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IDENTIFICACIÓN DE IDENTIFICACIÓN DE SISTEMASSISTEMAS
Ing. Fredy Ruiz [email protected]
Maestría en Ingeniería ElectrónicaPontificia Universidad JaverianaPontificia Universidad Javeriana
20132013
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Información general
• Horario: Jueves 14:00 – 17: 00 – Inicio 2:10 – Pausa 3:30-3:40– Fin 5:00
• Contacto– Via correo electrónico: [email protected]– Página web: http://www.javeriana.edu.co/ruizf– Tarea 1. Tarea 1. Enviar correo para formar la lista de clase
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PREREQUISITOS• Señales y Sistemas
– Teoría de señales: espectro, filtraje.– Sistemas lineales: rta. impulso, función de
transferencia, rta. en frecuencia, estabilidad, variables de estado.
• Probabilidad– Variables aleatorias– Valor medio, varianza– Dist. Gausiana– Ruido blanco
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PROGRAMAPARTE I. TEORÍA DE ESTIMACIÓN1. Repaso:
– teoría de señales– sistemas lineales– procesos estocásticos
2. Estima paramétrica en contexto estocástico– Propiedades de un estimador– Limite de Cramer-Rao– Estima de mínima varianza– Mínimos cuadrados– Máxima verosimilitud
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PROGRAMA
PARTE II. FILTRAJE ÓPTIMO3. Estimación de señales
– Filtro de Wiener– Estimación espectral
4. Estima óptima del estado– Filtro de Kalman– Filtros no lineales
• Extended Kalman• Unscented Kalman• Particle Filter
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PROGRAMAPARTE III. IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS4. Estimación paramétrica estocástica
– Prediction error methods– Instrumental variables methods– Subspace methods
5. Estimación determinística 6. Identificación de sistemas no lineales
– Modelos de base fija– Modelos de base variable
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BIBLIOGRAFÍA• Optimal and Robust Estimation: With an Introduction to
Stochastic Control TheoryFrank L. Lewis, Lihua Xie, Dan Popa
• Bayesian signal processing classical, modern, and particle filtering methods Candy, James
• Optimal state estimation Kalman, Hoo and nonlinear approaches Simon, Dan
• System Identification - Theory For the UserLennart Ljung
• Multivariable system identification for process control Zhu, Yucai
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EVALUACION
• Proyecto filtraje 25%• Proyecto identificación 25%• Tareas 25%• Presentaciones 25%
Las fechas de entregas de trabajos son fijas. En caso de entrega tardía se sancionará el retardo con reducción de la
nota.
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METODOLOGÍA• Preparación: lecturas previas como secciones
indicadas del texto guía o artículos técnicos.• Encuentro semanal: sesiones teóricas,
ejemplos de aplicación, sesiones prácticas (Matlab).
• Refuerzo: verificación de demostraciones, ejercicios simulados,…
OJO: El objetivo del curso es estudiar la teoría de identificación de sistemas, NO es un
tutorial de herramientas informáticas
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EL PROBLEMA DE LA ESTIMACIÓN
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Teoria de la estima• El problema de la estima consiste en la valoración
empírica de una magnitud incierta, como:– un parámetro desconocido – una señal no medida
con base en medidas experimentales obtenidas del fenómeno.• La incertidumbre se puede modelar de varias
formas– Variables aleatorias (probabilidad)– Señales desconocidas pero limitadas (UBB)
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Estimación paramétrica
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Estimación paramétrica
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Teoria de la estima• Filtraje: Dado un modelo dinámico de un proceso
con entradas desconocidas,se estudia la estimación de una señal no medida o medida con ruido.
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Identificación de sistemas• “Inferring models from observations and studying their
properties is really what science is about”Lenart Ljung
• SYSID es una materia transversal a muchas áreas de la ciencia que se ocupa de la construcción de modelos matemáticos de sistemas (estáticos o dinámicos) con base en datos obtenidos del sistema.– Ingeniería– Economía– Biología– ...
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EL PROBLEMA DE LA ESTIMACIÓN
• La ciencia moderna usa un lenguaje matemático para describir los fenómenos
• En un primer tiempo, se usan “leyes fundamentales” para construir los modelos– Newton– Kirchoff– Laplace - Determinismo– ....
