Abstract— This paper shows a new methodology to get an analytical solution for symmetrical arrangements of impedances in 3D, using a new concept named “the phantom impedance”. A great quantity of our actual power systems can be modeled as “symmetrical impedance systems”. The majority of these systems are so complex that their representation in a simple flat (2D) drawing becomes difficult, and is necessary to separate the general system in several drawings of sub-systems. For some of these systems there is no flat option to represent and solve. In other fields such microelectronics, bioengineering, biomedical sciences, etc., also we have several complex impedance systems that are not flat. In several cases, these systems are also symmetrical, at least between two points of interest. In all these cases, if we would have a simple method for the analytical solution for 3D symmetrical impedance systems, it could help enormously to improve these specific models, and to get quickly answers to complicated questions. The main goal of this paper is to bring a clear explanation of a method for this simple solution.

Keywords— modeling, phantom impedance, circuits, 3D symmetrical impedance system, electrical systems.

I. INTRODUCCIÓN L ESTUDIO de los circuitos eléctricos involucra el conocimiento y manejo adecuado de leyes fundamentales que relacionan los comportamientos e interacciones que

puedan existir entre los niveles de potencial eléctrico (voltaje) y corrientes eléctricas en todos y cada uno de los elementos de los circuitos. En muchos casos de estudio, se resume el comportamiento de estas magnitudes utilizando modelos de parámetros eléctricos concentrados ampliamente conocidos, como el resistor (R), el inductor (L) y el capacitor(C). Las interacciones eléctricas, quedan fundamentalmente definidas en su totalidad, al hacer uso de estos parámetros concentrados, y todas sus posibles combinaciones de interconexión dentro de un circuito. Como es bien conocido, las leyes elementales de Kirchhoff deben cumplirse ante cualesquiera de estas combinaciones de la misma forma como es expuesto en las literaturas fundamentales [1]. Se conoce también que las soluciones diferenciales de las que son objeto los modelos de parámetros concentrados L y C, solamente son fácilmente obtenibles en forma analítica siempre y cuando no se tengan más de dos de estos elementos irreducibles. La tenencia de un número mayor de estos elementos, que no puedan ser reducidos dentro del circuito, implicará necesariamente la necesidad de solucionar ecuaciones diferenciales de orden superior (mayores del 2do orden), las cuales usualmente no son tratadas de forma analítica en los cursos universitarios clásicos. Si bien es cierto,

D. E. Cárdenas, Universidad Tecnológica de Panamá, Ciudad de Panamá, Panamá, dorindo.cardenas@utp.ac.pa, de.cardenas@hotmail.com.

siempre se puede recurrir al uso de Transformadas de Laplace para el tratamiento matemático de estas ecuaciones de orden superior, en algunos casos, el último paso de solución que es la consecución de transformadas inversas se vuelve un tanto engorroso. Sumado a todo esto, el hecho de que un circuito no sea “plano”, sino volumétrico o tridimensional (3D), agrega un elemento de gran complejidad en la percepción adecuada de las ecuaciones a solucionar. La visualización adecuada de cada uno de los elementos es lo que conduce a la correcta escritura de sus ecuaciones de parámetro concentrado, por tanto, si fuese posible reducir cualquier elemento en el circuito, aunque no fuese notorio, sería posible reducir también la complejidad y la escritura de los modelos matemáticos a solucionar. Lo más interesante, es que aunque hay muchísimas aplicaciones que requieren del uso de redes de circuitos tridimensionales, la literatura usada para la preparación de ingenieros eléctricos generalmente no contempla esta clase de casos, sino que en su mayoría contempla solo casos planos. Algunos desarrolladores de software que funcionan como herramientas de ayuda a diseñadores, se han interesado en generar soluciones digitales a los casos tridimensionales. En dados casos, el apoyo a la ingeniería eléctrica por parte de estos desarrolladores ha sido un tanto notable. Tal es el caso de Autodesk [2], que ha aportado buenas soluciones digitales para la visualización de diseños en 3D, sin embargo, no ofrece por si solo algoritmos de solución de cálculo, aunque múltiples programadores continuamente aportan enlaces tipo “parche”, que junto a la plataforma del programa principal, logran resultados de cálculo para casos específicos. Ninguna solución analítica es encontrada en estos casos, ni tampoco son revelados los métodos de solución numérica. El aporte más importante de este tipo de productos va más enfocado al modelado de información de edificaciones o “BIM” por sus siglas en inglés (Building Information Modeling) [3], que tiene que ver más con la coordinación tridimensional de espacios constructivos, y no con la solución analítica de sistemas puros, como es el caso que nos ocupa en este momento, para un circuito que simplemente no pueda, o sea difícilmente expresado como un circuito plano. Algunos otros desarrolladores de software específicos para solucionar y modelar circuitos, también han realizado su esfuerzo en aportar opciones a ciertas aplicaciones en 3D, sobre todo para el diseño de circuitos electrónicos y el uso de PCB (Printed Circuit Board). Tal es el caso de Circuit Maker, TraxMaker, DipTrace y Altium solo por dar algunos ejemplos. Sin embargo, es de notar que desde que los circuitos solucionados con estas aplicaciones tienen la posibilidad de ser impresos en una tarjeta, ya se conoce que sus

