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COMPROBACIÓN DE LA NECESIDAD DE
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE
ANÁLISIS MULTIFRACTAL DE SERIES
TEMPORALES DE LLUVIA
Dra. Amanda García Marín
Universidad de Córdoba
II Seminario Internacional
Cambio Climático
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CONTENIDOS
1. Introducción
2. Planteamiento del problema
3. Multifractalidad
3.1. Introducción
3.2. Descripción
3.3. Caracterización
4. Aplicación a una zona concreta
5. Actuación en escenario de cambio climático
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1. INTRODUCCIÓN
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE AMF
Desde finales del pasado siglo XX la preocupación por el cambio climático y su influencia
sobre distintos aspectos hidrológicos ha quedado patente en multitud de estudios científicos
repartidos por toda la geografía mundial:
Recarga de acuíferos
(Mileham L. et al., 2009) Valores de escorrentía
(Chiew FHS et al., 2003;
Nunes JP et al., 2009;
Mileham L et al., 2009)
Erosividad de la lluvia
(Nearing, MA, 2001;
Zhang GH et al., 2005;
Nunes JP et al., 2009)
Precipitación (Lucero OA, 1998; González-Rouco JF et al.,
2000; Sumner GN et al., 2003; Paeth H y Hense A, 2004;
Arnbjerg-Nielsen K, 2006; Huebener H et al., 2007; van
Wageningen A y du Plessis JA, 2007; Cheng KS et al., 2009;
Lumsden TG et al., 2009)
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1. INTRODUCCIÓN
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE AMF
La lluvia
Fenómeno muy variable
Proceso complejo con una gran
variabilidad espacial y temporal
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1. INTRODUCCIÓN
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE AMF
La lluvia
La alta variabilidad de la lluvia ha inducido al
estudio de sus diferentes escalas de forma
independiente, restringiendo así, y
complicando, el uso de los modelos
estocásticos de precipitación.
Por ello, al ser la lluvia un proceso no lineal
muy variable en un amplio intervalo de escalas
temporales, se justifica el uso de la
multifractalidad como teoría y herramienta
descriptiva de las series temporales de datos
de lluvia.
En las últimas décadas el proceso de la lluvia ha sido ampliamente analizado desde un punto de
vista multifractal (e.g. Schertzer y Lovejoy, 1987; Ladoy et al., 1993; Fraedrich y Larnder, 1993;
Over y Gupta, 1994; Svensson et al., 1996; Tessier et al., 1993, 1996; de Lima y Grasman, 1999;
Kiely e Ivanova, 1999; Sivakumar, 2001; Veneziano y Furcolo, 2002; Labat et al., 2002; Olsson y
Burlando, 2002; Garcia-Marin et al., 2008).
Parámetros independientes del número de datos disponibles
para las distintas escalas
No tiene que asumirse ninguna función de distribución para el
conjunto de datos.
Ventajas del
análisis multifractal
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2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE AMF
Series de datos
completas
Series de
máximos anuales Obtención de
cuantiles
mediante AF
(local o regional)
Obtención de
curvas IDF
IDF1 IDF2 IDF3… Caracterización
multifractal
1. Actualidad
2. Escenario cambio climático
Series de datos
completas Caracterización
multifractal
Mejor IDF Mismos
parámetros
Nuevos
valores
Actualización
parámetros
IDF
García-Marin et al., (2013)
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3. MULTIFRACTALIDAD
Simplemente observando la naturaleza, sus formas y su
dinámica, es fácil reconocer en ella fractales y sistemas caóticos
Mecanismos
comunes de
simetría
Reflexión
Rotación
Traslación
Homotecia Al ampliar un objeto, la forma se mantiene inalterada
Los fractales exhiben este tipo de simetría
Fractales naturales
3.1. Introducción
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE AMF
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Una condición necesaria es el
mantenimiento de la forma al
menos en tres etapas
3. MULTIFRACTALIDAD
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE AMF
3.1. Introducción
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1
2
3
3. MULTIFRACTALIDAD
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE AMF
3.1. Introducción
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3. MULTIFRACTALIDAD
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE AMF
3.1. Introducción
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¿ Hay algo en esta imagen que permita conocer el tamaño de las nubes ?