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EL PROBLEMA DE LA ESTIMACIÓN
• Cuando los sistemas en estudio aumentan de complejidad, no es posible seguir esta aproximación– Comportamientos desconocidos– Modelos altamente complejos -> inútiles
• SYSID Procedimiento inverso:– Partiendo de los datos, inferir las propiedades del
sistema que los produjo.
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CONSTRUCCIÓN DE MODELOS
• Se quiere estudiar un sistema real con un objetivo definido:– Interpretación– Diseño– Predicción– Control – Detección de fallas– ...
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CONSTRUCCION DE MODELOS
• Existen dos aproximaciones al problema de identificación:
Aprox. Física: el objetivo es la reproducción de la estructura interna del sistema.
• Estructura fija• Estima de parámetros físicos
El problema de estimación resultante es complejo, óptimización no-convexa
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CONSTRUCCION DE MODELOS
Aprox. Caja-negra: reproducción de la relación entrada-salida del sistema
• La estructura es parte del diseño• Estima de parámetros “no interpretables”• Para algunas estructuras es convexo y
computacionalmente eficiente.
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CONSTRUCCION DE MODELOS
La información sobre el sistema es de dos tipos• “A priori”: Información disponible sobre el
sistema, hipótesis, leyes, ...– define la estructura del modelo matemático M (p)
– Lineal - no lineal– Orden– Características del ruido– ...
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CONSTRUCCION DE MODELOS
• “A posteriori”: Información experimental.– Permite la estima del parámetro p– Valoración de la congruencia entre información
“a priori” y “a posteriori”
Medición del error Un modelo es inútil si no viene medida
la incertidumbre y el error cometido debido a ella.
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Ejemplos• Identificación de la dinámica vertical de un
vehículo: – Objetivo: Construir un modelo que permita
simular la aceleración de chasis y ejes de un vehículo en función del perfil de la vía y la fuerza del amortiguador
– Uso: Diseñar y sintonizar estrategias de control para vehículos con suspensión activa
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• Experimentos realizados por FIAT-Elasis Research Center
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Modelo “a priori” basado en las leyes físicas
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Con los datos experimentales “a posteriori” se identifica un modelo back-box no lineal de orden 2 para cada aceleración, usando técnicas Set Membership.
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Ejemplo 2. Predicción de la concentración de ozono en la troposfera
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Objetivo: Predecir el valor máximode O
3 al día t+1
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Datos disponibles
• datos de identificación 1995-1998, estos datos se usan para estimar modelos con diversas estructuras usando varios métodos
• datos de validación 1999, estos datos se usan para seleccionar los mejores modelos y hacer un ajuste fino.
• datos de prueba 2000-2001, estos datos permiten evaluar la calidad de los modelos seleccionados.
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Resultados
Los datos disponibles no contienen suficiente información!!!
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Material adicional
• DaISy (Database for the Identification of Systems) http://homes.esat.kuleuven.be/~smc/daisy/
• MATLAB System Identification Toolbox User's Guide
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IDENTIFICACION DE SISTEMASIDENTIFICACION DE SISTEMAS
Maestría en Ingeniería ElectrónicaPontificia Universidad JaverianaPontificia Universidad Javeriana
20132013
CAPÍTULO 1. REPASOCAPÍTULO 1. REPASOPROBABILIDAD Y SISTEMAS DINÁMICOSPROBABILIDAD Y SISTEMAS DINÁMICOS
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Variable aleatoria• Descripción matemática de los posibles resultados de
un experimento que no se puede predecir exactamente.
• Variable continuaLa probabilidad de que e tome un valor en el intervalo [a, b), es:
donde fe(x) es la función de densidad de probabilidad PDF
de la variable aleatoria e.• La probabilidad de un punto es cero!!!!
e∈ℜ
P (a⩽e<b)=∫a
bf e(x)dx
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Variables aleatoriasDistribución gausiana o normal, N(μ,σ2)
Imagen tomada de Wikimedia commons.
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Variables aleatoriasVariables aleatorias vectoriales
La PDF es una función vectorial:
Y la probabilidad de que e caiga en un volumen de Rn es:
e=[e1
e2
e3]∈ℜn
f e(x): ℜn →ℜ
P (e∈B)=∫Bf e(x)dx ; B⊂ℜn
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Variables aleatoriasMomentos
• Valor esperado– E[e]=∫
R x f
e(x)dx = m
Resultado promedio del experimento luego de muchas repeticiones.• Varianza
– Cov[e] = P[e]=E[(e-E[X])∙(e-E[X])T]Medida de la dispersión delos resultados del experimento. Cov[e] es una matriz simétrica con diagonal positiva.
