IES Las Musas

Proyecto de investigación

“EL NÚMERO DORADO DEL ARTE”

Marta Platón Álvarez

Jorge Vega Arias

Índice

Resumen

Objetivos

Introducción ................................................................................................................ 1

Los secretos de la proporción ................................................................................... 3

El descubrimiento de los números irracionales .......................................................... 3

Representaciones geométricas y algebraicas ........................................................... 6

Propiedades del número áureo ................................................................................. 9

Aplicaciones en el diseño ........................................................................................ 10

La búsqueda de la perfección en la antigüedad ..................................................... 13

La proporción de las pirámides ................................................................................ 13

Historia clásica ........................................................................................................ 15

La sucesión de Fibonacci ........................................................................................ 16

El triángulo de Kepler e investigadores modernos ................................................... 17

La edad de oro: el Renacimiento ............................................................................. 21

El “renacimiento” de Italia ........................................................................................ 21

Phi en el arte ........................................................................................................... 22

Fractales, el arte de la naturaleza ............................................................................ 27

Definición y propiedades de los fractales ................................................................ 27

Construcción de un fractal ....................................................................................... 28

Conclusión ................................................................................................................ 34

Bibliografía ................................................................................................................ 36

Resumen

El número áureo ha sido utilizado e investigado en incontables ocasiones a lo largo de

la historia. Desde los egipcios hasta Kepler, pasando por los diálogos de Platón y los

cuadros de Leonardo da Vinci, se da la presencia de una determinada proporción en la

que hay una semejanza entre elementos y a la vez con el conjunto. Para la investigación

se recogieron los escritos de distintas personalidades de la ciencia y el arte desde la

Antigua Grecia hasta investigaciones recientes, además de un experimento propio que

consiste en la creación de un fractal, un objeto geométrico de componentes infinitos,

para comprobar un posible vínculo con el número áureo debido a similitudes en sus

propiedades. En este fractal se observa una correspondencia con la proporción áurea,

lo que arroja luz sobre su relación supuesta al comienzo. Gracias a sus distintas deduc-

ciones matemáticas se pueden reconstruir las propiedades del número áureo, a la vez

que con su historia se destacan aplicaciones e importancia en varios períodos artísticos

como el arte clásico y el Renacimiento.

Abstract

The Golden number has been used and studied countless times during history. Ranging

from Egyptians to Kepler, going through the dialogues of Plato and the paintings of Leo-

nardo da Vinci, there is this presence of a certain proportion in which there is a resem-

blance between the elements and at the same time with the whole. For this research

documents from significant personalities in the scientific and artistic field were collected

starting with ancient Greece to recent studies, along with an experiment consisting of the

creation of a fractal, a geometrical object with infinite components, in order to prove a

possible link with the Golden number due to similarities in their characteristics. In this

fractal a clear connection is seen with the spiral created with the Golden ratio, which

clarifies the relation assumed on the premise. Thanks to its various mathematical deri-

vations the properties of the number can be deduced, while the history highlights its

applications and importance in several artistic movements like classic art and Renais-

sance.

Objetivos

− Explicar las características del número áureo mediante el análisis de sus deduc-

ciones matemáticas.

− Hallar una relación entre la proporción áurea y figuras geométricas complejas a

partir de la construcción de un fractal.

− Deducir un vínculo entre las propiedades del número áureo y su utilización en el

arte.

1

1. Introducción

Desde siempre la humanidad ha intentado comprender la estructura detrás del universo,

llevar a términos propios los secretos de la naturaleza y descifrarlos para llenar ese

vacío de conocimiento que hoy en día aún perdura. Así se llegaron a crear ciencias

como las matemáticas o la física, fundamentales a día de hoy. Pero, además, disciplinas

como la escultura o la pintura, que más que entender, lo que pretenden es retratar toda

esta complejidad en una obra, ya que, después de todo, el arte imita a la vida. Pero ya

sean matemáticos o químicos, a lo que se pretende llegar es a una norma que englobe

y explique el porqué general. Una fórmula con la que llegar a un principio indubitable

que nos permita entender la realidad a un nivel distinto.

A lo que finalmente se ha llegado varias veces a lo largo de la historia es a las

proporciones. En el día a día nos manejamos con ellas constantemente, ya sea

comprando una camiseta rebajada un 20% o dando una décima parte de la cuenta como

propina. En las proporciones encontramos una herramienta para explicar relaciones

entre varios elementos, por ejemplo, en el ideal de belleza griego, el hombre tenía una

altura de siete cabezas. Como se puede observar, no se da una medida exacta de la

altura de un hombre o las perfectas facciones, sino que se da una relación entre varios

elementos, en este caso la altura y la cabeza. Esto se debe a que la naturaleza no tiene

una longitud exacta de todo lo que crea, en cambio, lo que proporciona armonía es el

conjunto que forma.

Llegamos a un callejón sin salida, ya que, tenemos el camino, pero ninguna fórmula o

número con el que trabajar más que las opiniones de los artistas. Entonces, ¿cómo

llegamos a una proporción única? Viéndolo de esta manera quizá creamos que sería

imposible de encontrar fácilmente y pasaríamos años buscando sin resultado. Pero nada

más lejos de la realidad, porque solo con levantar la mirada la tendremos a nuestro

alrededor, a veces inapreciable, otras misteriosamente evidente. Se hace notar en

árboles, rayos, caracolas e incluso nuestras manos.

Porque se da por hecho que al ver un rayo que según se acerca a tierra se va separando

en distintas ramificaciones cada vez más pequeñas, o las manos, en segmentos cada

vez más cortos. No es de extrañar que cosas tan dispares tengan un denominador

común, ya que realmente se encuentra en todo lo demás, todo va agrandándose o

empequeñeciéndose gradualmente, pero o interesante aquí es el hecho de que todos

estos elementos guardan la misma relación entre ellos. Este será el punto de partida

2

para empezar una investigación que recorrerá tanto el ámbito matemático como el

artístico en busca de esta proporción que se lleva estudiando miles de años.

Pero ¿Qué tiene que ver esto con el arte? Durante muchos periodos artísticos, se buscó

el equilibrio en la composición y los pintores hallaron en esta proporción una vía para

conseguirlo. De esta manera acabamos viendo esta relación usada en numerosas obras

a lo largo de la historia, aunque quizá lo más interesante es que la mayoría no conocían

su uso anterior, sino que la proporción se fue redescubriendo por un gran número de

pintores o escultores en muchas ocasiones. Esto también nos da una idea de que no

fue un capricho artístico de una persona a la que fueron copiando sistemáticamente,

sino una tendencia, puede que inexplicable, de nuestra propia mente.

Se empezaba por la premisa de que el arte imita a la vida, pero ahora encontramos que

a nuestro alrededor contamos con estructuras que más que naturales parecen medidas

al milímetro y trazadas por una mano experimentada, por lo que podría formular otra

pregunta: ¿es el arte el que imita a la vida o la vida imita al arte? Teniendo en cuenta la

subjetividad de la pregunta, lo factible será encontrar el nexo que una todos los

conceptos entre sí y de una explicación sobre un patrón que se va repitiendo

frecuentemente. Y es que el interés por este tema nace de la repetida aparición de un

número concreto en infinidad de cuadros y escritos, además de esta búsqueda de la

importancia de la relación entre elementos. Lo cual, en el proyecto se llevará a cabo

encontrando el número y describiéndolo matemáticamente, para después ver su

evolución a lo largo de la historia a través de un recorrido por personalidades de gran

importancia en el mundo de la ciencia. Y, por último, con un experimento propio, se

intentará probar la relación entre figuras matemáticas complejas con la proporción.

