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UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
INECUACIONES
Curso : Matemática I
Profesor : Lic. Danilo Atoche García.
Integrantes :
Seminario Beltrán Edwin.
Ruesta Rivera Joseliana.
Silva Ancajima Emilio Pierre.
Maza Grau Juan Alberto.
Rodríguez Rodríguez Royer.
Zapata Sánchez Heidy.
López Sandoval Kevin Arnold.
Mijahuanga Castillo Carlos.
-2012-
3
EJERCICIOS
1. Si a y b son números positivos desiguales, demostrar que: 2 2a b
a bb a
0a
0b
0a b
2
0a b
2
( ) 0a b a b
3 2 2 3 0a a b ab b
3 3 2 2a b a b ab Dividimos entre ab
2 2a ba b
b a
2 2a ba b
b a L.Q.Q.D
2. Si a , b y c son números positivos distintos, demostrar que:
2 2 2 23a b c a b c
0a
0b
2
0a b 2 2 2a b ab
2
0b c 2 2 2b c bc
2
0a c 2 2 2a c ac
Sumamos: 2 2 22 2 2 2 2 2a b c ab bc ac
Sumamos 2 2 2a b c a ambos miembros
2 2 2 2 2 23 3 3 2 2 2a b c a b c ab bc ac
Factorizando: 22 2 23( )a b c a b c
Por lo tanto: 2 2 2 23a b c a b c L.Q.Q.D
4
3. Si a y b son números positivos distintos, demostrar que:
2
3 3 2 2a b a b a b
0a
0b
0a b
0ab
2
0a b
2 2 2a b ab
Multiplicamos por ab
2 2 2 22ab a b a b
Sumamos 4 4a b
4 2 2 4 2 2 4 42a ab a b b a b a b
2
4 3 3 4 2 2a a b ab b a b
Agrupamos para factorizar: 2
3 3 2 2a a b b a b a b
2
3 3 2 2a b a b a b LQQD
4. Si a y b son números positivos distintos, demostrar que: 4 4 3 3a b a b ab
Como a b pueden ocurrir dos casos:
I. a b entonces 0a b
3 3a b 3 3 0a b
Multiplicamos 3 3 0a b a b ^
4 3 3 4 0a a b ab b
4 4 3 3a b a b ab L.Q.Q.D
II. a b entonces 0a b
3 3a b 3 3 0a b
Multiplicamos 3 3 0a b a b
4 3 3 4 0a a b ab b
4 4 3 3a b a b ab L.Q.Q.D
5
5. Si x y y son números positivos distintos, demostrar que:
2
4 4 2 2 3 3x y x y x y
2
2 2
2
0 00
0 0
x xx y
y y
2
0x y
2 2 2x y xy
Multiplicamos por 2 2x y : 2 2 2 2 3 32x y x y x y
4 2 2 4 3 32x y x y x y
Sumamos 6 6x y :
6 4 2 2 4 6 6 3 3 62x x y x y y x x y y
Factorizamos por agrupación de términos:
2
2 4 4 2 4 4 3 3x x y y x y x y
2
4 4 2 2 3 3x y x y x y L.Q.Q.D
6. Si x , y , z son números positivos distintos, demostrar que:
6xy x y yz y z zx z x xyz
2 2 20 2x y x y xy Multiplicamos a ambos miembros z
2 2 2z x y xyz
2 2 20 2x z x z xz Multiplicamos a ambos miembros y
2 2 2y x z xyz
2 2 20 2y z y z yz Multiplicamos a ambos miembros x
2 2 2x y z xyz
Luego sumamos 2 2 2z x y xyz 2 2 2y x z xyz 2 2 2x y z xyz
Obtendremos:
2 2 2 2 2 2 6z x y y x z x y z xyz
2 2 2 2 2 2 6x z y z x y yz xy xz xyz Luego agrupamos términos.
2 2 2 2 2 2 6x z y z x y yz xy xz xyz
6xy x y xz x z yz y z xyz L.Q.Q.D
6
7. Determinar los valores de x para los cuales: 3 21x x x
Transponemos 2x y x al primer miembro:
3 21 0x x x
Factorizamos el primer miembro por el método de Ruffini.
