Identificacion Notas Metodos
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7/26/2019 Identificacion Notas Metodos
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1
Carlos Mario Vlez S. Universidad EAFIT
Mtodos de identificacin
Objetivo especfico
Especificar y describir matemticamente losprincipales mtodos paramtricos y noparamtricos de identificacin de sistemas, loscuales permiten determinar el mejor modeloexperimental a partir de un conjunto de datos
2
Carlos Mario Vlez S. Universidad EAFIT
Mtodos de identificacin
Temas
1. Mtodos no paramtricos: Mtodo de respuestatransitoria, Mtodo de respuesta frecuencial, Anlisis decorrelacin, Anlisis espectral
2. Mtodo de mnimos cuadrados3. Mtodo de error de prediccin4. Mtodo de variable instrumental5. Mtodo de mxima verosimilitud6. Identificacin en lazo cerrado
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Carlos Mario Vlez S. Universidad EAFIT
Mtodos no paramtricos
Caractersticas: No se asume una estructura de modelo especfica Se obtienen de curvas o tablas. No paramtrico no significa que no hayan parmetros,
sino que los parmetros no se encuentran en unvector que se pueda calcular directamente.
No consideran las perturbaciones. Son mtodos off-line. Principales mtodos: mtodo de respuesta transitoria,
mtodo de respuesta frecuencial, anlisis de
correlacin, anlisis espectral
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Carlos Mario Vlez S. Universidad EAFIT
Mtodos no paramtricosMtodo de respuesta transitoria. Caractersticas
El modelo se aproxima a uno de primer orden o a unode segundo orden subamortiguado
Generalmente es el primer mtodo a aplicar, debido aque nos da una primera idea del comportamiento delproceso
Es fcil de utilizar y comprender Da una idea inicial de la dinmica del sistema
(sobretodo del retardo) La entrada es un escaln
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Carlos Mario Vlez S. Universidad EAFIT
Mtodos no paramtricos
Mtodo de respuesta transitoria. Modelogeneral de primer orden
T- constante de tiempo del sistemak- ganancia del sistema
- retardo puro del sistemaA - amplitud de la entrada escaln del sistema
( ) ( )1
(1 ) ( - )
s
p
t
T
keG s Ty y ku t
Ts
y Ak e u t
= + = +
=
Respuesta a un escaln:
6
Carlos Mario Vlez S. Universidad EAFIT
Mtodos no paramtricosMtodo de respuesta transitoria. Modelogeneral de primer orden
-
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Carlos Mario Vlez S. Universidad EAFIT
Mtodos no paramtricos
1 2 ( 0.632 ) ( 0.282 )
3
y Tk T t y Ak t y Ak
u
= + = = + = =
Clculo del modelo de primer orden mtodo II
batxTT
tAk
y +=+=
1ln
Por regresin con mnimos cuadrados se calculan a y b
1, ,
b yT k
a a u
= = =
Mtodo de respuesta transitoria. Modelogeneral de primer orden
Clculo del modelo de primer orden mtodo I
8
Carlos Mario Vlez S. Universidad EAFIT
Mtodos no paramtricos
22 2
2 2
- ( - )
12
2
1
( ) 2 ( )2
1: 1- sen( ( - ) ) ( - )
1
1 arccos
o
s
o
p o o o
o o
t
o
k eG s y y y k u t
s s
y Ak e t u t
= + + = + +
= +
= =
Respuesta a un escaln
k- ganancia del sistema - retardo puro del sistemao - frecuencia natural (no amortiguada) del sistema1 - frecuencia amortiguada del sistema - coeficiente de amortiguamiento (0 < < 1 )A - amplitud de la entrada escaln del sistema
Mtodo de respuesta transitoria. Modelogeneral de segundo orden
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Carlos Mario Vlez S. Universidad EAFIT
Mtodos no paramtricos
Mtodo de respuesta transitoria. Modelogeneral de segundo orden
2
2
2
1
1ln ( / )
1
p
o
p
yk
u
M Ak
t
=
=
+
=
10
Carlos Mario Vlez S. Universidad EAFIT
Mtodos no paramtricos
En cierto experimento se aplic un escalnunitario y se recogieron datos de la salida,como se muestra a continuacin
0 1 2 3 4 5 60
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Time (second)6.0000 0.2119
5.5000 0.2118
5.0000 0.2117
4.5000 0.2112
4.0000 0.20993.5000 0.2065
3.0000 0.1972
2.5000 0.1723
2.0000 0.1085
1.5000 0.0027
1.0000 0
0.5000 0
0 0
t y(t)
Mtodo de respuesta transitoria. Modelogeneral de segundo orden - Ejemplo
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Mtodos no paramtricos
Mtodo de respuesta transitoria. Modelo generalde segundo orden Ejemplo (cont.)
