Incertidumbre

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CUANTIFICACIÓN DE FENÓMENOS NATURALES

(AGOSTO 2006) LA FISICA ES UNA CIENCIA EXPERIMENTAL Se consideran ciencias experimentales aquellas que por sus características y particularmente por el tipo de problemas de los que se ocupan; pueden someter sus afirmaciones o enunciados al juicio de la experimentación. En un sentido científico la experimentación hace alusión a una observación controlada; en otros términos, experimentar es reproducir en el laboratorio el fenómeno en estudio con la posibilidad de variar a voluntad y de forma precisa las condiciones de observación. La física es un ejemplo de ciencia experimental. Su historia pone de manifiesto que la experimentación ha desempeñado un doble papel en su desarrollo. Con frecuencia, los experimentos científicos sólo pueden ser entendidos en el marco de una teoría que orienta y dirige al investigador sobre qué es lo que hay que buscar y sobre qué hipótesis deberán ser contrastadas experimentalmente. Además, los resultados de los experimentos generan información que sirve de base para una elaboración teórica posterior. Este doble papel de la experimentación como juez y guía del trabajo científico se apoya en la realización de medidas que facilitan una descripción de los fenómenos en términos de cantidad. La medición constituye entonces una operación clave en las ciencias experimentales. SISTEMAS DE UNIDADES En las ciencias físicas tanto las leyes como las definiciones relacionan matemáticamente entre sí grupos, por lo general amplios, de magnitudes. Sin embargo, es posible seleccionar un conjunto reducido pero completo de ellas, de tal modo que cualquier otra magnitud pueda ser expresada en función de dicho conjunto. Esas pocas magnitudes seleccionadas se denominan magnitudes fundamentales, en tanto que el resto, que pueden expresarse en función de las fundamentales, reciben el nombre de magnitudes derivadas. Cuando se ha elegido ese conjunto reducido y completo de magnitudes fundamentales y se han definido correctamente sus unidades correspondientes, se dispone de un sistema de unidades. La definición de unidades dentro de un sistema se atiene a diferentes criterios. Por ejemplo, la unidad ha de ser constante, como corresponde a su función de cantidad de referencia equivalente para las diferentes mediciones, pero también ha de ser reproducible con relativa facilidad en un laboratorio. MAGNITUDES Y MEDIDA El gran físico inglés Lord Kelvin, consideraba que nuestro conocimiento solamente puede aceptarse como satisfactorio, si somos capaces de expresarlo mediante números. Aún cuando la afirmación de Lord Kelvin tomada al pie de la letra supondría la descalificación de valiosas formas de conocimiento, destaca la importancia del conocimiento cuantitativo, particularmente en la ciencia que él profesaba. La operación que permite expresar una propiedad o atributo físico en forma numérica es precisamente la medida. Magnitud, cantidad y unidad. La noción de magnitud está inevitablemente relacionada con la de medida. Se denominan magnitudes ciertas propiedades o aspectos observables de un sistema físico que pueden ser expresados en forma numérica. En otros términos, las magnitudes son propiedades o atributos medibles. La longitud, la masa, el volumen, la fuerza, la velocidad y la cantidad de sustancia, son ejemplos de magnitudes físicas. En el lenguaje de la física la noción de cantidad se refiere al valor que toma una magnitud dada en un cuerpo o sistema concreto; la longitud de una mesa, la masa de una moneda, el

volumen de un balín, son ejemplos de cantidades. Una cantidad de referencia se denomina unidad y el sistema físico que encarna la cantidad considerada como una unidad, se denomina patrón. La medida como comparación. La medida de una magnitud física supone, en último extremo, la comparación del objeto que encarna dicha propiedad con otro de la misma naturaleza que se toma como referencia y que constituye el patrón. UNIDADES FUNDAMENTALES UTILIZADAS EN LA DINÁMICA Y SU DEFINICION EN EL SISTEMA INTERNACIONAL.

Magnitud física

Unidad Símbolo Definición de la unidad

Longitud metro m En 1889 se definió el metro patrón como la distancia entre dos finas rayas de una barra de aleación platino-iridio que se encuentra en el Museo de Pesas y Medidas de París. El interés por establecer una definición más precisa e invariable llevo en1960 a definir el metro como “1,650,763.73 veces la longitud de onda de la radiación rojo naranja (transición entre los niveles 2p10 y 5d5) del átomo de kriptón 86 (86Kr). A partir de 1983 se define como “la distancia recorrida por la luz en el vacío en 1/299,792,458 segundos”.

