IE-201-02 Deformaciones y Propiedades de Los Materiales

7/26/2019 IE-201-02 Deformaciones y Propiedades de Los Materiales

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Deformaciones y PropiedadesMateriales

IE-201: Medios Continuos

Prof. Hctor J. Cruzado


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Strain

Se usa pare describir deformaciones porcambios en largos en segmentos de

lneas y por cambios en los ngulosentre segmentos de lneas.


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Deformacin

Las distancias AA y BB pueden ser productode deformacin, movimiento de cuerpo rgidoo una combinacin de los dos. Haydeformacin si la distancia relativa entre dospuntos (AB) ha cambiado (i.e., AB AB)


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Deformacin normal

Si la deformacin se distribuye uniformemente porel largo original:


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Deformacin por cortanteEl cambi de ngulo que ocurre entre dossegmentos de lnea que anteriormenteeran perpendiculares.

2

es el ngulo en radianes despus de

deformacin.


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EjemploLa fuerza causa que la palanca rote unngulo de 0.002 radianes a favor de lasmanecillas de reloj. Determina la

deformacin normal promedio del cable.


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EjemploLa placa mostrada se deforma en la forma mostradapor las lneas entrecortadas. En la forma deformada,las lneas horizontales permanecen horizontales y nocambian de largo. Determina la deformacin normal

promedio de la lnea AB y la deformacin porcortante promedio con respecto a los ejes x-y.


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EjemploSe le aplica un desplazamiento uniforme de 2mm a la placa mostrada. Determina ladeformacin normal promedio de la lnea AC

y la deformacin por cortante promedio conrespecto a los ejes x-y.


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Deformacin plana

Deformacin normal:Positiva para elongacin

Deformacin por cortante:Se mide en ngulos que antes eran rectos;positiva cuando el ngulo se reduce.


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EjemploLa geometra deformada del rectngulo semuestra con lneas entrecortadas. Determinalos componente de deformacin plana en el

punto A.


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Deformacin en 3D

Estas expresiones se conocen como Relacionesdeformacin-desplazamiento. En notacin indicial, seexpresan de la siguiente forma:

donde:


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Tensor de Deformacin


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Ejemplo

Un campo de desplazamiento en uncuerpo est dado por:

where

Determine the state of strain on aelement position at (0,2,1).


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Compatibilidad Tiene significado matemtico y fsico:

Matemtico: Que los desplazamientos u, v,w, tiene cada uno un solo valor que cumple

con las condiciones de frontera, son funcionescontinuas asociadas con las deformaciones.

Fsico: Que el objeto se mantiene continuoaun cuando deformado.


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Ecuaciones de compatibilidaden 2DDe la deformacin plana se obtiene:

Por lo tanto:


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Ecuaciones de compatibilidaden 3D


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Ejemplo

Determina si el siguiente campo dedeformacin es posible en un materialcontinuo:

dondec

es una constante pequea y seasume que:


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Transformacin dedeformacin en 2D

Se mueve el segmento AB para que el punto A coincida conel punto A.


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Por definicin =

, por lo tanto:

Substituyendo cos =

y sin =

y las

ecuaciones de deformacin plana:

Utilizando identidades trigonomtricas:

se determina remplazando por +

2.


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La deformacin por cortante se puede transformarpor:


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Nota la similitud entre las expresiones deesfuerzo:

con las de deformacin:

Se remplaza con y con1

2.


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Deformaciones principales

El caso en que .


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Deformacin mxima porcortante en 2D

Ocurre a planos a 45 grados de los planosprincipales.


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EjemploEl estado de deformacin de un punto est dado por:

Determina:

(a) El estado de deformacin si se rota 30 grados a favor delas manecillas del reloj;

(b) El estado de deformaciones principales y a que nguloocurre;

(c) la deformacin mxima por cortante y la deformacinnormal asociada a esta.

l d h


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Crculo de Mohr paradeformaciones


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EjemploEl estado de deformacin de un punto est dado por:

Determina:

(a) El estado de deformacin si se rota 30 grados a favor delas manecillas del reloj;

(b) El estado de deformaciones principales y a que nguloocurre;

(c) la deformacin mxima por cortante y la deformacinnormal asociada a esta.

f i d


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Transformacin dedeformacin en 3DUtilizando las expresiones detransformacin de esfuerzos en 3D:

Expresiones similares puedendesarrollarse para , , y .


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Deformaciones principales en 3D

Son las races de la siguiente expresin:


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EjemploEl paraleleppedo se deforma al moverse el punto A aA(1.9985, 1.4988, 1.0009). Calcula:

a) Los componentes de deformacin.

b) La deformacin normal en la direccin AB.

c) La deformacin por cortante con respecto a las lneasperpendiculares AB y AC.


