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IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
1
1. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) 12)( += xxf función polinómica ℜ=→ )( fDom
b) 8)( 3 −−= xxxf función polinómica ℜ=→ )( fDom
c) 1)( 2 ++= xxxf función polinómica ℜ=→ )( fDom
d) 96)( 49 +−= xxxf función polinómica ℜ=→ )( fDom
e) 62)( 5 +−= xxxf función polinómica ℜ=→ )( fDom
f) 3)1()( −= xxf función polinómica ℜ=→ )( fDom
g) x
xf37
1)(
−= función racional
−ℜ==−−ℜ=→
3
7}037/{)( xxfDom
3
773037 =⇒−=−⇒=− xxx
h) 14
1)(
2 −=
xxf función racional
−−ℜ==−−ℜ=→
2
1,
2
1}01/{)( 2xxfDom
2
1 ò
2
1
4
114014 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx
i) 34
2)(
2
7
+−−=xx
xxf función racional { }3,1}034/{)( 2 −ℜ==+−−ℜ=→ xxxfDom
==
=±=−±=⇔=+−1
3
2
24
2
121640342
x
xxxx
j) 3
1)(
xxf = función racional { }0}0/{)( 3 −ℜ==−ℜ=→ xxfDom
000 33 =⇔=⇔= xxx
k)
5
7)(
2 −=
xxf función racional { }5,5}05/{)( 2 −−ℜ==−−ℜ=→ xxfDom
5505 22 ±=⇔=⇔=− xxx
l) 1
1)(
4 −=
xxf función racional { }1,1}01/{)( 4 −−ℜ==−−ℜ=→ xxfDom
11101 444 ±=⇔±=⇔=⇔=− xxxx
m) 1
1)(
3 +=
xxf función racional { }1}01/{)( 3 −−ℜ==+−ℜ=→ xxfDom
11101 333 −=⇔−=⇔−=⇔=+ xxxx
n) 8
97)(
3 ++=
x
xxf función racional { }2}08/{)( 3 −−ℜ==+−ℜ=→ xxfDom
28808 333 −=⇔−=⇔−=⇔=+ xxxx
o) 22
3)(
xxf
−= función racional { }2,2}02/{)( 2 −−ℜ==−−ℜ=→ xxfDom
2202 22 ±=⇔=⇔=− xxx
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2
p) 43
1)(
24 −−−=xx
xxf función racional }043/{)( 24 =−−−ℜ=→ xxxfDom
� bicuadradaecuación 043 24 =−− xx � 043 variablede Cambio 22 =−−⇒= tttx
⇒−=⇒−=±=⇒=⇒=
=±=+±=⇔=−−realsolución tieneno11
244
2
53
2
1693043
2
22
xx
xxtttt
� Por tanto, { }2,2}043/{)( 24 −−ℜ==−−−ℜ= xxxfDom
q) 87
)(36 −−
=xx
xxf función racional }087/{)( 36 =−−−ℜ=→ xxxfDom
� 087 36 =−− xx � 087 variablede Cambio 23 =−−⇒= tttx
−=⇒−=⇒−=⇒−=
=⇒==⇒=⇒==±=+±=⇔=−−
1111
22888
2
97
2
32497087
33
332
xxxx
xxxtttt
� Por tanto, { }2,1}087/{)( 26 −−ℜ==−−−ℜ= xxxfDom
r) 99
846)(
23
23
+−−++−=
xxx
xxxxf función racional }099/{)( 23 =+−−−ℜ=→ xxxxfDom
� 09923 =+−− xxx
9 9 1 1 −− 9 0 1 −+ 0 9 0 1 −
±=⇒=−
=⇒=−⇔=−⋅−⇔=+−−
309
101
0)9()1(0992
223
xx
xx
xxxxx
� Por tanto, }3,1,3{}099/{)( 23 −−ℜ==+−−−ℜ=→ xxxxfDom
s) 22
3)(
23
2
+−−−=
xxx
xxf función racional }022/{)( 23 =+−−−ℜ=→ xxxxfDom
� 022 23 =+−− xxx
2 1 2 1 +−−
2 1 1 −−+ 0 2 1 1 −−
1
1
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3
−==
=±=+±=⇒=−−
=⇒=−⇔=−−⋅−⇔=+−−
1
2
2
31
2
81102
101
0)2()1(022 2223
x
xxxx
xx
xxxxxx
� }2,1,1{}022/{)( Por tanto, 23 −−ℜ==+−−−ℜ= xxxxfDom
t) xxxx
xxf
33
13)(
234 −−++= función racional }033/{)( 234 =−−+−ℜ=→ xxxxxfDom
�
=−−+=
⇒=−−+⋅⇒=−−+033
00)33(033
23
23234
xxx
xxxxxxxxx
� 03323 =−−+ xxx
3 3 1 1 −−+
3 0 1 +− 0 3 0 1 −
±=⇒=−
−=⇒=+⇔=−⋅+⇔=−−+
303
101
0)3()1(0332
223
xx
xx
xxxxx
� }3,3,1,0{}033/{)( Por tanto, 234 −−−ℜ==−−+−ℜ= xxxxxfDom
u) 43
2)(
2
7
+−−=xx
xxf función racional }043/{)( 2 =+−−ℜ=→ xxxfDom
realsolución tieneno2
16930432 =−±=⇔=+− xxx
ℜ=)( Por tanto, fDom
v) 4
1)(
2 +−=
x
xxf función racional }04/{)( 2 =+−ℜ=→ xxfDom
realsolución tieneno4404 22 ⇒−=⇔−=⇔=+ xxx ℜ=)( Por tanto, fDom
w) 1681
97)(
4 −+=
x
xxf función racional }01681/{)( 4 =−−ℜ=→ xxfDom
3
2
81
16168101681 444 ±=±=⇔=⇔=− xxx
−−ℜ=
3
2,
3
2)( Por tanto, fDom
1−
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4
x) 16
97)(
4 ++=
x
xxf función racional }016/{)( 4 =+−ℜ=→ xxfDom
realsolución tieneno1616016 444 ⇒−=⇔−=⇔=+ xxx
ℜ=)( Por tanto, fDom
y) 5)1(
2)(
+−=
x
xxf función racional }1{}0)1/({)( 5 −−ℜ==+−ℜ=→ xxfDom
1010)1( 5 −=⇔=+⇔=+ xxx
z)
2
3
1
85)(
xx
xxf
++−= función racional }01/{)( 2 =++−ℜ=→ xxxfDom
realsolución tieneno2
4110101 22 =−±−=⇔=++⇔=++ xxxxx
ℜ=)( Por tanto, fDom
2. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) 826)( +−= xxxf ),0[)()( +∞===→ xyDomfDom
b) xxxf −−+= 32)(
� ),2[}02/{Dominio2 +∞−=≥+=→+= xxxy
� ]3,(}03/{Dominio3 −∞=≥−=→−= xxxy Por tanto, ]3,2[]3,(),2[)( −=−∞∩+∞−=fDom
c) xxf 24)( −= función radical con índice par ]2,(}024/{)( −∞=≥−ℜ∈=→ xxfDom
22
442024 ≤⇒
−−≤⇒−≥−⇒≥− xxxx
d) 3 24)( xxf −= función radical con índice impar ℜ=−==→ )24()( xyDomfDom
e) x
xf24
1)(
−= función radical con índice par )2,(}024/{)( −∞=>−ℜ∈=→ xxfDom
Nota: El radical aparece en el denominador por eso el radicando ha de ser estrictamente mayor que 0.
22
442024 <⇒
−−<⇒−>−⇒>− xxxx
f) 3 24
1)(
xxf
−= función radical con índice impar }2{)( −ℜ=→ fDom
Nota: El denominador no puede ser 0 20240243 ≠⇔≠−⇔≠−⇒ xxx
g) 4 2 45)( +−= xxxf función radical con índice par }045/{)( 2 ≥+−ℜ∈=→ xxxfDom
045 :inecuación laresolver que Tenemos 2 ≥+− xx
Ceros
==
=±=−±=⇔=+−1
4
2
35
2
162550452
x
xxxx
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5
),4[]1,()( Por tanto, +∞∪−∞=fDom
h) 32)( 2 +−= xxxf función radical con índice par }032/{)( 2 ≥+−ℜ∈=→ xxxfDom
032 :inecuación laresolver que Tenemos 2 ≥+− xx
Ceros
realsolución tieneno2
12420322 ⇒
−±=⇔=+− xxx
ℜ=)( Por tanto, fDom
i) 352)( 2 −+−= xxxf función radical con índice par }0352/{)( 2 ≥−+−ℜ∈=→ xxxfDom
0352 :inecuación laresolver que Tenemos 2 ≥−+− xx
Ceros
=
==
−±−=
−−±−=⇔=−+−
2
3
1
4
15
4
242550352 2
x
xxxx
=2
3,1)( Por tanto, fDom
j) 43)( 2 +−= xxxf función radical con índice par }043/{)( 2 ≥+−ℜ∈=→ xxxfDom
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043043 :inecuación laresolver que Tenemos 22 ≥++−⇒≥+− xxxx
Ceros
=−=
=−
±−=−
+±−=⇔=++−4
1
2
53
2
16930432
x
xxxx
]4,1[)( Por tanto, −=fDom
k) x
xf1
)( = función radical con índice par ),0(}0/{)( +∞=>ℜ∈=→ xxfDom
Nota: El radical aparece en el denominador por eso el radicando ha de ser estrictamente mayor que 0.
l) 3
1)(
xxf = función radical con índice impar }0{)( −ℜ=→ fDom
Nota: El denominador no puede ser 0 003 ≠⇔≠⇒ xx
m) 5 2 1)( −= xxf función radical con índice impar ℜ=−==→ )1()( 2xyDomfDom
n) 5 2 1
1)(
−=
xxf función radical con índice impar }1,1{)( −−ℜ=→ fDom
Nota: El denominador no puede ser 0 10101 25 2 ±≠⇔≠−⇔≠−⇒ xxx
o) 4 29
1)(
xxf
−= función radical con índice par }09/{)( 2 >−ℜ∈=→ xxfDom
Nota: El radical aparece en el denominador por eso el radicando ha de ser estrictamente mayor que 0.