Masa kilogramo kg En la primera definición el kilogramo fue considerado como “la masa de un litro de agua destilada a la temperatura de 4ºC. En 1889 se definió el kilogramo patrón como “la masa de un cilindro de una aleación de platino e iridio que se conserva en el Museo de Pesas y Medidas de Paris. En la actualidad se intenta definir de forma más rigurosa, expresándola en función de las masas de los átomos.

Tiempo segundo s Su primera definición fue: “el segundo es la 1/86,400 parte del día solar medio”. Pero con el aumento en la precisión de medidas de tiempo se ha detectado que la Tierra gira cada vez más despacio (alrededor de 5 ms por año), y en consecuencia se ha optado por definir el segundo en función de constantes atómicas. Desde 1967 se define como “la duración de 9,192,631770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado natural del átomo de cesio-133”.

EJEMPLOS DE UNIDADES DERIVADAS UTILIZADAS EN LA DINÁMICA

sm para la rapidez, que es la distancia recorrida por un cuerpo en la unidad de tiempo.

2sm para la aceleración, que expresa el cambio de velocidad de un cuerpo en la unidad de tiempo.

(N) Newton. Es la fuerza que aplicada a un cuerpo que tiene una masa de 1 kilogramo, le

comunica una aceleración de 1 metro por segundo, cada segundo ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

= 2smkgN .

(J) Julio. Trabajo producido por una fuerza de un newton cuando su punto de aplicación se

desplaza la distancia de un metro en la dirección de la fuerza ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=⋅= 2

2

smkgmNJ .

2

(W) watt. Potencia que da lugar a una producción de energía igual a 1 joule por segundo.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=

⋅== 3

2

smkg

smN

sJW

MEDIDAS, RESULTADOS Y ERRORES Fuentes de error. Los resultados de las medidas nunca se corresponden con los valores reales de las magnitudes a medir, sino que, en mayor o menor extensión, son defectuosos, es decir, están afectados de error. Las causas que motivan tales desviaciones pueden ser debidas al observador, al aparato o incluso a las propias características del proceso de medida. Un ejemplo de error debido al observador es el llamado error de paralaje que se presenta cuando la medida se efectúa mediante la lectura sobre una escala graduada. La situación del observador respecto de dicha escala influye en la posición de la aguja indicadora según sea vista

ituarse en línea con la aguja, pero perpendicularmente al plano de la escala. Actualmente,

por el observador. Por ello, para evitar este tipo de error es preciso s

la mayoría de

errores debidos l aparato de medida. Tal es

el caso

La figura de arriba muestra cómo ejemplo la carátula de un multímetro, y

las condiciones de medida debidas a alteraciones ambientales, como pueden ser

los instrumentos de este tipo cuentan con un espejo situado en el indicador de lectura, de modo que una lectura correcta es aquella que es tomada desde una posición desde la cual la aguja y su imagen en el espejo coinciden. Otros errores debidos al observador pueden introducirse por descuido de este, por defectos visuales, etc.

Son, asimismo, frecuentes losa

del llamado error del cero. El uso sucesivo de un

aparato tan sencillo como una báscula hace que al cabo de un cierto tiempo en ausencia de peso alguno, la aguja no señale el cero de la escala. Para evitar este tipo de error los fabricantes incluyen un tornillo o rueda que permite corregirlo al iniciar cada medida.

algunos de los elementos descritos anteriormente. Variaciones encambios de presión o de temperatura o a las propias características del proceso de medida, constituyen otras posibles fuentes de error. La interacción entre el sistema físico y el aparato de medida constituye la base del proceso de medida; pero dicha interacción perturba en cierto grado las condiciones en las que se encontraba el sistema antes de la medida.

