II Funciones de Demanda

8/19/2019 II Funciones de Demanda

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Óptimo del ConsumidorMaximizaci´ on de la utilidad

Minimizaci´ on del GastoEfecto renta y efecto sustituci´ on

La teoŕıa del consumidor: Dualidad

Microeconomı́a I:Tema II

Funci ón de Demanda

Moisés E. Carrasco [email protected]

Universidad de Concepci´ on

9 de septiembre de 2015

Moisés Carrasco Microeconoḿıa I

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Introducci´ on

Introducci´ on

El problema de decisi´on al que se enfrentar´a el individuo puedeenunciarse de dos maneras.

El primero de ellos es escoger las canastas de tal forma que el

individuo logre la mayor satisfacci´ on posibleEl segundo de ellos consiste en jar un nivel de utilidad que sequiere alcanzar y elegir las cantidades de mercanćıas que lleven almenor gasto posible logrando la utilidad requerida.En la primera cara, las demandas ´ optimas obtenidas se llamar´ an

demandas marshalianas.En la segunda cara, hallando las demandas ´ optimas, que esta vezse llamar án hicksianas o compensadas.


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La maximizaci´ on de la utilidadFunci´ on indirecta de utilidadPropiedades de la demanda MarshiallianaPropiedades de la Utilidad Indirecta

La maximización de la utilidad

Suponiendo que el conjunto de consumo es X = RL+ , que los preciosson estrictamente positivos ( p 0) y el nivel de riqueza del individuoes también estrictamente positivo, w > 0.

máxx u(x1 , x2 ,...,x l )s.a. p 1x1 + p2x2 + ... + pl x l ≤ w

(1)

El problema de la maximizaci´ on de la utilidad tiene soluci´ on sitodos los precios son estrictamente positivos ( p 0) y la funciónde utilidad u(x) es continua.Recuerde que la insaciabilidad local lleva a que cualquier puntoen el interior del conjunto presupuestal sea superado por algunodel ĺımite.


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L = u(x1 , x2 ,...,x l ) + λ(w − p1x1 − p2x2 − ... − pl x l )∂ L∂x 1

= 0 : ∂u(x1 , . . ,x l )

∂x 1− λp1 = 0

∂ L∂x 2 = 0 :

∂u(x1 , . . ,x l )

∂x 2 − λp2 = 0..

∂ L

∂x l= 0 :

∂u(x1 , . . ,x l )

∂x l− λp l = 0

∂ L∂λ

= 0 : w − p1x1 − p2x2 − ... − pl x l = 0

(2)

Las condiciones son:

λ = ∂u/∂x 1

p1=

∂u/∂x 2

p2= ... =

∂u/∂x l

plMoisés Carrasco Microeconoḿıa I

´

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Ahora veamos que pasa si consideramos 2 bienes x1 y x2 . Entonces elóptimo del consumidor ser´ a:

λ = ∂u/∂x 1

p1=

∂u/∂x 2 p2

Aśı:TMS = ∂u/∂x 1

∂u/∂x 2= p1

p2

Esto signica que para maximizar la utilidad se debe igualar lapendiente de la recta presupuestal con la pendiente de la curva deindiferencia.Si la curva de indiferencia no fuera tangente a la restricci´ onpresupuestaria podŕıa existir una canasta factible que permitiŕıaalcanzar un mayor nivel de utilidad.Si:

∂u/∂x 1

∂u/∂x 2>

p1

p2Moisés Carrasco Microeconoḿıa I

´ d l d

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Optimo del ConsumidorMaximizaci´ on de la utilidad




La maximización de la utilidadExistencia, globalidad y unicidad de la soluci´ on.

1 Existencia2 Globalidad3

UnicidadEl consumidor se enfrenta a la maximizaci´ on condicionada

de una funci´ on de utilidad estrictamente c´ oncava en unconjunto walrasiano que es no–vaćıo, cerrado, acotado y

convexo.PODEMOS ASEGURAR QUE EL PROBLEMA DEL

CONSUMIDOR TIENE SOLUCI ÓN ÚNICA, QUE SER ÁUN ÓPTIMO GLOBAL.