3

2. Los secretos de la proporción

El ser humano ha tenido el concepto de número desde que tuvieron la necesidad de

comparar dos magnitudes y decidir cuál era mayor que la otra, o de decidir cuántos

elementos conformaban cierto conjunto. Es decir, contemplaban una aplicación práctica

como contar o medir. Pero, como se puede deducir atendiendo a nuestro avance

científico, no se quedó en eso, sino que las personas los han usado para explicar y

predecir los misterios de su alrededor. Así, sociedades prehistóricas sabían relacionar

las fases lunares con los ciclos de crecimiento de los seres vivos, mientras que se iba

formando un lenguaje a base de símbolos con el que seguir fenómenos naturales, como

el movimiento de los planetas1.

Según fueron creciendo las necesidades de un sistema más complejo, se desarrollaron

maneras de dejar plasmados registros y el sentido de número. En torno al propio cuerpo

del ser humano se crearon sistemas numerales, como los más comunes que estuvieron

asociados con la cantidad de dedos. Por eso los sistemas de base decimal y vigesimal

han sido los más repetidos en distintas sociedades.

Ya las civilizaciones agrícolas de Egipto y Mesopotamia junto con otros pueblos situados

hacia el este llegaron a un desarrollo bastante avanzado de cálculo práctico, que tenían

estrechamente relacionado con la filosofía y religión. Aunque nuestros sistemas

actuales no se fundamentan en ellos, sino en los que crearon los griegos de la

antigüedad. Sin embargo, también ellos consideraban a estas primeras sociedades

todas las invenciones que se habían hecho hasta ese momento, desde escritura a

cálculo.

2.1 . El descubrimiento de los números irracionales

Hacia el siglo VI a.C. llegó el primer gran matemático y filósofo de la antigua Grecia,

Pitágoras. Sus enseñanzas se basaban en ideas como la metafísica de los números y

que toda realidad tiene una naturaleza matemática en su nivel más profundo. Una de

las preguntas que rondaban en la filosofía de aquella época planteaba una disputa entre

la geometría y el álgebra, queriendo llegar a una conclusión sobre si el universo está

formado por elementos discretos que pueden contarse o, en cambio, sustancias

1 Stewart, I. 2008. Historia de las matemáticas en los últimos 100 años. Recuperado de http://www.librosmaravillosos.com/historiadelasmatematicasenlosultimos10000anos/pdf/Historia%20de%20las%20matematicas%20-%20Ian%20Stewart.pdf.

4

continuas que solo puedes medir. Esta pregunta hoy en día sigue presente en elementos

de la lengua, por ejemplo, en español decimos “agua” y “mucha o poca agua", pero no

“un agua” o “dos aguas”. Los pitagóricos confiaban en que los números racionales

podían describir toda la geometría2, hasta la aparición de Hípaso de Metaponto, quien

demostró la existencia de los números irracionales3 probando geométricamente que la

razón entre un lado y la diagonal del rectángulo no puede expresarse en números

racionales. A la vista de esta situación, los griegos intentaron negar la existencia de

estos números, llamándolos “innombrables”, pero finalmente tuvieron que aceptar que

ciertas longitudes no podían medirse con números racionales, por lo que era imposible

situarlos con precisión sobre una línea. Por esta razón, los números no podían asociarse

con longitudes y pasaron a ser conceptos únicamente abstractos. Así, se produjo una

división entre el álgebra y la geometría que vendría a reunificar en el siglo XVII René

Descartes, con su combinación de ambas.

Los antiguos griegos no contaban con el álgebra que utilizamos actualmente y a

cuestiones que hoy parecen obvias entonces no era fácil llegar. Su conocimiento estaba

basado en la lógica y diagramas, la adición de una medida inconmensurable tiró muchas

de las creencias y supuso un estancamiento. Esto siguió así hasta la época de Platón,

cuando, por fin, se introdujo el concepto de razón (un cociente entre dos magnitudes),

con lo que se podía tener en cuenta las magnitudes inconmensurables.

Euclides, considerado el padre de la geometría, en el Libro VI de los Elementos escribió

la siguiente definición de la proporción que denominó media áurea: “se dice que una

recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento

mayor como el segmento mayor es al segmento menor”4.

Esto da un número irracional igual a 1.61803…, aunque también se expresa como 1+√5

2.

Se obtiene primero suponiendo b=1 y a=x, teniendo en cuenta las proporciones

podemos expresarlo como 𝑥

1=

𝑥+1

𝑥, que, despejando denominadores quedaría como

2 Russell, D. (4 de diciembre de 2017) Irrational Pythagoreans - Hippasus Expelled! Recuperado de https://www.thoughtco.com/pythagoreans-theorem-geometry-worksheets-2312321 3 Weisstein, E.W. Hippasus of Metapontum (ca. 500 BC). ScienceWorld. Wolfram Research 4 Euclides. S III a.C. Libro sexto de Elementos de Euclides. Recuperado de https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Los_Elementos_de_Euclides_(1576)_-_Libro_VI.pdf

𝑎

𝑏=

𝑎 + 𝑏

𝑎= 𝜑

5

𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0, reducido ya a una ecuación de segundo grado, se resolvería dando dos

soluciones: 1+√5

2 y

1−√5

2. La segunda solución no tiene sentido ya que es negativa y,

tratando longitudes, no tiene una correspondencia con la realidad, por lo que nos

quedaremos únicamente con la primera. Este es el valor de 𝜑 (phi).

Más adelante, Euclides también obtiene la construcción del rectángulo áureo

representado en la figura 1. Para ello, partió con el triángulo pitagórico EBC, cuya

hipotenusa mide 𝐸𝐶 = √12 + 22 = √5, trazando una circunferencia con centro en E y

radio hasta C se halla una circunferencia que, prolongando el lado EB se obtiene F.

Ahora formando un cuadrado de lado el doble que EB se ve que:

𝐸𝐶 = 𝐸𝐹 = √5 ; por lo que el lado del rectángulo es 𝐴𝐹 = 𝐴𝐸 + 𝐸𝐹 = 1 + √5. La

proporción entre los lados del rectángulo sería de 𝐴𝐹 𝐴𝐷 =1+√5

2⁄ , lo que equivale al

número áureo.

1. Construcción del rectángulo áureo de Euclides.

Esto también se puede expresar en forma del segmento anterior trasladando uno de los lados a la recta sobre la que se sitúa el otro.