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MEDICIÓN E INCERTIDUMBRE Cuando requerimos hacer una medición, por ejemplo de la longitud de un objeto, quizá no estemos seguros de afirmar que tiene un valor preciso. En todo caso, quizá solamente podamos afirmar que su valor está comprendido entre, digamos 29.4 y 29.5 centímetros. En física e ingeniería se requiere, sin embargo, tanto para propósitos de descripción o de cálculos posteriores, enunciar de otra forma (equivalente) este valor. Para ello, tomamos el valor mayor y le restamos el valor menor. Al resultado (0.1cm en nuestro caso) lo dividimos entre dos. En el caso que tratamos obtendremos el valor 0.05 cm. Ahora sumamos este valor al menor valor que consideramos en nuestra medición y escribimos el valor del intervalo espacial medido en la forma: 29.45 ± 0.05 cm. De esta manera hemos obtenido una forma abreviada de expresar nuestra medición, ya que al restar el segundo número obtenemos el menor valor considerado para el intervalo medido (29.4 cm), en tanto que al sumarlo obtenemos el mayor (29.5 cm). Esta nueva forma de mostrar el resultado de una medición tiene ciertas ventajas. Nos da un valor central, de 29.45 cm, el cual podemos utilizar en cálculos posteriores y además nos da otro valor, ± 0.05 cm, que se conoce como "la incertidumbre" de la medida, mediante el cual podemos juzgar la calidad del proceso de medición y que es útil en cálculos posteriores de incertidumbres. Como esta cifra (0.05 cm) representa la magnitud o el intervalo en que la lectura de 29.45 es incierta, a menudo se le llama la "incertidumbre absoluta" de la medida, nombre que utilizaremos consistentemente. Para tener una mejor idea de la precisión de nuestra medida, se utiliza otro parámetro, denominado "incertidumbre relativa". Esta se define de la forma siguiente:

medidovalorabsolutabreIncertidum

relativabreIncertidum =

En el caso de nuestro ejemplo: 0016977.045.2905.0

==cmcmrelativabreIncertidum

Esta incertidumbre relativa generalmente se cita como un porcentaje, de modo que en este caso, la incertidumbre relativa sería de 0.1697 %. Esa cantidad nos da un sentido mucho mejor de la calidad de la lectura, y a menudo la llaman la "precisión" de la medida. Note que la incertidumbre absoluta tiene las mismas dimensiones y unidades que la medida básica (29.45 cm es incierta en 0.05 cm), en tanto que la incertidumbre relativa, por ser un cociente, no tiene dimensiones o unidades, siendo sólo un número. En este caso debemos, además, adoptar un cierto criterio para redondear nuestro resultado. Como el cronómetro solamente puede medir hasta milésimas de segundo, no tiene caso que tomemos tanta cifra. Por otro lado, como el porcentaje es significativo generalmente hasta la segunda cifra decimal, redondeando, podemos expresar la incertidumbre relativa en la forma, 0.0017 o 0.17 %.

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Existen instrumentos, como por ejemplo los cronómetros, cuya lectura "avanza" en una sola dirección. En este caso es costumbre tomar para el valor de la incertidumbre absoluta, la mitad de la diferencia entre el valor de la lectura actual y la que a continuación marcará el instrumento. Por ejemplo, si al medir el tiempo que le toma a un objeto cruzar una cierta distancia, obtenemos el valor, 0.023 segundos (s), el valor de la incertidumbre absoluta será 0.0005 s , ya que es lo que obtenemos al tomar la mitad de la diferencia entre el actual valor (0.023 s) y el que a continuación hubiera marcado el cronómetro de no haberlo detenido (0.024 s). De modo que el valor de la incertidumbre relativa será:

021739.0023.00005.0

==ssrelativabreIncertidum o 2.1739 %. Aplicando el criterio acordado

anteriormente sobre el redondeo, tendremos que la incertidumbre relativa es: 0.0217 o 2.17 %. Un análisis simple de la situación anteriormente presentada nos permitirá comprender el siguiente criterio generalmente aceptado para determinar la incertidumbre de una lectura atribuida al instrumento con el cual se realizó. La incertidumbre de una lectura es igual a la mitad del valor de la unidad (parte más pequeña de graduación de la escala) indicada en la escala (debe tomarse en cuenta que en algunos instrumentos la lectura debe multiplicarse por un cierto factor ). Aclaremos esto con un ejemplo. Al medir la resistencia de un circuito eléctrico se obtiene una lectura como la indicada en la figura anexa. Podemos ver que la aguja nos indica un valor comprendido entre 18 y 20 Ohms. Ahora bien, en la región en que se encuentra la aguja, cada unidad en la escala tiene un valor de 2 Ohms. De acuerdo con el criterio enunciado, la incertidumbre en la lectura será de ± 1 Ohm. Así, de acuerdo con el criterio de cálculo del valor principal, la resistencia tendrá un valor R = (19 ± 1) Ohms. Ahora bien, el selector del multímetro nos indica que la lectura obtenida debe multiplicarse por 10, de modo que finalmente obtenemos que R = (190 ± 10) Ohms. Como segundo ejemplo analicemos la medición de la longitud de una tarjeta telefónica. Cómo se muestra en la figura siguiente, claramente podemos ver que el valor de este parámetro es menor que un decímetro, de modo que si quisiéramos expresar el valor de su longitud utilizando como unidad de medición la escala de decímetros tendríamos que esta sería: Longitud = (0.5 ± 0.5) dm. Ahora bien, si utilizamos como unidad de medición la escala de centímetros, el valor será: Longitud = (8.5 ± 0.5) cm.

La figura siguiente muestra una ampliación de la anterior, y en ella podemos ver claramente que la longitud de la tarjeta queda comprendida entre los 86 y los 87 mm. Tomando en cuenta los criterios para determinar la incertidumbre, tendremos que: Longitud = (86.5 ± 0.5 ) mm Observe que en cada caso la incertidumbre es igual a la mitad de la unidad de la escala (decímetros, centímetros y milímetros) utilizada en el proceso de medición.

ESTADÍSTICA DE LA OBSERVACIÓN Cuando se realizan varias mediciones de un parámetro, deben efectuarse varios pasos con el fin de reportar en forma adecuada el resultado obtenido, así como de poder utilizar dicho resultado en procedimientos posteriores. Supongamos, por ejemplo, que se midió el tiempo que tarda un objeto en recorrer una cierta distancia y se obtuvieron los siguientes resultados (en segundos) : 15, 15.5, 16.5, 16.7, 18.4, 19.3, 18.7, 16.4, 17.6, 18.7 y 17.4.

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El primer paso que debemos seguir consiste en ordenar (por ejemplo de menor a mayor) los datos obtenidos: 15, 15.5, 16.4, 16.5, 16.7, 17.4, 17.6, 18.4, 18.7, 18.7 y 19.3. a) Moda de una distribución de datos : La moda en una distribución de datos, es el valor que mayor número de veces aparece. Cuando son dos los datos que aparecen con mayor frecuencia, se dice que tenemos una distribución bimodal. En nuestro ejemplo la moda es: 18.7 s. b) Mediana de una distribución de datos: Si colocamos nuestros resultados en orden numérico y los dividimos a la mitad en dos partes iguales, el valor correspondiente a esta línea divisoria se llama mediana. Cuando el número de datos es par, se indica entre cuales valores queda comprendida la mediana. En el ejemplo la mediana es: 17.4 s. c) Media o promedio de una distribución : El promedio o media de una distribución de datos se obtiene sumando todos los valores y dividiendo entre el número de datos.

Matemáticamente esto se expresa en la forma: xN

ix=∑

Aquí, el término que aparece en el

numerador significa que serán sumados los datos xi, y N es el número de ellos. En nuestro ejemplo la media es:

MediaN

six= =+ + + + + + + + + +

=∑ 15 15 5 16 4 16 5 16 7 17 4 17 6 18 4 18 7 18 7 19 3

1117 29. . . . . . . . . . .