Ó ti d l C id



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La maximización de la utilidadFunción indirecta de utilidad

A la canasta de consumo que resuelve el PMU se le llamar´ aDemanda Marshalliana y se denota como una cesta de consumox∗ ( p, w) ∈ RL+ . Cuando es estrictamente convexa (y por tantola funci ón de utilidad es estrictamente cuasic´ oncava), x∗ estar á

compuesto por un único elemento, mientras que si esdébilmente convexa x∗ será un conjunto.Para cada vector de precio estrictamente positivo ( p 0) y unnivel de riqueza positivo ( w > 0), el valor de la utilidad evaluadaen la canasta de consumo óptima u(x∗ ) para cualquierx∗ ∈ x∗ ( p, w) se denota como la Función de Utilidad Indirectav( p, w).Por su complejidad tomaremos una funci´ on de utilidadCobb− douglas para mostrar el proceso de maximizaci´ on.

u(x1 , x2) = x0,51 x0,52


Óptimo del Consumidor

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La maximización de la utilidadPropiedades de la demanda Marshialliana ( x ∗ ( p, w ))

Si la función de utilidad u(x) es continua y representa unaspreferencias localmente no saciadas denidas en el conjunto deconsumo X , entonces la demanda Marshalliana x∗ ( p, w) tiene lassiguiente propiedades

Homogénea de grado 0 en ( p, w).Ley de Walras: p · x = w para todo x ∈ x∗ ( p, w).Unicidad/Convexidad: si las preferencias son estrictamente

convexas entonces x∗

( p, w) consiste de un s ólo elemento. Si sondébilmente convexas la correspondencia debe ser un conjuntoconvexo.


Óptimo del Consumidor



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La maximización de la utilidadPropiedades de la Utilidad indirecta ( v ( p, w ))

Si la función de utilidad u(x) es continua y representa unaspreferencias localmente no saciadas denidas en el conjunto deconsumo X , entonces la funci ón de utilidad indirecta v( p, w) cumplecon las siguientes propiedades

Homogénea de grado 0 en ( p, w).Estrictamente creciente en w(∂v/∂w > 0).

Cuasiconvexa en ( p, w), esto es, el conjunto {( p, w) : v( p, w) ≤ v̄}es convexo para todo v̄


Óptimo del Consumidor bl d i i i i´ d l

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Problema de minimizaci´ on del gastoFunci´ on de gastoPropiedades de la demanda hicksianaPropiedades de la funcí on de gasto

Problema de minimizaci´ on del gasto

La funci ón de utilidad u(·) es continua y representa una relaci´ onde preferencias localmente no saciada denida en un conjunto deconsumo X .Supondremos inicialmente que los precios no pueden sernegativos ni iguales a 0 ( p 0)

(u > u (0)).mı́n

x p · x

s.a. u (x) ≥ ū(3)

la funci ón objetivo de este problema, la cual esta denida pore = p1x1 + p2x2 en el caso en que existan 2 bienes.La canasta ´optima de consumo es la canasta que menos cuesta yque permite al consumidor alcanzar el nivel de utilidad deseadoū. Gr ácamente, es el punto en el conjunto {x ∈ RL+ : u(x) ≥ ū}que implica el menor gasto es decir, que se encuentra en la recta

más cercana al origen.Moisés Carrasco Microeconoḿıa I

Óptimo del Consumidor P bl d i i i i´ d l g t

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pMaximizaci´ on de la utilidad



Problema de minimizaci on del gastoFunci´ on de gastoPropiedades de la demanda hicksianaPropiedades de la funcí on de gasto

Problema de minimizaci´ on del gasto

L = − p1x1 − p2x2 − ... − pl x l + λ(u(x1 , x2 ,...,x l ) − ū)∂ L∂x 1

= 0 : − p1 + λ∂u(x1 , . . ,x l )

∂x1= 0

∂ L

∂x 2= 0 : − p

2 + λ

∂u(x1 , . . ,x l )

∂x2= 0

.

.∂ L∂x

l

= 0 : − pl + λ∂u(x1 , . . ,x l )

∂xl

= 0

∂ L∂λ

= 0 : u(x1 , x2 ,...,x l ) − ū = 0

(4)

Las condiciones son:

λ = ∂u/∂x 1

p1=

∂u/∂x 2

p2= ... =

∂u/∂x l

plMoisés Carrasco Microeconoḿıa I

Óptimo del Consumidor Problema de minimizaci´ on del gasto

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Maximizaci´ on de la utilidadMinimizaci´ on del Gasto

Efecto renta y efecto sustituci´ onLa teoŕıa del consumidor: Dualidad


La minimización del gasto

Ahora veamos que pasa si consideramos 2 bienes x1 y x2 . Entonces elóptimo del consumidor ser´ a:

λ = ∂u/∂x 1

p1=

∂u/∂x 2 p2

Aśı:TMS =

∂u/∂x 1∂u/∂x 2

= p1 p2

Esto conrma la dualidad de ambos problemas puesto que aqúıtambíen deben igualarse la pendiente de la curva de indiferenciacon la de la recta de isogasto (recta de presupuesto).