D. E. Cárdenas, Member, IEEE

“Phantom Impedances” as an Option to Solve 3D Symmetrical Circuit Arrangements

E

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características 3D pueden ser resueltas con algunos puentes, o en los casos más complejos, con dos niveles de impresión. Ninguna de estas aplicaciones aporta tampoco un algoritmo de solución analítica a los casos que maneja, solo las acostumbradas soluciones digitales por aproximación.

II. TEORÍA DE LA “IMPEDANCIA FANTASMA” O DE VALOR INDIFERENTE

Como se avisa en el título, la metodología de solución de circuitos simétricos presentada en éste artículo se fundamenta en un nuevo elemento analítico de impedancia que llamaremos técnicamente “impedancia de valor indiferente” porque simplemente no importa qué valor tome esta impedancia, no afectará el resultado final del circuito y nos ayudará a resolverlo. Podríamos llamarla también “impedancia fantasma” porque en la mayoría de los casos que hemos estudiado, la solución aplicada se resume a considerar que una de estas impedancias de valor indiferente “existe” o “no existe” (de hecho hace ambas cosas a la vez) y por lo tanto es como un “fantasma” en el circuito. Matemáticamente hablando, si bien es cierto, esta impedancia especial puede tomar cualquier valor, en la mayoría de los casos prácticos de solución será necesario asignar su valor a cero o a infinito.

De forma fundamental, describiendo desde la base de la teoría electromagnética, una “impedancia fantasma” sería “la impedancia total de cualquier camino existente entre dos (2) o más puntos de cualquier línea equipotencial en el espacio de acción de cualquier campo eléctrico” (Fig. 1).

Figura 1. Representación gráfica cuatro cargas formando un campo electrostático donde se pueden generar una infinita cantidad de caminos de impedancia indiferente o fantasma, entre cualesquiera de los puntos a, b, c, d. Traducido a circuitos, será la impedancia existente entre dos o más puntos con el mismo nivel de potencial eléctrico en el circuito. Si bien es cierto, los niveles de potencial en el recorrido del circuito dependen directamente de la referencia de potencial que tengan las fuentes que alimentan el circuito, es bien conocido que la distribución de este potencial a lo

largo del circuito solamente es el resultado directo de la distribución de impedancias. En las líneas siguientes, pasamos a explicar el concepto con un ejemplo práctico muy simple, en el cual se valida la teoría expuesta para la “impedancia fantasma”, sin la necesidad de la existencia o dependencia de una fuente en el circuito. Primeramente, analizaremos la condición de dos impedancias de valor ( ) ( )BA BA θθ ∠+∠ dispuestas simétricamente en paralelo tal como se muestra en la Fig. 2; se puede obtener por medio de las leyes clásicas de reducción de circuito que el valor total de la impedancia vista desde los

polos de entrada m-n de esa red será de ( ) ( )2

BA BA θθ ∠+∠ .

Figura 2. Condición de análisis de impedancias simétricas en un paralelo puro.