El sistema se asemeja a uno de primer orden (enrealidad es de segundo orden) con retardo (1.5 segaproximadamente)
Aplicaremos el mtodo sobre el subconjunto dedatos entre 2 y 5 seg
El valor final es aproximadamente igual a Ak= 0.212 k= 0.212, T= 0.5201 , = 1.6179, r= -0.9998
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Carlos Mario Vlez S. Universidad EAFIT
Mtodos no paramtricosMtodo de respuesta frecuencial
Este mtodo se basa en el anlisis de los diagramasde Bode.
Los diagramas para la amplitud y la fase puedenobtenerse experimentalmente para cierto nmero defrecuencias, utilizando entradas sinusoidales.
La respuesta frecuencial de sistema es:
y A t u B t= + =sen( ) sen paraA B G i B G i G i
G iG i
G i
= = +
= =
( ) Re ( ) Im ( )
arg ( ) arctgIm ( )
Re ( )
2 2
-
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Mtodos no paramtricos
Ejemplodediagramade Bode
Frequency (rad/sec)
Phase(deg);Magnitude(dB)
Bode Diagrams
-40
-30
-20
-10
0From: U(1)
10-1
100
101
-1000
-500
0
500
To:Y(1)
Mtodo de respuesta frecuencial
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Mtodos no paramtricos
s Ts s em m
o o o
s + + +, ( ) , ( ) ,1 22 2 2 1
Clculo por el mtodo perfeccionado:
2 2
1 1
( ) ( ) ( )( ) y ( ) arctg/ 2 ( )
1 1( ) ( )cos y ( ) ( )sen y
c s c
N Ns
N N
c s
t t
y N y N y N
G i B y N
y N y t t y N y t tN N
= =
+
= =
= =
donde,
Mtodo de respuesta frecuencial
Calculando las asntotas, pendientes, frecuencias decodo y otras caractersticas se puede determinar lacontribucin de constantes y factores como:
-
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Mtodos no paramtricos
Mtodo de respuesta frecuencial. Caractersticas Se puede obtener una buena aproximacin de G(s) a
pesar del ruido Se puede comprobar si el sistema tiene ceros o polos
inestables (sistema de fase no mnima). El diagrama de Bode puede obtenerse fcilmente en
el rango de inters Desventaja: muchos sistemas no admiten seales
sinusoidales en su operacin normal (sistemasexotrmicos) o tienen constantes de tiempo muygrandes (largos perodos de experimentacin)
Para reducir la influencia de ruidos se debe tomar unnmero grande de muestras
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Mtodos no paramtricosAnlisis de correlacin
La entrada u(t) en este mtodo es normalmente unaPRBS
No se obtiene una funcin de transferencia directa,sino un valor numrico (respuesta impulsional) encada instante de muestreo
No debe existir ninguna correlacin entre la seal deentrada y el ruido para obtener los resultadosesperados
Si el ruido no es blanco se deben filtrar los datos deentrada y salida por medio de un filtro de blancura
No da resultados muy exactos, aunque s con ciertacorrelacin con los resultados reales
-
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Mtodos no paramtricos
Anlisis de correlacin Estructura del modelo
0
( ) ( ) ( ) ( )k
y t h k u t k e t
=
= +{h(k)} - secuencia de ponderacin (respuesta impulsional)
1
2
1
1( ) ( )
( ) , 0,1,... 1 , ( ) 0 si1
( )
N
t
N
t
y t u tNh N h N
u tN
= +
=
= = =
Clculo del modelo (secuencia de ponderacin)
2
0
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
: ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( )
yu
k
R Ey t u t h k Eu t k u t Ey t e t h
Ey t e t Eu t k u t k
=
= + =
= =
Se asume que y
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Mtodos no paramtricosAnlisis espectral