Óptimo del Consumidor Problema de minimizaci´ on del gasto

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La minimización del gastoFunción de gasto

El conjunto de canastas de consumo que permite alcanzar unnivel de utilidad determinado al mismo tiempo que se incurre enel menor gasto posible, es decir que resuelve el problema deminimizaci ón del gasto, se denotar´ an como xh ( p, ū) ∈ RL

+ y se les

dar á el nombre de Función de Demanda Compensada oHicksiana.

Se entenderá como Funci ón de Gasto el nivel de gasto mı́nimoque el consumidor debe hacer para alcanzar el nivel de utilidaddeseado. De esta forma, dados unos precios estrictamentemayores a 0 ( p 0) y el nivel de utilidad deseado u > u (0), elvalor mı́nimo del gasto que resuelve el problema de minimizaci´ ondel gasto se denota como la Funci´ on de Gasto e( p, u); es decire( p, ū) = mı́n { p · x : u(x) ≥ ū, x ∈ X }.


Óptimo del ConsumidorM i i i´ d l ilid d Problema de minimizaci´ on del gasto

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La minimización del gastoPropiedades de la demanda Hicksiana ( x h ( p, ū ))

Si una funci ón de utilidad u(·) es continua y representa una relaci´ onde preferencias localmente no saciadas que est´ an denidas en elconjunto de consumo X , entonces para cualquier vector de precios

estrictamente positivos p 0, la función de demanda hicksianaxh ( p, ū) posee las siguientes propiedades

Homogénea de grado 0 en ( p).para cualquier x ∈ xh ( p, ū), u(x) = ū.Unicidad/Convexidad: Si es convexa, entonces xh ( p, ū) es unconjunto convexo, y si es estrictamente convexo de forma queu(·) es estrictamente cuasic´ oncava entonces xh tendr´a un únicoelemento.


Óptimo del ConsumidorM imi ci´ on de l tilid d Problema de minimizaci´ on del gasto

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Maximizaci on de la utilidadMinimizaci´ on del Gasto


gFunci´ on de gastoPropiedades de la demanda hicksianaPropiedades de la funcí on de gasto

La minimización del gastoPropiedades de la funci´ on de gasto ( e ( p, u ))

Si la función de utilidad u(x) es continua y representa unaspreferencias localmente no saciadas denidas en el conjunto deconsumo X , entonces la funci ón de gasto u( p, ū) cumple con lassiguientes propiedades

Homogénea de grado 1 en p.Estrictamente creciente en u(∂e/∂u > 0).

continua y c´oncava.



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Efecto renta y efecto sustituci´ on

Al cambiar el precio de un bien ( p1) se generan dos efectos:Cambian los precios relativos. ( p1 /p 2)Cambia el ingreso real, ( w/p 1)

Estos cambios generan dos efectos sobre el consumo:Efecto Sustituci´ on:

Efecto Ingreso:

Efecto Total:



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Cómo podemos separar estos efectos?

Necesidad de realizar una variaci´ on compensadora en larenta monetaria para diferenciar ambos efectos entre śı:

HICKS propone mantener constante el nivel de utilidad, esdecir, compensar el ingreso hasta que, con los nuevos precios, sealcance el nivel u inicialBasada en la utilidad (Hicks):

ū = u∗ ( px , py , w)

SLUTSKY propone mantener constante la capacidad de

compra, es decir, compensar el ingreso hasta que sea posiblecomprar la canasta de bienes inicial.Basada en el consumo (Slutzky):

w = px x∗ + py y

∗



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Efecto renta y efecto sustituci´ onEfecto seg´un Hicks

Para medir ES seg ún Hicks:Observamos el nivel deconsumo ´ optimo alcanzado a

los nuevos precios,manteniendo el nivel deutilidad original (ingreso realconstante):

x s = x s ( p1x , p y , u0 )

Aśı el ES ser á:

ES = x s ( p1x , p y , u0 ) − x 0 ( p0x , p y , u

0 )