Podemos analizar también el circuito de la Fig. 3, donde tenemos un paralelo de dos impedancias de valor ( )AA θ∠ en serie con un paralelo de dos impedancias de valor ( )BB θ∠ . Al resolver esta reducción, nuevamente obtengo por resultado un valor total de impedancia entre polos m-n que vendrá dado por ( ) ( )

2BA BA θθ ∠+∠ .

Figura 3. Condición de análisis de impedancias simétricas en un paralelo-serie.

Si analizamos un circuito como el propuesto en la Fig. 4,

donde tengo dos deltas conformadas respectivamente por las impedancias ( )AA θ∠ y ( )BB θ∠ que comparten una nueva impedancia central ( )cC θ∠ , encontraremos nuevamente, luego de utilizar las reducciones clásicas y los Teoremas de Kennelly para la solución de la delta, que la impedancia

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equivalente vista desde los polos de entrada m-n será ( ) ( )

2BA BA θθ ∠+∠ .

Figura 4. Condición de análisis de impedancias simétricas con un resistor indiferente o fantasma, marcado como

CC θ∠ . Este último circuito de la Fig. 4, realmente puede

interpretarse como una solución general de las soluciones particulares de los circuitos de las Fig. 2 y Fig. 3, tomando en cuenta que el circuito de la Fig. 2 es el mismo que el de la Fig. 4 al considerar que ( ) ∞=∠ cC θ ; y el circuito de la Fig. 3 es el mismo que el de la Fig. 4 al considerar que ( ) 0=∠ cC θ . De esta forma se demuestra que sencillamente no interesa que valor tenga la impedancia ( )cC θ∠ , el valor total equivalente

del circuito siempre va a ser ( ) ( )2

BA BA θθ ∠+∠ , y eso está

dictaminado solo por la simetría del circuito respecto de sus polos m y n. A esta impedancia ( )cC θ∠ le llamaremos “impedancia de valor indiferente” o “impedancia fantasma”, y nos ayudará a resolver circuitos mucho más complicados.

III. METODOLOGÍA PARA CIRCUITOS SIMÉTRICOS. El fundamento metodológico para el uso de impedancias

fantasma consiste básicamente en los siguientes pasos: 1. Detectar una simetría de impedancias entre dos o más

posibles caminos que la corriente pueda tomar entre dos puntos de un circuito.

2. Determinar puntos equipotenciales en el circuito a lo largo de los caminos de corriente del punto anterior.

3. Introducir “corto circuitos” entre cualesquiera dos puntos equipotenciales de los caminos simétricos, cuando sea conveniente para lograr una forma más fácil o ya conocida de reducción de impedancias.

4. Declarar “abiertos de circuito” en aquellos puntos equipotenciales en los cuales pasen dos o más caminos de corriente que estén plenamente definidos con sus intensidades específicas desde el lugar de salida hasta el de llegada de cada corriente, de forma que se

conozca que no es posible que “se crucen” o “se mezclen” las corrientes, aunque estuviesen en un solo punto, siempre y cuando, esto sea conveniente para lograr una forma más fácil o ya conocida de reducción de impedancias.

5. Repetir los pasos 2 a 4 cuantas veces sea viable para la máxima reducción del circuito; finalizar con la aplicación de leyes clásicas en un circuito más fácil.

Presentamos en la Fig. 5 un diagrama de flujo que ilustra esta metodología.

Figura 5. Diagrama de flujo de la metodología de solución de circuitos con impedancia fantasma o de valor indiferente.

Opción 1 Opción 2

No

No

Si

Si

Si

No

CÁRDENAS : “PHANTOM IMPEDANCES” AS 157

IV. CASO DE ESTUDIO La mejor forma de otorgar una explicación aplicada de las

bondades que puede traernos el uso de impedancias fantasma para reducir circuitos equivalentes, es a través de un buen ejemplo, por lo cual tomaremos como referencia el circuito cúbico de veinte resistores en 3D mostrado en la Fig. 6. El problema tiene las siguientes características de entrada:

a. Resistores externos al cubo (claros) de Ωk1 . b. Resistores internos del cubo (oscuros) de Ωk2 . c. Para este circuito, se desea encontrar la resistencia

equivalente entre los nodos a y c. El lector podrá verificar que el análisis por leyes clásicas de

reducción de circuitos para este caso es exageradamente

extenso, pero se obtendrá por resultado analítico Ωk4528 .