6

2.2. Representaciones geométricas y algebraicas

Después de las demostraciones geométricas de Euclides se han encontrado muchas

más maneras de deducir phi. De forma algebraica es, en realidad, bastante sencillo, por

ejemplo, utilizando una serie de números. Empezando por dos términos cualesquiera,

pongamos por caso el 2 y el 7, a continuación, sumaremos ambos números, obteniendo

el 9, después iremos añadiendo este número al anterior de la serie, por lo que quedaría

2, 7, 9, 16, 25, 41, 66, 107, 173, 280, 453, 733… Parece no haber nada especial, pero

si calculamos la proporción entre los elementos, se observa una tendencia:

La forma más conocida de esta secuencia es la sucesión de Fibonacci, partiendo de 1,

la secuencia quedaría como 1,1,2,3,5,8,13,21… Construyendo cuadrados con estas

medidas de lados y trazando un arco en esquinas opuestas vemos la conocida espiral

descrita por Durero5:

5 Durero, A. 1525. Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas.

7/2= 3.5

9/7= 1.285714…

16/9= 1.777…

…

280/173= 1.6184971098…

453/280= 1.61785714285…

733/453= 1.618101545253…

𝜑 = 1.6180339887…

7

También es interesante el caso del pentágono regular, ya que tiene una gran relación

con el número áureo, además de ser uno de los símbolos más característicos de la

cultura griega. Tomemos un pentágono regular de lado 1 unidad y fijemos como

incógnita su diagonal, ya que es aquí donde se encuentra la relación.

Ahora, trazando otra diagonal que corte a la primera, conseguimos una división que va

recordando a otros casos, pero no adelantemos acontecimientos. Se forma un

paralelogramo ABCF, por lo que se deduce que el segmento CF, al igual que FA y AB,

miden 1 unidad, quedando EF y DF como x-1.

Trazando una tercera diagonal de modo que nos queden dos triángulos semejantes

(aplicando el teorema de Tales, simplemente tenemos que hacer que los lados de

ambos triángulos estén en la misma recta dos a dos y el tercer lado sea paralelo). En

este caso se cumple con la diagonal AC y, ya que son semejantes, podemos hacer una

proporción que quedaría como: 𝑥

1=

1

𝑥−1. Siguiendo el mismo procedimiento de la anterior

𝑥 = 𝜑 =1 + √5

2

8

ecuación de segundo grado, llegamos a la misma expresión, 1+√5

2. Por lo que la diagonal

del pentágono regular también mantiene la proporción áurea con respecto al lado.

Por último, otra forma algebraica de conseguir phi es con esta expresión que contiene

infinitas raíces cuadradas:

√1 + √1 + √1 + √1 + ⋯

Para resolverla, consideraremos el valor de toda la expresión como x, por lo que:

𝑥 = √1 + √1 + √1 + √1 + ⋯

Elevando ambos términos de la ecuación y sustituyendo:

𝑥2 = 1 + √1 + √1 + √1 + ⋯; 𝑥2 = 1 + 𝑥

Esta ecuación deriva de la identidad de Nathan Altshiller-Court, publicado en 1917 que

tiene como formula general:

lim𝑛→∞

√𝑎1 + √𝑎2 + √𝑎3 + √… + √𝑎𝑛

9

Donde 𝑎𝑖 = 𝑎 es igual al mayor cero de la ecuación de segundo grado 𝑥2 − 𝑥 − 𝑎 = 0,

lo que es igual a 1+√1+4𝑎

2. Como 𝑎 = 1, quedaría de nuevo la expresión

1+√5

2

2.3. Propiedades del número áureo

Estos ejemplos sirven como prueba de que la proporción áurea se puede encontrar en

todo tipo de situaciones, ahora viene la pregunta de realmente para qué sirve. Para ello

conviene saber sus propiedades, la primera de ellas, quizá obvia, es que puede ser

iterada indefinidamente. Lo que significa que se pueden repetir, en este caso,

segmentos infinitos que sigan esa proporción, teniendo todos una correspondencia con

el conjunto (figura 2).

2. División repetida de un segmento con la proporción áurea.

Sumado a eso, phi es el único número positivo cuyo cuadrado es una unidad mayor que

él mismo (1.6180…2=2.6180…), y, como se ha visto antes, su inverso es igual a 𝜑-1,

propiedad otra vez única en los números positivos. Esta relación se puede ver fácilmente

en la ecuación que se usó para sacar su valor numérico. Donde teníamos:

𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0

Llevando los dos últimos términos al segundo miembro y considerando ya la x como phi,

quedaría:

10

𝜑2 = 𝜑 + 1

Si ahora, en vez de cambiar términos de lugar, dividimos toda la ecuación entre phi,

quedaría esta expresión:

𝜑2

𝜑−

𝜑

𝜑−

1

𝜑= 0; 𝜑 − 1 −

1

𝜑= 0;

1

𝜑= 𝜑 − 1

Lo que concluiría con la segunda relación.

Se puede deducir de ambas que las potencias del número áureo se pueden expresar

como suma de potencias de grados inferiores con esta expresión siendo n un número

entero:

𝜑𝑛 = 𝜑𝑛−1 + 𝜑𝑛−2

Con esta última propiedad, se puede formar una fracción continua sustituyendo 𝜑 del

denominador por el segundo término de la igualdad:

𝜑 = 1 +1

𝜑; 𝜑 = 1 +

1

1 +1

1 +1

1 + ⋯

Como no puede ser de otra manera, también es único phi en este aspecto, siendo la

más simple de todas las fracciones continuas y la de convergencia más lenta. Gracias

a esto llega a ser el uno de los irracionales peor aproximables mediante racionales6.

2.4. Aplicación en el diseño

Ya con estas expresiones que resultan de gran utilidad para obtener relaciones o

medidas exactas, se puede empezar a aplicar al diseño. El uso más directo que se le

puede dar es en las dimensiones de la composición. Una de las medidas más usadas

en tanto en fotografía como en diseño es la anchura de 960 píxeles, que, dividiendo

entre 1’6180… para obtener la altura, quedarían 594 píxeles. Ahora si además seguimos

dividiendo en segmentos se logran composiciones equilibradas que los diseñadores

utilizan para añadir textos u otras fotografías. Veamos el caso de National Geographic,

famosa por sus impresionantes fotografías, que en su página web están dispuestas con

información en la parte inferior. La parte de fotografía mide 3’29 cm, mientras que la de

abajo 2 cm, ahora si hacemos la división de la parte mayor entre la menor quedaría

como 3′29 2 = 1′645⁄ , número que se aproxima bastante a phi.

6 Briggs, Keith. "Badly Approximable." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/BadlyApproximable.html

11

3. RBA Revistas, S.L. National Geographic España. https://www.nationalgeographic.com.es/

No solo las dimensiones, sino que también se puede hacer una organización de los

elementos siguiendo la espiral áurea. El espacio positivo y negativo es una parte

fundamental en el diseño, además de la organización de todos los componentes que

formarán la pieza final.

Tomemos como ejemplo una revista de una empresa especializada en diseño gráfico.

A primera vista puede que no nos venga una imagen exacta de la espiral, pero al

superponer ambas no hay duda de la relación. Esto ayuda a conseguir una organización

armoniosa y calculada sin tener que recurrir a la impresión subjetiva del ojo humano

4. Moodley brand identity gmbh. https://moodley.at/idsheet/bregenzer-festspiele/

12

Como ya se han demostrado propiedades y aplicaciones, lo siguiente sería preguntarse

cómo se han desarrollado las investigaciones sobre el número áureo a lo largo de la

historia y como, de una simple línea dividida en dos segmentos se han formado las

obras de arte más famosas de nuestros tiempos.