� 0909 22 >+−⇒>− xx Ceros
3909 22 ±=⇔=⇔=+− xxx
� Por tanto, )3,3(}09/{)( 2 −=>−ℜ∈=→ xxfDom
p) x
xxf
1)(
−= función radical con índice par
≥−ℜ∈=→ 0
1/)(
x
xxfDom
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7
01
:inecuación laresolver que Tenemos ≥−x
x
Ceros Polos
101 =⇔=− xx 0=x
),1[)0,()( Por tanto, +∞∪−∞=fDom
q) 31
)(x
xxf
−= función radical con índice impar }0{1
)( −ℜ=
−==→x
xyDomfDom
r) 2
3)(
−+=
x
xxf función radical con índice par
≥
−+ℜ∈=→ 0
2
3/)(
x
xxfDom
02
3 :inecuación laresolver que Tenemos ≥
−+
x
x
Ceros Polos 303 −=⇔=+ xx 202 =⇔=− xx
),2(]3,()( Por tanto, +∞∪−−∞=fDom
s) 1
)(2
−=
x
xxf función radical con índice par
≥−
ℜ∈=→ 01
/)(2
x
xxfDom
01
:inecuación laresolver que Tenemos2
≥−x
x
Ceros Polos 002 =⇔= xx 101 =⇔=− xx
),1(}0{)( Por tanto, +∞∪=fDom
t) 32 23
2)(
+−−=
xx
xxf función radical con índice impar }2,1{
23
2)(
2−ℜ=
+−−==→
xx
xyDomfDom
==
=±=−±=⇔=+−1
2
2
13
2
8930232
x
xxxx
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8
u) 23
2)(
2 +−−=
xx
xxf función radical con índice par
≥
+−−ℜ∈=→ 0
23
2/)(
2 xx
xxfDom
0)1)(2(
)2(0
23
2 :inecuación laresolver que Tenemos
2≥
−−−
⇒≥+−
−xx
x
xx
x
Ceros 202 =⇔=− xx
Polos
==
=−±=⇔=+−1
2
2
8930232
x
xxxx
),2()2,1()( Por tanto, +∞∪=fDom
v) 33 5
1)(
xxxf
−= función radical con índice impar =
−==→
xxyDomfDom
5
1)(
3
}5,0{}05/{ 3 ±−ℜ==−−ℜ= xxx
±=⇔=−
=⇔=−⋅⇔=−
505
0
0)5(052
23
xx
x
xxxx
w) 32
6
44
15)(
+−+−=
xx
xxxf función radical con índice impar =
+−+−==→
44
15)(
2
6
xx
xxyDomfDom
}2{}044/{ 2 −ℜ==+−−ℜ= xxx
==
=±=−±=⇔=+−2
2
2
04
2
161640442
x
xxxx
x) 42 65
)7()(
+++=xx
xxxf función radical con índice par
≥
+++ℜ∈=→ 0
65
)7(/)(
2 xx
xxxfDom
0)3)(2(
)7(0
65
)7( :inecuación laresolver que Tenemos
2≥
+++⇔≥
+++
xx
xx
xx
xx
Ceros Polos
7 ò 00)7( −==⇔=+ xxxx 2 ò 30652 −=−=⇔=++ xxxx
),0[)2,3(]7,()( Por tanto, +∞∪−−∪−−∞=fDom
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y) 4
1)(
−+=
x
xxf
}0)(/)({)]()([)()()(
)( Como =∈−∩=⇒= xhhDomxhDomgDomfDomxh
xgxf
(Valores de x en los que g
y h están definidas a la vez excepto aquellos en los que h se anula)
� ),1[}01/{Dominio1 +∞−=≥+ℜ∈=→+= xxxy
� ℜ=→−= Dominio4xy
404 ≠⇔≠− xx
),4()4,1[)( Por tanto, +∞∪−=fDom
z) xx
xxf
2
4)(
2
2
−−=
}0)(/)({)]()([)()()(
)( Como =∈−∩=⇒= xhhDomxhDomgDomfDomxh
xgxf
(Valores de x en los que g
y h están definidas a la vez excepto aquellos en los que h se anula)
� ),2[]2,(}04/{Dominio4 22 +∞∪−−∞=≥−ℜ∈=→−= xxxy
04 :inecuación laresolver que Tenemos 2 ≥−x
Ceros
2404 22 ±=⇔=⇔=− xxx
� ℜ=→−= Dominio22 xxy
2y 00)2(022 ≠≠⇔≠−⇔≠− xxxxxx
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
10
),2(]2,()( Por tanto, +∞∪−−∞=fDom
aa) 1
65)(
4
2
−+−=
x
xxxf
}0)(/)({)]()([)()()(
)( Como =∈−∩=⇒= xhhDomxhDomgDomfDomxh
xgxf
(Valores de x en los que g
y h están definidas a la vez excepto aquellos en los que h se anula)
� ℜ=→+−= Dominio652 xxy
� ),1()1,(}01/{Dominio1 44 +∞∪−−∞=>−ℜ∈=→−= xxxy (La desigualdad es estricta porque el
denominador no puede ser 0)
01 :inecuación laresolver que Tenemos 4 >−x
Ceros
1 ò 11101 444 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx
),1()1,()],1()1,([)( Por tanto, +∞∪−−∞=+∞∪−−∞∩ℜ=fDom
bb)27
4)(
3
2
+−=
x
xxf
}0)(/)({)]()([)()()(
)( Como =∈−∩=⇒= xhhDomxhDomgDomfDomxh
xgxf
(Valores de x en los que g
y h están definidas a la vez excepto aquellos en los que h se anula)
� ),2[]2,(}04/{Dominio4 22 +∞∪−−∞=≥−ℜ∈=→−= xxxy
04 :inecuación laresolver que Tenemos 2 ≥−x
Ceros
2404 22 ±=⇔=⇔=− xxx
� ℜ=→+= Dominio273xy
32727027 333 −≠⇔−≠⇔−≠⇔≠+ xxxx
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
11
),2[]2,3()3,()( Por tanto, +∞∪−−∪−−∞=fDom
cc) 3
2
6
4)(
−−=
x
xxf
}0)(/)({)]()([)()()(
)( Como =∈−∩=⇒= xhhDomxhDomgDomfDomxh
xgxf
(Valores de x en los que g
y h están definidas a la vez excepto aquellos en los que h se anula)
� ),2[]2,(}04/{Dominio4 22 +∞∪−−∞=≥−ℜ∈=→−= xxxy
04 :inecuación laresolver que Tenemos 2 ≥−x
Ceros
2 ò 24404 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx
� ℜ=→−= Dominio63 xy
606063 ≠⇔≠−⇔≠− xxx
),6()6,2[]2,()( Por tanto, +∞∪∪−−∞=fDom
dd)3 9
72)(
x
xxf
−+=
}0)(/)({)]()([)()()(
)( Como =∈−∩=⇒= xhhDomxhDomgDomfDomxh
xgxf
(Valores de x en los que g
y h están definidas a la vez excepto aquellos en los que h se anula)
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� ℜ=→+= Dominio72xy
� ℜ=→−= Dominio93 xy
rdenominado al anula porque dominio elen está no 9 luego 9093 →≠⇔≠− xx
}9{)( Por tanto, −ℜ=fDom
ee) 6 9
72)(
x
xxf
−+=
}0)(/)({)]()([)()()(
)( Como =∈−∩=⇒= xhhDomxhDomgDomfDomxh
xgxf
(Valores de x en los que g
y h están definidas a la vez excepto aquellos en los que h se anula)
� ℜ=→+= Dominio72xy
� )9,(}09/{Dominio96 −∞=>−ℜ∈=→−= xxxy (mayor estricto porque el radical está en el
denominador y, por tanto, no puede anularse)
)9,()( Por tanto, −∞=fDom
3. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) )23ln()( +−= xxf { }
∞−=>+−ℜ∈=→3
2,023/)( xxfDom
3
223023 <⇔−>−⇔>+− xxx
b) xxf 3log)( −= { } )0,(03/)( −∞=>−ℜ∈=→ xxfDom
03
00303 <⇔
−<⇔>−⇔>− xxxx
c) )5ln()( 2xxf −= { } )5,5(05/)( 2 −=>−ℜ∈=→ xxfDom
0505 :inecuación laresolver que Tenemos 22 >+−⇒>− xx
Ceros
5505 22 ±=⇔=⇔=+− xxx
d) 3 1ln)( −= xxf ),1(}1/{}01/{}01/{Dominio 3 +∞=>ℜ∈=>−ℜ∈=>−ℜ∈=→ xxxxxx
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e) )23ln()( 2 +−= xxxf ),2()1,(}023/{Dominio 2 +∞∪−∞=>+−ℜ∈=→ xxx
023 :inecuación laresolver que Tenemos 2 >+− xx Ceros
1
2
2
13
2
8930232
==±=−±=⇔=+−
x
xxxx
),2()1,()( Por tanto +∞∪−∞=fDom f) )3log()( 2 −= xxf ),3()3,(}03/{Dominio 2 +∞∪−−∞=>−ℜ∈=→ xx
03 :inecuación laresolver que Tenemos 2 >−x
g)
−+++−=152
2log)(
2
2
xx
xxxf
>−+++−ℜ∈=→ 0152
2/)(
2
2
xx
xxxfDom
0)5)(3(
)2)(1(0
152
2 :inecuación laresolver que Tenemos
2
2
>+−−+−⇔>
−+++−
xx
xx
xx
xx
Ceros Polos
2 o 1022 =−=⇔=++− xxxx 5 o 301522 −==⇔=−+ xxxx
)3,2()1,5()( Por tanto, ∪−−=fDom
h) 1ln)( −= xxf ),[}1ln/{}01ln/{Dominio +∞=≥ℜ∈=≥−ℜ∈=→ exxxx
),[1ln 1ln +∞∈⇔≥⇔≥⇔≥ exexeex x
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14
i) 3
ln)(
−=
x
xxf
� ),0(Dominioln +∞=→= xy
� ),3(}03/{Dominio3 +∞=>−ℜ∈=→−= xxxy (La desigualdad es estricta porque al estar el
radical en el denominador no puede ser 0)
El dominio de la función es la intersección de los dos intervalos anteriores,
Por tanto, ),3()( +∞=fDom
j) )1ln(
)(−
=x
xxf
� ℜ=→= Dominioxy
� ),1(}1/{}01/{Dominio)1ln( +∞=>ℜ∈=>−ℜ∈=→−= xxxxxy
2110)1ln( ≠⇔≠−⇔≠− xxx
),2()2,1()( Por tanto, +∞∪=fDom
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15
k) 29log)( xxf −= )3,3(}09/{}09/{Dominio 22 −=>−ℜ∈=>−ℜ∈=→ xxxx
09 :inecuación laresolver que Tenemos 2 >− x
Ceros
3 ò 39909 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx
l) 1
)3ln()(
2 −+=
x
xxf
� ),3(}03/{Dominio)3ln( +∞−=>+ℜ∈=→+= xxxy
� ),1()1,(}01/{Dominio1 22 +∞∪−−∞=>−ℜ∈=→−= xxxy (La desigualdad es estricta porque
al estar el radical en el denominador no puede ser 0)
01 :inecuación laresolver que Tenemos 2 >−x
Ceros
1 ò 11101 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx
El dominio de la función es la intersección de los dos intervalos anteriores,
),1()1,3()( por tanto, +∞∪−−=fDom
m) x
xxf
)7log()(
+=
� ),7(}7/{}07/{Dominio)7log( +∞−=−>ℜ∈=>+ℜ∈=→+= xxxxxy
� }0{Dominio −ℜ=→= xy (eliminamos el 0 porque el denominador no puede anularse)
),0()0,7(})0{(),7()( Por tanto, +∞∪−=−ℜ∩+∞−=fDom
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16
n)
+=x
xxf
7log)(
>+ℜ∈=→ 0
7/Dominio
x
xx
Ceros Polos
707 −=⇒=+ xx 0=x
),0()7,()( Por tanto, +∞∪−−∞=fDom
o) 3log
92)(
+−=x
xxf
� ℜ=→−= Dominio92xy
� ),3(}03/{Dominio3log +∞−=>+ℜ∈=→+= xxxy
2131303log −≠⇔≠+⇔≠+⇔≠+ xxxx
El dominio de la función es el conjunto de números reales que cumplen todas las condiciones anteriores,
),2()2,3(}2{)],3([)( por tanto, +∞−∪−−=−−+∞−∩ℜ=fDom
p) 25)( −= xxf ℜ=−==→ )2(Dominio xyDom
q) xxf −= 15)( =≥ℜ∈=≥−ℜ∈=−==→ }1/{}01/{)1(Dominio xxxxxyDom
]1,(}1/{ −∞=≤ℜ∈= xx
r) 22)( −= xxf ),0[)()2(Dominio +∞===−==→ xyDomxyDom
s) 22)( −= xxf ),2[}2/{}02/{)2(Dominio +∞=≥ℜ∈=≥−ℜ∈=−==→ xxxxxyDom
t) 132
2
1)(
+−
=xx
xf ℜ=+−==→ )13(Dominio 2 xxyDom
u) xxxf −−= 9)52()(
�
+∞∈→>⇒>⇒>− ,2
5
2
552052 xxxx
� ℜ=→−= Dominio9 xy
+∞=ℜ∩
+∞= ,2
5,
2
5)( Por tanto, fDom
