CAPTULO 4

4. RESPUESTA FORZADA GENERALIZADA

4.1. Funcin de respuesta impulsiva

Una causa comn de las vibraciones se debe a la aplicacin repentina de una fuerza (por lo general de gran magnitud) de tiempo de aplicacin muy corto , la cual produce un impulso () (dada por el rea sombreada de la Fig. 3, que puede considerarse como un pulso rectangular), cuyo valor se calcula mediante la relacin:(1)

F(t)t

Fig. 1. Esquema general de una vibracin generada por una causa impulsiva.Fig. 2. El mazo (tup) cae sobre el yunque (anvil), haciendo que el cimiento (foundation block) absorba la vibracin generada.Fig. 3. Diagrama fuerza vs tiempo de una fuerza que genera una respuesta impulsiva vibratoria.

Ntese que el impulso no necesariamente se aplica desde t = 0, sino mas bien desde un instante ; sin embargo, cuando 0, el impulso puede ser muy grande. Cuando I es unitario, y se aplica desde t = 0, la fuerza en el caso lmite ( 0) se denomina impulso unitario, funcin impulsiva o FUNCIN DELTA DE DIRAC[footnoteRef:1], tal que f = = (t), definida de la siguiente manera: [1: Debe tenerse en cuenta que la funcin delta de Dirac en un instante t = tiene dos propiedades:(t ) = 0, para t .Siendo 0 < t < . As, un impulso de magnitud , que acta en t = , puede denotarse como F(t) = I (t ).]

(2)

En nuestro caso, el impulso producido por F(t) ser:(3)

Si consideramos que en t = 0 acta un impulso unitario f, entonces:

(4)

Consideremos ahora = 0 para una masa inicialmente en reposo, en las condiciones iniciales x(0+) = x(0-) = x(0) = 0. El cambio en el momento lineal debido al impulso ser:

Es decir, un impulso aplicado a un sistema masa resorte es lo mismo que aplicar un desplazamiento inicial igual a cero (x0 = 0) y una velocidad v0, tal que: (5)

Sabiendo adems que la respuesta libre de un sistema sub-amortiguado (0 < < 1) se obtiene a partir de la ecuacin diferencial:

Cuya solucin exacta, como se sabe, es:

En nuestro caso: x0 = 0, v0 = I/m, por lo que la ecuacin anterior queda de la siguiente manera:

(6)

Expresando esta relacin en trminos de un impulso unitario h(t), tal que x(t) = Ih(t), se obtiene:(7)

siendo h(t) la respuesta a un impulso unitario aplicado en t = 0. Si el impulso fuera aplicado en t = , la expresin anterior ser:

(8)

resultado vlido para t > , y cero para 0 < t < , siendo h(t) y h(t ) funciones de respuesta impulsiva.

4.2. Funcin de respuesta arbitraria

En este caso se puede emplear las respuestas impulsivas halladas en 4.1.

Para cada intervalo de tiempo, la respuesta individual es:

Aplicando el principio de superposicin, la respuesta total ser, despus de j intervalos:

Antes de dar la expresin final para la respuesta de la fuerza, el alumno debe recordar que:

(9)

Es la integral conocida como la integral de Duhamel o convolucin de dos funciones reales f(x) y g(x), la cual puede ser resuelta fcilmente con sus propiedades relacionadas.

Ahora, ya que para un sistema sub-amortiguado la respuesta unitaria viene dada por la relacin (8), y teniendo en cuenta la relacin (9), se tendr entonces que la respuesta total generada por la fuerza arbitraria ser:

(10)