Inecuaciones grado 2
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Resuelve las siguientes inecuaciones: a) 4x 2 − 2x < 2 b) 5x 2 − 6x +1 ≥0 Solución: a) 4x 2 − 2x < 2 ⇒ 4x 2 −2x − 2 <0 ⇒ Vamos a descomponer el polinomio 4x 2 − 2x −2 Utilizamos la ecuación 4x 2 − 2x −2 =0 ⇒ x = 2± √ 4 +4 · 4 · 2 2 · 4 = 2±√ 4 + 32 8 = 2± 6 8 = { x = 8 8 =1 x = −4 8 = −1 2 Con esto, podemos decir que la inecuación 4x 2 − 2x −2 < 0 se puede sustituir por: 4 ( x −1 ) ( x + 1 2 ) < 0 Así, para ver los casos en los que el producto es negativo (menor que cero) utilizamos la tabla: ( −∞ , − 1 2 ) ( − 1 2 , 1 ) ( 1, +∞ ) ( x −1 ) - - + ( x + 1 2 ) - + + 4 ( x −1 ) ( x + 1 2 ) + - + Por tanto, los valores que hacen el resultado negativo están en el intervalo ( − 1 2 , 1 ) b) 5x 2 − 6x + 1 ≥0 Vamos a descomponer el polinomio 5x 2 −6x + 1 . Utilizamos la ecuación 5x 2 −6x + 1=0 ⇒ x = 6±√ 36 −4 · 5 · 1 2 · 5 = 6±√ 36 −20 10 = 6± 4 10 = { x = 10 10 =1 x = 2 10 = 1 5 Con esto, podemos decir que la inecuación 5x 2 − 6x + 1 ≥0 se puede sustituir por: 5 ( x −1 ) ( x − 1 5 ) ≥0 Así, para ver los casos en los que el producto es mayor o igual a cero utilizamos la tabla: ( −∞ , 1 5 ) ( 1 5 , 1 ) ( 1, +∞ ) ( x − 1 5 ) - + + ( x −1 ) - - + 5 ( x −1 ) ( x − 1 5 ) + - + Así, los valores que hacen el resultado mayor o igual a cero están en el intervalo ( −∞ , 1 5 ] ∪[ 1,+∞)
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Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) 4x2−2x<2
b) 5x2−6x+1≥0
Solución:
a) 4x2−2x<2⇒4x2
−2x−2<0⇒ Vamos a descomponer el polinomio 4x2−2x−2
Utilizamos la ecuación
4x2−2x−2=0⇒ x=
2±√4+4 · 4·22· 4
=2±√4+32
8=
2±68
={ x=88=1
x=−48
=−12
Con esto, podemos decir que la inecuación 4x2−2x−2<0 se puede sustituir por:
4 (x−1)(x+ 12 )<0 Así, para ver los casos en los que el producto es negativo (menor que cero)
utilizamos la tabla:
(−∞ ,−12 ) (−1
2,1) (1,+∞ )
(x−1) - - +
(x+ 12 ) - + +
4 (x−1)(x+ 12 ) + - +
Por tanto, los valores que hacen el resultado negativo están en el intervalo (−12,1)
b) 5x2−6x+1≥0 Vamos a descomponer el polinomio 5x2
−6x+1 . Utilizamos la ecuación
5x2−6x+1=0⇒ x=
6±√36−4 ·5·12 ·5
=6±√36−20
10=
6±410
={ x=1010
=1
x=210
=15
Con esto, podemos decir que la inecuación 5x2−6x+1≥0 se puede sustituir por:
5(x−1)( x−15 )≥0 Así, para ver los casos en los que el producto es mayor o igual a cero
utilizamos la tabla:
(−∞ ,15 ) ( 1
5,1) (1,+∞ )
(x−15 )
- + +( x−1 )
- - +
5(x−1)( x−15 ) + - +
Así, los valores que hacen el resultado mayor o igual a cero están en el intervalo (−∞ ,15 ]∪[ 1,+∞ )
Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) 3x2<−4x+4
b) (4x−8 ) ( x+3 )<0
Solución:
a) 3x2<−4x+4⇒3x2
+4x−4<0 Vamos a descomponer el polinomio 3x2+4x−4
Utilizamos la ecuación
3x2+4x−4=0⇒ x=
−4±√16+4 ·4 ·32 ·3
=2±√4+32
8=
2±68
={ x=88=1
x=−48
=−12
Con esto, podemos decir que la inecuación 3x2+4x−4<0 se puede sustituir por:
3(x+2)( x−23 )<0 Así, para ver los casos en los que el producto es negativo (menor que cero)
utilizamos la tabla:
(−∞ ,−2 ) (−2 ,23 ) ( 2
3,+∞)
(x+2) - + +
(x− 23 ) - - +
3(x+2)( x−23 ) + - +
Por tanto, los valores que hacen el resultado negativo están en el intervalo (−2,23 )
b) (4x−8 ) ( x+3 )<0
Vamos a descomponer el polinomio (4x−8 ) ( x+3 )<0⇒4 · ( x−2 ) ( x+3 )<0
Así, para ver los casos en los que el producto es negativo (menor que cero) utilizamos la tabla:
(−∞ ,−3 ) (−3 ,2 ) (2 ,+∞ )
(x−2) - - +
( x+3 ) - + +
4 (x−2)( x+3 ) + - +Por tanto, los valores que hacen el resultado negativo están en el intervalo (−3,2 )
