Impedancias AC
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Impedancias
configuración en SerieClase 13
02-Diciembre-2014
Impedancia y Admitancia
De una manera mas amplia, desde las cantidades complejas, tenemos
que la oposición que presenta un elemento al paso de la corriente debido
a una función de excitación senoidal, se le conoce con el nombre de
impedancia y se simboliza. Por la letra 𝒁.
Dicho de otra forma, cuando se tienen funciones de excitación y
respuestas forzadas complejas, a la constante de proporcionalidad entre
el voltaje y la corriente complejos en un elemento de circuito se le conoce
como impedancia del elemento, y es una función de la frecuencia de la
señal en consideración.
Impedancia y Admitancia
La impedancia, entonces se expresa de la siguiente manera:
La componente real de la expresión anterior corresponde a unaresistencia, y la parte imaginaria esta dada por una reactancia. Ambas seexpresan en ohms Ω , por lo tanto la impedancia también se expresa enohms. Así, entonces, 𝑅 = 𝑅𝑒 𝒁 ; 𝑋 = 𝐼𝑚 𝒁
De lo anterior resulta que existe una impedancia en un resistor, así como uninductor o un capacitor, cuando son alimentados por una función deexcitación compleja; ya que de alguna manera estos elementos seoponen al paso de la corriente eléctrica a través de ellos.
𝒁 = 𝑅 + 𝑗𝑋 Ω
Impedancia y Admitancia
La impedancia que posee una resistencia es 𝑍𝑅 = 𝑅 + 𝑗0 𝑜ℎ𝑚𝑠. Esto indica
que en una resistencia su impedancia tiene solo una parte real
𝑅 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 Ω) y no cuenta con una reactancia, que seria su parte
imaginaria.
En una inductancia la impedancia inductiva es 𝑍𝐿 = 0 + 𝑗𝑋𝐿; en la que se
ve que la parte real o resistencia es cero, y su parte imaginaria,
denominada reactancia inductiva, medida en ohms esta dada por:
𝑿𝑳 = 𝜔𝐿 Ω
Impedancia y Admitancia
Donde 𝜔 es la frecuencia de la señal eléctrica (en rad/seg) y L es la
inductancia del inductor (en henrys). De lo anterior se obtiene que la
impedancia inductiva es 𝑍𝐿 = 0 + 𝑗𝜔𝐿 ohms; cuyas componentes son cero
la parte real y 𝜔𝐿 para la parte imaginaria.
La impedancia capacitiva esta dada por 𝑍𝐶 = 0 − 𝑗𝑋𝐶. Al igual que en laimpedancia inductiva, esta no tiene parte real, y su parte imaginaria,
llamada reactancia capacitiva, también medida en ohms, se expresa
como
𝑿𝑪 =1
𝜔𝐶Ω
Impedancia y Admitancia
Donde 𝜔 es la frecuencia de la señal eléctrica (en rad/seg) y 𝐶 es la
capacitancia del capacitor (en farads). De lo anterior se obtiene que la
impedancia inductiva es 𝑍𝐿 = 0 +1
𝑗𝜔𝐶ohms; cuyas componentes son cero
la parte real y1
𝜔𝐶para la parte imaginaria.
Dado que la impedancia es una cantidad compleja, se puede definir
como una relación de voltaje fasorial a la corriente fasorial en un
elemento, o sea que:
𝑍(Ω) =𝑉(𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠)
𝐼(𝐴𝑚𝑝)
Impedancia y Admitancia
Pero esto no significa que la impedancia sea un fasor, aun cuando se
pueda representar como tal. De lo anterior se deriva que un inductor se
representa en el dominio del tiempo por su inductancia 𝐿, o bien en el
dominio de la frecuencia por su impedancia
𝑍𝐿 = 𝑗𝜔𝐿
Impedancia y Admitancia
De la misma manera que un capacitor puede representarse en el dominio
del tiempo por su capacitancia 𝐶 o en el dominio de la frecuencia por su
impedancia
En resumen, la impedancia es un concepto que forma parte del dominio
de la frecuencia y no del dominio del tiempo.
𝑍𝐶 =1
𝑗𝜔𝐶
Impedancia y Admitancia
Así entonces, cuando una señal en estado senoidal permanente actúa
sobre algún inductor (o un capacitor), la oposición que este presente al
paso de la corriente será dependiente tanto de su inductancia ( o
capacitancia) como de la frecuencia de la señal en consideración.
Que en el caso de la resistencia, la oposición al paso de la corriente es
independiente de la frecuencia y solo depende del valor óhmico (𝑅) del
elemento mismo.
Diagrama de Impedancia
Ahora que un ángulo se encuentra asociado con la Resistencia, la
reactancia inductiva y la reactancia capacitiva, cada uno podrá
colocarse en el diagrama en el plano complejo, como se muestra en la
siguiente figura 0
Diagrama de Impedancia
Diagrama de Impedancia
El resultado será un diagrama de impedancia que puede reflejar los niveles
de impedancia individuales y totales de una red de ca.
