II-Geom-5TO Grado 2DA.doc
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TRIÁNGULO
DEFINICIÓN.Es la figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos. O también, se llama triángulo al polígono que tiene tres lados.
Elementos: - Vértices: A, B y C- Lados: AB, BC y AC - Ángulos interiores:
BAC, ABC y ACB- Ángulos exteriores: e1, e2 y e3
- Perímetro (2P):
Notación:Triángulo ABC:
REGIONES DETERMINADAS RESPECTO AL TRIÁNGULO
Observación: Para hallar el
semiperimetro:
PROPIEDADES FUNDAMENTALESA. Suma de medidas de los ángulos internos.En el
B. Suma de las medidas de los ángulos externos.En el
C. Medida del ángulo exterior.En el
D) Relación de existencia o Desigualdad triangular.
En el Si a > b > cSe cumple:
E) Propiedad de correspondenciaEn el Si a > c
CLASIFICACIÓN
A. SEGÚN SUS LADOS.
Triángulo Equilátero.Es aquel cuyos lados son de igual medida (congruentes). Y sus tres ángulos también.
2
A
B
C
1e
2e
3e
c a
b
A C
B
Área o Región Triangular
Región Exterior relativa a
BC
Región Exterior relativa a
AB
Región Exterior relativa a AC
A C
B
a
a
a
A C
B
x
z
y
AC
B
x
A C
B
b
ac
A C
B
ac
A C
B
En la figura, si AB = BC =AC :
: es EquiláteroEntonces:
Triángulo IsóscelesEs aquel triángulo que tiene dos lados de igual longitud; el lado desigual se recibe el nombre de base. Los ángulos en la base son congruentes.
En la figura, si AB = BC (laterales)
: es Isósceles Se cumple:
Triángulo Escaleno.Es aquel triángulo, en el cual sus lados y ángulos tienen diferente longitud (no son congruentes).
En la figura: Si a, b y c son diferentes entre sí, entonces:
: Escaleno
Además: también son diferentes.
B. SEGÚN SUS ÁNGULOS.
Triángulo Acutángulo.Es aquel triángulo, que tiene sus ángulos internos agudos.
En la figura: ; ; : Acutángulo
Triángulo Obtusángulo.Es aquel triángulo que tiene un ángulo interior obtuso. El lado opuesto al ángulo obtuso es el lado mayor del triángulo.
En la figura: : Obtusángulo
Además Triángulo RectánguloEs aquel triángulo que tiene un ángulo recto.
En la figura: m ABC = 90º
3
a a
bA C
B
c a
bA C
B
c a
bA C
B
AC
B
b
ac
A C
B
b
c a
AB y BC : CatetosAC : HipotenusaAdemás:
TALLER # 1
01. Observa estos triángulos y completa la tabla.
Triángulo
Vértices Lados Ángulos
02. Determine el valor de “x” en cada caso:
03. ¿Es posible construir un triángulo cuyos lados midan 3m, 5m y 11m?
04. ¿Es posible construir un triángulo cuyos lados midan 2cm, 4cm y 10cm?
05. ¿Es posible construir un triángulo cuyos lados midan 6cm, 7cm y 12cm?
06. Clasifica los triángulo de acuerdo con la medida de sus lados y luego e acuerdo con sus ángulos.
4
A
C B
NM O
P
R QFE
G
YX
Z
x2
130
110
AC
B
x
30 70A C
B
x60
70
A C
B
76
52 52A C
B
60
60 60P R
Q
30
105 45M Ñ
N
07. Marca con un aspa (X) los casilleros correspondientes a la clasificación de cada
triángulo según sus lados y según sus ángulos.
Escaleno
Isósceles
Equilátero
Rectángulo
Acutángulo
Obtusángulo
08. Observa estos triángulos y completa:
AB = …………. EF = …………. PQ = …………. NT = ………….
AC = …………. GE = …………. QR = …………. MT = ………….
BC = …………. FG = …………. PR = …………. MN = ………….
09. Dibuja y clasifica cada triángulo según las medidas dadas (en tu cuaderno).
Triángulo ABC Triángulo EFG Triángulo MNQ
es ................. es ................. es .................
10. Calcule el valor de x en cada triángulo.
5
B
A
C
GE
F P
Q
RM
N
T
11. Observa el triángulo isósceles y responde:
a. ¿Cuáles son os lados de igual medida? ¿Por qué?
b. La medida del lado DF ¿tiene que ser menor que la medida de EF? ¿Por qué?