También puede simular el mismo, utilizando análisis nodal y un juego de 9 ecuaciones (una por nodo), con alguna fuente de corriente de prueba, y así obtener voltajes de respuesta, en un software de solución matemática de alta escala como Matlab; verificando que la resistencia equivalente de entre los puntos

“a” y “c” tendrá un valor único y exacto de Ωk4528 .

Figura 6. Circuito cúbico 3D de resistores, para referencia del análisis ejemplo.

Con la nueva técnica que proponemos, aprovechando la simetría del circuito, puede verse que el plano enlazado por el perímetro e-h-f-g-e va a ser un plano perfectamente equipotencial, pues la simetría de todos los elementos de impedancia que conducen a él forzarán a que el potencial de cualquier punto de este plano sea el mismo (la mitad del potencial de “c” respecto de “a” o viceversa). Esto habilitará ipso-facto a todos los resistores que se encuentran en este plano, para ser declarados como “resistores fantasmas”; los cuales, en función de los nodos entre los que se encuentran, podemos identificar (solo en este momento) como Reh, Rfg, Reo, Rho, Rfo y Rgo, (siendo siempre Rnodo1 nodo2). A conveniencia del analista, se podrá decidir qué valor otorgarles a estos resistores, desde “cero” hasta “infinitos” ohmios sin afectar con ello el resultado final equivalente de la resistencia entre a y c. Adicionalmente podemos declarar una resistencia

puntual Ro=0 ubicada conectando los cuatro resistores Reo, Rho, Rfo y Rgo justo en el origen nombrado “o”. Al estar esta resistencia Ro ubicada también en el plano equipotencial, también será de tipo “fantasma”, lo que nos permitirá (para efectos de análisis) variar su valor desde cero hasta infinito, siempre y cuando ninguno de sus terminales salga de las dimensiones del plano equipotencial ya detectado y definido.

En este caso nos convendrá declarar (o cambiar) todos los valores de los resistores en el plano equipotencial a “infinito”, es decir, como si el circuito estuviese abierto donde cada uno de ellos está, en lugar de utilizar sus valores originales. El circuito resultante sería como el mostrado en la Fig. 7, específicamente en Fig. 7a. Aún en éste circuito tenemos parte de la resistencia central Ro=0 que conecta la terminal “o” de Rao y Rco con la terminal “o” de Rbo y Rdo, como puede verse específicamente en la Fig. 7b.

Figura 7a Figura 7b

Figura 7. Representan el mismo circuito, de la Fig. 6, donde se ha asignado valor ∞ a varios resistores fantasmas. Al estar el resistor Ro de la Fig. 7b en una sección equipotencial entre sus terminales, también se convertirá en un resistor fantasma, con lo que podemos re-asignar su valor de cero, a infinito, obteniendo un circuito de muy fácil análisis respecto del circuito inicial, mostrado en la Fig. 8, donde solo quedan dos caminos de corriente entre “a” y “c”. El primer camino, tiene un paralelo de 2kΩ, 4kΩ y 2kΩ; el segundo tiene un paralelo idéntico en serie con 2kΩ. El resultado final de impedancia equivalente desde “a” a “c” será encontrado ahora de forma muy sencilla y analíticamente exacta, al resolver este circuito simple, que queda luego de reducir con técnicas de impedancias fantasma. Se obtiene el mismo resultado que encontramos al usar cualquiera de las técnicas

clásicas que requieren mucho más trabajo; Ωk4528 .

Es importante hacer notar, que al ser este un método de solución analítica, la precisión de los resultados será siempre “total”, en otras palabras, hablamos de resultados exactos (sin error teórico), a diferencia de los métodos de solución numérica, con los cuales se buscan “respuestas aproximadas” y es necesario confirmar la precisión que puedan tener en cada caso. En este caso, no hay sentido alguno en medir la precisión de un resultado que será exacto (precisión de 100%), pues es igual que cualquier otro resultado derivado de soluciones analíticas, por medio de las leyes clásicas de circuitos.