En los fractales se mantiene la invarianza de escala
3. MULTIFRACTALIDAD
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE AMF
3.1. Introducción
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Sistemas fractales
Las cordilleras perioceánicas se forman cuando se produce una corriente de
convección descendente entre una placa de litosfera oceánica y una de litosfera
continental. La oceánica se introduce bajo la continental, generando una intensa
actividad volcánica y sísmica, y arrastrando sedimentos.
Cordillera de los Andes
Formación montañosa Terremotos
3. MULTIFRACTALIDAD
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE AMF
3.1. Introducción
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Monte Aconcagua
Los sistemas montañosos pueden ser descritos mediante la teoría de los
fractales, buscando relaciones entre áreas y perímetros. De esta forma, se
obtienen relaciones de aproximadamente 1,2 (Turcotte, 1989).
3. MULTIFRACTALIDAD
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE AMF
3.1. Introducción
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Terremotos
1861. Terremoto Magnitud 7. Mendoza
Región Andina
(año 2007)
Enero (28), Febrero (41), Marzo (9), Abril (8), Mayo (13), Junio (3),
Julio (19), Agosto (13), Septiembre (8), Octubre (25), Noviembre (4)
3. MULTIFRACTALIDAD
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE AMF
3.1. Introducción
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Terremotos
Ley potencial Multifractalidad y Criticalidad autoorganizada
Allí donde un proceso caótico (terremotos) ha moldeado
un espacio (cordillera), hay una estructura fractal
Ley de Gutenberg - Richter
Varios niveles de
intensidad
3. MULTIFRACTALIDAD
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE AMF
3.1. Introducción
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Modelo de la pila de arena
A medida que se añaden granos a la pila se producirán
deslizamientos que tenderán a reorganizarla. Al añadir más
granos, la pila aumenta de tamaño hasta alcanzar una pendiente
crítica. En ese punto, la adición de nuevos granos puede
provocar avalanchas de cualquier tamaño.
En el estado crítico la distribución frecuencia-magnitud de los
eventos se ajusta a una ley potencial, adquiriendo propiedades
fractales.
En el estado crítico no existen escalas características
3. MULTIFRACTALIDAD
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE AMF
3.1. Introducción
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FRACTAL (del latín fractus). Concepto introducido por Mandelbrot (1975) para hacer referencia a
objetos demasiado irregulares como para ser descritos según la geometría tradicional
Característica fundamental Invarianza de escala (sus estadísticos
siguen leyes potenciales)
¿Cómo se caracteriza un fractal? Dimensión fractal: relación entre las
diversas estructuras observadas para
varios niveles de resolución
Supongamos un conjunto A definido en un espacio D-dimensional. Si Nλ,A es el número de
cubos de lado λ-1 necesarios para completar el conjunto A, se satisface
Λ = razón de escala DA es la dimensión fractal del conjunto
El conjunto A es fractal si DA no es un número entero
3. MULTIFRACTALIDAD
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE AMF
3.2. Descripción
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MULTIFRACTAL . Concepto introducido por Frish y Parisi (1985) para describir sistemas en los que una
escala simple no es suficiente para describirlos, ya que se caracterizan por tener diferentes niveles de
intensidad
342 352332322
1
Día del año
30
40
20
10
0
Pre
cipi
taci
ón (
mm
/ dí
a)
Lluvia
Ocurrencia Cantidad
Monofractal
Proceso no lineal altamente variable
Se necesitan infinitas dimensiones fractales para describir el proceso
3. MULTIFRACTALIDAD
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE AMF
3.2. Descripción
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La función exponente escaladora de momentos
K ( )q
0 1 q
A partir del método del escalado de momentos estadísticos se obtiene la función exponente escaladora
de momentos K(q) que satisface, ( )q K q
donde el primer miembro representa el momento conjunto de orden q para una razón de escala λ
Línea recta
Proceso monofractal
Curva convexa hacia abajo
Proceso multifractal
3. MULTIFRACTALIDAD
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE AMF
3.3. Caracterización
La función K(q) presenta un comportamiento lineal para valores q > qcrit
Esa discontinuidad es debida a la divergencia de momentos o al tamaño inadecuado de la muestra.