12. Coloca el signo <, > o =, según corresponda en cada figura:
“La justicia es reina y señora de todas las virtudes”CICERON
6
º118
x
º75 º40
x
º70 º65
x
º110
º130x º35
º70
º125 x
70 70
40
D
E
F
QUINTO GRADO
R
S
Ta b
ba
STRS
M
N
Ñ
NÑMN
B
C
D
CDBD
LINEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
CEVIANA.Es aquel segmento que une un vértice con un punto del lado opuesto o de su prolongación.
En el
pertenece a
: Ceviana interior relativa a
En el
pertenece a la prolongación
: Ceviana exterior relativa a
MEDIANAEs la ceviana que biseca el lado al cual es relativa.
En el
es punto medio de
: Mediana relativa a
MEDIATRIZ
Es aquella recta perpendicular a un lado que biseca dicho lado.
En el : L y
L : Mediatriz de
ALTURA Es una ceviana perpendicular al lado, al cual es relativa; la posición de una altura respecto al triángulo depende del tipo de triángulo.
En el
: Altura relativa a
En el
: altura relativa a la hipotenusa
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A
B
CD
A
B
C E
A
B
M Cl l
A
B
M Cb b
L
A
B
H C
CA
B
H
H
P
A
B
Q
C
En el : obtusángulo
: Altura relativa a
: Altura relativa a
: Altura relativa a
BISECTRIZEs aquella ceviana interior o exterior que biseca a un ángulo interior o exterior respectivamente.
En el :
: Bisectriz interior relativa a
En el :
: Bisectriz exterior relativa a
TEOREMAS
A)
B)
C)
D) En el BH: Altura y BM: bisectriz
E)
En el : Mediana relativa a la hipotenusa
8
D
A C
B
EA C
B
x
x
x
ºa ºbH
MC
B
A
x
CA
B
Ma a
a
2º90 x
2x
2º90 x
2ºº bax
Teorema de los Puntos Medios
En el
Si MN//AC y “M” Punto Medio de AB;
entonces: “N” punto medio de BC
TALLER # 02
01. Relacione la columna A con la columna B, según corresponda:
COLUMNA A COLUMNA B
MEDIATRIZ
BISECTRIZ
MEDIANA
ALTURA
CEVIANA
BASE MEDIA
02. En el triángulo rectángulo ABC ubica el punto medio de D del lado AC y traza el segmento BD. Mide los segmentos BD, AD y DC. ¿Qué relación encuentras entre dichas medidas?
9
A C
B
NM
A
B C
Verifica si en otros triángulos se cumple la relación.
03. En el triángulo NPQ ubica los puntos
medios de los lados NP y PQ. Une los
puntos formando el segmento ST. Mide
NQ y ST.
a) Halla la relación
entre la medida
de NQ y ST.
b) Grafica otros triángulo y verifica que se cumpla dicha relación con los segmentos que corresponde.
04. Marque (V) si es verdadero y (F) si es falso, según corresponda.
a) La mediatriz es tipo de ceviana. ( )
b) La altura es un tipo de ceviana ( )
c) La mediana es un tipo de ceviana ( )
d) la bisectriz es un tipo de ceviana ( )
e) En todo triángulo rectángulo la
mediana relativa a la hipotenusa biseca
dicho segmento ( )
f) En un triángulo equilátero si se traza
la mediatriz está también es bisectriz,
altura y mediana. ( )
g) En cualquier triángulo se puede trazar una ceviana. ( )
05. Halle el valor de “x” en cada figura:
06. En el , BH es la altura y BM es la bisectriz. Halle el valor de “x”
07. Trace las alturas en los siguientes triángulos, que partan del vértice A.
10
N
P
Q
80
x
x
60
x
70
60 40H M
C
B
A
x
A
C B
A
B
CA
BC
08. Halle el valor de “x” en cada figura:
a) En el triánulo ABC, AC // MN y M punto medio de AB. Además .
b)
c) En el triánulo ABC, AC // MN y M punto medio de AB. Además .
d)
“He trabajado y luchado con perseverancia; he querido llegar y he
llegado” Demóstenes
PROF. HENRY E. JURADO VELIZ
11
A
BC
AB
C
AB
C
A
BC
A C
B
NM x
CA
B
Mx
u10
A C
B
NM
x
CA
B
M
x
u26