v) 24)53()( xxxf −−=
�
+∞∈→>⇒>⇒>− ,3
5
3
553053 xxxx
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17
� ]2,2[}04/{Dominio4 22 −=≥−ℜ∈=→−= xxxy
04 :inecuación laresolver que Tenemos 2 ≥− x
Ceros
2 ò 24404 22 =−=⇔±=⇔=⇔=− xxxxx
=−∩
+∞= 2,3
5]2,2[,
3
5)( Por tanto, fDom
w) 1
)(+
=x
x
e
exf
� ℜ=→= Dominioxey
� ℜ=→+= Dominio1xey ) devalor cualquier para 0(solución tieneno101 xeee xxx >⇒−=⇒=+
Por tanto, ℜ=)( fDom
x) 2
)(−
=x
x
e
exf
���� ),0[Dominio +∞=→= xey
���� ℜ=→−= Dominio2xey 2ln2lnlne202 =⇒=⇒=⇒=− xee xxx
Por tanto, ( ) ),2(ln)2ln,0[2ln),0[)( +∞∪=−ℜ∩+∞=fDom
y) 42
2)(
−=
x
x
xf
���� ℜ=→= Dominio2xy
���� ℜ=→−= Dominio42xy 242042 ≠⇔≠⇔≠− xxx
Por tanto, }2{)( −ℜ=fDom
z) 1)( −= xexf función radical con índice par ),0[}01/{Dominio +∞=≥−=→ xex
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18
),0[0101 +∞∈⇔≥⇔≥⇔≥− xxee xx
aa) 3 1)( −= xexf función radical con índice impar ℜ=−==→ )1(Dominio xeyDom
4. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) 32)( −+= xxf ℜ=→ )( fDom
b) 31
)(x
xxf
−= función radical con índice impar }1,1{
1)( −−ℜ=
−==→
x
xyDomfDom
}1,1{}01/{1
−−ℜ==−−ℜ=
−= xx
x
xyDom
1101 ±=⇔=⇔=− xxx
c) 2
2)(
−=
xxf }2{
2
2)( −ℜ=
−==→
xyDomfDom
d) 2
2)(
−=
xxf }2,2{}02/{)( −−ℜ==−−ℜ=→ xxfDom
2202 ±=⇔=⇔=− xxx
e) xx
xxf
−−=
2
1)( }1,0,1{}0/{)( 2 −−ℜ==−−ℜ=→ xxxfDom
==⇒≥=−
−==⇒<=+⇔=−
1 o 00 si 0
1 o 00 si 0
02
2
2
xxxxx
xxxxx
xx
f) 24
1)(
xx
xxf
−−= }4,0,4{}04/{)( 2 −−ℜ==−−ℜ=→ xxxfDom
==⇒≥=−
−==⇒<=−−=
≥=−
<=−−⇔=−
4 o 00 si 04
4 o 00 si 04
04 si 04
04 si 04
042
2
2
2
2
xxxxx
xxxxx
xxx
xxx
xx
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19
g) 1ln)( −= xxf }1{}01/{Dominio −ℜ=>−ℜ∈=→ xx
h) 1ln
1)(
−=
xxf }2,0,1{}01ln/{}01/{Dominio −ℜ==−−>−ℜ∈=→ xxxx
}1{01 −ℜ∈⇔>− xx
0 ò 21101ln ==⇔=−⇔=− xxxx
i) 1ln
1)(
−=
xxf ),(),0(}{),0(}01ln/{)1ln(Dominio +∞∪=−+∞==−−−==→ eeexxxyDom
exxxx =⇔=⇔=−⇔=− 1ln01ln01ln
j) 1ln)( −= xxf ),0()1ln(Dominio +∞=−==→ xyDom
k) )7()( += xsenxf ℜ=+==→ )7(Dominio xyDom
l)
++=
9
72cos)(
2
3
x
xxf ℜ=
++==→
9
72Dominio
2
3
x
xyDom
realsolución tieneno 909 22 ⇒−=⇔=+ xx
m)
−=
2
2cos)(
2xxf }2{
2
2Dominio
2±−ℜ=
−==→
xyDom
2202 22 ±=⇔=⇔=− xxx
n) senx
xxf
52)(
−= } ;{}0/{)( Ζ∈−ℜ==−ℜ=→ kksenxxfDom π
o)
−=
xx
xxf
3cos)( }1,0,1{}0/{Dominio 3
3−−ℜ==−−ℜ=
−==→ xxx
xx
xyDom
1 ò 0 0)1(0 23 ±==⇒=−⇔=− xxxxxx
p) xx
xsenxf
−=
3)(
≥
−ℜ∈=
−==→ 0/Dominio
33 xx
xx
xx
xyDom
Ceros Polos
0=x 1 o 0 0)1(0 23 ±==⇒=−⇔=− xxxxxx
Por tanto, ),1()1,()( +∞∪−−∞=fDom
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20
5. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
a)
≥−<<−
≤=
−
5 1
41 3
1 2
)(
xsi
xsix
xsi
xf
x
Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales
� )(]1,( Dominio2 fDomy x ∈−∞⇒ℜ=→= −
� )()4,1( Dominio3 fDomxy ∈⇒ℜ=→−=
� )(),5[ Dominio 1 fDomxy ∈+∞⇒ℜ=→−=
),5[)4,()( Por tanto, +∞∪−∞=fDom
b)
≤<−≤<
<+=
73 2
30 2
0 2
)(
xsix
xsi
xsix
xf
Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales
� )()0,( Dominio2 fDomxy ∈−∞⇒ℜ=→+=
� )(]3,0( Dominio2 fDomy ∈⇒ℜ=→=
� )(]7,3( Dominio 2 fDomxy ∈⇒ℜ=→−=
]7,0()0,()( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo ∪−∞=fDom
c)
≥−<<+−
−<
=3 2
30 32
3 2
)( 2
xsix
xsixx
xsi
xf
Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales
� )()3,( Dominio2 fDomy ∈−−∞⇒ℜ=→=
� )()3,0( Dominio322 fDomxxy ∈⇒ℜ=→+−=
� )(),3[ Dominio 2 fDomxy ∈+∞⇒ℜ=→−=
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21
),0()3,()( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo +∞∪−−∞=fDom
d)
≥+
<<−
≤+
=
6 1
51 2
1
1 13
)(
2
xsix
xsix
xsix
xf
Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales
� )(]1,( Dominio13
2
fDomx
y ∈−∞⇒ℜ=→+=
� )()5,2()2,1( }2{Dominio2
1fDom
xy ∈∪⇒−ℜ=→
−=
� )(),6[ Dominio 1 fDomxy ∈+∞⇒ℜ=→+=
),6[)5,2()2,()( Por tanto, +∞∪∪−∞=fDom
e)
>−
≤=
0 2
1
0 1)(
3xsi
xx
xsixf
Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales
� )(]0,( Dominio1 fDomy ∈−∞⇒ℜ=→=
� )(),2()2,0( }2,2,0{Dominio2
13
fDomxx
y ∈+∞∪⇒−−ℜ=→−
=
}2{)( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo −ℜ=fDom
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22
f)
≤<−
≤<−
−<−
=
71 2
1
14 2
4 32
)(
xsix
xsi
xsix
xf x
Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales
� )()4,( Dominio32 fDomxy ∈−−∞⇒ℜ=→−=
� )(]1,4( Dominio2 fDomy x ∈−⇒ℜ=→=
� )(]7,2()2,1( }2{Dominio2
1fDom
xy ∈∪⇒−−ℜ=→
+=
]7,2()2,4()4,()( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo ∪−∪−−∞=fDom
g)
≤−
>−=
0 2
1
0 1)(
xsix
xsixxf
Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales
� )(),0( Dominio1 fDomxy ∈+∞⇒ℜ=→−=
� )(]0,( }2{Dominio2
1fDom
xy ∈−∞⇒−ℜ=→
−=
ℜ=)( Por tanto, fDom
h)
−≤−
−>−=
1 9
1
1 1)(
2xsi
x
xsixxf
Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales
� )(),1( Dominio1 fDomxy ∈+∞−⇒ℜ=→−=
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23
� )(]1,3()3,( }3,3{Dominio9
12
fDomx
y ∈−−∪−−∞⇒−−ℜ=→−
=
}3{)( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo −−ℜ=fDom
i)
≤−
>−=
0 2
1
0 1)(
xsix
xsixxf
Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales
� )(),0( ),0[Dominio1 fDomxy ∈+∞⇒+∞=→−=
� )(]0,( }2{Dominio2
1fDom
xy ∈−∞⇒−ℜ=→
−=
ℜ=)( Por tanto, fDom
j)
≤<−<<
≤≤−+
=71 2
10 ln
03 2
1
)(
xsix
xsix
xsix
xf
Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales
� )(]0,2()2,3[ }2{Dominio2
1fDom
xy ∈−∪−−⇒−−ℜ=→
+=
� ),0(Dominio)ln( +∞=→= xy )()1,0( fDom∈⇒
� )()7,1( Dominio 2 fDomxy ∈⇒ℜ=→−=
]7,1()1,2()2,3[)( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo ∪−∪−−=fDom
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24
k)
<−
<<−
≤−
=
xsix
xsix
xsixx
xf
6 2
61 )1ln(
1
1 2
1
)(
2
Primero estudiamos el dominio de cada una de las funciones parciales
� )(]1,0()0,( }2,0{}02/{Dominio2
1 22
fDomxxxxx
y ∈∪−∞⇒−ℜ==−ℜ∈−ℜ=→−
=
2 ò 00)2(022 ==⇔=−⋅⇔=− xxxxxx
� ⇒+∞∪=−+∞==−−>−ℜ∈=→−
= ),2()2,1(}2{),1(}0)1ln(/{}01/{Dominio)1ln(
1xxxx
xy
)()6,2()2,1( fDom∈∪⇒
� )(),6( Dominio 2 fDomxy ∈+∞⇒ℜ=→−=
}6,2,0{)( que, tenenemosanteriores lossubinterva los Uniendo −ℜ=fDom
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25
6. Dadas las siguientes funciones efectúa las operaciones que se indican, calculando en cada caso el dominio de la función resultante:
4
1)(
2 −=
xxf }2,2{)( −−ℜ=→ fDom
6)( 2 −= xxg ℜ=→ )( fDom
4
6)(
2 −=
x
xxh }2,2{)( −−ℜ=→ fDom
1)( += xxp ),1[}01/{)( +∞−=≥+ℜ∈=→ xxfDom
1
1)(
+−=
x
xxj }1{)( −−ℜ=→ fDom
1
2)(
2 −+=
x
xxk }1,1{)( −−ℜ=→ fDom
34)( 2 +−= xxxl ),3[]1,(}034/{)( 2 +∞∪−∞=≥+−ℜ∈=→ xxxfDom
034 :inecuación laresolver que Tenemos 2 ≥+− xx
Ceros
3 ò 10342 ==⇔=+− xxxx
4)( −= xxm ℜ=→ )( fDom
1
3)(
−−=
x
xxs }1{)( −ℜ=→ fDom
3
12)(
+−=
x
xxr }3{)( −−ℜ=→ fDom
a) =−
+−−+=−
−−+=−+−
=+=+4
24461
4
)6)(4(1)6(
4
1)()())((
2
224
2
222
2 x
xxx
x
xxx
xxgxfxgf
4
25102
24
−+−=
x
xx
• Por tanto, 4
2510))((
2
24
−+−=+
x
xxxgf
• }2,2{})2,2{()()()( −−ℜ=ℜ∩−−ℜ=∩=+ gDomfDomgfDom
b) =−
+++−=+=+
12
11
)()())((2x
x
x
xxkxjxkj =
−+++−=
+−++−=
+−++
+−
1212
)1)(1(2)1(
)1)(1(2
11
2
22
x
xxx
xx
xx
xx
x
x
x
13
2
2
−+−=
x
xx
• Por tanto, 1
3))(( 2
2
−+−=+
x
xxxkj
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26
• }1,1{})1,1{(})1{()()()( −−ℜ=−−ℜ∩−−ℜ=∩=+ kDomjDomkjDom
c) =++
−+−−−−+=++
−+−+−=+−−
+−=−=−
)3)(1(
)122(33
)3)(1(
)12)(1()3)(1(
3
12
1
1)()())((
22
xx
xxxxxx
xx
xxxx
x
x
x
xxrxjxrj
34
2
)3)(1(
22
22
++−+−=
++−+−=
xx
xx
xx
xx
• Por tanto, 342
))(( 2
2
++−+−=−
xx
xxxrj
• }1,3{})3{(})1{()()()( −−−ℜ=−−ℜ∩−−ℜ=∩=− rDomjDomrjDom
d) =−
+−+−+−=−+
−+−−=−−−
+−=−=−
13312
)1)(1()3)(1()1(
13
11
)()())((2
222
x
xxxxx
xx
xxx
x
x
x
xxsxjxsj
1242
2
2
−−−=
x
xx
• Por tanto, 1
242))(( 2
2
−−−=−
x
xxxsj
• }1,1{})1{(})1{()()()( −−ℜ=−ℜ∩−−ℜ=∩=− sDomjDomsjDom
e) 22
6
)1)(2(
6
)1()2()2(
)2(6
1
2
4
6)()())((
232222 +−−=
−−=
−⋅−⋅++⋅=
−+⋅
−=⋅=⋅
xxx
x
xx
x
xxx
xx
x
x
x
xxkxhxkh
• Por tanto, 22
6))((
23 +−−=⋅
xxx
xxkh
• }2,1,1,2{)1,1{(})2,2{()()()( −−−ℜ=−−ℜ∩−−ℜ=∩=⋅ kDomhDomkhDom
f) 1
31
311
)()())((+−=
−−⋅
+−=⋅=⋅
x
x
x
x
x
xxsxjxsj
• Por tanto, 1
3))((
+−=⋅
x
xxsj
• }1,1{})1{(})1{()()()( −−ℜ=−ℜ∩−−ℜ=∩=⋅ sDomjDomsjDom
g) 32
233
2)3)(1(
2)3)(1)(1(
)1)(2(1
3:
12
)()(
))((222 ++−
+=−+−
+=−+
+=−+−
−+=−−
−+==
xx
x
xxx
x
xx
x
xxx
xx
x
x
x
x
xs
xkxsk
• Por tanto, 32
2))(/(
2 ++−+=
xx
xxsk
• }3,1,1{}3{}]1{}1,1{[}0)(/{)]()([)/( −−ℜ=−−ℜ∩−−ℜ==−∩= xsxsDomkDomskDom