13

3. La búsqueda de la perfección en la antigüedad

Una de las características más llamativas de la proporción áurea, al contrario de lo que

pueda parecer, no es ni su complejidad matemática ni sus usos, sino la enorme cantidad

de nombres que ha tenido a lo largo de la historia. Dependiendo de la fuente, el periodo

o el lugar geográfico donde se encuentre llevará un nombre distinto: desde la “divina

proporción”7 de Luca Pacioli, pasando por la “sección áurea”8 de Martin Ohm y hasta la

“piedra preciosa”9 de Kepler, podemos encontrar innumerables ejemplos que nos hacen

sacar la conclusión de que la proporción áurea no fue un descubrimiento individual en

un momento determinado, sino un redescubrimiento a lo largo de muchas épocas y en

sociedades completamente distintas. Por esta razón, no sería posible determinar un

origen exacto, pero lo que sí que se puede asegurar es que ha sido usada mucho antes

de que se diera siquiera un nombre.

3.1. La proporción de las pirámides

Por norma general se considera a los griegos la primera civilización que utilizó el número

áureo con conocimiento de causa, apareciendo nombres como Euclides o Fidias,

aunque ya varias investigaciones apuntan que en sociedades anteriores artistas y

matemáticos se percataron de la relación10.

Herodoto, nacido en el siglo V a.C. y considerado el primer historiador, habló de las

pirámides egipcias y dijo que se construyeron de manera que “el cuadrado de la altura

de la pirámide sea igual al área de la cara lateral de la misma”11. Según sus escritos,

que más tarde se han corroborado con mediciones, las medidas en codos son de 280

para la altura y 440 para el lado de la base (figura 5). La relación entre estas dos medidas

quedaría como 280 220 = 14 11⁄⁄ , que se corresponde con la raíz de phi.

7 Pacioli, L. 1991. La Divina Proporción. Madrid. Akal. 8 Dudley, U. 1999. Die Macht der Zahl: Was die Numerologie uns weismachen will. Springer. 9 J. Kepler. 1596. Mysterium Cosmographicum. Tubinga. 10 Schoch, R.M. 2008. El misterio de la pirámide de Keops, (pp. 189-190). Madrid. Editorial Edaf S.L. 11 Gallada, M. 2018. Redescubriendo las pirámides egipcias. Greensboro. EE.UU. Tehuti Research Foundation.

14

5. Pirámide descrita por Herodoto con medidas.

No mucha gente reconocerá su nombre, pero René Schwaller de Lubicz ha sido uno de

los investigadores del antiguo Egipto más influyente, siendo su libro más famoso El

Templo del Hombre. Es en esta obra, que llevó un estudió de doce años, donde defiende

el conocimiento de los egipcios de la proporción áurea 2000 años antes que los griegos.

Sobre esto, compara la planta de templos egipcios con la silueta humana, sobre la que

antes dice: “El Número Dorado no actúa únicamente como una función de una

proporción ideal, sino que sirve como base para una filosofía que establece la conexión

entre el estado metafísico y el estado físico… Además, el cuerpo humano se desarrolla

en términos de este número”12 (figura 6).

6. Luxor, The Temple in man. R. Schwaller de Lubicz.

12 Schwaller de Lubicz, R.A. 1981. The Temple in Man: Sacred Architecture and the Perfect Man. Recuperado de http://www.fatuma.net/text/R.A.SchwallerdeLubicz-TheTempleinMan-SacredArchitectureandthePerfectMan.pdf

ℎ2 = 2802 = 78400

ℎ𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = √(440

2)2 + 2802

ℎ𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑙 = 20√317

𝐴𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑙 =440 ∙ 20√317

2

𝐴𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑙 = 78400 = ℎ2

15

Por lo que incluso los egipcios probablemente conocían las proporciones ideales no solo

en humanos sino también en disciplinas como la arquitectura. Aunque esto se podría

tomar como una simple coincidencia, ya que al imitar un elemento natural indirectamente

se puede llegar al número áureo, hay que tener en cuenta los conocimientos

matemáticos de su cultura, teniendo su propio sistema de numeración y manejando

conceptos como las fracciones.

3.2. Historia clásica

Avanzando en el tiempo llegamos a una época de innovación y descubrimientos, lo que

repercute, claro, en la proporción. Por primera vez se dio un nombre formal y se trató

como un principio matemático de vital importancia.

".. el placer no es el primero, ni el segundo bien, sino que el primer bien es la medida, el

justo medio, la oportunidad y todas las cualidades semejantes, que deben mirarse como

condiciones de una naturaleza inmutable. (....) el segundo bien es la proporción, lo bello,

lo perfecto, lo que se basta a sí mismo, y todo lo que es de este género."13. Decía Platón

en uno de sus diálogos. Como se puede ver, las proporciones ganaron importancia en

varias disciplinas como el arte, las matemáticas o la filosofía durante la Antigua Grecia.

Como ya se ha mencionado en varias ocasiones, a Euclides se le debe la primera

expresión en términos matemáticos de la sección áurea, en el libro VI de su obra

Elementos, con el segmento dividido en la media y la extrema razón. De hecho, presume

de ser la primera fuente escrita en la historia sobre la proporción áurea que ha llegado

hasta nuestros tiempos. Aunque no se limita simplemente a dividir una línea con la

proporción, sino que da aplicaciones como la construcción del pentágono regular, el

icosaedro y el dodecaedro.

Poco después, un escultor de Atenas, Fidias, dedicó gran parte de su vida y de su obra

a la proporción áurea, estudió la sección y con ella construyó esculturas que

anteriormente se encontraban en el Partenón, aunque han desaparecido con el paso

del tiempo. Una de sus obras, la estatua de Zeus en Olimpia14, es considerada una de

las siete maravillas del mundo en la Antigüedad, lo que da una idea de la importancia

de su trabajo. Su protector Pericles le encargó la dirección del proyecto de

reconstrucción de la Acrópolis de Atenas y, aunque sus arquitectos fueron Ictino y

Calícrates, se considera a Fidias como supervisor artístico del Partenón. Su marca más

13 Platón. Diálogos Polémicos. Recuperado de http://www.filosofia.org/cla/pla/img/azf03009.pdf 14 Sánchez, C. 2006. Una nueva mirada al arte de la Grecia antigua. p.54, Madrid. Cátedra

16

evidente en la historia del número áureo es que con el tiempo se le denominó phi en su

honor.

Incluso Platón, uno de los filósofos más influyentes de la historia, en sus estudios sobre

cosmología y naturaleza mencionó que existía una proporción con la que se tropezaba

muy a menudo y, aunque no le dio nombre, decía: “es imposible combinar bien dos

cosas sin una tercera, porque es preciso que entre ellas haya un lazo que las una. No

hay mejor lazo que aquel que forma de él mismo y de las cosas que une un solo y mismo

todo… porque cuando de tres números, de tres masas o de tres fuerzas cualesquiera,

el medio es al último lo que el primero es al medio, y al primero lo que el último es al

medio… todo subsiste necesariamente tal como estaba, y como las partes están entre

sí en relaciones semejantes, no forman más que uno como antes”15. Al cumplirse en

tantos aspectos, encontró en ella la clave para entender la física del universo.