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Para medir ES seg ún Hicks:Observamos el nivel deconsumo ´ optimo alcanzado alos nuevos precios,manteniendo el nivel deutilidad original (ingreso realconstante):

x s = x s ( p1x , p y , u0 )



0 )



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Para medir ES seg ún Hicks:Observamos el nivel deconsumo ´ optimo alcanzado alos nuevos precios,manteniendo el nivel deutilidad original (ingreso realconstante):

x s = x s ( p1x , p y , u0 )



0 )



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Efecto renta y efecto sustituci´ onEfecto seg´un Slutsky

Para medir ES seg ún Slutzky:Observemos el nivel deconsumo ´ optimo que se

alcanzar´ a con los nuevosprecios, con un nivel deingreso que permitir´ aconsumir la canasta original:

x s = x s ( p1x , p y , w ) w = x0 p1x + y0 py

Aśı el efecto sustituci´ on ser´a:ES = x s ( p1x , p y , w ) − x 0 ( p

0x , p y , w )



Mi i i i´ d l G t



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Para medir ES seg ún Slutzky:Observemos el nivel deconsumo ´ optimo que sealcanzar´ a con los nuevosprecios, con un nivel deingreso que permitir´ aconsumir la canasta original:


Aśı el efecto sustituci´ on ser´a:

ES = x s ( p1x , p y , w ) − x 0 ( p0x , p y , w )



Minimizaci´ on del Gasto

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Minimizaci on del GastoEfecto renta y efecto sustituci´ on



Para medir ES seg ún Slutzky:Observemos el nivel deconsumo ´ optimo que sealcanzar´ a con los nuevosprecios, con un nivel deingreso que permitir´ aconsumir la canasta original:


Aśı el efecto sustituci´ on ser´a:

ES = x s ( p1x , p y , w ) − x 0 ( p0x , p y , w )




Est´ atica ComparativaEst´ atica Comparativa



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Mediciones de cambio en el bienestar: VC, VE y ECCurva de demanda de mercado

El Lema de Shephard:La tasa de variación del gasto mı́nimo para alcanzar un nivel dado de

utilidad ante variaciones en el precio de un bien coincide con lacantidad demandada de dicho bien en el ´ optimo de minimización; esdecir, con su demanda compensada de Hicks.

∂e∂pi

= xhi ( p; ū)

La funci ón de gasto es creciente en la utilidad.Resultado obvio: mejorar la satisfacci´ on (utilidad) del consumidorsólo es posible incrementando el gasto, independientemente de cu´ alessean los precios.

∂e

∂u = λ

Efecto sustitución propio y cruzado: El carácter negativo del efectopropio sirve para justicar la concavidad de la funci´ on de gasto:

∂ 2e∂p2i

= ∂xhi ( p; ū)

∂pi< 0




Est´ atica ComparativaEst´ atica Comparativa

d d b l b

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Conocemos como ’Identidad de Roy’ . Es la tasa a la que vaŕıa lautilidad del consumidor cuando cambia el precio de un bien,expresada en términos monetarios.Si disponemos de la Funci´on de Utilidad Indirecta v( p, w), podemosobtener las demandas marshallianas de la siguiente forma:

−∂v ( p,w )

∂p i∂v ( p,w )

∂w

= x∗i ( p, w) (5)




Est´ atica ComparativaEst´ atica ComparativaM di i d bi l bi t VC VE EC

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Si medimos los cambios en la cantidad ´ optima a través de la demandade mercado (Marshalliana), encontramos el Efecto Total. Pero si lomedimos a través de la demanda hicksiana tendremos un doble efecto:

1 En primer lugar tendremos un efecto directo a través del primerargumento, que podemos identicar con el Efecto Sustituci´ on.

2 Por otro lado, al cambiar el precio se produce un cambio en el

nivel máximo de utilidad obtenido en el problema demaximizaci ón y ello implica un cambio en el nivel de utilidadrequerido en la restricci´on del problema dual de minimizaci´ on, loque acaba modicando indirectamente la cantidad ´ optima. A esteefecto indirecto lo podemos identicar con el Efecto Renta.