}1,1{)( −−ℜ=kDom
}1{)( −ℜ=sDom
301
30)( =⇔=
−−⇔= x
x
xxs
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
27
h) 1
6
)(
)())((
2
−−==
x
x
xp
xgxpg
• Por tanto, 1
6))(/(
2
−−=
x
xxpg
• ),1(}1{)],1[[}0)(/{)]()([)/( +∞=−+∞∩ℜ==−∩= xpxpDomgDompgDom
ℜ=)(gDom
),1[)( +∞=pDom
1010)( =⇔=−⇔= xxxp
i) 1086)4(]4[)]([))(( 22 +−=−−=−== xxxxgxmgxmg o
ℜ=ℜ∈−ℜ∈=∈∈= }4/{)}()(/)({)( xxgDomxmmDomxmgDom o
j) 104)6(]6[)]([))(( 222 −=−−=−== xxxmxgmxgm o
ℜ=ℜ∈−ℜ∈=∈∈= })6/({)}()(/)({)( 2xxmDomxggDomxgmDom o
k) 128
1
4)4(
1]4[)]([))((
22 +−=
−−=−==
xxxxfxmfxmf o
}6,2{}}2,2{4/{)}()(/)({)( −ℜ=−−ℜ∈−ℜ∈=∈∈= xxfDomxmmDomxmfDom o
224 ≠⇔−≠− xx 624 ≠⇔≠− xx
l) 153
1441
411
11
)]([))((+−−=
+−−−=−
+−=
+−==
x
x
x
xx
x
x
x
xmxjmxjmo
}1{}11
/}1{{)}()(/)({)( −−ℜ=ℜ∈+−−−ℜ∈=∈∈=
x
xxmDomxjjDomxjmDom o
m) 3
23
3
3121
3
12
3
12)]([))((
++=
+++−=+
+−=
+−==
x
x
x
xx
x
x
x
xpxrpxrp o
+∞−∪−−∞=+∞−∈+−−−ℜ∈=∈∈= ,
32
)3,()},1[312
/}3{{)}()(/)({)(x
xxpDomxrrDomxrpDom o
0323
01312
1312 ≥
++⇔≥+
+−⇔−≥
+−
x
x
x
x
x
x
Ceros Polos
32
023 −=⇔=+ xx 303 −=⇔=+ xx
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28
n) 1
2
1
111
1
1
1
1)]([))((
+=
+++−=+
+−=
+−==
x
x
x
xx
x
x
x
xpxjpxjp o
),0[)1,()},1[11
/}1{{)}()(/)({)( +∞∪−−∞=+∞−∈+−−−ℜ∈=∈∈=
x
xxpDomxjjDomxjpDom o
01
201
11
111 ≥
+⇔≥+
+−⇔−≥
+−
x
x
x
x
x
x
Ceros Polos
002 =⇒= xx 101 −=⇔=+ xx
o) 11
13]1[)]([))((
−++−=+==
x
xxsxpsxps o
),0()0,1[}}1{1/),1[{)}()(/)({)( +∞∪−=−ℜ∈++∞−∈=∈∈= xxsDomxppDomxpsDom o
01111 ≠⇔≠+⇔≠+ xxx
p) x
x
x
xx
xx
x
xxx
x
x
xx
x
x
xrxsrxsr
273
12
1126
1333
1126
31
3
11
32
13
)]([))((+−=
−
−+−−
=
−−+−
−−
−
=+
−−
−
−−
=
−−==o
}0,1{}}3{1
3/}1{{)}()(/)({)( −−ℜ=−−ℜ∈
−−−ℜ∈=∈∈=
x
xxrDomxssDomxsrDom o
002333)1(3331
3 ≠⇔≠⇔+−≠−⇔−⋅−≠−⇔−≠−−
xxxxxxx
x
q) 1−m
� Primero comprobaremos si 4)( −= xxm es inyectiva, es decir, ])()( si[ babmam =⇒=
bababmam =⇒−=−⇒= 44)()(
Por tanto, )(xm es inyectiva y existe )(1 xm−
� Ahora calculamos )(1 xm−
1) 44)( −=⇒−= xyxxm
2) 4−= yx
3) 4+= xy
4) 4)(1 +=− xxm
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29
� COMPROBACIÓN
xxxmmxmm =−+== −− 4)4()]([))(( 11o
xxxmmxmm =+−== −− 4)4()]([))(( 11o
Las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto a la recta xy = (bisectriz del primer y
tercer cuadrantes)
ℜ=)(mDom ℜ=)(Re mc
ℜ=− )( 1mDom ℜ=− )(Re 1mc
r) 1−j
� Primero comprobaremos si 1
1)(
+−=
x
xxj es inyectiva, es decir, ])()( si[ babjaj =⇒=
⇒−+−⋅=−−+⋅⇒−⋅+=+⋅−⇒+−=
+−
⇒= 11)1()1()1()1(11
11
)()( babababababab
b
a
abjaj
baba =⇒=⇒ 22
Por tanto, )(xj es inyectiva y existe )(1 xj−
� Ahora calculamos )(1 xj−
1) 1
1
1
1)(
+−=⇒
+−=
x
xy
x
xxj
2) 1
1
+−=
y
yx
3) x
xyxyxxyyxyxxyyyx
−+=⇒−⋅=+⇒−=+⇒−=+⇒−=+⋅
1
1)1(1111)1(
4) x
xxj
−+=−
1
1)(1
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30
� COMPROBACIÓN
xx
x
xxx
xx
x
xx
x
x
xjxjjxjj ==
−−++
−+−+
=+
−+
−−+
=
−+== −−
22
111
1
11
11
1
11
1
11
)]([))(( 11o
xx
x
xxx
xx
x
xx
x
x
xjxjjxjj ==
++−+
+++−
=
+−−
++−
=
+−== −−−
22
111
111
11
1
111
11
)]([))(( 111o
Las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto a la recta xy = (bisectriz del primer y
tercer cuadrantes)
}1{)( −−ℜ=jDom }1{)(Re −ℜ=jc
}1{)( 1 −ℜ=−jDom }1{)(Re 1 −−ℜ=−jc
s) 1−r
� Primero comprobaremos si 312
)(+−=
x
xxr es inyectiva, es decir, ])()( si[ babrar =⇒=
⇒−+−=−−+⇒−⋅+=+⋅−⇒+−=
+−
⇒= 362362)12()3()3()12(312
312
)()( baabbaabbabab
b
a
abrar
baba =⇒=⇒ 77
Por tanto, )(xr es inyectiva y existe )(1 xr−
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31
� Ahora calculamos )(1 xr−
1) 312
312
)(+−=⇒
+−=
x
xy
x
xxr
2) 3
12
+−=
y
yx
3) x
xyxyxxyyxyxxyyyx
−+=⇒−⋅=+⇒−=+⇒−=+⇒−=+⋅
213
)2(1321312312)3(
4) x
xxr
−+=−
213
)(1
� COMPROBACIÓN
xxxx
x
xxx
x
x
xx
x
x
xrxrrxrr ==+−+=
−−++
−−+
=+
−+
−
−+⋅
=
−+== −−
77
7226
23613
12
26
32
13
12
132
213
)]([))(( 11o
xxxx
x
xxx
x
x
xx
x
x
xrxrrxrr ==++−=
++−+
++−
=
+−−
+
+−⋅
=
+−== −−−
77
7336
11262
1336
312
2
1312
3
312
)]([))(( 111o
Las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto a la recta xy = (bisectriz del primer y
tercer cuadrantes)
}3{)( −−ℜ=rDom }2{)(Re −ℜ=rc
}2{)( 1 −ℜ=−rDom }3{)(Re 1 −−ℜ=−rc
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32
t) 1−s
� Primero comprobaremos si 1
3)(
−−=
x
xxs es inyectiva, es decir, ])()( si[ babsas =⇒=
⇒+−−=+−−⇒−⋅−=−⋅−⇒−−=
−−
⇒= babaaabbbabab
b
a
absas 3333)3()1()1()3(
13
13
)()(
baba =⇒−=−⇒ 22
Por tanto, )(xs es inyectiva y existe )(1 xs−
� Ahora calculamos )(1 xr−
1) 1
3
1
3)(
−−=⇒
−−=
x
xy
x
xxs
2) 1
3
−−=
y
yx
3) 1
33)1(333)1(
++=⇒+=+⋅⇒+=+⇒−=−⇒−=−⋅
x
xyxxyxyxyyxxyyyx
4) 1
3)(1
++=−
x
xxs
� COMPROBACIÓN
xx
x
xxx
xx
x
xx
x
x
xsxssxss ==
+−−+
+−−+
=−
++
++−
=
++== −−
2
2
1
131
333
11
31
33
1
3)]([))(( 11
o
xx
x
xxx
xx
x
xx
x
x
xsxssxss ===
−−+−
−−+−
=+
−−
−−+
=
−−== −−−
2
2
1
131
333
11
31
33
1
3)]([))(( 111
o
Las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto a la recta xy = (bisectriz del primer y
tercer cuadrantes)
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33
}1{)( −ℜ=sDom }1{)(Re −−ℜ=sc
}1{)( 1 −−ℜ=−sDom }1{)(Re 1 −ℜ=−sc
u) 1−p
� Primero comprobaremos que 1)( += xxp es inyectiva, es decir, ])()( si[ babpap =⇒=
babababpap =⇒+=+⇒+=+⇒= 1111)()(
Por tanto, )(xp es inyectiva y existe )(1 xp−
� Ahora calculamos )(1 xp−
1) 11)( +=⇒+= xyxxp
2) 11 2 +=⇒+= yxyx
3) 12 += xy
4) 1)( 21 −=− xxp con ),0[ +∞∈x
� COMPROBACIÓN
xxxppxpp =+−== −− 11)]([))(( 211o
xxxppxpp =−+== −− 1)1()]([))(( 211o
Las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto a la recta xy = (bisectriz del primer y
tercer cuadrantes)
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
34
),1[)( +∞−=pDom ),0[)(Re +∞=pc
),0[)( 1 +∞=−pDom ),1[)(Re 1 +∞−=−pc
v) 1−g
� Primero comprobaremos si 6)( 2 −= xxg es inyectiva, es decir, ])()( si[ babgag =⇒=
babababgag ±=⇒=⇒−=−⇒= 2222 66)()(
Por tanto, )(xg NO es inyectiva
En consecuencia no existe la función )(1 xg − (aunque existe la correspondencia inversa )(1 xg − no es una función).
� Lo que haremos será restringuir el dominio de )(xg a un conjunto en el que sí sea una función inyectiva
y, por tanto, sí exista la función )(1 xg − .
6)( 2 −= xxg 1) ∪⇒>= 01a 2) Vértice )6,0( − 3) Tabla de valores
x 3− 2− 1− 0 1 2 3 y 3 2− 5− 6− 5− 2− 3
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35
Restringuimos 6)( 2 −= xxg al conjunto ),0[ +∞
� Ahora calculamos )(1 xg −
1) 66)( 22 −=⇒−= xyxxg
2) 66 22 +=⇒−= xyyx
3) 6+= xy
4) 6)(1 +=− xxg con ),6[ +∞−∈x
� COMPROBACIÓN
xxxggxgg =−+== −− 6)6()]([))(( 211o
xxxggxgg =+−== −− 66)]([))(( 211o
Las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto a la recta xy = (bisectriz del primer y tercer
cuadrantes)
),0[)( +∞=gDom ),6[)(Re +∞−=gc
),6[)( 1 +∞−=−gDom ),0[)(Re 1 +∞=−gc
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36
7. Halla el dominio, los puntos de corte con los ejes, el signo y la simetría de las siguientes funciones:
a) 22)( 23 +−−= xxxxf
� Función polinómica ℜ=→ )( fDom
� Puntos de corte con el eje OX
=+−−=
0
22 23
y
xxxy (Utilizamos el método de igualación) 022 23 =+−−⇒ xxx
2 1 2 1 +−−
2 1 1 −−+
0 2 1 1 −−
=−=⇒=−−
=⇒=−⇔=−−⋅−⇔=+−−
2 o 102
101
0)2()1(0222
223
xxxx
xx
xxxxxx
Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,1(− )0,1( y )0,2(
� Puntos de corte con el eje OY
=+−−=
0
22 23
x
xxxy(Utilizamos el método de sustitución) ⇒ 220020 23 =+−⋅−=y ⇒ 2=y
Luego, el punto de corte con el eje OY es )2,0(
� Signo de la función
• ℜ=)( fDom
• 2 ò 1 10220)( 23 ==−=⇔=+−−⇔= xxxxxxxf
)2)(1)(1(22 23 −−+=+−− xxxxxx
Por tanto,
)2,1()1,( si 0)( ∪−−∞∈< xxf
),2()1,1( si 0)( +∞∪−∈> xxf
SIGNO DE f(x) − + − +
1
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37
� Simetría de la función
conocidas simetríashay No
)(
)(
222)()(2)()( 2323 ⇒
−≠++−−=+−−−−−=−
xf
xf
xxxxxxxf
b) 44)( 24 ++= xxxf
� Función polinómica ℜ=→ )( fDom
� Puntos de corte con el eje OX
=++=
0
44 24
y
xxy (Utilizamos el método de igualación) 044 24 =++⇒ xx
044 variablede cambio el Hacemos
044 bicuadradaEcuación 22
24
=++⇒=•=++•
tttx
xx
realsolución existe no2 variablede cambio el Deshacemos
2
2
2
04
2
16164 grado 2º deecuación la Resolvemos
2 ⇒−=⇒•
−=−=
=±−=−±−=•
x
t
tt
Por tanto no hay puntos de corte con el eje de abscisas.