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Prueba de tensin o compresin(Ensayo de traccin)

Se usaprincipalmente paradeterminar larelacin entreesfuerzo ydeformacin de un

material.


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Diagrama de esfuerzo-deformacinEl lmite proporcional, ellmite elstico y elesfuerzo de cedencia (ofluencia) est bien

cercanos.


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L

A

P

L

A

P

o

o

:realndeformaci-esfuerzodeDiagrama

:alconvencionndeformaci-esfuerzodeDiagrama


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Materiales dctiles

Pueden ser sometidos a largasdeformaciones antes de la rotura.

rotura

%100AreadeReduccindePerciento

%100ElongacinPorciento

f

A

AA

LLL

o

fo

o

of


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Materiales quebradizos

Muestran bien pocoa casi nada defluencia antes de larotura.


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Lmite de fluencia convencional


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Lmite de fluencia convencional(Offset Method) Se usa para determinar el lmite de fluencia para

materiales que no tienen el punto de fluenciaclaramente definido (como el aluminio)


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Ley de Hooke Valida en la regin lineal del diagrama

Youngdemduloodelasticidademdulo

E

E

D f i


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Deformacin permanente yrecuperacin elstica


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Mdulo de Resilencia (ur)

Eu

pl

plplr

2

2

1

2

1


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Mdulo de dureza (ut)


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Coeficiente de Poisson

5.00

'

long

lat

oo

oflat

oo

of

long

Lsss

LL

LL

Se usa el negativo porquela elongacin longitudinalcausa acortamiento lateraly viceversa.


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Diagrama de esfuerzo


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Diagrama de esfuerzo-deformacin cortante


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Ley de Hooke

En la regin lineal:

rigidezdemdulo

cortantedelasticidademdulo

G

G


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)1(2 E

G

Ms adelante demostraremos de dnde saleesta expresin.

Una frmula til:


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EjemploPara el diagrama mostrado,determina aproximadamenteel mdulo de elasticidad, ellmite proporcional, elesfuerzo ltimo, y el mdulo

de resilencia. Si le aplica auna barra un esfuerzo de 450MPa, determine la cantidadde recuperacin elstica y ladeformacin permanente una

vez se le quite la carga a labarra.


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EjemploLa barra de aluminiomostrada tiene seccionescirculares. El diagrama deesfuerzo-deformacin esmostrado. Determine

aproximadamente laelongacin en la barracuando se aplica la carga.Una vez se remueve lacarga, cual es la

deformacin permanenteen la barra. AsumeEal

=70 GPa.


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EjemploLa barra esta hecha de acero A-36. Determine el

cambio en largo y el cambio de las dimensionesdel rea seccional.


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EjemploLa barra est hecha de unmaterial con lmite de fluenciade 440 MPa y un mdulo derigidez de 26 GPa. Antes de

aplicar la carga, la barra tieneL

o= 250 mm y d

o= 25 mm.

Cuando se aplica la carga, labarra se estira 1.20 mm.Determina el mdulo deelasticidad y cuanto sereduce el dimetro.


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Cambio en volumen

El volumen final de un elemento es:

Expandiendo y despreciando elementos de ms

alto orden:

El cambio unitario en volumen (o dilatacin):


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Ley de Hooke generalizada (3D)

Las cs son constantes elsticas quedependen del material.


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En el caso de esfuerzo biaxial:

En el caso de cortante puro:


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En el caso de 3D, el mismo procedimientolleva a la Ley de Hooke generalizada, vlida

para materiales isotrpicos y homogneos:


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Relacin entreE, G y

Rotando el elemento de cortante puro 45 grados:

Aplicando la Ley de Hooke:Utilizando la ecuacin de transformacin dedeformacin para un ngulo de 45 grados:

Igualando las expresiones:

Sustituyendo esta expresin en la Ley de Hookegeneralizada:


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G y se conocen como las constantes de Lam.

dilatacin


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En el caso de presin hidrosttica dondey

la dilatacin se reduce a

Re arreglando:

dondeKes el mdulo de expansin volumtrica.


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Ejemplo

Calcula el cambio en volumen del bloquehecho de acero (E = 210 GPA, = 0.3) si

est sometido a una presin uniforme de160 MPa).


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Principio de Saint-Venants

El esfuerzo y deformacin producido enpuntos suficientemente alejado de laregin donde se aplica la carga va a ser

igual que el esfuerzo y la deformacinproducido por cargas aplicadas quetengan una resultante estticamente

equivalente y que sean aplicadas alobjeto dentro de la misma regin.

A

P


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