-1
1
1
-1
-1
-1
2
1
-1
-2 1 0
21 2 1 0x x x
2
1 1 0x x
1 0 ; 1x x
1x
-1 1
( ) : 1, 1CS x
8. Si a ,b ,c , d son números positivos distintos. Si se tiene a c
b d , demostrar
que: a a c c
b b d d
a c
ad bcb d Súmanos a ambos miembros ab
a b d b b d
(1)a a c
b b d
ad bc Súmanos a ambos miembros cd
ad cd bc cd
d a c c b d
(2)a c c
b d d
7
De (1) y (2) se tiene: a a c a c c
b b d b d d
Por lo tanto:
a a c c
b b d d
L.Q.Q.D
9. Si a ,b , c , x , y , z , son números positivos distintos tales que
2 2 2 2 2 21 1a b c x y z , demostrar que: 1ax by cz
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
1
2
a b c
x y z
a x b y c z
Restamos a ambos miembros
2 2 2ax by cz
2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2a ax x b by y c cz z ax by cz
2 2 2
2 1a x b y c z ax by cz
Si 2 2 2
0a x b y c z Por consiguiente:
1 0ax by cz
1 ax by cz L.Q.Q.D
10. Si a ,b , c , x , y , z , son números positivos distintos. Demostrar que:
22 2 2 2 2 2a b c x y z ax by cz
0, 0, 0, 0, 0, 0a b c x y z
0, 0, 0, 0, 0, 0ay bx az cx bz cy
2 2 2 2 20 2ay bx a y b x axby
2 2 2 2 20 2az cx a z c x axcz
2 2 2 2 20 2bz cy b z c y bycz
Sumamos: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a y b x a z c x b z c y axby axcz bycz
Sumamos a ambos miembros: 2 2 2 2 2 2a x b y c z
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2a y b x a z c x b z c y a x b y c z axby axcz bycz a x b y c z
Agrupamos, para factorizar:
22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a x y z b x y z c x y z ax by cz
8
22 2 2 2 2 2a b c x y z ax by cz L.Q.Q.D
11. Si a ,b , c son números positivos distintos. Demostrar que: 3 3 3 3a b c abc
0a b c
2 2 20 2 0a b a b ab
2 2 20 2 0a c a c ac
2 2 20 2 0b c b c bc
Sumamos: 2 2 22 2 2 2 2 2 0a b c ab ac bc
2 2 2 0a b c ab ac bc
2 2 2 0a b c a b c ab ac bc
3 3 3 3 0a b c abc
3 3 3 3a b c abc
12. Resolver:
a) 3 2
31
x
x
3 23 0
1
x
x
3 2 3 30
1
x x
x
50
1x
1 0x
1x
-1
. : 1,C S x
9
b) 2 11 28 0x x
7 4 0x x
Puntos críticos: 4,7
4 7
-+ +-
. : 4,7C S x
c) 3
2 5
x
x
30
2 5
x
x
2 5 60
2( 5)
x x
x
6 10 ; 5
2 5
x xx
x
6 1 5 0 ; 5x x x x
Puntos críticos: -1, 5, 6
-1 5 6
+ +- - +
. : 1,5 6,C S x
d) 4 27 12 0x x x
2 24 3 0x x x
2 2 3 3 0x x x x x
Puntos críticos: 0, -2, 2, 3, 3
10
-2 0 2
+- - +
3
+
3
-
. : 2, 3 0, 3 2,C S x
e)
2
2
3 20
3 2
x x
x x
1 20
1 2
x x
x x
1 2 1 2 0x x x x
Puntos críticos: 1, 2, -1, -2
-1 2
+ +- - +
-2 1
+
. ( ) : , 2 1,1 2,C S x
f) 2 10 16
101
x x
x
2 10x x 16 10x 100
1x
2 260
1
x
x
20 4 1 26
20 104
104 Entonces 2 26 0;x x R
1 0x
1x
1
. 1,C S x
11
g) 7 5
48 3
x
x
7 54 0
8 3
x
x
7 5 4 8 30
8 3
x x
x
7 5 32 120
8 3
x x
x
25 170
8 3
x
x
25 17 8 3 0x x
25 17 8 3 0x x
Puntos críticos: 17 3,25 8
-+ +-17
25 3
8
17 3. : ,25 8
C S x
h)
1 21
3 4
x x
x x
1 21 0
3 4
x x
x x
1 2 3 40
3 4
x x x x
x x
2x 23 2x x
7 12
03 4
x
x x
4 10
03 4
x
x x
4 10 3 4 0 ; 3, 4x x x x x
Los puntos críticos son: 5
, 3, 42
12
5/2 3 4
+ +- - +
. : 5 2,3 4,C S x
i) 2
2
2 6 31
5 4
x x
x x
2
2
2 6 31 0
5 4
x x
x x
2 2
2
2 6 3 5 40
5 4
x x x x
x x
2 2
2
2 6 3 5 40
5 4
x x x x
x x
2 10
4 1
x x
x x
4x y 1x .
