Dependencia lineal

Dependencia lineal.

Ejemplo:Sean INCLUDEPICTURE "http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Algebra-Lineal/html-alcides/img81.gif" \* MERGEFORMATINET

y vectores en . Determine si y son linealmente dependientes.

Solucin Supngase que existen y tales que

Multiplicando la primera ecuacin por -2, la segunda por 1 y luego sumndolas, se tiene

Sustituyendo el valor de en la ecuacin

Como el sistema de ecuaciones (I) tiene infinitas soluciones, entonces y son linealmente dependientes, pues, por ejemplo, se puede tomar , de donde y .

Teorema Sean v1, v2,, v3,,..., vn vectores de un espacio vectorial real V. Se dice que v1, v2,, v3,,..., vn son linealmente dependientes si uno cualesquiera de estos vectores se puede representar como combinacin lineal de los otros n 1 vectores, esto es, si es posible determinar (1, (2, ..., (i-1, (i+1,..., (n tales que vi = (1v1 + (2v2 + ...+ (i-1vi-1 + (i+1vi+1 +...+ (nvn.

Ejercicios

1. Sean , y vectores en . Determine si son vectores linealmente dependientes.

2. Sean y vectores en . Utilizando el criterio anterior, determine si son linealmente dependientes.

Vectores paralelos

Definicin Sean y dos vectores de un espacio vectorial V. Se dice que y son paralelos, si y son linealmente dependientes, y por el teorema anterior, se puede decir que y son paralelos si existe un nmero real tal que .

Ejercicios En cada uno de los casos siguientes, determine si cada par de vectores dados son paralelos.

Independencia lineal

Ejemplo:Sean y vectores en . Determine si y son linealmente independientes.

Solucin Sopngase que existen y tales que

Multiplicando la ecuacin uno por 2, la ecuacin dos por 1, y luego sumando estas ecuaciones se obtiene que

Sustituyendo este valor de en la ecuacin tres se tiene que

Por lo que, , pues , y sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones anteriores los valores de y obtenidos, se tiene que tambin . Como entonces se concluye que son linealmente independientes.

Teorema

Sean dos vectores en tales que , y sea

Teorema

Sean vectores en tales que , y sea

Si D , entonces son vectores linealmente dependientes, en caso contrario, son linealmente independientes.

Ejercicios

1. Sean y . Verifique que y son linealmente independientes.

2. Determine si los siguientes vectores son dependientes o linealmente independientes.

u = (-4, 5), v = (2, 7)

u = (3, 5, -2), v = (-3, 0, 4), w = (3, 1, 2).

3. Sean u,v y w vectores linealmente independientes en un espacio vectorial V. Determine si los vectores A, B y C son linealmente independientes o linealmente dependientes sabiendo que A = 3u - w, B = u + 2v y C = v - 3w.

Definicin:

Sean INCLUDEPICTURE "http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Algebra-Lineal/html-alcides/img56.gif" \* MERGEFORMATINET vectores de un espacio vectorial real V. Se dice que INCLUDEPICTURE "http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Algebra-Lineal/html-alcides/img56.gif" \* MERGEFORMATINET son linealmente dependientes si para cualesquiera nmeros reales INCLUDEPICTURE "http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Algebra-Lineal/html-alcides/img58.gif" \* MERGEFORMATINET tales que cumplan

INCLUDEPICTURE "http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Algebra-Lineal/html-alcides/img77.gif" \* MERGEFORMATINET

entonces existe algn INCLUDEPICTURE "http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Algebra-Lineal/html-alcides/img78.gif" \* MERGEFORMATINET en INCLUDEPICTURE "http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Algebra-Lineal/html-alcides/img79.gif" \* MERGEFORMATINET tal que INCLUDEPICTURE "http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Algebra-Lineal/html-alcides/img80.gif" \* MERGEFORMATINET .

Definicin

Sean INCLUDEPICTURE "http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Algebra-Lineal/html-alcides/img56.gif" \* MERGEFORMATINET vectores de un espacio vectorial real V. Se dice que INCLUDEPICTURE "http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Algebra-Lineal/html-alcides/img56.gif" \* MERGEFORMATINET son linealmente independientes si para cualesquiera nmeros reales INCLUDEPICTURE "http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Algebra-Lineal/html-alcides/img58.gif" \* MERGEFORMATINET tales que cumplan

INCLUDEPICTURE "http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Algebra-Lineal/html-alcides/img104.gif" \* MERGEFORMATINET

entonces, para todo INCLUDEPICTURE "http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Algebra-Lineal/html-alcides/img78.gif" \* MERGEFORMATINET , con INCLUDEPICTURE "http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Algebra-Lineal/html-alcides/img105.gif" \* MERGEFORMATINET se cumple que INCLUDEPICTURE "http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Algebra-Lineal/html-alcides/img106.gif" \* MERGEFORMATINET .