� Puntos de corte con el eje OY
=++=
0
44 24
x
xxy (Utilizamos el método de sustitución) ⇒ 44040 24 =+⋅+=y ⇒ 4=y
Luego, el punto de corte con el eje OY es )4,0( .
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38
� Signo de la función
• ℜ=)( fDom
• realsolución tieneno 0440)( 24 ⇔=++⇔= xxxf
Por tanto,
ℜ∈∀> xxf 0)(
� Simetría de la función
⇒=+=+−+−=− )(444)(4)()( 2424 xfxxxxxf )(xf es PAR (gráfica simétrica respecto al eje OY)
c) 23
)(2
2
+−=
xx
xxf
� Función racional }2,1{}023/{)( 2 −ℜ==+−−ℜ=→ xxxfDom
� Puntos de corte con el eje OX
=+−
=
0232
2
yxx
xy
(Utilizamos el método de igualación) 00023
22
2
=⇒=⇒=+−
⇒ xxxx
x
Luego, el punto de corte con el eje OX es )0,0(
SIGNO DE f(x) +
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39
2 1 0
� Puntos de corte con el eje OY
=+−
=
0232
2
xxx
xy
(Utilizamos el método de sustitución) 002030
02
2
=⇒=+⋅−
=⇒ yy
Luego, el punto de corte con el eje OY es )0,0(
� Signo de la función
• }2,1{)( −ℜ=fDom
• 0023
0)(2
2
=⇔=+−
⇔= xxx
xxf
Por tanto,
),2()1,0()0,( si 0)( +∞∪∪−∞∈> xxf
� Simetría de la función
conocidas simetríashay No
)(
)(
232)(3)(
)()(
2
2
2
2
⇒
−≠
++=
+−−−−=−
xf
xf
xx
x
xx
xxf
SIGNO DE f(x) + + − +
)2,1( si 0)( ∈< xxf
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
40
1 -1
d) 1
1)(
2
4
−+=
x
xxf
� Función racional }1,1{}01/{)( 2 −−ℜ==−−ℜ=→ xxfDom
� Puntos de corte con el eje OX
=−+=
01
12
4
yx
xy
(Utilizamos el método de igualación) realsolución existe no0101
1 42
4
⇒=+⇒=−+
⇒ xx
x
Por tanto no hay puntos de corte con el eje de abscisas.
� Puntos de corte con el eje OY
=−+=
01
12
4
xx
xy
(Utilizamos el método de sustitución) 1110
102
4
−=⇒−=−+=⇒ yy
Luego, el punto de corte con el eje OY es )1,0( −
� Signo de la función
• }1,1{)( −−ℜ=fDom
• realsolución hay no0 101
10)( 4
2
4
⇒=+⇔=−+⇔= x
x
xxf
Por tanto,
)1,1( si 0)( −∈< xxf ),1()1,( si 0)( +∞∪−∞∈> xxf
� Simetría de la función
⇒=−+=
−−−=− )(
1
1
1)(
)()(
2
4
2
4
xfx
x
x
xxf )(xf es PAR (gráfica simétrica respecto al eje OY)
SIGNO DE f(x) + − +
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41
1 0
e) x
xxf
−=
1)(
3
� Función racional }1(}01/{)( −ℜ==−−ℜ=→ xxfDom
� Puntos de corte con el eje OX
=−
=
01
3
yx
xy
(Utilizamos el método de igualación) 0001
33
=⇒=⇒=−
⇒ xxx
x
Luego, el punto de corte con el eje OX es )0,0(
� Puntos de corte con el eje OY
=−
=
01
3
xx
xy
(Utilizamos el método de sustitución) 001
03
=⇒=−
=⇒ yx
y
Luego, el punto de corte con el eje OY es )0,0(
� Signo de la función
• }1{)( −ℜ=fDom
• 00 01
0)( 33
=⇒=⇔=−
⇔= xxx
xxf
Por tanto,
),1()0,( si 0)( +∞∪−∞∈< xxf
)1,0( si 0)( ∈> xxf
� Simetría de la función
conocidas simetríashay No
)(
)(
1)(1)(
)(33
⇒
−≠
+−=
−−−=−
xf
xf
x
x
x
xxf
SIGNO DE f(x) − + −
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42
f) 13)( +−= xxf
� Función radical ),3[}03/{)( +∞=≥−−ℜ=→ xxfDom
� Puntos de corte con el eje OX
=+−=
0
13
y
xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒−=−⇒=+−⇒ 13013 xx
negativo) númeroun ser puede no 3 de resultado (el realsolución tieneNo −⇒ x
Por tanto no hay puntos de corte con el eje de abscisas.
� Puntos de corte con el eje OY
=+−=
0
13
x
xyOY eje elcon corte de puntohay No)(0 ⇒∉ fDom
� Signo de la función
)( 0)()( 013),3[ 03 fDomxxffDomxxxx ∈∀>⇒∈∀>+−⇒+∞∈∀≥−
� Simetría de la función
conocidas simetríashay No
)(
)(
13)( ⇒
−≠+−−=−
xf
xf
xxf
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43
3 -1
Observa que ),3[)( +∞=fDom , por tanto, la función no puede ser simétrica ni respecto al eje OY ni
respecto al origen de coordenadas. Es decir, no puede ser par ni impar.
Observa también que 13)( +−= xxf es la función xy = trasladada verticalmente 1 unidad hacia
arriba y 3 unidades a la derecha.
g) 12)( +−= xxf
� Función radical ),1[}01/{)( +∞−=≥+−ℜ=→ xxfDom
� Puntos de corte con el eje OX
=+−=
0
12
y
xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒=+⇒=+−⇒ 21012 xx
3412)1( 22 =⇒=+⇒=+⇒ xxx
Luego, el punto de corte con el eje OX es )0,3(
� Puntos de corte con el eje OY
=+−=
0
12
x
xy(Utilizamos el método de sustitución) 11102 =⇒=+−=⇒ yy
Luego, el punto de corte con el eje OY es )1,0(
� Signo de la función
)0,1[)( −=fDom
0)( =xf ⇒=+⇒=+−⇒ 21012 xx 3412)1( 22 =⇒=+⇒=+ xxx
Por tanto,
),3( si 0)( +∞∈< xxf )3,1[ si 0)( −∈> xxf
SIGNO DE f(x) + −
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44
� Simetría de la función
conocidas simetríashay No
)(
)(
12)( ⇒
−≠+−−=−
xf
xf
xxf
Observa que ),1[)( +∞−=fDom , por tanto, la función no puede ser simétrica ni respecto al eje OY ni
respecto al origen de coordenadas. Es decir, no puede ser par ni impar.
Observa también que 12)( +−= xxf es la función xy −= trasladada verticalmente 2 unidades
hacia arriba y 1 unidades a la izquierda.
h) x
xxf
3 2 5)(
−=
� Dominio
⇒=)(
)()(
xh
xgxf
(Valores de x en los que g y h están definidas a la vez excepto aquellos en los que h se
anula)
ℜ=−==→−= )5(Dominio5 23 2 xyDomxy
}0{−ℜ→= xy Eliminamos el 0 porque el denominador no puede anularse
}0{)( Por tanto, −ℜ=fDom
� Puntos de corte con el eje OX
=
−=
0
53 2
yx
xy (Utilizamos el método de igualación) 05050
5 23 23 2
=−⇒=−⇒=−⇒ xx
x
x
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
45
5 0 5− 0
552 ±=⇒=⇒ xx
Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,5(− y )0,5(
� Puntos de corte con el eje OY
=
−=
0
53 2
xx
xy OY eje elcon corte de puntohay No)(0 ⇒∉ fDom
� Signo de la función
• }0{)( −ℜ=fDom
• 50)( ±=⇔= xxf
Por tanto,
)5,0()5,( si 0)( ∪−−∞∈< xxf ),5()0,5( si 0)( +∞∪−∈> xxf
� Simetría de la función
⇒−=
−−=−
−−=− )(
55)()(
3 23 2
xfx
x
x
xxf La función es IMPAR (su gráfica es simétrica respecto
al origen de coordenadas)
SIGNO DE f(x) − + − +
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46
0 ∞− 1 1− ∞+
i) 1
)(2
24
+−=
x
xxxf
� Dominio
Función radical con índice par
≥+
−ℜ∈=→ 01
/)( 2
24
x
xxxfDom
01
)1)(1(0
1 :inecuación laresolver que Tenemos
2
2
2
24
≥+
+−⇔≥+−
x
xxx
x
xx
Ceros
1 o 00)1(0 2224 −±==⇔=−⇔=− xxxxxx
Polos
realsolución tieneno 101 22 ⇒−=⇔=+ xx
),1[}0{]1,()( Por tanto, +∞∪∪−−∞=fDom
� Puntos de corte con el eje OX
=+
−=
012
24
yx
xxy
01
01 2
24
2
24
=+
−⇒=
+−
⇒x
xx
x
xx1 o 00)1(0 2224 −±==⇒=−⇒=−⇒ xxxxxx
Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,0( )0,1(− y )0,1(
� Puntos de corte con el eje OY
=+
−=
012
24
xx
xxy
001000
2
22
=⇒=+
−=⇒ yy
Luego, el punto de corte con el eje OY es )0,0(
� Signo de la función
• ),1[}0{]1,()( +∞∪∪−−∞=fDom
• 1 o 00)( −±==⇔= xxxf
)( 0)( Por tanto, fDomxxf ∈∀≥
SIGNO DE f(x) + +
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47
∞− 1 -1
� Simetría de la función
⇒=+
−=+−−−−=− )(
11)(
)()()(
2
24
2
24
xfx
xx
x
xxxf La función es PAR (su gráfica es simétrica respecto al
eje OY)
j) 1)( 12
−= −xexf
� ℜ=)( fDom
� Puntos de corte con el eje OX
=−= −
0
112
y
ey x
(Utilizamos el método de igualación) 101 11 22
=⇒=− −− xx ee 1012 ±=⇒=−⇒ xx
Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,1( )0,1(−
� Puntos de corte con el eje OY
=−= −
0
112
x
ey x
(Utilizamos el método de sustitución) 11
11
11 1102
−=⇒−=−=−= −−
ey
eeey
Luego, el punto de corte con el eje OY es
−11
,0e
� Signo de la función
ℜ=)( fDom
0)( =xf 1±=⇔ x
Por tanto,
)1,1( si 0)( −∈< xxf
),1()1,( si 0)( +∞∪−−∞∈> xxf
SIGNO DE f(x) + − +
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48
� Simetría de la función
⇒=−=−=− −−− )(11)( 11)( 22
xfeexf xx La función es PAR (su gráfica es simétrica respecto al eje OY)
k) xxxf −=3
5)(
� ℜ=−== )()( 3 xxyDomfDom
� Puntos de corte con el eje OX
== −
0
53
y
y xx
053
=⇒ −xx xa x 0 puessolución tieneNo ∀>⇒
Por tanto no hay puntos de corte con el eje de abscisas.
� Puntos de corte con el eje OY
== −
0
53
x
y xx
1150 =⇒==⇒ yy
Luego, el punto de corte con el eje OY es )1,0(
� Signo de la función
ℜ∈∀>⇒ℜ∈∀> xxfba b 0)( 0
� Simetría de la función
conocidas simetríashay No
)(
)(
55)(33 )()( ⇒
−≠==− +−−−−
xf
xf
xf xxxx
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49
5 0 5− -2 2
l) )4log()( 2 −= xxf
� ),2()2,(}04/{)( 2 +∞∪−−∞=>−−ℜ= xxfDom
� Puntos de corte con el eje OX
=−=
0
)4log( 2
y
xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒=−⇒=−⇒ 140)4log( 22 xx
552 ±=⇒=⇒ xx
Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,5(− y )0,5(
� Puntos de corte con el eje OY
=−=
0
)4log( 2
x
xyOY eje elcon corte de puntohay No)(0 ⇒∉ fDom
� Signo de la función
• ),2()2,()( +∞∪−−∞=fDom
• 0)( =xf ⇒=−⇒=−⇒ 140)4log( 22 xx 552 ±=⇒= xx
Por tanto,
)5,2()2,5( si 0)( ∪−−∈< xxf
),5()5,( si 0)( +∞∪−∞∈> xxf
SIGNO DE f(x) + − − +
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50
� Simetría de la función
OY) eje al respecto simétrica es gráfica(su PAR es )( )()4log()4)log(()( 22 xfxfxxxf ⇒=−=−−=−
m) 6log)( 2 −= xxf
� ),6(}06/{)( +∞=>−−ℜ= xxfDom
� Puntos de corte con el eje OX
=−=
0
6log2
y
xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒=−⇒=−⇒ 1606log2 xx 7=x
Luego, el punto de corte con el eje OX es )0,7(
� Puntos de corte con el eje OY
=−=
0
6log2
x
xyOY eje elcon corte de puntohay No)(0 ⇒∉ fDom
� Signo de la función
• ),6()( +∞=fDom
• 0)( =xf 7=⇒ x
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51
7 6
•
Por tanto,
)7,6( si 0)( ∈< xxf
),7( si 0)( +∞∈> xxf
� Simetría de la función
),6()( +∞=fDom , por tanto, la función no puede ser simétrica ni respecto al eje OY ni respecto al
origen de coordenas. Es decir, no puede ser par ni impar.