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Método del escalado de momentos estadísticos
1) Dividir la serie temporal de datos en intervalos que no se solapen
Índice de escala = Twmax /Tw
Twmax = 22 Tw = 20, 21, 22 = 4, 2, 1
2) Para = 1, obtener R( ,i) (intensidad media para cada intervalo i)
1 2 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 2 4
R(1 ,1)=1.5
R(1 ,2)=2.5
R(1 ,3)=1.5
R(1 ,4)=0.5
3. MULTIFRACTALIDAD
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE AMF
3.3. Caracterización
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4) Para = 2, calcular R(2 ,i) y dividir entre <R(1,i)>
3) Obtener la media para R(1 ,i)
(1, ) 1.5 2.5 1.5 0.5(1, ) 1.5
4
R iR i
i
1 2 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 2 4
(2, ) (1 2) / 21
(1, ) 1.5
R i
R i
5) Calcular los momentos variando los valores de q
1
( , ) ( , )N
q
i
M q i
1 1 1 1
1(2,1) 1 1 1 2.33 ...M M
Representar: - M(2,q)
3. MULTIFRACTALIDAD
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE AMF
3.3. Caracterización
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6) Repetir para todos los valores de
7) Con todos los valores de M( ,q) representados frente a , obtener
K,
qM q
8) Representar q frente a K(q)
Línea recta
Proceso monofractal
Forma no lineal
Proceso multifractal
3. MULTIFRACTALIDAD
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE AMF
3.3. Caracterización
La función exponente escaladora de momentos
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0 1 2 3 4
log[
0
5
10
15
20
log
[M(
,q)]
q
1.05
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
0 1 2 3 4 5 6 7
q
-1
0
1
2
3
4
5
K(q
)
empirical scaling moments function
max 0.85 (r2 = 0.99999)
min 0.59 (r2 = 0.99988)
qD 2.9
qmin 1.75
3. MULTIFRACTALIDAD
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE AMF
3.3. Caracterización
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Objetivo Determinar el modelo de curva IDF más adecuado mediante análisis multifractal
Málaga
IDF Modelo Parámetros
1 bi at 2
2 0.1 0.1(28 )2.5ti ab 2
3 ( ) bi a t c 3
4 ( ) / ( )b ci aT t d 4
4. APLICACIÓN A UNA ZONA CONCRETA
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE AMF
M A R C A N T Á B R I C O
O C
E A
N O
A T
L Á
N T
I C
O
N
M A R
M E
D I
T E
R R
Á N
E O
tiempo (desde sept/1980 hasta diciembre/2004)
0
20
40
60
80
100
lluvia
(m
m)
ALMERÍA
tiempo (desde enero/1982 hasta diciembre/2003)
0
20
40
60
80
100
lluvia
(m
m)
CÓRDOBA
tiempo (desde enero/1980 hasta diciembre/2004)
0
20
40
60
80
100
lluvia
(m
m)
HUELVA
tiempo (desde sept/1980 hasta diciembre/2004)
0
20
40
60
80
100
lluvia
(m
m)
MÁLAGA
Patrón Atlántico Patrón Sur
Patrón Levante
490 mm
536 mm
524 mm
196 mm
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Relaciones Intensidad-Duración-Frecuencia
4. APLICACIÓN A UNA ZONA CONCRETA
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE AMF
De las series completas disponibles, se extrajeron seis series de datos máximos anuales para duraciones
de 1 a 24 horas (1, 2, 3, 6, 12 y 24 horas).