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Variables aleatorias• Dadas X, Y, Z: variables aleatorias (posiblemente
vectoriales)
• x, y, z son realizaciones de V.A.
– Funciones de densidad de probabilidad:
• fX (x), FDP de X
• fXZ
(x,z), FDP conjunta de X y Z
• fXZ
(x,z)=fX (x) * f
Z (z), Variables independientes
• fX/Z
(x/z) = fXZ
(x,z) / fZ(z), Probabilidad condicional
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Problema de la estima• θ(t): magnitud real a estimar, escalar o vectorial,
constante o variable con el tiempo.
• d(t): datos disponibles, capturados en el instante
de tiempo t.
• d = {d(t1), d(t
2), . . ., d(t
N)}: conjunto de medidas.
Los instantes de observación {t1, t
2 , ...,t
N} pueden ser
periódicos o no periódicos.
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Problema de la estima• Un ESTIMADOR o Algoritmo de Estima es una
función f(∙) que asocia a los datos un valor de la
magnitud a estimar:
• Por Estima se entiende el valor específico que entrega
el estimador ante un conjunto de medidas
particular.
θ̂= f (d )
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Clasificación de los problemas de estima• θ(t) es constante en el tiempo => problema de estimación
paramétrica– El estimador se indica con – El valor verdadero de la magnitud se indica con
• θ(t) es función del tiempo– El estimador se indica con– El tipo de problema depende de la relación entre t y t
N:
• Si t > tN: problema de predicción
• Si t = tN: problema de filtraje
• Si t < tN: problema de interpolación o smoothing
o
θ̂(t∣t N )
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Descripción probabilística de los datosLos datos son generados por una fuente aleatoria S,
dependiente de:
– El resultado de un experimento casual s
– El valor verdadero de la magnitud a estimar.
d=d(s, )
Los datos son variables aleatorias, dado que son
una función de s
o
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Propiedades de un estimador
• Los datos son una variable aleatoriad=d(s, )
• La estima es una función de los datos=f(d)
Por lo tanto, también el estimador y la estima son variables aleatorias.
• La calidad de f(*) dependen de sus características estocásticas.
o
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Características estocásticas de un estimador
No polarización
El valor medio o valor esperado de la estima debe ser el valor verdadero de la variable estimada, de otro modo el estimador introduce un error sistemático en la estima
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Características estocásticas de un estimador
Eficiencia
Un estimador es de mínima varianza si su dispersión entorno al valor esperado es la menor posible.
Menor dispersión => mayor probabilidad de obtener una estima cercana al valor verdadero
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Características estocásticas de un estimador
Consistencia
A medida que el numero de datos aumenta, la varianza de la estima se reduce y tiende asintóticamente a 0.
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EjemploConsideremos N datos escalares d
i con el mismo valor
medio: E[d
i]=
Con varianzas eventualmente diferentes pero limitadas:
los datos son descorrelacionados entre ellos, es decir:
Objetivo: estimar el valor medio de los datos o
o
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EjemploEstimador 1: Media de las muestras
Estimador 2: Dato arbitrario
Estimador 3: Media pesada de las muestras
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Estimador 1: media de las muestras
Es un estimador no polarizado:
Consistente:
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Estimador 2:
Es un estimador no polarizado:
No consistente:
La varianza no varía con el número de datos.
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Estimador 3: Media pesada
Es un estimador no polarizado si:
Dado que:
Se demuestra que el estimador a mínima varianza (eficiente) se construye con los pesos:
Intuitivamente, los datos mas inciertos son menos relevantes => tienen un peso menor.
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Tarea 1Dado un conjunto de medidas, descritas por la ecuación:
Vk = R I
k +η
k
donde:– R: resistencia (valor a estimar)– I
k y V
k: medidas de voltaje y corriente en los
terminales de la resistencia.– η
k : ruido blanco gausiano de valor medio cero y
varianza σ2k.
– N = 20 medidasLos datos se encuentran en el archivo datos_R.mat. En estos datos σ2
k=16.
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Problema:Estimar el valor de R usando los tres estimadores
vistos en clase• En el caso de media de las muestras pesadas, suponga
σ2k=16/I
k
Comparar los resultados obtenidos confrontando:• valor de R • varianza de la estima.