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Figura 8. Representación de un circuito equivalente muy simple luego de las reducciones por medio del uso de resistores fantasmas. Para efectos de simplicidad, el primer caso ejemplo ha sido dado utilizando resistores simples; pero tal como se explicó en la parte II de teoría de la impedancia fantasma, el método puede ser aplicado a cualquier tipo de impedancias. Si el circuito hubiese sido complejo, como el mostrado en la Fig. 9a, su reducción equivalente utilizando los mismos pasos de antes, con la técnica de impedancias fantasma en el plano e-h-f-g-e (a saber Zeh, Zfg, Zeo, Zho, Zfo, Zgo y Zo puntual en el origen conectando a todas las anteriores), sería la mostrada en el circuito de la Fig. 9b; y su circuito plano final se muestra en la Fig. 10. Con el circuito reducido de la Fig. 10 se puede obtener analíticamente de forma muy sencilla, la impedancia equivalente total desde el punto “a” al “c”, la cual da como resultado: Ω⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++

− kj184106

8959534475184106

311451130515

Figura 9a Figura 9b Figura 9. Representan un circuito cúbico de 20 impedancias complejas y su reducción por medio de la técnica de impedancia fantasma.

Figura 10. Circuito plano reducido equivalente al mostrado en Figs. 9a y 9b, donde se hace muy fácil obtener la impedancia de “a” hasta “c”.

En esta ocasión es cuando el lector más apreciará la enorme reducción de trabajo que se tiene al considerar este análisis de impedancias fantasmas para obtener un circuito muy reducido y simple, antes de trabajar con algebra compleja para analizar directamente el circuito original cúbico con los 20 elementos complejos de la Fig. 9a; lo cual tomaría un largo tiempo de trabajo con una gran cantidad de ecuaciones complejas. De hecho, la obtención de una solución un poco viable, requiere de la utilización de fuentes de prueba y potentes softwares de cálculo matemático avanzado como Matlab o Scilab, para obtener una respuesta aproximada a ( ) Ω∠ kº33.418.0 , cuya precisión final dependerá de las capacidades del programa. Con el circuito reducido por la aplicación de técnicas de impedancia fantasma, el mismo es resuelto en pocos pasos, como ha sido visto, de forma manual, y se obtiene la respuesta analítica exacta, la cual por cualquier otro método, sería sumamente difícil de obtener:

( ) Ω∠≈Ω⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++

− kkj º33.418.0184106

8959534475184106

311451130515

V. OPCIONES DE SOLUCIÓN EN CIRCUITOS CON ASIMETRÍAS. En aquellos circuitos que tengan ciertas asimetrías, pero en

donde se pueda determinar la existencia de por lo menos una línea equipotencial en el circuito (o plano equipotencial), se podrá perfectamente usar la técnica de impedancia fantasma en aquellas impedancias que se encuentren sobre la línea o plano equipotencial detectado.

En el siguiente caso, mostrado en la Fig. 11, se desea determinar la resistencia equivalente entre los puntos “a” y “b”, sin embargo las cuatro impedancias que salen de “a”, así como las cuatro que llegan a “b” tienen diferentes valores. Esto no impide determinar que la línea c-d-e-f-c será perfectamente equipotencial, pues está a la mitad de recorrido de cualquiera de los caminos de corriente que salen de “a” para llegar a “b”. De aquí que los potenciales en cada uno de estos nodos (c, d, e, f) deban ser iguales, con lo que Rcd, Rde, Ref y Rfd serán declaradas de tipo fantasma (valor indiferente).

Figura 11. Caso de aplicación en un circuito con asimetrías.

En este caso es conveniente asignar valor de cero a estas

cuatro resistencias, en lugar de sus valores originales, para cortocircuitar los puntos c, d, e y f; obteniendo el circuito resultante simplificado mostrado en la Fig. 12.

Resolviendo de forma analítica este circuito reducido,

CÁRDENAS : “PHANTOM IMPEDANCES” AS 159

obtenemos fácilmente la resistencia total equivalente entre “a”

y “b”, con un valor exacto de Ω2524 .