3.3. La sucesión de Fibonacci

No es hasta más de un milenio después cuando nace uno de los personajes más

importantes en la historia de phi, Fibonacci, quien publicó un libro en 1202 llamado Liber

Abaci, donde presentó el problema: “Cierto hombre tenía una pareja de conejos en un

lugar cerrado y deseaba saber cuántos se podrían reproducir en un año a partir de la

pareja inicial, teniendo en cuenta que de forma natural tienen una pareja en un mes, y

que a partir del segundo se empiezan a reproducir”16. Por lo que empezó con una pareja

de conejos ficticia, después de un mes ya habían crecido hasta ser adultos y en un tercer

mes ya tenían capacidad de criar. De esta manera se añadía una nueva pareja de

conejos, que en un mes habían crecido mientras la primera pareja engendraba otras

dos crías (figura 7), contando finalmente 144 parejas de conejos. Con el número de

parejas queda la sucesión 1,1,2,3,5,8…, que posteriormente recibió su nombre.

Esta sucesión queda definida por la ecuación: 𝑓𝑛 = 𝑓𝑛−1 + 𝑓𝑛−2

Con los valores iniciales de 𝑓0 = 0 y 𝑓1 = 1

Pudiendo ahora obtenerse cualquier valor a partir de los dos anteriores:

𝑓2 = 𝑓1 + 𝑓0 = 1 + 0 = 1

𝑓3 = 𝑓2 + 𝑓1 = 1 + 1 = 2

15 Platón, edición de Patricio de Azcárate. 1872. Obras completas: Timeo. Tomo 6. Madrid 16 Sigler, L.E. 2003. Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation. Springer-Verlag New York Inc. New York. EE.UU.

17

7. Teoría de Fibonacci sobre el incremento en el número de conejos

Aun así, no es seguro que el propio Fibonacci supiera la gran relación que tenía con el

número áureo y es que aquí reside la clave para su presencia en la naturaleza, ya que

cada célula necesita por decirlo así, un “turno” para crecer y dividirse. Al igual que los

conejos, primero una célula, crece, se crea una nueva, etc., desgraciadamente hubo

que esperar dos siglos más para la llegada de Luca Pacioli, un geómetra del

Renacimiento que de nuevo puso sobre la mesa la misteriosa proporción en la que sería

su época de mayor relevancia, de la que se hablará en mayor profundidad más adelante.

3.4. El triángulo de Kepler e investigadores modernos

No es hasta 1571 que nace la siguiente figura relevante en la historia de la proporción

áurea. Se trata de Johannes Kepler, un matemático y astrónomo alemán famoso por

sus leyes sobre el movimiento de los planetas. Aunque menos conocidos, también tiene

estudios acerca de la proporción áurea y, de hecho, fue quien demostró la relación entre

la sucesión de Fibonacci y el número áureo, hallando el cociente entre términos

consecutivos, efectivamente encontró una tendencia que se iba acercando a phi. Y no

solo eso, sino que también demostró que había cierto tipo de triángulos rectángulos que

tenían entre sus catetos e hipotenusa una relación igual a la proporción áurea. Se tratan

de triángulos rectángulos con el cuadrado de sus lados en progresión geométrica (figura

8), y más adelante se denominaron triángulos de Kepler en su honor. Actualmente,

sabiendo las propiedades del número áureo, podríamos deducirlo fácilmente de esta

expresión: 𝜑2 = 𝜑 + 1, ya que poniéndola en forma del teorema de Pitágoras quedaría

como (𝜑)2 = (√𝜑)2 + 12.

18

Esto ayudo a descubrir una de las propiedades

clave del número áureo, pero fuera de eso, lo que

más le fascino a Kepler fue el hecho de haber

juntado dos conceptos tan importantes en las

matemáticas como son la sección áurea y el

teorema de Pitágoras, a los que consideraba “un

montón de oro” y “una piedra preciosa”17

respectivamente.

Desde la muerte de Kepler hasta nuestros días no han existido grandes descubrimientos

con respecto a la proporción áurea, aunque caben mencionar algunos nombres sin los

que su historia estaría incompleta. El primero Charles Bonnet (1720-1793), biólogo suizo

que observó la distribución de las hojas de las plantas y sacó la conclusión de que los

números de espirales en la filotaxis encajaban con los números consecutivos de la

sucesión de Fibonacci18. En los años 1830, un par de hermanos biólogos lo relacionaron

con cierto ángulo en el que cada hoja de la plata estaba dispuesta. Entre hojas

consecutivas midieron 137.5º, ángulo igual al que se halla uniendo los extremos

divididos en proporción áurea por los extremos y separando las dos partes (figura 9).

9. Siendo la longitud de la circunferencia igual a phi y los segmentos 1/phi y 1 de izquierda a derecha.

17 J. Kepler. 1596. Mysterium Cosmographicum. Tubinga. 18 King, S. Beck, F. and Luttge, U. 2004. On the mystery of the golden angle in phyllotaxis. Plant, Cell and Environment. Blackwell Publishing Ltd.

8. Triángulo de Kepler.

19

Posteriormente, Martin Ohm (1792-1872), el matemático hermano de Georg Ohm (quien

daría nombre a la unidad de resistencia eléctrica), que utilizó por primera vez en la

historia la denominación “sección áurea” formalmente en su libro Die reine Elementar-

Mathematik19. Y por último Roger Penrose (1931-), físico y matemático inglés famoso

por su descubrimiento de los “mosaicos de Penrose” (figura 10), que aplicaban un tipo

de simetría que se consideraba imposible hasta el momento. Gracias a ellos se pudieron

describir los cuasicristales, una forma estructural ordenada pero no periódica, lo que

supuso un avance considerable en la materia, pero además se observó que estos

cristales guardan una relación intrínseca con la sucesión de Fibonacci, llegando a

denominarse como “cristales de Fibonacci”

10. Ejemplo de mosaico de Penrose

Ya vista su historia, si podemos destacar un aspecto además de su cantidad de

nombres, es el número de disciplinas a las que se dedicaban cada uno de los personajes

mencionados. La lista cuenta desde matemáticos hasta filósofos, antes pasando por

biólogos, físicos y, como no, artistas. Con esto, se saca la conclusión de que la sucesión

áurea no es una anécdota matemática sin mayor importancia, sino que se presenta en

una gran cantidad de ámbitos científicos, que se relacionan entre sí. Por ejemplo, la

presencia de la secuencia de Fibonacci dentro de la estructura de las plantas está

vinculada con los cuasicristales, ya que se forman ese tipo de patrones dentro de

organismos vivos20, de hecho, llegan a ser comunes dentro de la biología habiendo sido

19 Dudley, U. 1999. Die Macht der Zahl: Was die Numerologie uns weismachen will. Springer. 20 Gardiner J. 2012. Insights into plant consciousness from neuroscience, physics and mathematics: A role for quasicrystals? Plant Signal Behav. doi: 10.4161/psb.21325.

20

demostrado el potencial que tienen las membranas biológicas de formarlos,

particularmente en balsas lipídicas21.

Sin duda quedan infinidad de temas por explorar, que acabaran interrelacionando la

información que tenemos hasta ahora, unida en algunos puntos, pero carente de una

correspondencia entre todos los ámbitos. Aunque ahora toca dejar su lado científico

para investigar una de sus aplicaciones más interesantes: el arte.

21 Feng Y, Rainteau D, Chachaty C, Yu Z-W, Wolf C, Quinn PJ. Characterization of a quasicrystalline phase in codispersions of phosphatidylethanolamine and glucocerebroside. Biophys J. doi: 10.1016/S0006-3495(04)74279-4

21

4. La edad de oro: el Renacimiento

Este es, sin duda, uno de los movimientos culturales más importantes de la cultura

occidental, ocurrido durante los siglos XV y XVI. El nombre del periodo significa volver

a nacer o revivir, lo que hace referencia a la recuperación de las formas clásicas, tanto

en arte como en pensamiento.