Para la obtención de los cuantiles que permiten el ajuste de las curvas IDF se usó el método de los
momentos-L
Para seleccionar la mejor función de distribución, se utilizó el diagrama de momentos-L
Las series de datos máximos se
ajustaron a la función GPAR
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Relaciones Intensidad-Duración-Frecuencia
1 10 100
Duration D (h)
1
10
100
Inte
nsity (
mm
/h)
I = a tb
T = 2
T = 3
T = 4
T = 5
T = 10
T = 15
T = 20
T = 25
T = 50
1 10 100
Duration D (h)
1
10
100
Inte
nsity (
mm
/h)
i = a b (280.1 + t0.1)2.5
T = 2
T = 3
T = 4
T = 5
T = 10
T = 15
T = 20
T = 25
T = 50
1 10 100
Duration D (h)
1
10
100
Inte
nsity (
mm
/h)
I = a/(t+c)b
T = 2
T = 3
T = 4
T = 5
T = 10
T = 15
T = 20
T = 25
T = 50
1 10 100Duration D (h)
1
10
100
Inte
nsity (
mm
/h)
i=(aTb)/(tc+d)T = 2
T = 3
T = 4
T = 5
T = 10
T = 15
T = 20
T = 25
T = 50
4. APLICACIÓN A UNA ZONA CONCRETA
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE AMF
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Objetivo Relacionar la multifractalidad de la lluvia con las propiedades
de escala simple de las curvas IDF
Veneziano y Furcolo (2002)
Pendiente de las curvas IDF ajustadas para duraciones
superiores a una hora y diversos períodos de retorno
Pendiente de la curva obtenida al representar en un gráfico
doblemente logarítmico la intensidad media de la lluvia para
un determinado valor de periodo de retorno
1 asociada a q1 en K(q)
1/ q1
Multifractalidad y curvas IDF
4. APLICACIÓN A UNA ZONA CONCRETA
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE AMF
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Multifractalidad de la lluvia en Málaga
Obtención de la función exponente
escaladora de momentos K(q)
Valores a comparar con los próximos
resultados de las curvas IDF:
q1 = 2,85
1 = 0,73
Multifractalidad y curvas IDF
0 1 2 3 4
log[
0
5
10
15
20
log(
q
)
q1.05
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
(a)
21 days
0 1 2 3 4
log[
-2
-1.6
-1.2
-0.8
-0.4
0
log(
q
)
q0.05
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
(b)
4. APLICACIÓN A UNA ZONA CONCRETA
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE AMF
0 1 2 3 4 5
q
-1
0
1
2
3
4
K(q
)
Empirical K(q)
1 0.803 (r2 = 0.99919)
0 1 2 3 4 5
q
-1
0
1
2
3
4
K(q
)
Theoretical K(q)
1t 0.73 (r2 = 0.98224)
q1 2.9
q1t 2.85
(b)(a)
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Comportamiento de escala de las curvas IDF
Multifractalidad y curvas IDF
0 20 40 60
T [years]
0.2
0.4
0.6
0.8
IDF
slo
pe
curve 1
curve 2
curve 3
curve 4
Curva 2
1 it TSlopeIDF
1 0.1289
2 0.0537
3 0.0248
4 0.6561
1 10 100
T (yrs)
10
20
30
40
50
9
8
7
6
5
ave. in
tensity (
mm
/h)
curve 1
slope = 0.376
curve 2
slope = 0.374
curve 3
slope = 0.350
curve 4
slope = 0.344
Curve 11/curve tSlope q
1 0.025
2 0.023
3 0.001
4 0.007
4. APLICACIÓN A UNA ZONA CONCRETA
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE AMF
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5. ACTUACIÓN EN ESCENARIO DE CAMBIO CLIMÁTICO
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE AMF
Nuevas series de
datos
Caracterización
multifractal
Validez del
modelo IDF
Mismos
parámetros
Nuevos
valores
Actualización
parámetros
IDF
tiempo (desde sept/1980 hasta diciembre/2004)
0
20
40
60
80
100
lluvia
(m
m)
ALMERÍA
tiempo (desde enero/1982 hasta diciembre/2003)
0
20
40
60
80
100
lluvia
(m
m)
CÓRDOBA
tiempo (desde enero/1980 hasta diciembre/2004)
0
20
40
60
80
100
lluvia
(m
m)
HUELVA
tiempo (desde sept/1980 hasta diciembre/2004)
0
20
40
60
80
100
lluvia
(m
m)
MÁLAGA
tiempo (desde sept/1980 hasta diciembre/2004)
0
20
40
60
80
100
lluvia
(m
m)
ALMERÍA
tiempo (desde enero/1982 hasta diciembre/2003)
0
20
40
60
80
100
lluvia
(m
m)
CÓRDOBA
tiempo (desde enero/1980 hasta diciembre/2004)
0
20
40
60
80
100
lluvia
(m
m)
HUELVA
tiempo (desde sept/1980 hasta diciembre/2004)
0
20
40
60
80
100
lluvia
(m
m)
MÁLAGA
año horizonte
K ( )q
0 1 q
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COMPROBACIÓN DE LA NECESIDAD DE
ACTUALIZACIÓN DE CURVAS IDF MEDIANTE
ANÁLISIS MULTIFRACTAL DE SERIES
TEMPORALES DE LLUVIA
Dra. Amanda García Marín
Universidad de Córdoba
II Seminario Internacional
Cambio Climático