8. Obtener toda la información posible de las siguientes funciones:
1) }2,2{)( −−ℜ=fDom
2) ),1[)0,()(Re +∞∪−∞=fc
3) }2,2{dcontinuida de Dominio −−ℜ=
2−=x discontinuidad asintótica o de salto infinito
2=x discontinuidad asintótica o de salto infinito
SIGNO DE f(x) − +
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52
4) Puntos de corte con el eje OX: No hay
Puntos de corte con el eje OY: )1,0(
5) Signo de )(xf
),2()2,( si 0)( +∞∪−−∞∈< xxf
)2,2( si 0)( −∈> xxf
6) Es Par (simétrica respecto al eje OY)
7) No es periódica
8) Asíntotas verticales: 2y 2 =−= xx
Asíntota horizontal: 0=y
9) )0,2()2,( si decrece )( −∪−−∞∈xxf
),2()2,0( si crece )( +∞∪∈xxf
10) Mínimos relativos: )1,0(
Máximos relativos: No hay
No tiene extremos absolutos
11) No está acotada.
1) ),2()2,5[)( +∞∪−=fDom
2) ℜ=)(Re fc
3) }2,0,2{dcontinuida de Dominio −−ℜ=
2−=x discontinuidad de salto finito
0=x discontinuidad eviatable
2=x discontinuidad asintótica o de salto infinito
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53
4) Puntos de corte con el eje OX: )0,4(−
Puntos de corte con el eje OY: )3,0(
5) Signo de )(xf
),2()4,,5[ si 0)( +∞∪−−∈< xxf
)2,4( si 0)( −∈> xxf
6) No es simétrica
7) No es periódica
8) Asíntota vertical: 2=x
Asíntota horizontal por la derecha: 0=y
9) )0,2( si decrece )( −∈xxf
),2()2,0()2,5( si crece )( +∞∪∪−−∈xxf
10) Mínimos relativos: No hay
Máximos relativos: No hay
No tiene extremos absolutos
11) No está acotada.
1) }0{)( −ℜ=fDom
2) ),2()2,()(Re +∞∪−−∞=fc
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54
3) }0{dcontinuida de Dominio −ℜ=
0=x discontinuidad asintótica o de salto infinito
4) Puntos de corte con el eje OX: No hay
Puntos de corte con el eje OY: No hay
5) Signo de )(xf
)0,( si 0)( −∞∈< xxf
),0( si 0)( +∞∈> xxf
6) Es impar (simétrica respecto al origen de coordenadas)
7) No es periódica
8) Asíntotas verticales: 0=x
Asíntota horizontal: No hay
Asíntota oblicua: xy =
9) )1,0()0,1( si decrece )( ∪−∈xxf
),1()1,( si crece )( +∞∪−−∞∈xxf
10) Mínimos relativos: )2,1(
Máximos relativos: )2,1( −−
No tiene extremos absolutos
11) No está acotada.
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55
1) }1{)( −ℜ=fDom
2) ℜ=)(Re fc
3) }1{dcontinuida de Dominio −ℜ=
1=x discontinuidad asintótica o de salto infinito
4) Puntos de corte con el eje OX: )0,0(
Puntos de corte con el eje OY: )0,0(
5) Signo de )(xf
)0,( si 0)( −∞∈< xxf
),1()1,0( si 0)( +∞∪∈> xxf
6) No es simétrica
7) No es periódica
8) Asíntotas verticales: 1=x
Asíntota horizontal: No tiene
Asíntota oblicua: 2+= xy
9) )3,1( si decrece )( ∈xxf
),3()1,0(),( si crece )( +∞∪∪−∞∈xxf
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56
Mínimos relativos:
4
27,3
Máximos relativos: No hay
No tiene extremos absolutos
10) No está acotada.
1) ℜ=)( fDom
2) ]2,0[)(Re =fc
3) ℜ=dcontinuida de Dominio
4) Puntos de corte con el eje OX: )0,1(
Puntos de corte con el eje OY: )1,0(
5) Signo de )(xf
xxf 0)( ∀≥
1 si 0)( == xxf
),1()1,( si 0)( +∞∪−∞∈> xxf
6) No es simétrica
7) No es periódica
8) Asíntotas verticales: No tiene
Asíntota horizontal: 1=y
Asíntota oblicua: No tiene
9) )1,1( si decrece )( −∈xxf
),1()1,( si crece )( +∞∪−−∞∈xxf
Mínimo relativo y absoluto: )0,1(
Máximo relativo y absoluto: )2,1(−
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57
10)
• Acotada superiormente
Conjunto de cotas superiores: ),2[ +∞
Supremo = 2 Máximo absoluto = 2 y lo alcanza en 0=x
• Acotada inferiormente
Conjunto de cotas superiores: ]0,(−∞
Ínfimo = 0 Máximo absoluto = 0 y lo alcanza en 1=x
9. Representa gráficamente las siguientes parábolas:
a) 32)( 2 ++= xxxf
1) ∪⇒>= cóncava01a
2) Eje de simetría: 12
2
2−=⇒
−=⇒−= xx
a
bx
3) Vértice )2,1( 23213)1(2)1()1(
12
−⇒
=+−=+−⋅+−=−=
−=V
fy
x
v
v
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=++=
0
322
y
xxy
realsolución tieneno2
12420322 ⇒
−±−=⇒=++ xxx ⇒No hay puntos de corte con el eje OX
Eje OY: 30
322
=⇒
=++=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )3,0(
5) Tabla de valores
x 4− 3− 2− 1− 0 1 2
y 11 6 3 2 3 6 11
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58
b) 34)( 2 +−= xxxf
1) ∪⇒>= cóncava01a
2) Eje de simetría: 22
4
2=⇒=⇒
−= xxa
bx
3) Vértice )1,2( 13843)2(4)2()2(
22
−⇒
−=+−=+⋅−==
=V
fy
x
v
v
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=+−=
0
342
y
xxy
==
=−±=⇒=+−1
3
2
121640342
x
xxxx ⇒PC con eje OX: )0,3( y )0,1(
Eje OY: 30
342
=⇒
=+−=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )3,0(
5) Tabla de valores
x 1− 0 1 2 3 4 5
y 8 3 0 1− 0 3 8
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59
c) xxxf 5)( 2 −−=
1) ∩⇒<−= convexa01a
2) Eje de simetría 2
5
2
5
2−=⇒
−=⇒
−= xxa
bx
3) Vértice
−⇒
==+−=
−⋅−
−−=
−=
−=−=
4
25,
2
5
25,64
25
2
25
4
25
2
55
2
5
2
5
5,22
5
2 V
fy
x
v
v
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=−−=
0
52
y
xxy
−==
⇔=−−⋅⇔=−−5
00)5(052
x
xxxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son )0,0( y )0,5(−
Eje OY: 00
52
=⇒
=−−=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )0,0(
5) Tabla de valores
x 6− 5− 4− 3− 2
5− 2− 1− 0 1
y 6− 0 4 6 4
25 6 4 0 6−
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60
d) 5)( 2 += xxf
� )(xf es la función 2xy = trasladada verticalmente 5 unidades hacia arriba.
2xy =
1) ∪⇒>= cóncava01a
2) Eje de simetría: 002
0
2=⇒==⇒
−= xxa
bx
3) Vértice )0,0( 0
0V
y
x
v
v⇒
==
4) Tabla de valores
x 2− 1− 0 1 2
y 4 1 0 1 4
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61
e) 6)( 2 +−= xxf
� )(xf es la función 2xy −= trasladada verticalmente 6 unidades hacia arriba.
2xy −=
1) ∩⇒<−= convexa01a
2) Eje de simetría: 002
0
2=⇒=
−=⇒
−= xxa
bx
3) Vértice )0,0( 0
0V
y
x
v
v⇒
==
4) Tabla de valores
x 2− 1− 0 1 2
y 4− 1− 0 1− 4−
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62
f) 2)1(3)( −= xxf
� )(xf es la función 23xy = trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha.
23xy =
1) ∪⇒>= cóncava03a
2) Eje de simetría: 006
0
2=⇒==⇒
−= xxa
bx
3) Vértice )0,0( 0
0V
y
x
v
v⇒
==
4) Tabla de valores
x 2− 1− 0 1 2
y 12 3 0 3 12
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63
g) 96)( 2 −+−= xxxf
1) ∩⇒<−= convexa01a
2) Eje de simetría: 32
6
2=⇒
−−=⇒
−= xxa
bx
3) Vértice )0,3( 091899)3(6)3()3(
32
Vfy
x
v
v⇒
=−+−=−⋅+−==
=
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=−+−=
0
962
y
xxy
3
3
2
06
2
363660962
=
==
−±−=
−−±−=⇒=−+−
x
x
xxx ⇒ El punto de corte con el eje OX es )0,3(
Eje OY: 90
962
−=⇒
=−+−=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )9,0(−
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64
5) Tabla de valores
x 0 1 2 3 4 5 6
y 9− 4 1 0 1− 4− 9−
h) 2)3()( 2 +−= xxf
� )(xf es la función 2xy = trasladada verticalmente 2 unidades hacia arriba y horizontalmente 3
unidades a la derecha
2xy =
1) ∪⇒>= cóncava01a
2) Eje de simetría: 002
0
2=⇒==⇒
−= xxa
bx
3) Vértice )0,0( 0
0V
y
x
v
v⇒
==
4) Tabla de valores
x 2− 1− 0 1 2
y 4 1 0 1 4
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65
i) 2)1()( 2 −+−= xxf
� )(xf es la función 2xy −= trasladada verticalmente 6 unidades hacia arriba.
2xy −=
1) ∩⇒<−= convexa01a
2) Eje de simetría: 002
0
2=⇒=
−=⇒
−= xxa
bx
3) Vértice )0,0( 0
0V
y
x
v
v⇒
==
4) Tabla de valores
x 2− 1− 0 1 2
y 4− 1− 0 1− 4−
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
66
10. Representa gráficamente las siguientes funciones racionales:
a) x
xf3
)( =
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
• 0=x asíntota vertical
+∞=
−∞=
+
−
→
→
x
x
x
x
3lim
3lim
0
0
• 0=y asíntota horizontal
=
=
+
+∞→
−
−∞→
03
lim
03
lim
x
x
x
x
• Tabla valores
x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6
y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
67
b) x
xf3
)( −=
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
• 0=x asíntota vertical
−∞=−
+∞=−
+
−
→
→
x
x
x
x
3lim
3lim
0
0
• 0=y asíntota horizontal
=−
=−
−
+∞→
+
−∞→
03
lim
03
lim
x
x
x
x
• Tabla valores
x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6
y 5,0 1 5,1 3 6 6− 3− 5,1− 1− 5,0−
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
68
c) 23
)( −=x
xf )(xf→ es la función x
y3= trasladada verticalmente 2 unidad abajo.
� x
y3=
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
• 0=x asíntota vertical
+∞=
−∞=
+
−
→
→
x
x
x
x
3lim
3lim
0
0
• 0=y asíntota horizontal
=
=
+
+∞→
−
−∞→
03
lim
03
lim
x
x
x
x
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
69
• Tabla valores
x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6
y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0
d) 1
3)(
−=
xxf )(xf→ es la función
xy
3= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha.
� x
y3=
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
• 0=x asíntota vertical
+∞=
−∞=
+
−
→
→
x
x
x
x
3lim
3lim
0
0
• 0=y asíntota horizontal
=
=
+
+∞→
−
−∞→
03
lim
03
lim
x
x
x
x
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
70
• Tabla valores
x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6
y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0
e) 42
3)( +
−=
xxf )(xf→ es la función
xy
3= trasladada horizontalmente 2 unidades a la derecha y 4
unidades hacia arriba
� x
y3=
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
• 0=x asíntota vertical
+∞=
−∞=
+
−
→
→
x
x
x
x
3lim
3lim
0
0
• 0=y asíntota horizontal
=
=
+
+∞→
−
−∞→
03
lim
03
lim
x
x
x
x
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
71
• Tabla valores
x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6
y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0
f) 5
3)(
+=
xxf )(xf→ es la función
xy
3= trasladada horizontalmente 5 unidades a la izquierda.
El estudio de la función x
y3= lo hemos hecho en el apartado a)
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
72
2 −x
2
1+x
1
g) ⇒++
−=⇒+−= 2
1
3)(
1
12)(
xxf
x
xxf )(xf es la función
xy
3 −=
izquierda la a unidad 1 T.H.
arriba unidades 2 T.V.