Figura 12. Circuito plano simple, resultante luego de aplicar técnicas de impedancia fantasma al circuito de la Fig. 11.

VI. APLICACIONES Si bien la solución de circuitos fundamentales utilizando la

teoría de impedancia fantasma, nos permite encontrar soluciones analíticas a circuitos muy complejos en 3D, que de otro modo serían muy engorrosos; nos interesa ahora exponer algunas posibles aplicaciones prácticas, que se obtienen al analizar circuitos en consonancia directa con éste método.

En áreas como bioingeniería, ingeniería biomédica, biomecánica y áreas afines, se modelan circuitos 3D para representar eléctricamente células y moléculas, las cuales en la mayoría de los casos guardan algún tipo de simetría electrostática, con lo cual un método de solución como el presentado se convierte una excelente herramienta analítica.

En el área pura de potencia e instalaciones eléctricas industriales, una repercusión importante se presenta sobre el hecho de que para disminuir los efectos de pérdidas inductivas en tendidos de circuitos polifásicos que usen conductores termoplásticos o termoestables dentro de canalizaciones, una gran cantidad de autores recomienda agrupar los conductores en grupos que contengan cada uno las tres fases y el neutro. Es importante reconocer que el código NFPA-70, que representa la reglamentación eléctrica de instalaciones industriales y residenciales de obligatorio cumplimiento en Estados Unidos y al mismo tiempo en muchos países latinoamericanos bajo diferentes nombres, como “Código Eléctrico Nacional” o “Reglamentación de Instalaciones Eléctricas” de cada país (en fundamento el mismo NFPA-70 creado por la National Fire Protection Association de U.S.A.) [4], también guía primariamente a que los conductores de potencia en las instalaciones eléctricas, vayan puestos en las canalizaciones agrupados en tres fases y neutro, como previamente ha sido descrito (Fig. 13), y aunque no es impositivo, esto es una práctica común, y se ve reflejada en varias partes del citado código, como lo son los artículos 310 y 320 al usar sistemas polifásicos. Bajo este esquema de instalación, aunque las impedancias de los conductores sean similares a lo largo del recorrido individual de cada uno de ellos, la diferencia de fases de las señales que los alimentan impedirá que exista alguna línea equipotencial entre dos o más de ellos a lo largo del recorrido del “grupo de conductores”; y aunque esto representa una “mejora” por causa de la reducción de pérdidas por inducción, también representa un incremento potencial de corto circuito entre fases, por el simple hecho de la inexistencia de líneas equipotenciales entre conductores de distintas fases en una misma agrupación de conductores [5].

Figura 13. Ejemplo de sección de un tendido de potencia con 4 conductores por fase en canalizaciones metálicas, en agrupaciones de tres fases y neutro.

Sin embargo, el propio NFPA-70 en su capítulo 3, también reconoce la viabilidad de realizar instalaciones donde se creen líneas equipotenciales entre los conductores en una misma canalización por medio del uso de “conductores paralelos” de la misma fase en cada grupo, siempre y cuando se cumplan las condiciones del acápite 310.4 (denominado 310.10H en las versiones del año 2011 o más recientes) del código. Básicamente estas condiciones se resumen a que los conductores deben ser tamaño AWG 1/0 o superior y deben tener características de longitud, sección transversal, materiales conductores y aislantes, que aseguren una impedancia similar a lo largo de la longitud de cada una de las líneas paralelas (Fig. 14). Con esto, si se piensa en el caso analítico descrito en este artículo, lo que se está planteando es que los aislantes que funcionan como dieléctrico entre estos conductores a una longitud dada, sean realmente impedancias fantasmas, pues a la misma longitud de conductor, en cada una de las líneas existirá el mismo nivel de potencial (Fig. 15).

Figura 14. Ejemplo de sección de un tendido de potencia con 4 conductores por fase en canalizaciones metálicas, en grupos de “conductores paralelos”.

