado dos segmentos AB y CD (con AB>CD), restamos CD de AB

tantas veces como sea posible. Si no hay residuo, entonces CD es la máxima medida común.

• Si se obtiene un residuo EA, éste es menor que CD y podemos repetir el proceso restamos EA tantos veces como sea posible de CD. Si al final no queda un residuo. EA es la medida común. En caso contrario obtenemos un nuevo residuo FC menor a EA.

• El proceso se repite hasta que en algún momento no se obtiene residuo. Entonces el último residuo obtenido es la mayor medida común.

• ALGORITMO TRADICIONAL DE EUCLIDES • Al dividir a entre b (números enteros), se obtiene un cociente

q y un residuo r. Es posible demostrar que el máximo común divisor de a y b es el mismo que el de b y r (Sea c el máximo común divisor de a y b. Como a = bq + r y c divide también a r. Si existiera otro número mayor que c que divide a b y a r, también dividiría a a, por lo que c no sería el mcd de a y b, lo que contradice la hipótesis). Éste es el fundamento principal del algoritmo.

• Según lo antes mencionado, para calcular el máximo común divisor de 48 y 36 se procede de la siguiente manera:

Paso Operación Significado

1 48 entre 36 es 1 y sobra 12

mcd(48;36)=mcd(36;12)

2 36 entre 12 es 3 y sobra 0

mcd(36;12)=mcd(12;0)

ALGORITMO DE LA DIVISIÓN

Definición:

• Dados los enteros a; b con b0 existen enteros q y r tales que a=bq+r y 0r|b|.

TEOREMA:Para a y b dos enteros diferentes de cero, existen enteros únicos q y r tales que: a = bq + r, 0r|b|

• Demostración:Si (a=bq1+r1, con 0r1b y a=bq2+r2 , con 0r2 b) → q1 = q2 y r1 = r2 .

Como a = bq1 + r1 y a = bq2 + r2

→ (bq1 + r1 ) = (bq2 + r2 )

→ (bq1 – bq2 ) = (r2 – r1 )

→ b(q1 – q2 ) = (r2 – r1 )

Es decir (r2 – r1 ) es divisible por b, pero 0 r1 b y 0r2 b, es decir, que no existe múltiplo alguno entre 0 y b, se tiene que (r2 – r1 ) = 0 de donde se deduce que r1 = r2, por tanto b(q1 – q2 )=0, pero como b0, entonces (q1 – q2 )=0, de donde q1 = q2 .

TEOREMA:• Todo entero que divide a otros dos, divide al residuo de la

división de éstos.

Ejemplo:• Sea 7 que divide a un dividendo 49 y aun divisor 35. Como el

residuo de dividir 49 entre 35 es 14, luego 7 divide a 14.

TEOREMA:• Si dos enteros divididos por un tercero dan residuos iguales, la

diferencia de estos dos números es divisible por el tercero.

APLICACIONESJuanito sale de casa con varios caramelos y vuelve sin ninguno. Su madre le pregunta qué ha hecho con ellos. Juanito responde: A cada amigo le di la mitad de los caramelos que llevaba más uno. ¿Con cuántos amigos te encontraste), respondió: con 6. Determina con cuántos caramelos salió Juanito.

• En el mes de junio del 2012, Pedro suma al número de los años que vivió, el número de meses vividos, obteniendo 315. ¿En qué año y mes nació Pedro?

• CONSECUENCIA INMEDIATA DE LA DIVISIÓN EUCLIDIANA• Una consecuencia inmediata de la división euclidiana es la

posibilidad de representar un número entero en un sistema de numeración posicional en una base determinada.

• Ejemplo:• Representar 35 en base 4.• 105 = 26(4) + 1 … (1)• 26 = 6(4) + 2 … (2)• 6 = 1(4) + 2 … (3)• Reemplazando (2) en (1):• 105=[6(4)+2](4)+1=6(42)+2(4)+1 … (4)• Reemplazando (3) en (4):• 105=[1(4)+2](42)+2(4)+1=1(43)+2(42)+2(4)+1 • Que en forma abreviada, en base 4 se representa:• 105 = 1221(4)

IDEAL DE UN ANILLO

• La teoría de los ideales fue creada por Richard Dedekind – matemático alemán - hacia el final del siglo XIX.• Un ideal es una estructura algebraica definida en un

anillo.

«Los ideales generalizan de manera fecunda el estudio de la divisibilidad en los números enteros. De este modo, es posible

enunciar versiones muy generales de teoremas aritméticos tales como el teorema chino del resto o el teorema

fundamental de la aritmética, válidos para los ideales».

http://es.wikipedia.org

Definición• Dado un anillo A, I A es ideal si:

i. I es subanillo de Aii. x A, a I xa I y xa I

Un subanillo B de A, es un subconjunto B ⊂ A que es anillo con las operaciones heredadas de A.Es decir:

(x - y) B xy B

IdealBilátero

Teoremas

• Todos los subgrupos

• La intersección de un conjunto arbitrario de ideales de un anillo es un ideal, es decir, si para todo j J, Ij es un ideal, entonces

Ideal principal

• Un ideal principal es un ideal generado por un único elemento. Si R es un anillo conmutativo y a es un elemento de R, el ideal principal generado por a es el conjunto

• Teorema:

Todos los ideales de ℤ son principales.

Maximal

Teorema: Si M es un ideal de , entonces ℤ M es maximal si y sólo si M = p , para algún p primo.ℤ

• Un ideal M de un anillo A se dice maximal si y solo si M A y para todo ideal N de A, si M N A, entonces N = A.Es decir, un ideal es maximal si no está contenido en ningún otro ideal trivial.

Corolario

• El generador del ideal es el mínimo común múltiplo de los generadores de los ideales a y bℤ ℤ

Ejemplo:

Hallar el mínimo común múltiplo de 12 y 15 12 = 12 = ℤ … -72, -60, -48, -36, -24, -12, 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, …15 = 15 = ℤ … -90, -75, -60, -45, -30, -15, 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, …12 ∩ 15 = ℤ ℤ … -240, -180, -120, -60, 0, 60, 120, 180, 240, …

Luego 60 es el mínimo común múltiplo de 12 y 15. Es decir, 60 = 12; 15 ⦋ ⦌

• Teorema:

El conjunto a + b de todas las combinaciones lineales de a y b, ℤ ℤes un ideal de . Es decir:ℤ

a + b = ℤ ℤ am + bm; m, n ℤ es un ideal de ℤ. • Teorema:

El generador del ideal a + b es el máximo común divisor de los ℤ ℤgeneradores de los ideales a y b , además el máximo común ℤ ℤdivisor de dos enteros a y b es la menor combinación lineal de a y b.