4.1. El renacimiento de Italia

Su foco surgió en Italia donde para alabar la obra de un artista se decía que llegaba a

la altura de los antiguos. Italia llegó a la conclusión que su momento de mayor esplendor,

antes de la invasión de tribus germánicas, fue precisamente con Roma como capital.

Llegaron a ser el centro del mayor imperio de la época, pero de ahí su poder se fue con

la llegada de los invasores. Con este “renacimiento” se hacía referencia a la

recuperación de la gloria de Roma.

Las ciencias tuvieron un papel fundamental para los italianos del siglo XIV y XV, ya que

conocían a todos los sabios de la antigüedad y consideraban a los vándalos y godos los

culpables de la destrucción de la cultura. Creían tener el deber de crear una nueva época

dorada para la ciencia. En ninguna ciudad llegó tanto el sentimiento de renovación como

en Florencia donde a principios del siglo XV un grupo de jóvenes artistas llegó dispuesto

a romper todos los esquemas anteriores.

Estos artistas tenían una concepción realista en sus cuadros, no pretendían la

exageración o modificación de lo que observaban, por lo que en sus cuadros

predominan estructuras que ya han visto previamente y han simulado con un propósito.

No es sorpresa que sea en este período donde más se vincularon las matemáticas con

el arte, ya que, al fijarse en la naturaleza, los cuadros representan cualidades en las que

la biología se ha servido de las matemáticas para optimizarse. Como ejemplo de ello,

uno de los elementos más conocidos de la pintura renacentista es sin duda la simetría,

el cuerpo dividido está en dos partes iguales por un eje vertical ya que así únicamente

se necesita la mitad de información genética para formarlo.

Eran naturalistas, como ya se ha dicho, y uno de sus modelos fundamentales fue el ser

humano. En su marcado antropocentrismo el hombre era la medida de todas las cosas,

dicho de otra manera, utilizaron un elemento natural como relación para todos los

22

elementos. Lo que, volviendo a las pirámides egipcias, aporta indirectamente la sección

áurea a las medidas.

4.2. Phi en el arte

Además de basarse en griegos y romanos, su meta era el equilibrio y la armonía en la

composición, así que fue cuestión de algunos años que volviera a la razón áurea como

elemento indispensable. Y sin duda un elemento que apoyó este resurgimiento es la

educación. La idea del ser humano en esta época es que tenía que ser universal, tener

conocimientos de varias disciplinas, esto hace que los pintores sepan además de

matemáticas, física y otras materias, que, como hemos visto antes se consiguen enlazar

por la proporción áurea.

Por esto, el número áureo fue un recurso muy utilizado por numerosos artistas del

renacimiento, ya que es una manera muy efectiva de aportar equilibrio a la composición.

Por ejemplo, cuadros de Sandro Botticelli, uno de los pintores renacentistas con más

relevancia, se pueden encajar dentro de la proporción áurea de manera sencilla (figura

11).

11. El nacimiento de Venus, Sandro Botticelli

Como se puede observar, la figura central queda delimitada por estas medidas, y no

únicamente eso, sino que además los dos personajes que quedan a la izquierda del

lienzo también tienen su torso y cabeza inscritos entre las mismas líneas.

Y, al igual que Botticelli, se encuentran muchos otros pintores que emplearon este

recurso como Leonardo da Vinci o Durero. Aunque no tan conocido como los

anteriormente mencionados, fue un fraile franciscano matemático y economista el que

23

redescubriría la proporción áurea. Nacido en 1447, Luca Pacioli es el precursor del

cálculo de probabilidades y consiguió sentar las bases de la economía moderna. Pero

si se deja a un lado su importancia en el mundo de la economía, su trabajo más relevante

es un libro llamado Divina proportione. Repartido en tres manuscritos, trata como tema

principal las proporciones y es aquí donde propone el nombre de divina proporción,

justificando que al igual que “Dios no se puede propiamente definir ni puede darse a

entender a otros mediante palabras”, la proporción “no puede nunca determinarse con

un número inteligible ni expresarse mediante cantidad racional alguna, sino que es

oculta y secreta y es llamada irracional por los matemáticos”22.

En la primera parte, Pacioli analizaba la proporción áurea y los poliedros regulares,

partiendo de los principios formulados por Euclides, extrapolando todos estos

conocimientos al arte para después hablar de la perspectiva geométrica utilizada por

varios autores. La segunda parte se centra en las proporciones del cuerpo humano

concretadas por Vitruvio23, que relaciona con la arquitectura al igual que antes habían

hecho los griegos en edificios como el Partenón. En la tercera y última sección escribe

una traducción al italiano de quinque corporibus regularibus, obra del autor latino Piero

della Francesca en la que se habla de poliedros semirregulares y los poliedros ya

descritos por Euclides.

Además de lo escrito por Pacioli, el libro cuenta con ilustraciones de Leonardo da Vinci,

uno de los genios más famosos de la historia. Al estar muy interesado en las

matemáticas en la composición y la naturaleza, esta sería una de sus herramientas

fundamentales, incluyéndolo en la mayor parte de sus obras, como La última cena o La

Gioconda. Da Vinci vivió durante los siglos XV y XVI y ha dejado estudios de gran

relevancia en numerosos campos como la anatomía y la ingeniería, lo que le permitía

utilizar conocimientos de varios ámbitos en un mismo trabajo y le acercaría al número

áureo. No su obra más conocida, pero con una evidente muestra de ello es Salvator

Mundi, datada en torno al año 1500 y pintada al óleo.

Sorprendentemente ha sido recientemente “redescubierta”, pero ya se ha convertido en

la obra de arte más cara de la historia24. Después de 6 años de restauración, en 2011,

se concluyó que se trataba de una obra de Leonardo da Vinci tras numerosas evidencias

como marcas personales del autor y su parecido con La Gioconda.

22 Pacioli, L. La Divina Proporción. Akal. Madrid, 1991. Cap. V 23 Vitruvio Polión, M.L. Arquitectura, libro III 24 'Leonardo da Vinci artwork' sells for record $450m. (16 de noviembre de 2017). BBC News. Recuperado de https://www.bbc.com/news/entertainment-arts-42000696.

24

A simple vista es fácilmente deducible que cuenta con las características renacentistas

antes mencionadas: la simetría y el equilibrio conforman un eje fundamental en la

composición. Con detalles a escala minúscula, consigue la sensación de realismo que

se acentúa con el uso de la perspectiva y el “sfumato”, técnica usual en cuadros de da

Vinci con la que aportaba profundidad a los elementos. Esto lo conseguía dejando los

contornos imprecisos, él la definía como: "sin líneas o bordes, en forma de humo o más

allá del plano de enfoque"25. Aunque en este caso, su propiedad más relevante es el

uso de la proporción en los elementos. Por ejemplo, comparando la medida del alto de

la cabeza con el cuello hasta la línea que comienza la ropa, se encuentran dos

segmentos en proporción áurea. Dividiendo una vez más esta última medida, corta

exactamente con el final de una falange del dedo, delimitando la medida de los

elementos dentro de la mano.