Se asegura de esta forma, que si la impedancia dada por el aislante entre líneas conductoras llega a fallar, se comportaría como impedancia fantasma al momento del fallo, la cual teniendo un valor real cercano a cero (en falla), se comportará independiente de eso de forma similar a una impedancia mucho más alta, ya que la corriente no circulará en grandes cantidades por efectos de estar en un punto de fallo “equipotencial”. Esta clase de fallos igual deben ser detectados y despejados por medio de interruptores termomagnéticos como los AFCI (Arc Fault Circuit Interrupter) [6] ó LCDI (Leakage Current Detector Interrupter) [7], pero la falla a despejar será mínima comparada con una falla en el caso de grupos de conductores de distintas fases.

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Figura 15. Esquema de impedancias fantasma representando el aislante en una sección de falla entre conductores de un grupo de conductores paralelos.

El ciclo de vida del aislamiento en los conductores también

jugará un papel importante en la intensidad de fallas que se tengan a través de la impedancia del aislamiento. Sobre todo en los casos en los que los voltajes que porta el conductor no son sinusoidales, sino productos de elementos de electrónica de potencia, está demostrado que el calentamiento en el conductor acelerará el envejecimiento del aislante, acortando el ciclo de vida del conductor a veces hasta a menos de la mitad del periodo esperado [8]. En estos casos es muy deseable que la impedancia por aislante entre conductores se asemeje lo más posible a una impedancia fantasma, pues de esa forma se tendrán fallas de menor intensidad y recurrencia. Los elementos que trabajan con Modulación de Ancho de Pulso (PWM), han modificado grandemente la tendencia como se desarrolla hoy en día el uso y la distribución de energía eléctrica, sobre todo en el área de aplicaciones industriales [9] [10]. Los comportamientos particulares de los diferentes tipos de aislamientos de conductores ante situaciones generales de falla, pueden ser ampliados según ha sido expuesto por [11] y la deducción general y demostración matemática formal de la forma como estos fallan puede ser vista en [12] y [13], siendo muy deseable en todos los casos, tener en el punto de posible falla entre conductores, una impedancia que pudiese modelarse como impedancia fantasma o de valor indiferente.

Debe hacerse notar, que cuando se manejan señales variables con el tiempo, si las mismas no son sinusoidales, la generación de armónicos puede crear variaciones importantes de la impedancia equivalente de cada una de las líneas paralelas de conductor, ante interacciones de tipo inductivo con medios externos a los conductores o entre ellos mismos. En estos casos es deseable que la simetría en cada uno de los conductores paralelos sea mantenida tanto en características eléctricas del conductor (sección, longitud, aislamiento), así como geométricamente, es decir que las distancias de separación de cada una de las líneas conductoras dentro de la canalización se mantengan desde la entrada hasta la salida de la instalación del tendido del circuito de alimentación, para de esa forma lograr un incremento constante de inductancia y capacitancia por cada metro de longitud de línea. Este tema ha sido estudiado en trabajos como el de [14], en donde se muestra que las impedancias deben mantener una geometría definida para funcionar como un “patrón de resistencia”

(realmente de patrón de impedancia), que en nuestro caso sería equiparable al incremento deseable de impedancia por unidad de longitud de línea, de forma que entre dos o más líneas conductoras cualesquiera a una misma longitud de línea, podamos encontrar siempre una “impedancia fantasma”.

VII. CONCLUSIONES

Las técnicas de solución de circuitos, son una herramienta fundamental para el avance de la ingeniería eléctrica, así como para diversas cátedras físicas relacionadas con la electricidad. En éste artículo se ha expuesto una nueva técnica, que consigue ser sumamente útil a la hora de resolver de forma analítica circuitos complejos tridimensionales, cuando se logran detectar a priori líneas equipotenciales entre los sistemas de impedancias paralelas del circuito, con lo que se obtienen “simetrías eléctricas”. Estas simetrías eléctricas, pueden ser aprovechadas grandemente en la solución de estos circuitos complejos, pues nos permiten aplicar directamente cualesquiera valores de impedancia entre los puntos equipotenciales de las mismas, introduciendo desde corto circuitos hasta circuitos abiertos, sin afectar en absoluto el funcionamiento, ni el valor general teórico de la impedancia del circuito original. De esta forma obtenemos circuitos equivalentes mucho más sencillos que los originales, conducentes a soluciones analíticas rápidas y exactas; versus la solución de los circuitos originales que requerirían técnicas con múltiples ecuaciones simultáneas, y en muchos casos métodos numéricos engorrosos, para conseguir solamente soluciones aproximadas. La sencillez de éste nuevo método de solución se fundamenta en la base de la comprensión del fenómeno equipotencial, desde el punto de vista físico electromagnético.