Mtodo muy verstil, ya que no existe ningunarestriccin para la seal de entrada, excepto que nodebe tener ninguna correlacin con la perturbacin
El modelo matemtico se obtiene en trminos de lafuncin de transferencia continua o a partir deldiagrama de Bode correspondiente
El mtodo espectral es semejante al mtodofrecuencial, slo que no se requiere una entradasinusoidal, lo que ampla el conjunto de sistemas a los
cuales se puede aplicar un anlisis frecuencial Se reduce considerablemente el tiempo de
experimentacin reas de aplicacin: anlisis del habla, estudio de
vibraciones mecnicas, geofsica, control automtico
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Mtodos no paramtricos
Anlisis espectral
Modelo matemtico:
La transformada discreta de Fourier de h(k) es lafuncin de transferencia sinusoidal del sistema
=
=
==N
k
kTi
N
k
kTi
N
Ni
ekTu
ekTy
U
YeG
1
1
)(
)(
)(
)()(
Nk
Nk ,...,2,1,2 ==
Para los clculos, se puedenreescribir como una suma de senos y cosenos
)(y)( NN UY
0
( ) ( ) ( ) ( )k
y t h k u t k e t
=
= +
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Mtodos no paramtricosAnlisis espectral
La aproximacin da pobres resultados ya que las T. deFourier respectivas no son consistentes
Los problemas se pueden solucionar si los valores paragrandes instantes kson ponderados con funciones depeso debidamente seleccionadas (funciones llamadasventanas de retraso o "lag windows")
Con la introduccin de una ventana de retraso seobtiene la siguiente expresin:
=
=
=
=
+
+
=N
Nl
lmaxN
lmink
lTi
N
Nl
lmaxN
lmink
lTi
i
elTwkTuTlku
elTwkTuTlky
eG)0,(
)0,(1
)0,(
)0,(1
)()())((
)()())((
)(
-
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Carlos Mario Vlez S. Universidad EAFIT
Mtodos no paramtricos
Anlisis espectral
Las ventanas rectangular y de Hamming tienen lassiguientes formas:
>
=
M
Mw
0
,1)(
>
+=
M
MMw
0
cos12
1
)(
La seleccin de Mno es un asunto trivial. Si seselecciona un Mmuy grande el periodograma no sermuy suave (tendr mucho ruido). De otro lado, un Mpequeo puede eliminar partes esenciales delespectro
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Carlos Mario Vlez S. Universidad EAFIT
Mtodo de mnimos cuadradosGeneralidades
Puede aplicarse a una gran variedad de sistemas conexcelentes resultados
Existen versiones tanto recursivas como no recursivas Es el mtodo base para otros mtodos paramtricos
off-line y on-line Puede ser extendido a sistemas MIMO Es vlido si el modelo de la perturbacin es del tipo
ARX Para un buena estimacin (insesgada y consistente)se debe utilizar una seal pe de orden igual o mayoral orden del sistema
-
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Carlos Mario Vlez S. Universidad EAFIT
Mtodo de mnimos cuadrados
Modelo matemtico (ARX)
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )dA q y t B q q u t e t = +
Forma regresiva:
1 1( ) ( 1) ... ( ) ( 1) ... ( ) ( )na nby t a y t a y t na b u t d b u t d nb e t= + + + +
[ ]
[ ]
1 1
( ) ( ) ( )
donde,
( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )
T
T
na nb
T
y t t e t
a a b b
t y t y t na u t d u t d nb
= +
=
=
Vector de regresin
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Mtodo de mnimos cuadrados
El principio de mnimos cuadrados, segn Gauss:
Los parmetros desconocidos de un modelo se debenelegir de modo que: "la suma de los cuadrados de lasdiferencias entre los valores observados realmente y losestimados, multiplicada por nmeros que midan el gradode precisin, sea un mnimo"
-
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Carlos Mario Vlez S. Universidad EAFIT
Mtodo de mnimos cuadrados
Problema de mnimos cuadradosEl problema de mnimos cuadrados se plantea de lasiguiente forma:
2
1
: ( ) ( ) ( )
:
1 1 : ( , ) ( ) ( )2 2
T
NT T
t
y t t e t
V N y t t e e
=
= +
= =
Dado el modelo
Calcular
Segn criterio
(1)
( )
e
e
e N
=
( )
(1)
(2)
( )
T
T
N na nb
TN
+
=
(1)
(2)
( )
y
yY
y N
=
Y e= +
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Mtodo de mnimos cuadradosSolucin del problema de mnimos cuadradosTeorema. La funcin Vtiene un nico mnimo en dadopor si la matriz es definida positiva.El correspondiente valor mnimo de la funcin de costees:
1 ( )T TY = T
( )11min ( ) ( )
2
T T T T V V Y Y Y Y
= =
1
1
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
-
N NT T T
t t
Y t t t y t Y
= =
= = =
pseudoinversa
Otra forma:
-
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Mtodo de mnimos cuadrados
Ejemplo Se obtuvieron datos de un proceso (N= 7, T= 0.5 seg),
los cuales se muestran en la tabla
4.0013.0
4.0012.5
3.9912.0
3.9611.5
3.8011.0
3.1110.5
010
y(t)u(t)t (seg)
Modelo propuesto (se supusoque el sistema es de primerorden sin retardo):
( ) ( 1) ( 1)
( ) ( )
( 1) ( ) ,
( 1)
y t ay t bu t
y t t
y t at
u t b
= +
=
= =
T
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Mtodo de mnimos cuadradosEjemplo (cont.)
0 1 3.11
(0) (0) 3.11 1 3.80(1) (1)
(1) (1) 3.80 1 3.96,
3.96 1 3.99(6) (6)
(5) (5) 3.99 1 4.00
4.00 1 4.00
y uy
y uY
yy u
= = = = =
T
T
Resultado:
10.2228
( )3.1096
T Ta
Yb
= =
( ) 0.22 ( 1) 3.11 ( 1)y t y t u t =
-
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Mtodo de mnimos cuadrados
Propiedades estadsticas:Si se asume que es un ruido blanco de media ceroy varianza , entonces:
( )e t2
1. es una estimacin insesgada de o
2. La matriz de covarianza de es:
( )1
2cov( ) T
=
3. Una estimacin insesgada de es:2
2 2 ( )( )V
N na nb =
+
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Mtodo de mnimos cuadradosEjemplo - Propiedades estadsticas Las propiedades anteriores pueden utilizarse para
estimar la desviacin estndar de los parmetros Para el ejemplo anterior se tiene:
na = nb = 1 N= 6 V= 6.7 x 10-6
50.0539 0.1694cov( ) 100.1694 0.6442
=
La raz cuadrada de los elementos sobre la diagonal
es igual a la desviacin estndar
0.2228 0.0007 0.31%
3.110 0.003 0.096%
a
b
a
b
= =
= =
-
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Mtodo de error de prediccin (PEM)
Generalidades
Sea la siguiente estructura de modelo:
1 1
,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
(0) 0
T
t s
y t G q u t H q e t
Ee t e s
G
= +
=
= (se tiene como mnimo un retardo)
Error de prediccin (debe ser pequeo):
( ) ( ) ( )t y t y t =
Predictor lineal general:1 1
1 2
1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(0) (0) 0
y t L q y t L q u t
L L
= +
= =
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Mtodo de error de prediccinGeneralidades
El predictor puede seleccionarse de diversas maneras.Existe un predictor ptimo para cada estructura delmodelo
Una vez seleccionado el modelo y su predictor secalculan los errores de prediccin. El mejor vector deparmetros es aquel que hace que los errores deprediccin sean los ms pequeos.