Para hallar los valores críticos de: 2 1x x utilizamos la formula general
para resolver ecuaciones. Luego los puntos críticos son: 1 5
2
y
1 5
2
además 4x y 1x .
1 4
+ ++ - - ++
1 5
2
1 5
2
1 5 1 5
. : , 1, 4,2 2
C S x
j) 2 2 3
2 4 1
x x
x x
2 2 30
2 4 1
x x
x x
2 4 1 2 3 20
2 4 1
x x x x
x x
13
2 5 40
2 4 1
x x
x x
2x 1 4x
1 40
2 4 1
x x
x x
Los puntos críticos son: 1, 4, -2, 1/4
-2 11/4 4
+ +- - ++
1. : , 2 ,1 4,4
C S x
13. Resolver:
a) 1
11x
11 0
1x
1 10
1
x
x
1 1
01
x
x
2
01
x
x
2 1 0x x
1x
2 1 0x x
1x
Los puntos críticos son: 1, 2
21
-+ +-
. : 1, 2C S x
14
b) 2
03 5x
3 5 0x
5
3x
5
3
5
. : ,3
C S x
c) 4
4xx
44 0x
x
2 4 40
x x
x
0x
2
20
x
x
2x y 0x
0x
0
. : 0, 2C S x
d) 2 3
21 2
x x
x x
2 2 2 3
1 2
x x x
x x
2 2 2 30
1 2
x x x
x x
2 1 30
1 2
x x x x
x x
15
2 22 4 30
1 2
x x x x
x x
2 22 4 30
1 2
x x x x
x x
2 3
01 2
x
x x
2x y 1x
2 3 1 2 0x x x
Los puntos críticos son: 3
,1, 22
1 3/2 2
+ +- - +
3. : 1, 2,2
C S x
e) 4 5 6 6x x
4 5 6 6 0x x
2 9 20 12 0x x
2 9 8 0x x
8 1 0x x
Los puntos críticos son: -8, -1
-1-8
+-+
. : , 8 1,C S x
16
f) 2
3xx
2 23
x
x
2 23 0
x
x
2 3 20 ,
x x
x
2 10
x x
x
2 1 0 ,x x x
0x
Los puntos críticos son: 0, -1, -2
0
+ +- - +
-1-2
. : 2, 1 0,C S x
g) 2
10 1
5 2
x
x
2
10 10
5 2
x
x
2
2
2 20 50
2 5
x x
x
2
2
2 250
2 5
x x
x
Encontramos el discriminante de: 2 2 25x x
2
2 4 1 25
96
Como el discriminante es negativo, significa que:
2 2 25 0 ,x x x R
Y como también 25 0 ,x x R
. ( ) : ,C S x
17
h) 1 1
21
x x
x x
1 12 0
1
x x
x x
2( 1) 2 (1 ) (1 )0
(1 )
x x x x x
x x
2 2 22 2 (1 2 )0
(1 )
x x x x x x
x x
2 2 22 2 1 20
(1 )
x x x x x x
x x
22 10
(1 )
x x
x x
(2 1) 10 , 0, 1
( 1)
x xx x
x x
Los puntos críticos son:1
2, -1, 0,1
-1 1/2 1
+ +- - ++
0
1
. ( ) : , 1 0, 1,2
C S x
14. Demostrar la validez de las siguientes desigualdades:
a) 3
13 4
d c
c d , donde 0d , 0c , 2 3d c
Si 0d 1 0d
Si 0c 1 0c
1 10 0cd dc
3 20 0
2 3
c d
d c
3 20 0