3
22
12
−−−−
x
x
La función x
y3
−= la hemos representado en el apartado b)
h) ⇒+−
=⇒−+= 1
2
6)(
2
4)(
xxf
x
xxf )(xf es la función
xy
6 =
derecha la a unidades 2 T.H.
arriba unidad 1 T.V.
6
2
4
+−+
x
x
� x
y6=
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
73
• 0=x es asíntota vertical
+∞=
−∞=
+
−
→
→
x
x
x
x
6lim
6lim
0
0 0=y es asíntota horizontal
=
=
+
+∞→
−
−∞→
06
lim
06
lim
x
x
x
x
• Tabla valores
x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6
y 1− 2− 3− 6− 12− 12 6 3 2 1
11. Representa gráficamente las siguientes funciones radicales:
a) 21)(12)( −−=⇒−+−= xxfxxf )(xf→ es la función xy = trasladada horizontalmente 1
unidad a la derecha y verticalmente 2 unidades hacia abajo
� xy =
• ),0[)( +∞=fDom
• Tabla de valores x 0 1 4 9
y 0 1 2 3
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
74
b) 42)( ++−= xxf )(xf→ es la función xy −= trasladada horizontalmente 2 unidades a la izquierda
y verticalmente 4 unidades hacia arriba
� xy −=
• ),0[)( +∞=fDom
• Tabla de valores x 0 1 4 9
y 0 1− 2− 3−
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
75
c) 71)( +−= xxf )(xf→ es la función xy = trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha y
verticalmente 7 unidades hacia arriba
� xy =
• ),0[)( +∞=fDom
• Tabla de valores x 0 1 4 9
y 0 1 2 3
12. Representa gráficamente las siguientes funciones exponenciales:
a) x
xf
=3
1)(
• ℜ=)(xDomf
• ),0()((Re +∞== xfyc
• Asíntota horizontal por la derecha 0=y ( +
+∞→= 0)(lim xf
x)
• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 27 9 3 1 3
1
9
1
27
1
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
76
b) x
xf−
=3
1)( )(xf→ es la simétrica de
x
y
=3
1 respecto al eje OY
� x
y
=3
1
• ℜ=
= )31
(x
yDom
• ),0()3
1(Re +∞=
=x
yc
• Asíntota horizontal por la derecha 0=y ( +
+∞→= 0)(lim xf
x)
• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 27 9 3 1 3
1
9
1
27
1
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
77
c) 1
3
1)(
+
=x
xf )(xf→ es la función x
y
=3
1 trasladada horizontalmente 1 unidad a la izquierda.
� x
y
=3
1
• ℜ=
= )3
1(
x
yDom
• ),0()3
1(Re +∞=
=x
yc
• Asíntota horizontal por la derecha 0=y ( +
+∞→= 0)(lim xf
x)
• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 27 9 3 1 3
1
9
1
27
1
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
78
d) 23
1)( −
=x
xf )(xf→ es la función x
y
=3
1 trasladada verticalmente 2 unidades hacia abajo.
� x
y
=3
1
• ℜ=
= )3
1(
x
yDom
• ),0()3
1(Re +∞=
=x
yc
• Asíntota horizontal por la derecha 0=y ( +
+∞→= 0)(lim xf
x)
• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 27 9 3 1 3
1
9
1
27
1
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
79
e) xxf 2)( −= )(xf→ es la simétrica de xy 2= respecto al eje OX
� xy 2=
• ℜ== )2( xyDom
• ),0()2(Re +∞== xyc
• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(
• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +
−∞→= 0)(lim xf
x)
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
80
f) 12)( −= xxf )(xf→ es la función xy 2= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha
� xy 2=
• ℜ== )2( xyDom
• ),0()2(Re +∞== xyc
• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(
• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +
−∞→= 0)(lim xf
x)
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
81
g) 32)( 1 −= +xxf )(xf→ es la función xy 2= trasladada horizontalmente 1 unidad a la izquierda y
verticalmente 3 unidades abajo.
� xy 2=
• ℜ== )2( xyDom ),0()2(Re +∞== xyc
• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(
• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +
−∞→= 0)(lim xf
x)
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
82
h) 22)( 1 += −xxf )(xf→ es la función xy 2= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha y
verticalmente 2 unidades arriba.
� xy 2=
• ℜ== )2( xyDom ),0()2(Re +∞== xyc
• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(
• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +
−∞→= 0)(lim xf
x)
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
83
13. Representa gráficamente las siguientes funciones logarítmicas: a) )3(log)( 2 −= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada horizontalmente 3 unidad a la derecha
� xy 2log=
• ),0()log( 2 +∞== xyDom
• ℜ== )log(Re 2 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1(
• No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→
)(lim0
xfx
x 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
y 3− 2− 1− 0 1 2 3
b) xxf 2log)( −= )(xf→ es la simétrica de la función xy 2log= respecto al eje OX
� xy 2log=
• ),0()log( 2 +∞== xyDom
• ℜ== )log(Re 2 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1(
• No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→
)(lim0
xfx
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
84
x 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
y 3− 2− 1− 0 1 2 3
c) )(log)( 2 xxf −= )(xf→ es la simétrica de la función xy 2log= respecto al eje OY
� xy 2log=
),0()log( 2 +∞== xyDom
ℜ== )log(Re 2 xyc
Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→
)(lim0
xfx
x 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
y 3− 2− 1− 0 1 2 3
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
85
d) 1)2(log)( 2 −−= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada verticalmente 1 unidades hacia abajo
y horizontalmente 2 unidades a la derecha
� xy 2log=
• ),0()log( 2 +∞== xyDom
• ℜ== )log(Re 2 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1(
• No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→
)(lim0
xfx
x 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
y 3− 2− 1− 0 1 2 3
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
86
e) 1log)(3
1 −= xxf )(xf→ es la función xy3
1log= trasladada verticalmente 1 unidad hacia abajo
� xy3
1log=
• ),0()log(3
1 +∞== xyDom
• ℜ== )log(Re3
1 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1(
No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x +∞=+→
)(lim0
xfx
x 9
1
3
1 1 3 9
y 2 1 0 1− 2−
f) )1(log)( 2 −= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha
� xy 2log=
• ),0()log( 2 +∞== xyDom
• ℜ== )log(Re 2 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1(
• No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→
)(lim0
xfx
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
87
x 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
y 3− 2− 1− 0 1 2 3
g) 1)1(log)(3
1 −+= xxf )(xf→ es la función xy3
1log= trasladada verticalmente 1 unidad hacia abajo y
horizontalmente 1 unidad a la izquierda
� xy3
1log=
• ),0()log(3
1 +∞== xyDom
• ℜ== )log(Re3
1 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1(
• No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x +∞=+→
)(lim0
xfx
x 9
1
3
1 1 3 9
y 2 1 0 1− 2−
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
88
h) 2)3(log)(2
1 −+= xxf )(xf→ es la función xy2
1log= trasladada verticalmente 2 unidad hacia abajo y
3 unidades a la izquierda
� xy2
1log=
• ),0()log(2
1 +∞== xyDom
• ℜ== )log(Re2
1 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1(
• No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x +∞=+→
)(lim0
xfx
• Tabla de valores
x 8 4 2 1 2
1
4
1
8
1
y 3− 2− 1− 0 1 2 3
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
89
i) 3)1(log)( 2 +−= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha
y verticalmente 3 unidades hacia arriba
� xy 2log=
• ),0()log( 2 +∞== xyDom ℜ== )log(Re 2 xyc
• Punto de corte con el eje OX )0,1( No corta el eje OY
• Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→
)(lim0
xfx
x 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
y 3− 2− 1− 0 1 2 3
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
90
14. Representa gráficamente las siguientes funciones definidas a trozos:
a) ]2,0()0,()(
20 1
02 1
2 13
)(2
∪−∞=⇒
≤≤+<<−−
−≤−= fDom
xsix
xsix
xsix
xf
• linealfunción 13 →−= xy
x •− 2 3− 4− y 7− 10− 11−
• linealfunción 1 →−= xy
x Ο− 2 1− Ο0 y 3 2 1
• (parábola) cuadráticafunción 2 →= xy
cóncava01 →>=a (0,0)Vértice→
x •0 1 •2 y 0 1 4
b) ),3()0,()(
3 1
04 32
4 5
)( 2 +∞∪−∞=⇒
><≤−+−−
−<−
= fDom
xsi
xsixx
xsi
xf
• constantefunción 4 si 5 →−<−= xy
• (parábola) cuadráticafunción 322 →+−−= xxy
convexa01 →<−=a
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
91
)4,1(
43213)1(2)1(
12
2
2Vértice2
−⇒
=++−=+−⋅−−−=
−=−
=−=→ V
y
a
bx
x •− 4 3− 2− 1− Ο0 y 5− 0 3 4 3
• constantefunción 3 si 1 →>= xy
c) )(
4 1
42
20 1
0
)(2
ℜ=⇒
≥<≤−<≤−
<
= fDom
xsi
xsix
xsix
xsix
xf
• linealfunción →= xy
x Ο0 1− 2− y 0 1− 2−
• (parábola) cuadráticafunción 12 →−= xy
cóncava01 →>=a
)1,0( 1
02
0
2Vértice −⇒
−=
==−=→
ya
bx
• linealfunción →−= xy
x •2 3 Ο4 y 2− 3− 4−
• constantefunción 4 si 1 →≥= xy
x •0 1 Ο2 y 1− 0 3
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
92
d) ℜ=⇒
>
≤= )(
0 1
0 1)( fDom
xsix
xsixf
• constantefunción 0 si 1 →≤= xy
• hipérbola 1 →=x
y
}0{)( −ℜ=fDom
No corta a los ejes coordenados
0=x asíntota vertical
0=y asíntota horizontal
x 5,0 1 2 4
y 2 1 5,0 25,0
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
93
e) }2{)(
1 42
12
2 2
)( 2 −−ℜ=⇒
≥+−<<−
−<
= fDom
xsix
xsix
xsi
xf
• constantefunción 2 si 2 →−<= xy
• (parábola) cuadráticafunción 2 →= xy
cóncava01 →>=a
)0,0( 1
02
0
2Vértice ⇒
−=
==−=→
ya
bx
• linealfunción 42 →+−= xy
x •1 2 3
y 2 0 2−
f) }0{)( 0
1
0 1)( −ℜ=⇒
<
>−= fDom
xsix
xsixxf
• linealfunción 1→−= xy
x Ο0 1 2
y 1− 0 1
• hipérbola 1 →=x
y
}0{)( −ℜ=fDom
x Ο− 2 0 Ο1 y 4− 0 1
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
94
0=x asíntota vertical
+∞==
−∞==
+→
−→
+
−
0
1)(lim
0
1)(lim
0
0
xf
xf
x
x 0=y asíntota horizontal
=∞+
=
=∞−
=
+
+∞→
−
−∞→
01
)(lim
01
)(lim
xf
xf
x
x
g) }2{)(
5 1
51 2
1
1 1
)(
2
−ℜ=⇒
≥+
<<−
≤+−
= fDom
xsix
xsix
xsix
xf
• (parábola) cuadráticafunción 12 →+−= xy
convexa01 →<−=a
)1,0( 1
02
0
2Vértice ⇒
=
=−
=−=→
ya
bx
x
5,0−
1− 2− 4−
y 2− 1−
5,0−
25,0−
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
95
x •1 0 1− 2−
y 0 1 0 3−
• hipérbola 2
1 →−
=x
y
}2{)( −ℜ=fDom
2=x asíntota vertical
+∞==
−∞==
+→
−→
+
−
0
1)(lim
0
1)(lim
2
2
xf
xf
x
x
0=y asíntota horizontal
=∞+
=
=∞−
=
+
+∞→
−
−∞→
01
)(lim
01
)(lim
xf
xf
x
x
• linealfunción 1→+= xy
x •5 6 7
y 6 7 8
x Ο1 5,1 5,2 3 4 Ο5
y 1− 2− 2 1 5,0 3
1
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
96
h) }2{)( 0
2
1
0 1)( −−ℜ=⇒
<+
>−= fDom
xsix
xsixxf
• linealfunción 1→−= xy
x Ο0 1 2 y 1− 0 1
• hipérbola 2
1 →+
=x
y
}2{)( −−ℜ=fDom
2−=x asíntota vertical
+∞==
−∞==
+−→
−−→
+
−
01
)(lim
01
)(lim
2
2
xf
xf
x
x
0=y asíntota horizontal
=∞+
=
=∞−
=
+
+∞→
−
−∞→
01
)(lim
01
)(lim
xf
xf
x
x
x Ο0 1− 5,1− 5,2− 3− 4−
y 5,0 1 2 2− 1− 5,0