La medida del tamao de los errores de prediccin es
una funcin escalar llamada criterio de minimizacin(funcin de coste):
( )1
1 ( ) , , ( ) arg min ( )N
N N
t
V l t t V N
=
= =
-
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Carlos Mario Vlez S. Universidad EAFIT
Mtodo de error de prediccin
Generalidades
La minimizacin de la funcin de coste Vpuedehacerse analticamente si el error de prediccindepende linealmente de los parmetros. Caso:mnimos cuadrados
En la mayora de los casos la funcin de coste seminimiza utilizando mtodos numricos como elalgoritmo de Newton-Raphson
( ) ( )1
( 1) ( ) ( ) ( ) T
k k k k
k N NV V
+ =
Otro algoritmo: Gauss - Newton
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Mtodo de error de prediccinIlustracin del PEM
-
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Carlos Mario Vlez S. Universidad EAFIT
Mtodo de error de prediccin
PEM para un modelo lineal general
Sea el siguiente modelo lineal:1 1
,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )T t s
y t G q u t H q e t
Ee t e s
= +
=
Realizando ciertas sustituciones se llega a:
1 1 1 1
1 1
1 1 1
1 1
1 2
1 1 1
1 1
1
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ),
( ) ( ) ( )
( ) ( )
I H q H q G
y t G q u t H q I e t e t
e t H q y t G q u t
y t y t u t L q y t L q u t
t e t H q y t G q u t
H q H q G
q
q
= + +
=
= + = +
= =
- son asintticamente estables
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Mtodo de error de prediccinMtodo LS como un mtodo PEM
( ) ( )
1 1
1 1 1 1
1 2
2
1
( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1 ( ) ( ) ( )
1 ( ) , , ( ) , , ( ) ( )
N
N
t
y t A q y t B q u t
L q A q L q B q
V l t e t l t e t e t N
=
= +
= =
= =
-
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Mtodo de error de prediccin
PEM para un modelo ARMAX
[ ]
( ) ( 1) ( 1) ( ) ( 1)
( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( )
( ) ( 1) ( 1) ( 1)
y t ay t bu t e t ce t
y t ay t bu t ce t e t
y t ay t bu t ce t
+ = + +
= + + +
= + +
En este predictor se requiere conocere(t) Aplicando la frmula de la diapositiva 35:
1 1
1 1
( )( ) ( ) ( )
1 1
c a q bqy t y t u t
cq cq
= +
+ +
Implementacin: en forma recursiva
38
Carlos Mario Vlez S. Universidad EAFIT
Mtodo de variable instrumentalGeneralidades
El mtodo permite obtener el modelo de la planta:
( ) ( ) ( )Ty t t t = +
Sea el siguiente modelo del sistema verdadero:
( ) ( ) ( )T
oy t t t = +
El mtodo de mnimos cuadrados da:
1
1 1
( ) ( ) ( ) ( )N N
T
t t
t t t y t
= =
=
-
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20/21 2
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Carlos Mario Vlez S. Universidad EAFIT
Mtodo de variable instrumental
Generalidades
De las expresiones anteriores se obtiene:
[ ]
1
1 1
1
1 1 ( ) ( ) ( ) ( )
Cuando
( ) ( ) ( ) ( )
N NT
o
t t
T
t t t t N N
N
E t t E t t
= =
=
=
( ) ( ) 0E t t =
Para una estimacin consistente se debe cumplir:
40
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Mtodo de variable instrumentalDeduccin del mtodo
Sea Z(t) un vector (para el caso SISO) cuyos elementosno estn correlacionados con la perturbacin:
1 1
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
N NT
t t
Z t t Z t y t tN N
= =
= =
La estimacin IV es (despejando de la anteriorexpresin):
1
1 1
( ) ( ) ( ) ( )N N
T
t t
Z t t Z t y t
= = =
Los instrumentos Z(t) se pueden escoger de variasmaneras
-
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Carlos Mario Vlez S. Universidad EAFIT
Mtodo de variable instrumental
Deduccin del mtodo
Seleccin de los instrumentos Z(t), independientes dela perturbacin:
[ ]1 1
( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
,
TZ t t t na u t u t nb
C q t D q u t
C A D B
=
=
= =
Por ejemplo,
1)
[ ]
1 1( ) 1, ( )
( ) ( 1) ( )
nb
T
C q D q q
Z t u t u t na nb
= =
=
2)