25 Earls, I. 1987. Renaissance Art: A Topical Dictionary. Greenwood Press.

12. Salvator Mundi, Leonardo da Vinci

25

La cara mantiene entre su ancho y su largo un rectángulo áureo dividiéndola

exactamente al final de la frente. Con ese mismo cuadrado que se forma, se encuentran

más correspondencias con otros componentes.

Ahora teniendo el lado menor del rectángulo de la cara dividido también según phi, se

halla el rectángulo donde se inscribe la mano derecha.

Si se analiza la mano, se observa que la posición de los dedos está también determinada

por relaciones con phi.

26

Y al igual que estos elementos, muchos otros como la disposición de la cara o los

adornos del traje está, determinados por relaciones con los anteriores. Después de

encontrar tantas relaciones, llamarlo casualidad no sería muy acertado, aunque a lo

largo de la historia ha habido mucha diferencia de opiniones al no estar presente el

número áureo en todas sus obras. En este caso sí que parece intencional por parte de

Leonardo, siendo algunas relaciones son más claras que otras. Lo que se puede

asegurar es que no pintó el cuadro como un simple hombre en una túnica, sino que dio

tiempo al análisis y a la precisión en la composición y al hacerlo se puede suponer que

utilizó sus conocimientos aprendidos junto con Luca Pacioli.

27

5. Fractales, el arte de la naturaleza

Llegados a este punto, encontramos quizá una de las estructuras más interesantes que

podemos formar con las iteraciones. Muy distintas de los cuadros del Renacimiento,

pero que pueden dar algo de luz a la presencia del número áureo en ciertas situaciones.

5.1. Definición y propiedades de los fractales

Un fractal es un objeto geométrico formado por componentes infinitos, y esta propiedad

se enlaza con la autosimilitud que presentan, es decir, su estructura se repite a distintas

escalas, lo que hace que, aunque nos acerquemos o alejemos, siempre podremos

apreciar la misma disposición de elementos.

28

El término fue acuñado en 1975 por Benoît Mandelbrot, matemático polaco que también

da nombre a una familia de fractales llamada el conjunto de Mandelbrot. La palabra

viene del latín, fractus, que quiere decir fracturado o quebrado, debido a su apariencia

irregular. Y aunque su nombre oficial es de 1975, estos objetos ya eran conocidos desde

principios del siglo XX, cuando se empezó a establecer la dimensión en la que se

desarrollan los fractales, que no admiten un espacio tangente.

Su forma se basa, como se ha dicho, en las iteraciones, es decir, se aplica una función

repetidamente, siendo el resultado de una iteración, el comienzo de la siguiente. Y este

carácter iterativo hace que esté estrechamente relacionado con la sucesión de

Fibonacci, que, analizando, también podemos ver la iteración, ya que el resultado de la

suma anterior se usa como término de la siguiente. Por esa razón, al mirar a la

naturaleza encontramos innumerables ejemplos de fractales, como pueden ser las

caracolas o los copos de nieve. Aquí cabe mencionar la estructura conocida como el

“copo de Koch”, que, como su nombre indica, imita la forma de los copos de nieve y se

forma partiendo de un segmento, que se parte en tres y en el centro se crea un triángulo

equilátero sin su base. Repitiendo una y otra vez el proceso, el resultado se parece cada

vez más a la imagen típica de un copo de nieve real, estando los elementos en

progresión geométrica y cumpliendo con las características fractales antes explicadas.

13. Copo de nieve de Koch

Ya se han mencionado algunas propiedades, pero la más interesante en este contexto

es que en un fractal las iteraciones son similares al todo, solo que a distinta escala. Esto

ocurre igual en un segmento dividido por la proporción áurea, ya que todo va a guardar

relación.

29

5.2. Construcción de un fractal

Para entender las matemáticas dentro de los fractales, el mejor método no es otro que

construir uno. Por ello, este será el experimento práctico para comprobar la relación

entre phi y estas formas geométricas. De entre los distintos grupos que existen, los

fractales de Newton son figuras formadas a partir de la aplicación del método de Newton

para la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales, que sirve para encontrar las

raíces (o ceros) de una función real. Para ello, parte de un valor cercano al cero y se

reemplaza la función en la que estamos trabajando por su recta tangente en ese punto,

se iguala a cero y se despeja la ecuación lineal (figura 14). Este valor será una

aproximación a la raíz de la función inicial y se harán iteraciones para determinar con

más exactitud su valor real. De esta manera, es posible sacar tanto soluciones reales

como complejas, es decir, que fijando parámetros para que se coloreen de una manera

u otra las soluciones a las que va convergiendo una función se crea un fractal de Newton

determinado por el polinomio inicial.

14. Método de Newton. En esta expresión, p es una función polinómica compleja y los puntos en los que

converge la función son las raíces de p, llamados los puntos atractores.

Teniendo en cuenta que únicamente se necesita un plano y una hoja de cálculo para

hacer iteraciones, ese será el fractal elegido, y se llevará a cabo usando el programa

GeoGebra, un software matemático libre. Lo primero es elegir una región del plano

complejo y un polinomio para aplicar el método de Newton en un punto, dependiendo a

qué raíz del polinomio converja, a los que llamaremos puntos atractores, se pintarán de

un color u otro. Para que tenga varios puntos de convergencia, el polinomio será: 𝑝(𝑧) =

𝑧3 − 8, con sus tres raíces: (2,0), (2, 2π/3) y (2, 4π/3). Así que los primeros elementos

en añadir serán estos tres puntos como como notación polar con los nombres “P”, “Q” y

“R”, respectivamente. Para poder calcular los puntos que conformarán el dibujo, la

herramienta indispensable es una hoja de cálculo. En GeoGebra, como en los

programas habituales de hoja de cálculo, cada casilla está identificada por un número y

una letra representando las filas y columnas, por ejemplo, la primera que encontraremos

será la casilla A1, primera fila, primera columna. Dentro de las casillas se pueden definir

tanto puntos, como funciones e incluso comandos y objetos geométricos. Además,

30

usando esta función para escribir puntos se pueden definir como puntos en el plano

complejo.

Para crear el fractal, como se ha dicho previamente, se deberá iterar sobre un punto la

función, por lo que para empezar habrá que crear ese punto. Se podría empezar sobre

un punto aleatorio (ya que se extienden infinitamente), pero hay que tener en cuenta

que posteriormente habrá que colorear. Para dejar colores en el plano, la función más

útil es el rastro, que deja una marca donde el punto ha pasado, pero teniendo un punto

fijo, nada se coloreará. Por lo que se necesita que la posición del punto sobre el que se

iterará varíe y esto se consigue mediante un deslizador, en este caso, denominado “a”,

de intervalo [-2,2] e incremento 0.01. Lo siguiente será definir el primer punto en A1

como (a, n), siendo “a” el deslizador y “n” un número, en este caso el 1.5.