Si la impedancia total tiene un ángulo de 0𝑜, se dice que es de naturaleza
resistiva. Si se encuentra más cercana a 900, será de naturaleza inductiva y
si esta cercana a −90𝑜, tendrá una naturaleza capacitiva.
Configuración en Serie
Las propiedades generales de los circuitos de ca en
serie (figura 1) son las mismas que para los circuitos de
cd. Por ejemplo, la impedancia total de un sistema es la
suma de las impedancias individuales:
𝑍𝑇 = 𝑍1 + 𝑍2 + 𝑍3 +⋯+ 𝑍𝑁
Configuración en Serie
𝐼𝑚𝑝𝑒𝑑𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒
Configuración en Serie
𝐼𝑚𝑝𝑒𝑑𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒
Configuración en Serie
Para la configuración un circuito de ca en serie
representativa, que aparece en la figura anterior, tiene
dos impedancias, la corriente es la misma a través de
cada elemento (como lo fue en el caso de los circuitos
de cd en serie) y esta determinada por la ley de Ohm:
𝑍𝑇 = 𝑍1 + 𝑍2
𝐼 =𝐸
𝑍𝑇
Configuración en Serie
El voltaje en cada elemento se puede encontrar mediante otra aplicación
de la ley de ohm:
La ley de voltaje de Kirchhoff puede aplicarse entonces en la misma forma
que se utilizo para circuitos de cd. Sin embargo, tenga presente que ahora
estamos tratando con la manipulación algebraica de cantidades que
tienen tanto magnitud como dirección.
𝑉1 = 𝐼𝑍1 𝑉2 = 𝐼𝑍2
Configuración en Serie
O bien
La potencia al circuito se puede determinar mediante:
Donde 𝜃𝑇 es el ángulo de fase entre E e I
𝐸 − 𝑉1 − 𝑉2 = 0
𝐸 = 𝑉1 + 𝑉2
𝑃 = 𝐸𝐼𝑐𝑜𝑠𝜃𝑇
Ejemplo 1
Trace el diagrama de impedancia para el circuito de la
figura 2 y encuentre la impedancia total.
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 2
Solución
Como se indica la figura 3, la impedancia de entrada
puede encontrarse de forma grafica a partir del
diagrama de impedancia mediante la escala
adecuada de los ejes real e imaginario y encontrado la
longitud del vector resultante 𝑍𝑇 y el ángulo 𝜃𝑇 . O
mediante el algebra de vectores, se obtiene:
1 2
00 90
4 8
8.944 63.43
T
o
L
L
o
T
Z Z Z
R X
R jX j
Z
Solución
Ejemplo 2
Determine la impedancia de entrada para la red en
serie de la figura 4. Trace el diagrama de impedancia.
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 4
Solución
1 2 3
00 90 90
6 10 12 6 2
6.325 18.43
T
o o
L C
L C
L C
o
T
Z Z Z Z
R X X
R jX jX
R j X X j j
Z
Solución
El diagrama de impedancia aparece en la figura 5. Observe que en este
ejemplo, las reactancias inductivas y capacitivas en serie están en oposición
directa. Para el circuito de la figura 6 si la reactancia inductiva fuera igual a la
reactancia capacitiva, la impedancia de entrada seria puramente resistiva.
Solución
Circuitos de CA en SERIE
Ahora que se ha presentado el método general, se analizará con todo detalle
la más simple de las configuraciones para enfatizar las similitudes con el
análisis de circuitos de cd. En muchos de los circuitos que serán considerados,
a menudo utilizaran 3 + 𝑗4 = 5∠53.13𝑜 𝑦 4 + 𝑗3 = 5∠36.87𝑜 para asegurar que el
enfoque es lo mas claro posible y que no se pierda en complejidades
matemáticas.