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
97
i) ),5(]4,()(
5 o 4 2
40 3
0 2
)( +∞∪−∞=
>=−<<−
≤=
−
fDom
xxsix
xsix
xsi
xf
x
• lexponenciafunción 2 →= − xy
x •0 1− 2− 3−
y 1 2 4 8
• linealfunción 3 →−= xy
x Ο0 1 Ο4 y 3 2 1−
• linealfunción 2 →−= xy
x 4 Ο5 6 7
y 2 3 4 5
j) 34)( 2 −+−= xxxf
1º) Representamos la parábola: 342 −+−= xxy
1) ∩⇒<−= convexa01a
2) Eje de simetría 222
4
2=⇒=
−−=⇒
−= xxa
bx
3) Vértice )1,2( 13843)2(4)2()2(
22
Vfy
x
v
v⇒
=−+−=−⋅+−==
=
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=−+−=
0
342
y
xxy
==
⇔−
±−=−
−±−=⇔=−+−3
1
2
24
2
121640342
x
xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son
)0,1( y )0,3(
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
98
Eje OY: 30
342
−=⇒
=−+−=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )3,0( −
5) Tabla de valores
x 1− 0 1 2 3 4 5
y 8− 3− 0 1 0 3− 8−
2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
99
k)
≥−−
<−+=−−=
0 si 2
0 si 22)(
2
22
xxx
xxxxxxf
• 22 −+= xxy
1) ∪⇒>= cóncva01a
2) Eje de simetría 5,05,02
1
2−=⇒−=−=⇒
−= xxa
bx
3) Vértice
−−⇒
−=−=−
−+
−=
−=
−=
4
9,
2
1
25,24
92
2
1
2
1
2
1
2
1
2 V
fy
x
v
v
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=−+=
0
22
y
xxy
−==
⇔±−=+±−=⇔=−+2
1
2
31
2
811022
x
xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son )0,1( y
)0,2(−
Eje OY: 20
22
−=⇒
=−+=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )2,0(−
5) Tabla de valores
x 3− 2− 1− 2
1− 0 1 2
y 4 0 2− 4
9− 2− 0 4
• 22 −−= xxy
1) ∪⇒>= cóncva01a
2) Eje de simetría 5,02
1
2==⇒
−= xa
bx
3) Vértice
−⇒
−=−=−
−
=
=
=
4
9,
2
1
25,24
92
2
1
2
1
2
1
2
1
2 V
fy
x
v
v
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
100
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=−−=
0
22
y
xxy
−==
⇔±=+±=⇔=−−1
2
2
31
2
811022
x
xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son )0,1(− y
)0,2(
Eje OY: 20
22
−=⇒
=−−=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )2,0(−
5) Tabla de valores
x 2− 1− 0 2
1 1 2 3
y 4 0 2− 4
9− 2− 0 4
l) 45)( 2 −−= xxxf
1º) Representamos la parábola: 452 −−= xxy
1) ∪⇒>= cóncava01a
2) Eje de simetría 5,22
5
2==⇒
−= xa
bx
3) Vértice
−⇒
−=−=−
⋅−
=
=
=
4
41,
2
5
25,104
414
2
55
2
5
2
5
5,22 V
fy
x
v
v
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
101
4) Puntos de corte con los ejes
Eje OX:
=−−=
0
452
y
xxy
−≅−=
≅+=⇔±=
−+±=⇔=−−
7,02
415
7,52
415
2
415
2
162550452
x
xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje
OX son
+0,
2
415 y
−0,
2
415
Eje OY: 40
452
−=⇒
=−−=
yx
xxy
El punto de corte con el eje OY es )4,0( −
5) Tabla de valores
x 0 1 2 2
5 3 4 5
y 4− 8− 10− 4
41− 10− 8− 4−
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
102
2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
m) xxf ln)( =
1º) Representamos la función logarítmica: xy ln=
• ),0()ln( +∞== xyDom
• Corta al eje OX en el punto )0,1(
• No corta al eje OY
• 0=x es asíntota vertical por la derecha ))(lim(0
−∞=+→
xfx
• Tabla de valores
x +0 1 e 2e
y ∞− 0 1 2
IES Juan García Valdemora Tema 0. Repaso de propiedades de las funciones y funciones elementales Departamento de Matemáticas 2º Bachillerato de CCSS
103
2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
n) 42)( −= xxf
1º) Representamos la función exponencial: 42 −= xy (que, a su vez, es la función xy 2= trasladada
verticalmente 4 unidades hacia abajo)
� xy 2=
• ℜ== )2( xyDom
• ),0()2(Re +∞== xyc
• No corta al eje OX Punto ce corte con el eje OY )1,0(
• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +
−∞→= 0)(lim xf
x)
x 3− 2− 1− 0 1 2 3
y 8
1
4
1
2
1 1 2 4 8
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2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
o) )2ln()( −= xxf
1º) Representamos la función logarítmica: )2ln( −= xy (que, a su vez, es la función xy ln= trasladada
horizontalmente 2 unidades a la derecha)
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� xy ln=
• ),0()ln( +∞== xyDom
• Corta al eje OX en el punto )0,1(
• No corta al eje OY
• 0=x es asíntota vertical por la derecha ))(lim(0
−∞=+→
xfx
• Tabla de valores
x +0 1 e 2e
y ∞− 0 1 2
2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
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p) 1
2)(
−=
xxf
1º) Representamos la función 1
2
−=
xy , que a su vez, es la función
xy
2= trasladada horizontalmente 1
unidad a la derecha
� x
y2=
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
• 0=x asíntota vertical
+∞=
−∞=
+
−
→
→
x
x
x
x
2lim
2lim
0
0
• 0=y asíntota horizontal
=
=
+
+∞→
−
−∞→
02
lim
02
lim
x
x
x
x
• Tabla valores
x 4− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 4
y 5,0− 1− 2− 4− 4 2 1 5,0
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1 −
1+x
2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
q) 1
1)(
+−=
x
xxf
1º) Representamos la función 1
1
1
1
++−=
−−=
x
x
x
xy
⇒−+
=⇒++−= 1
1
2
1
1
xy
x
xy Es la función
xy
2 =
izquierda la a unidad 1 T.H.
abajo unidad 1 T.V.
2
1
1
+++−
x
x
� x
y2=
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
• 0=x asíntota vertical
+∞=
−∞=
+
−
→
→
x
x
x
x
2lim
2lim
0
0
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• 0=y asíntota horizontal
=
=
+
+∞→
−
−∞→
02
lim
02
lim
x
x
x
x
• Tabla valores
x 4− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 4
y 5,0− 1− 2− 4− 4 2 1 5,0
2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
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r) x
xf−
=3
2)(
1º) Representamos la función 3
2
3
2
−−=
−=
xxy , que es la función
xy
2−= trasladada horizontalmente 3
unidades a la derecha
� x
y2−=
• }0{)( −ℜ=fDom
• }0{)(Re −ℜ=fc
• No corta a los ejes coordenados
• 0=x asíntota vertical
−∞=−
+∞=−
+
−
→
→
x
x
x
x
2lim
2lim
0
0
• 0=y asíntota horizontal
=−
=−
−
+∞→
+
−∞→
02
lim
02
lim
x
x
x
x
• Tabla valores
x 4− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 4
y 5,0 1 2 4− 4− 2− 1− 5,0−
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2º) Representamos )(xf : Recuerda
≥<−
=0 si
0 si
AA
AAA
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15. Representa gráficamente las siguientes funciones:
Todas las funciones de este ejercicio se obtienen efectuando transformaciones a las funciones senxy = ,
xy cos= ò tgxy = .
� senxy =
• ℜ== )( senxyDom
• ]1,1[)(Re −== senxyc
• Periódica de periodo π2=T
x 0 2
π π
2
3π π2
y 0 1 0 1− 0
� xy cos=
• ℜ== )cos( xyDom
• ]1,1[)cos(Re −== xyc
• Periódica de periodo π2=T
x 0 2
π π
2
3π π2
y 1 0 1− 0 1
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� tgxy =
•
Ζ∈+−ℜ== kktgxyDom ;
2)12()(π
• ℜ== )(Re tgxyc
• Periódica de periodo π=T
• 2
π−=x es asíntota vertical
−∞=
+∞=
+
−
−→
−→
tgx
tgx
x
x
2
2
lim
lim
π
π
2
π=x es asíntota vertical
−∞=
+∞=
+
−
→
→
tgx
tgx
x
x
2
2
lim
lim
π
π
x +
−2
π
4
π− 0 4
π
−
2
π
y ∞− 1− 0 1 ∞+
a) )()( π+= xsenxf senxy =→ trasladada horizontalmente π unidades a la izquierda.
c) 4)()( −+= πxsenxf senxy =→ trasladada horizontalmente π unidades a la izquierda y verticalmente
4 unidades hacia abajo.
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g) →−= )()( xsenxf es la simétrica de senxy = respecto al eje OX
b)
−−=2
)(π
xsenxf senxy −=→ trasladada horizontalmente 2
π a la derecha.
senxy −= es la simétrica de senxy = respecto al eje OX
h) →−= )()( xsenxf es la simétrica de senxy = respecto al eje OY. Pero, recuerda que αα sensen −=− )( ,
por tanto, en este caso también es la simétrica de senxy = respecto al eje OX.
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k) 1)( −= senxxf senxy =→ trasladada verticalmente 1 unidad hacia abajo.
t) 12
)( −
+= πxsenxf senxy =→ trasladada horizontalmente
2
π unidades a la izquierda y 1 unidad hacia
abajo.
d)
+=2
cos)(π
xxf xy cos=→ trasladada horizontalmente 2
π unidades a la izquierda
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e)
+−=2
cos)(π
xxf es la simétrica de la función del apartado d) respecto al eje OX
f) →+
+−=
+−= 32
cos2
cos3)(ππ
xxxf es la función del apartado e) trasladada verticalmente 3
unidades hacia arriba.
l) 2cos)( += xxf xy cos=→ trasladada verticalmente 2 unidades hacia arriba
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u)
−−=2
cos)(π
xxf es la simétrica de la función
−=2
cosπ
xy respecto al eje OX.
−=2
cosπ
xy xy cos=→ trasladada horizontalmente 2
π unidades a derecha.
i) →
−=2
)(π
xtgxf es la función tgxy = trasladada horizontalmente 2
π a la derecha
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j) →
+=4
)(π
xtgxf es la función tgxy = trasladada horizontalmente 4
π a la izquierda
m) →⋅= xsenxf 2)( Se obtiene a partir de la función xseny = por una dilatación vertical (se modifica su
recorrido ]2,2[)(Re −=fc )
−==
→=]1,1[ Recorrido
2
πTxseny
−==
→⋅=]2,2[ Recorrido
2 2)(
πTxsenxf
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o) →= )2( )( xsenxf Se obtiene a partir de la función xseny = por una contracción horizontal (se
modifica su periodo ππ ==2
2T )
−==
→=]1,1[ Recorrido
2
πTxseny
−==
→⋅=]1,1[ Recorrido
2)(πT
xsenxf
r) →
⋅=2
3)(x
senxf Se obtiene a partir de la función xseny = por una dilatación vertical (se modifica
su recorrido ]3,3[)(Re −=fc ) y una dilatación horizontal (se modifica su periodo ππ4
21
2 ==T )
−==
→=]1,1[ Recorrido
2
πTxseny
−==
→⋅=]3,3[ Recorrido
4 2)(
πTxsenxf
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s) 1 2)( −⋅= xsenxf
� xseny 2⋅= se obtiene a partir de xseny = por una dilatación vertical (se modifica su recorrido
( ]2,2[)2(Re −== senxyc )
� 1 2)( −⋅= xsenxf se obtiene a partir de xseny 2⋅= por una traslación vertical de 1 unidad hacia abajo
( ]1,3[)(Re −=fc )
−==
→=]1,1[ Recorrido
2
πTxseny
−==
→−⋅=]1,3[ Recorrido
21 2)(
πTxsenxf
n) →⋅= xxf cos2
1)( se obtiene a partir de la función xy cos= por una contracción vertical (se modifica
su )2
1,
2
1)(Re
−=fc
−==
→=]1,1[ Recorrido
2 cos
πTxy
−=
=→⋅=
2
1,
2
1 Recorrido
2
cos2
1)(
πT
xxf
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p) →⋅= )3( cos2)( xxf Se obtiene a partir de la función xy cos= por una dilatación vertical (se modifica
su recorrido ]2,2[)(Re −=fc ) y una contracción horizontal (se modifica su periodo 3
2 π=T )
−==
→=]1,1[ Recorrido
2 cos
πTxy
−=
=→⋅=
]2,2[ Recorrido3
2) 3cos(2)(
πT
xxf
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q) →⋅−= )2( cos2
1)( xxf Se obtiene a partir de la función xy cos−= por una contracción vertical (se
modifica su recorrido
−=2
1,
2
1)(Re fc ) y una contracción horizontal (se modifica su periodo
ππ ==2
2 T )
−==
→−=]1,1[ Recorrido
2 cos
πTxy
−=
=→⋅−=
2
1,
2
1 Recorrido
) 2cos(2
1)(
πT
xxf
A su vez, xy cos−= es la simétrica de xy cos= respecto al eje OX.