Ecuaci ón de Slutsky:∂x M i∂pi

= ∂xhi∂pi

− ∂xM i

∂w x∗i

derivar:




Est´ atica ComparativaEst´ atica ComparativaMediciones de cambio en el bienestar: VC VE y EC

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Figura 1: Problema Dual




Est´ atica ComparativaEst´ atica ComparativaMediciones de cambio en el bienestar: VC VE y EC

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PlanteamientoLas preferencias de un consumidor est´ an representadas por lasiguiente funci ón ı́ndice de utilidad u(x, y ) = xy.Este individuo dispone de una renta de 1200 u.m. y los precios son px = py = 4

1 Obtenga las funciones de demanda del consumidor. Suponga quese produce una reducci´on en el precio del bien x, de modo quepasa a ser igual a 1, manteníendose la renta y el precio del bien y

2 Calcule el efecto sobre el consumo de los bienes de la variaci´ on en px

3 Descomponga el impacto que sobre el consumo de los bienes hatenido la variaci´on de px .

En los efectos renta y sustituci´ on de SlutskyEn los efectos renta y sustituci´ on de Hicks


Óptimo del ConsumidorMaximizaci´ on de la utilidadMinimizaci´ on del Gasto

Ef f i i´

Est´ atica ComparativaEst´ atica ComparativaMediciones de cambio en el bienestar: VC, VE y EC

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Mediciones de cambio en el bienestar:

La Variaci´ on Compensada es la cantidad m´axima de dineroque el consumidor estaŕıa dispuesto a pagar para alcanzar unosnuevos precios m ás bajos. Es aquella que mantiene al consumidoren el nivel de utilidad (curva de indiferencia) inicial con los

nuevos precios, m ás bajos.La Variaci´ on Equivalente es la cantidad mı́nima de dinero queel consumidor exigiŕıa para aceptar volver de nuevo a un vectorde precios m ás altos. Es aquella que mantiene al consumidor en elnivel de utilidad (curva de indiferencia) correspondiente a los

precios bajos, cuando los precios vuelven a ser m´ as altos.El Excedente del Consumidor es la diferencia entre lomáximo que el individuo est´a dispuesto a pagar por la cantidadque actualmente consume del bien, y lo que efectivamente paga.



Ef t t f t tit i´


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Efecto renta y efecto sustituci onLa teoŕıa del consumidor: Dualidad

, yCurva de demanda de mercado

Variaci´ on Compensada

Sea p1 y p0 los vectores de precio nal einicial respectivamente. La variaci´ oncompensada se dene como:

V C = e( p1 , u1) − e( p1 , u0)V C = w − e( p1 , u0)V C = e( p0 , u0) − e( p1 , u0)

(6)

Este también puede expresarse como:v( p1 , w − V C ) = u0 (7)





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Efecto renta y efecto sustituci onLa teoŕıa del consumidor: Dualidad

yCurva de demanda de mercado

Variaci´ on Equivalente

Sea p1 , p0 los vectores de precios nal einicial respectivamente. Matem´ aticamente lavariaci ón equivalente se dene como:

V E = e( p0 , u1) − e( p0 , u0)V E = e( p0 , u1) − wV E = e( p0 , u1) − e( p1 , u1)

(8)

Adem ás, la variaci ón equivalente también

puede expresarse en términos de la funci´ onde utilidad indirecta como

v( p0 , w + V E ) = u1 (9)





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Efecto renta y efecto sustituci onLa teoŕıa del consumidor: Dualidad Curva de demanda de mercado

Ejemplo:Considere una persona que consume dos bienes, x e y y que tiene unafunción de utilidad u(x, y ) = x1/ 2y1/ 2 . Esta persona tiene un ingresode 1000 y los precios de x e y son 10 y 10 respectivamente.Si el precio del bien x aumenta a 20, ¿A cu´anto equivale la Variaci´ onCompensada y equivalente?




Est´ atica ComparativaEst´ atica ComparativaMediciones de cambio en el bienestar: VC, VE y ECC d d d d d

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Efecto renta y efecto sustituci onLa teoŕıa del consumidor: Dualidad Curva de demanda de mercado

Demanda de Mercado

Curva que relaciona la cantidad quecomprar´an todos los consumidores deun bien en un mercado y el precio. Lacurva de demanda del mercado seobtiene sumando las curvas dedemanda de los consumidores.




Est´ atica ComparativaEst´ atica ComparativaMediciones de cambio en el bienestar: VC, VE y ECC d d d d d

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yLa teoŕıa del consumidor: Dualidad Curva de demanda de mercado

Preguntas ?

Moisés [email protected]

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II Funciones de Demanda

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