15. P, Q, R y A1 ya creados, el deslizador fijado a valor 1.

Ahora los valores del eje de abscisas dependen del deslizador que variará al activar la

animación. Teniendo un punto que pintará, quedará un fractal de una sola línea de

puntos (al avanzar hacia la derecha o la izquierda dejará el rastro), para aumentar el

área coloreada se necesitará crear una hilera de puntos hacia abajo que acaben

“pintando” toda la superficie. Esto se conseguirá variando el valor de la y en una serie

de puntos que compartirán la “a” como coordenada x, así que con restar un número n

al componente la expresión de los puntos quedará como A1+(0,-n). El resultado final

deberá tener una resolución aceptable, por lo que n no debe ser excesivamente grande,

además de que los puntos tendrán el menor tamaño posible para maximizar la

resolución. Consideraremos 0.02 como nuestra n, siendo la fórmula en A2: A1+(0,-0.02),

31

que habrá que llevar hasta A150. Esta columna tendrá activado el rastro y además

cambiará de color según los parámetros que más tarde se fijarán.

Llega el momento de introducir la función para empezar a iterar sobre el punto A2

usando la expresión de Newton, por lo que habrá que calcular la derivada del polinomio

que funcionará como denominador: 𝑝(𝑧) = 𝑧3 − 8 ; 𝑝′(𝑧) = 3𝑧2.

La expresión final, usando el punto, quedaría: 𝐴2 = 𝐴2 − (𝐴23 − 8) (3𝐴22)⁄ , aunque

para variar el polinomio y conseguir un efecto distinto, meteremos una modificación,

multiplicando el cociente por 𝑓(𝑥) = (í + 1), por lo que la función final sería: 𝐴2 = 𝐴2 −

(í + 1) ∗ (𝐴23 − 8) (3𝐴22)⁄ , que será la introducida en B2 y arrastrada hasta la columna

K para iterar el punto. En este momento, podemos observar que según movamos el

deslizador, los puntos van cambiando de posición acercándose a un atractor u otro. Para

la imagen final, tener tal cantidad de puntos en pantalla será molesto e innecesario, por

lo que lo mejor será ocultar todos los puntos.

A la hora de colorear habrá que tener en cuenta la cercanía a cada punto atractor (P, Q

y R), tras las iteraciones. Una de las razones para la elección del polinomio p(z)=z3-8

son sus tres raíces, ya que el programa permite incluir los parámetros de tres colores:

rojo, verde y azul; así que se podrá asignar cada punto atractor a un color distinto. Para

que se vea en qué región está la hilera de puntos de la columna A, se determina el color

atendiendo a la cercanía de la última columna (con el punto iterado al máximo), a un

atractor. Si está cerca, la intensidad de ese color aumentará; si, en cambio, está lejos

se irá anulando hasta que no quede ese color. Al punto P se le asignará el color rojo,

por lo que en el componente rojo irá una función que varíe en función de la distancia

entre “P” y “K”. Cuanto más cerca esté de P, el valor debe ir aproximándose a 1; mientras

que cuando se vaya alejando, debe llegar a 0, por lo que la fórmula será: 𝑅𝑜𝑗𝑜(𝐴𝑛) =

𝑒−𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃,𝐾𝑛), siendo n el número de fila en el que se introduzca. Esa misma expresión se

puede utilizar en los colores verde y azul variando el punto atractor. (figura 16)

16. Aplicando esta expresión a todos los puntos creados se fijan los parámetros para los colores.

32

Finalmente, al activar la animación automática del deslizador, se va revelando el

fractal tras la hilera de puntos (figura 17).

17. Fractal siguiendo la expresión de Newton con un polinomio de 3 raíces.

Y aquí vuelve la parte esencial de este apartado, ya que, superponiendo imágenes, se

puede observar que las espirales formadas siguen la espiral de Durero (figura 18), por

lo que desde luego se intuye una relación entre los fractales y phi.

18. Espiral a partir del rectángulo áureo superpuesta al fractal creado.

33

Con un solo fractal no se puede probar esta relación, pero, de hecho, se puede encontrar

esta relación a simple vista de muchas maneras si comparamos los fractales con figuras

naturales que también siguen una proporción áurea, aunque no sea la espiral como en

este caso.

19. En la flor del girasol, los flósculos están distribuidos siguiendo el ángulo que forma un segmento

dividido con la proporción áurea si unimos sus extremos en una circunferencia. Se aprecia una formación

similar en el fractal presentado en la parte izquierda.

Y son, finalmente, los fractales los que relacionan los tres grandes temas tratados hasta

ahora, siendo éstos la naturaleza, el arte y las matemáticas. Figuras geométricas,

puramente teóricas (al nosotros no poder recrear elementos infinitos), que comparten

características con la proporción áurea y además son composiciones artísticas que se

encuentran en cuerpos naturales. Phi acaba siendo no solo una relación entre dos

magnitudes, sino entre grandes ámbitos científicos.

34

6. Conclusión

Con toda la información sobre la mesa, es clara la división en dos partes de este

proyecto: la historia de la proporción áurea y las propiedades del número áureo. Las dos

tienen una relación necesaria, además de basarse en lo mismo, se apoyan entre ellas.

Sin sus aplicaciones en la pintura o la arquitectura muchas investigaciones científicas

no hubieran existido, y a la vez sin esas propiedades matemáticas y lo que suponen en

el mundo natural, los artistas no hubieran puesto atención y experimentado con el

número áureo. Y esto se ve claramente repasando sus personajes históricos relevantes,

destacando en la relación de los dos personajes centrales Leonardo da Vinci y Luca

Pacioli.

En sus deducciones matemáticas se puede ver su presencia en cuerpos geométricos

regulares, lo que puede explicar que en los comienzos del arte también sea un motivo

recurrente. Aunque lo que más impacta en el arte para que se use la proporción áurea

es, como se ha ido viendo en varias partes, su aparición en elementos naturales ya sea

como disposición o forma. Y esa es quizás la mejor explicación al vínculo entre sus

propiedades y su uso recurrente en las distintas épocas.

También así se han podido explicar las propiedades principales de phi, teniendo

cualidades únicas entre los números como sus potencias a partir del propio número y la

unidad o su reticencia a ser aproximado mediante racionales. Además, al dividir un

segmento siguiendo la proporción, se puede repetir el proceso indefinidamente dando

lugar a la autosimilitud, algo clave en muchos aspectos.

Lo más interesante ha llegado con la creación del fractal. Existen programas

especializados en ello, pero al utilizar un software más general obliga a partir los

fundamentos matemáticos a sus bases y de ahí intentar conseguir un resultado. Por

ejemplo, uno de los puntos más importantes son las iteraciones: otros programas te

permiten hacerlas simplemente metiendo el número, pero en este caso, con las

operaciones que te permite una hoja de cálculo, ha sido necesario repasar el concepto

de iteración y así repetir una y otra vez la función sobre los resultados de la anterior. Lo

que ha hecho que lleve más tiempo y errores, ya que no todo fue perfecto al primer

intento, como este fractal fallido:

35

Desde luego ha sido una investigación que merece la pena ya que, como se decía en

la historia que unía diferentes disciplinas, ayuda a ver nexos entre varios aspectos de la

realidad. Ahora los girasoles y los pentágonos regulares no parecen tan distantes, y esto

a traducido a términos más generales quiere decir que al estudiar un concepto u objeto,

se puede aprender también de su relación con otros. Una obra de Leonardo da Vinci

con sus elementos por separado puede ser igual que cualquier otra, es con sus

relaciones entre ellos como se consigue su importancia en el mundo del arte. Y no solo

eso: únicamente fijando la atención en su pintura, tampoco encontramos una figura tan

significativa, pero al estudiar todos sus trabajos en distintos campos y cómo se apoyó

en unos y otros, llega a ser un genio.

36

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