Generalmente se acostumbra redondear el promedio de modo que tenga el mismo número de cifras significativas que los valores de la distribución. Así en nuestro ejemplo, el promedio será igual a 17.3 s. d) Desviación absoluta de una medición : Para encontrar la desviación absoluta de una medición, se toma el valor absoluto de la diferencia entre el promedio y dicha medición. Por ejemplo, si queremos calcular la desviación absoluta del segundo de nuestros datos tendremos: 15 5 17 3 1 8. .s s− = . s e) Incertidumbre absoluta de una distribución: Para encontrar la incertidumbre absoluta de una distribución de datos, debemos: i) Encontrar la media o promedio y redondearlo. ii) Encontrar la desviación absoluta del menor valor de la distribución. iii) Encontrar la desviación absoluta del mayor valor de la distribución. La incertidumbre absoluta será igual al mayor de dichos valores. Al referirse a ella debe considerarse tanto su valor positivo como negativo: Encontremos la incertidumbre absoluta de la distribución de nuestro ejemplo: i) El promedio es 17.3 s ii) La desviación absoluta del menor valor es: 17 3 15 2 3. .− = s iii) La desviación absoluta del mayor valor es : 19 3 17 3 2. .− = s Así, la incertidumbre absoluta de la distribución de nuestro ejemplo es ±2.3 s, por lo que el valor representativo de dicha serie de mediciones es: 17.3 ± 2.3 s f) Incertidumbre relativa de una distribución: Para encontrar la incertidumbre relativa de una distribución de datos, debemos tomar el valor de la incertidumbre absoluta y dividirlo entre el promedio: Es decir:

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Incertidumbre relativa Incertidumbre absolutaomedio

=Pr

Así, en nuestro ejemplo : 133.03.173.2

±==relativabreIncertidum ó 13.3 %

INCERTIDUMBRES EN FUNCIÓN DE UNA VARIABLE

En la física tratamos de establecer relaciones entre los valores que toman los diversos parámetros que describen los fenómenos. Por ejemplo, en la mecánica tratamos de establecer relaciones, digamos, entre la distancia que recorre un cuerpo en caída libre y el tiempo que tarda en recorrerla. Ahora bien, si hemos realizado varias mediciones del tiempo y encontrado que la distancia x depende del tiempo t en la forma x = f(t), sería interesante conocer la incertidumbre δx en función de la incertidumbre calculada para la distribución de datos de t, es decir δt. La función x = f(t) nos permite calcular el valor requerido x0 a partir de un valor medido t0. Más aún, la posibilidad de que t pueda variar de t0 - δt a t0 + δt , implica un intervalo de posibles valores de x de x0 - δx a x0 + δx. Se trata de calcular el valor de δx. Consideremos un ejemplo sencillo. Sea que por ejemplo, hemos determinado que la distancia recorrida depende del tiempo en la forma y = k·t2, donde y es la distancia, k una constante y t el tiempo. Si t puede variar entre t0 - δt y t0 + δt, entonces y puede variar entre y0 - δy y y0 + δy, lo cual se expresa en la forma:

( ) ( )[ ]20

20

200 2 ttttkttkyy δδδδ +⋅⋅±=±=± Podemos ignorar (δt)2, puesto que δt

se supone que es pequeña comparada con t0, e igualar y0 con k·(t0)2, lo que nos permite calcular el valor para δy: δy = k · 2 · t0 · δt . Este resultado puede expresarse más convenientemente en términos de la incertidumbre relativa δy/y0:

δ δ δyy

k t tk t

tt0

0

02

0

2 2=⋅ ⋅ ⋅

⋅= , así que la incertidumbre relativa del valor calculado en este

caso es dos veces la de la medición inicial. Utilizando el cálculo diferencial es posible calcular de forma rápida las incertidumbres de funciones de una variable. A continuación daremos únicamente algunos resultados que son útiles en la mecánica o en algunas otras áreas de la física.

a) Potencias: Si z x tendremos que z n x x y zz

n xx

n n= = ⋅ ⋅−δ δ =δ δ1

b) Funciones trigonométricas:

Si ( ) xxzz

yxxzquetendremosxz δδ

δδ ⋅=⋅== cotcossen

c) Funciones logarítmicas y exponenciales:

Si z x tendremos que z xx

y zz

xx x

= = =⋅

lnln

δ δ δ δ

Si z e tendremos que z e x y zz

xx x= = ⋅δ δ =δ δ

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INCERTIDUMBRES EN FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

En los casos en que una función sea expresada en términos de los valores de dos parámetros para los cuales se han obtenido varios valores, y encontrado sus respectivas incertidumbres, el cálculo diferencial nos permite obtener la forma en que tales incertidumbres afectan a dicha función. A continuación mostramos algunos resultados de uso común en la física. Suponemos que z = f(x,y) siendo x y y las variables independientes a las cuales corresponden los valores de los parámetros físicos medidos. Nota : Al realizar las operaciones indicadas, deben tomarse solamente los valores positivos para las incertidumbres, pero deben añadirse ambos signos al resultado. a) Suma de dos variables:

Si yx

yxzzquemientrasyxzquetenemosyxz

++

=+=+=δδδ

δδδ

b) Diferencia de dos variables:

Si yx

yxzz

quemientrasyxzquetenemosyxz−+

=+=−=δδδ

δδδ

Note que el valor para la incertidumbre de la suma de dos variables, es igual a la correspondiente a su diferencia. c) Producto de dos variables:

Si yy

xx

zz

quemientrasyxxyzquetenemosyxzδδδ

δδδ +=⋅+⋅=⋅=

d) Producto de dos variables elevadas a diferentes potencias: yyxbxyxazquetenemosyxz bababa δδδ 11 −− ⋅⋅+⋅⋅=⋅=

mientras que zz

a xx

b yy

δ δ δ= +

e) Cociente de dos variables:

Si yy

xx

zzquemientras

yyxxyzquetenemos

yxz

δδδδδδ +=

⋅+⋅== 2

Aplicaremos este último resultado para encontrar la incertidumbre en el cálculo de la rapidez de un objeto: Supongamos que la distancia (29.5 ± 0.1) cm es recorrida por un objeto en un tiempo de (17.3 ± 2.3) s. Puesto que la rapidez media V es definida como

V = distancia recorridatiempo empleado

=dt

, tendremos que V = 29.5 cm17.3 s

= 1 71. cms . Ahora bien, nos interesa

conocer la incertidumbre en la rapidez calculada para el objeto. Como la función es el cociente de dos variables, tendremos lo siguiente:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) scm

scmsscm

tdttdV 23.0

3.171.03.173.25.29

22 =⋅+⋅

=⋅+⋅

=δδδ

Así, el valor corregido para la rapidez (teniendo en cuenta la incertidumbre) será: V = (1.71 ± 0.23) cm / s. De manera similar, la incertidumbre relativa será :

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%6.13136.03.173.2

5.291.0 ó

ss

cmcm

tt

dd

VV

=+=+=δδδ

HISTOGRAMA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE DATOS.

A fin de mostrar las características de las mediciones realizadas con más claridad, se acostumbra valerse de algún tipo de representación gráfica. Una forma común de presentación es el histograma, el cual es un diagrama de barras. Para construir este diagrama, se divide la escala sobre la cual se extienden las mediciones en intervalos, y se determina cuántos valores corresponden a cada intervalo. Luego se grafican estas cantidades en una escala vertical, en función de los intervalos. De esta manera, podemos apreciar fácilmente cómo se distribuyen los valores a lo largo de la escala. Normalmente encontramos que los resultados tienden a presentarse en mayor número en la mitad del rango. En tal caso se dice, que las observaciones (mediciones) tienen una "tendencia central". A veces se acostumbra indicar además en el histograma otros valores de "tendencia central" como son la media, la moda y la mediana. Finalmente, vamos a ejemplificar la realización de un histograma con el correspondiente a la distribución de datos que hemos estado tratando, es decir : 15, 15.5, 16.4, 16.5, 16.7, 17.4, 17.6, 18.4, 18.7, 18.7 y 19.3 (segundos). Podemos observar que contamos con once datos. Vemos que van entre 15 y 119.3. Podríamos por ejemplo tomar el número entero más próximo pero mayor al valor superior de la distribución, es decir 20, y luego el menor de la distribución y obtener el valor del intervalo : 20 - 15 = 5. A continuación, como tenemos relativamente pocos datos, decidimos agruparlos en cuatro grupos con el mismo intervalo, así que 5/4 =1.25. Los grupos que nos quedan, y los valores que en ellos quedan comprendidos son: Rango Valores comprendidos

en dicho rango. Número de valores que caen en el rango

Iguales o mayores a 15 y menores de 16.25

15,15.5 2

Iguales o mayores a 16.25 y menores de 17.50

16.4, 16.5, 16.7, 17.4 4


17.6, 18.4, 18.7, 18.7 4


19.3 1

15 16.2517.50

18.75 20 segundos

1

2

3

4

FRECUENCIA

Mediana (17.4)Media (17.3)

Moda (17.4)

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Incertidumbre

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