2 3
c d
d c
18
2
3 20
2 3
c d
d c
3 22
2 3
c d
d c Dividimos entre 2
31
4 3
c d
d c
31
3 4
d c
c d L.Q.Q.D
b) 2
2
96x
x
, donde 0x
4
2
96 0
x
x
4
2
9 60
x x
x
2
2
2
30
x
x
22 3
0 ; 0x
xx
c) 2yx
y x , si 0x , 0y , x y
0 0x x
0 0y y
0xy
2
0x y
2x y xy
Dividimos entre xy
2x y
xy xy
2yx
y x
L.Q.Q.D
19
d) 3 5
25 3
a b
b a , si 0a , 0b , 3 5a b
0 3 0a a
0 5 0b b
0 15 0ab ab
2
3 5 0a b
2 29 25 30a b ab entre 15ab
3 52
5 3
a b
b a
L.Q.Q.D
e) Para cualquier número reales a , b ,c , d : 2 2 2 2 2ab cd a c b d
2
0 ad bc
2 2 2 20 2a d abcd b c
2 2 2 22abcd a d b c sumamos 2 2a b y
2 2c d a ambos miembros
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22a b abcd c d a d b c a b c d factorizando
2 2 2 2 2 2 2ab cd a d b c b d
2 2 2 2 2ab cd d b a c L.Q.Q.D
15. Resolver:
a) 1 2 3
1 3 2x x x
3 2 1 3
3 1 2
x x
x x x
3 2 1 30
3 1 2
x x
x x x
2 3 5 3 1 30
1 3 2
x x x x
x x x
23x 25 6 10 3x x x
9 3 9
01 3 2
x x
x x x
1
01 3 2
x
x x x
20
1 3 2 1 0x x x x
Los puntos críticos son: -1, -3, -2, 1
-3 -2 -1 1
- - +++
. : 3, 2 1,1C S x
b) 6 3 7
01 1 2x x x
6 1 2 3 1 2 7 1 10
1 1 2
x x x x x x
x x x
2 2 26 3 2 3 2 7 10
1 1 2
x x x x x
x x x
24 15 250
1 1 2
x x
x x x
4 5 50
1 1 2
x x
x x x
Los puntos críticos son: 5
, 5, 1, 1, 24
++ +
1
-
-2 -1
-
5
4
-
5
5. : 2, 1,1 5,
4C S
c) 2 2
2
2 7 5 6 5
x x
x x x x
2 2
20
2 7 5 6 5
x x
x x x x
2
02 5 1 5 1
x x
x x x x
2 5 2 50
2 5 5 1
x x x x
x x x
21
5
02 5 5 1
x
x x x
5
5 2 5 5 1 0 , 5, 12
x x x x x x x
Los puntos críticos son: 5
0, , 5, 12
-5 -5/2 -1 0
- - ++++ +
5. : , 5 , 1 0,
2C S
d) 4 221 20 0x x x
Sacamos factor común
3 21 20 0x x x
Para factorizar 3 21 20x x utilizamos Ruffini.
5
1
1
0
5
-21
25
-20
20
5 4 0
25 5 4 0x x x x
5 1 4 0x x x x
Los puntos críticos son: 0, 5, -1, -4
-4 -1 0 5
- - +++
. : 4, 1 0,5C S x
22
e) 2
1 14 3 0
4 4x x
1
4z x
2 4 3 0z z
3 1 0z z
1 13 1 0
4 4x x
11 30
4 4x x
-
-3/4-11/4
++
11 3
. : ,4 4
C S x