REFERENCIAS [1] W. Hyat, J. Kemmerly, S. Durbin, Análisis de Circuitos en Ingeniería,

McGraw-Hill Interamericana, p 872, España, 2012. [2] Autodesk. Inc, Autodesk Product Design Suite, URL:

http://www.autodesk.com/suites/product-design-suite/overview; [consulta en línea: 15 ago 2016].

[3] C. Eastman, P. Teicholz, R. Sacks and K. Liston, BIM handbook: A guide to building information modeling for owners, managers, designers, engineers and contractors, John Wiley & Sons, p 626, New Jersey, U.S.A., 2011.

[4] M. Earley, J. Sargent, C. Coache, R. Roux, National Electrical Code Handbook. 2011 Edition, National Fire Protection Association, p 1498, Quincy Massachusets, U.S.A., 2011.

[5] D. Cárdenas. “La Electricidad como Fuente Generadora de Incendios”. El Tecnológico, Vol 18. pp. 24-26, 2010.

[6] Schneider Electric, Schneider-Electric.us, URL: https://www.schneider-electric.us/documents/support/codes-and-standards/truth-about-afcis-part2.pdf; [consulta en línea: 9 nov 2016].

[7] R. Milatovich, “Electrical Systems and Appliances”, Fire Protection Handbook, 20th Edition, National Fire Protection Association, p 8-127 8-173, Quincy Massachusets, 2008.

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[9] H. Akagi, “New trends in active filters for power conditioning”, IEEE Transactions on Industry Applications, Vol 32, Nº 6, pp. 1312-1322, 1996.

[10] M. Payak, S. Kumbhar, “FPGA based PWM control of Induction motor drive and its parameter estimation”, Applied and Theoretical Computing

CÁRDENAS : “PHANTOM IMPEDANCES” AS 161

and Communication Technology (iCATccT), 2015 International Conference, India, pp 631-635, 2015.

[11] D. Cárdenas, “El recalentamiento eléctrico por termoconducción. Una perspectiva fisicoquímica del calentamiento eléctrico”. Revista Facultad de Ingeniería Universidad de Antioquia, Vol 64, pp. 57-67, 2012.

[12] D. Cárdenas, “Propuesta de un Modelo Matemático para calcular el Calentamiento de Conductores Eléctricos”. Tecnociencia, Vol 12, N°2, pp. 71-88, 2010

[13] D. Cárdenas, “True Calculus of the Warming in Electrical Wires in Low Voltage: A Design Correction” IEEE Latin America Transactions, Vol 13, Nº1, pp 172-180, 2015.

[14] L. Trigo, G. Slomovitz, D. Slomovitz, “Patrones de Resistencia en Corriente Alterna Basados en Resistores Calculables” IEEE Latin America Transactions, Vol 4, Nº3, pp 152-155, 2006.

Dorindo Elam Cárdenas received his Engineering Degree in Electromechanical Engineering at the Technological University of Panama (UTP), Panamá in 2004. Develops professional practice in electrical and mechanical engineering since 2004 to the present in industrial applications. In 2005 becomes professor of Electrical Engineering at the Technological University of Panama. In 2009 becomes Certified Fire Protection

Specialist (CFPS), international certification awarded by the National Fire Protection Association (NFPA), U.S.A. In 2011 receives his Doctoral Degree in Engineering, with a novel investigation of mathematical modeling of electrical fires and its sources, that is nominated to the Extraordinary Prize of Doctorate at Universitat Politècnica de Catalunya – Barcelonatech, Spain. In 2014 he completed a Postdoctoral Fellow and Research with the University of Texas at Austin, U.S.A., in radiation and variable frequency effects of electromagnetic waves in conductors. Dr. Cárdenas is member of IEEE, NFPA, IAAI and CFPS. Dr. Cardenas is also Leader Researcher at the Technological University of Panama.

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