R-L
R-L
Notación fasorial
𝑒 = 141.4𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 ⟹ 𝐸 = 100𝑉∠0𝑜
Como se denota en el siguiente circuito equivalente
R-L
𝑍𝑇 = 𝑍1 + 𝑍2 = 3Ω∠0𝑜 + 4Ω∠90𝑜 = 3Ω + 𝑗4Ω
𝑍𝑇 = 5Ω∠53.13𝑜
Diagrama de impedancia: Véase la siguiente figura
R-L
R-L
𝐼 =𝐸
𝑍𝑇=100𝑉∠0𝑜
5Ω∠53.13𝑜= 20𝐴∠ − 53.13𝑜
𝑉𝑅 𝑦 𝑉𝐿
Ley de Ohm:
𝑉𝑅 = 𝐼𝑍𝑅 = 20𝐴∠ − 53.13𝑜 3Ω∠0𝑜
= 60𝑉∠ − 53.13𝑜
𝑉𝐿 = 𝐼𝑍𝐿 = 20𝐴∠ − 53.13𝑜 4Ω∠90𝑜
= 60𝑉∠36.87𝑜
R-L
Ley de voltaje de Kirchhoff:
↷
𝑉 = 𝐸 − 𝑉𝑅 − 𝑉𝐿 = 0
O bien
𝐸 = 𝑉𝑅 + 𝑉𝐿
En forma rectangular
𝑉𝑅 = 60𝑉∠ − 53.13𝑜 = 36𝑉 − 𝑗48𝑉
𝑉𝐿 = 80𝑉∠ + 36.87𝑜 = 64𝑉 − 𝑗48𝑉
R-L
Y
𝐸 = 𝑉𝑅 + 𝑉𝐿 = 36𝑉 − 𝑗48𝑉 + 64𝑉 + 𝑗48𝑉 = 100𝑉 + 𝑗0
= 100𝑉∠0𝑜
Diagrama fasorial: Observe que para el diagrama fasorial de la figura
siguiente 𝐼 está en fase con el voltaje del resistor y se encuentra
atrasada con respecto al voltaje en el inductor por 𝟗𝟎𝒐
R-L
R-L
Potencia: La potencia total en watts entregada por el circuito es:
𝑃𝑇 = 𝐸𝐼𝑐𝑜𝑠𝜃𝑇 = 100𝑉 20𝐴 𝑐𝑜𝑠53.13𝑜 = 2000𝑊 0.6
= 𝟏𝟐𝟎𝟎𝑾
Donde 𝐸 e I son valores efectivos y 𝜃𝑇 es el ángulo de fase entre 𝐸 𝑒 𝐼, 𝑜:
𝑃𝑇 = 𝐼2𝑅 = 20𝐴 2 3Ω = 400 3 = 𝟏𝟐𝟎𝟎𝑾
Donde 𝐼 es el valor efectivo, o por ultimo
𝑃𝑇 = 𝑃𝑅 + 𝑃𝐿 = 𝑉𝑅𝐼𝑐𝑜𝑠𝜃𝑅 + 𝑉𝐿𝐼𝑐𝑜𝑠𝜃𝐿
= 60𝑉 20𝐴 𝑐𝑜𝑠0𝑜 + 80𝑉 20𝐴 𝑐𝑜𝑠90𝑜
= 1200𝑊 + 0
= 𝟏𝟐𝟎𝟎𝑾
R-L
Donde 𝜽𝑹 es el ángulo de fase entre 𝑽𝑹 𝒆 𝑰, 𝒚 𝜽𝑳 es el ángulo de fase entre
𝑽𝑳 𝒆 𝑰.
Factor de Potencia. El factor de potencia 𝑭𝒑 del circuito es 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝟑. 𝟏𝟑𝒐 =
𝟎. 𝟔 𝒂𝒕𝒓𝒂𝒔𝒂𝒅𝒐, donde 𝟓𝟑. 𝟏𝟑𝒐 es el ángulo de fase entre 𝑬 e 𝑰
Si escribimos la ecuación de potencia básica 𝑷 = 𝑬𝑰𝒄𝒐𝒔𝜽 de la siguiente
forma:
𝒄𝒐𝒔𝜽 =𝑷
𝑬𝑰
Donde 𝑬 𝒆 𝑰 son las cantidades de entrada y 𝑷 es la potencia entregada a la
red, y luego realizamos las siguientes situaciones a partir del circuito básico de
ca en serie:
R-L
𝒄𝒐𝒔𝜽 =𝑷
𝑬𝑰=𝑰𝟐𝑹
𝑬𝑰=𝑰𝑹
𝑬=𝑹
𝑬/𝑰=𝑹
𝒁𝑻
Encontramos que
𝑭𝑷 = 𝒄𝒐𝒔𝜽𝑻 =𝑹
𝒁𝑻
Para el presente caso tenemos que:
𝑭𝑷 = 𝒄𝒐𝒔𝜽𝑻 =𝑹
𝒁𝑻=𝟑𝛀
𝟓𝛀= 𝟎. 𝟔 𝒂𝒕𝒓𝒂𝒔𝒂𝒅𝒐
Como se encontró antes
Regla del Divisor de Voltaje
En circuitos de CA, el formato básico para la regla de divisor de
voltaje es exactamente el mismo que para circuitos de cd
𝑉𝑋 =𝑍𝑋𝐸
𝑍𝑇
Donde 𝑉𝑋 es el voltaje en uno o mas elementos en serie que tienen
impedancia total de 𝑍𝑋, 𝐸 es el voltaje total que se presenta en el
circuito en serie, y 𝑍𝑇 es la impedancia total del circuito en serie.
Problema
Utilizando la regla del divisor de voltaje, encuentre el voltaje en
cada elemento del circuito mostrado en la siguiente figura
Solución
𝑉𝐶 =𝑍𝐶𝐸
𝑍𝐶 + 𝑍𝑅=4Ω∠ − 90𝑜 100𝑉∠00
4Ω∠ − 90𝑜 + 3Ω∠00=400∠ −90𝑜
3 − 4𝑗
𝑉𝐶 =400∠ −90𝑜
5∠ − 53.13𝑜= 80𝑉∠ − 36.87𝑜
𝑉𝐶 =𝑍𝑅𝐸
𝑍𝐶 + 𝑍𝑅=3Ω∠0𝑜 100𝑉∠00
5Ω∠ − 53.130=300∠0𝑜
5Ω∠ − 53.130
𝑉𝐶 =300∠0𝑜
5Ω∠ − 53.130= 60𝑉∠ + 53.13𝑜