Identidades trigonomtricas

Todas las funciones en O.

Identidades trigonomtricas fundamentales, y cmo convertir de una funcin trigonomtrica a otra.Unaidentidad trigonomtricaes una igualdad entre expresiones que contienenfunciones trigonomtricasy es vlida para todos los valores del ngulo en los que estn definidas las funciones (y las operaciones aritmticas involucradas).Notacin:se define sen2 como (sen )2. Lo mismo se aplica a las dems funciones trigonomtricas.ndice[ocultar]1Relaciones bsicas2Teoremas de la suma y diferencia de ngulos3Identidades del ngulo mltiple4Identidades del ngulo doble, triple y medio4.1Producto infinito de Euler5Identidades para la reduccin de exponentes6Paso de producto a suma7Paso de suma a producto8Paso de diferencia de cuadrados a producto9Eliminar seno y coseno10Funciones trigonomtricas inversas10.1Composicin de funciones trigonomtricas11Frmula de productos infinitos12Frmula de Euler13Teorema del Coseno14Teorema del seno14.1Demostracin14.2Aplicacin15Definiciones exponenciales16Vase tambin17Referencias17.1Bibliografa17.2Enlaces externosRelaciones bsicas[editar]Relacin pitagrica

Identidad de la razn

De estas dos identidades, se puede elaborar la siguiente tabla. Sin embargo, ntese que estas ecuaciones de conversin pueden devolver el signo incorrecto (+ ). Por ejemplo, sila conversin propuesta en la tabla indica que, aunque es posible que. Para obtener el signo correcto se necesitar saber los valores para los cuales la funcin trigonomtrica en cuestin es negativa o positiva.Funciones trigonomtricas en funcin de las otras cinco.1

En trminos de

De las definiciones de las funciones trigonomtricas:

Son ms sencillas de probar en lacircunferencia trigonomtricao goniomtrica (que tiene radio igual a 1):

A veces es importante saber que cualquiercombinacin linealde una serie de ondas senoidales que tienen el mismo perodo pero estn desfasadas, es tambin una onda senoidal del mismo perodo pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:

Es llamadaidentidad trigonomtrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades ms, muy tiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la funcin seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).Por ejemplo, si se divide ambos miembros de "sen + cos = 1" por cos, se obtiene:

Ahora, dividiendo ambos miembros de la misma expresin por el sen, se obtiene:

Entonces puede expresarse la funcin seno segn alguna otra conocida:

Ejemplo 2:

Demostracin:

Teoremas de la suma y diferencia de ngulos[editar]Pueden demostrarse segn laFrmula de Eulero mediante la proyeccin de ngulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recproca correspondiente.[Expandir]

De lo que se sigue para determinadosngulos suplementarios:

Parangulos complementarios:

Para ngulos opuestos:

Identidades del ngulo mltiple[editar]SiTnes eln-simoPolinomio de Chebysheventonces

Frmula de De Moivre:

Identidades del ngulo doble, triple y medio[editar]Pueden obtenerse remplazndolo y por x (o sea) en las identidades anteriores, y usando el teorema de Pitgoras para los dos ltimos (a veces es til expresar la identidad en trminos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando laFrmula de De Moivrecuando.Frmula del ngulo doble

Frmula del ngulo triple

Frmula del ngulo medio

Producto infinito de Euler[editar]

Identidades para la reduccin de exponentes[editar]Resuelve las identidades tercera y cuarta del ngulo doble para cos(x) y sen(x).Paso de producto a suma[editar]Puede probarse usando el teorema de la suma para desarrollar los segundos miembros.[Expandir]

Paso de suma a producto[editar]Paso de diferencia de cuadrados a producto[editar]

Deduccin1) recordando: que cateto opuesto sobre cateto adyacente