Universidad MayorFacultad de ingeniería.Inferencia estadística.

INFERENCIA ESTADISTICA

Nombre: Brenda Albornoz - Matías Morales.

1. Dócima para una hipótesis

En un estudio reciente que abarcó 25 años, se investigó la posible protección que proporciona la ingestión de una forma de vitamina A llamada caroteno contra el desarrollo del cáncer pulmonar. Se encontró que de 488 hombres que habían ingerido una baja cantidad de esta sustancia durante este tiempo, 14 desarrollaron cáncer pulmonar, pero en un grupo del mismo tamaño en el que el consumo de caroteno era mayor, sólo dos personas desarrollaron cáncer. Bajo las suposiciones apropiadas, ¿puede concluirse que la ingestión de caroteno reduce el riesgo de desarrollar cáncer pulmonar en los hombres? Utilice α = 0.05.

Solución.

Sean

X i = {0, si la i - ésima persona que ingirió una baja cantidad no desarrolló cáncerX i = {1, si la i - ésima persona que ingirió una baja cantidad desarrolló cáncer

Y i = {0, si la i - ésima persona que ingirió una alta cantidad no desarrolló cáncerY i = {1, si la i - ésima persona que ingirió una alta cantidad desarrolló cáncer

SupuestosX1 , X2…X488 m.a. (448) de Ber (1, p1) Y 1 ,Y 2…Y 488 m.a. (448) de Ber (1, p2), son dos muestra independientes

Hipótesis:H 0 :P1=P2H 1:P1>P2

Estadístico de Prueba:

Regla de Decisión: Rechazar H0 si E > Z1-α.Aquí Z1-α = Z0.95= 1.645.Como E >1.645, entonces SE RECHAZA H0. Es decir, existe evidencia muestral suficiente (al 5%) para concluir que la ingestión de caroteno reduce el riesgo de desarrollar cáncer pulmonar en los hombres.

2. Dócima para una proporción

La prevalencia histórica de una cierta enfermedad infecciosa es de un 8%, sin embargo, en una localidad se examinaron a 196 personas, de las cuales 25 estaban infectadas ¿Habrá en esta localidad una mayor prevalencia o sólo será un hecho fortuito?

Planteamos estadísticamente:

H 0 :P≤0,08 vsH 1:P>0,08

Trabajaremos con α=0,05 y el problema es de una cola, por lo que el valor crítico de rechazo es:

Zc=1,64. Además, en la muestra, P=25196

=0,128.

Buscamos el valor de Z:

Z= 0,128−0,08

√ 0,08∗0,92196

=2,48

Como el valor calculado de Z a partir de la muestra (2,48) es mayor que 1.64, entonces, cae en la zona de rechazo de H0, y por tanto debo aceptar H1. En otras palabras, puedo afirmar que en dicha localidad existe una mayor prevalencia de esta enfermedad, con una probabilidad de error de tipo I menor que un 5%

3. Dócima para un promedio.

a. Con varianza poblacional conocida.

Suponga que la tabla siguiente muestra la antigüedad en años en el trabajo de tres maestros universitarios de matemáticas:

Maestro de matemáticas AntigüedadA 6B 4C 2

Suponga además que se seleccionan muestras aleatorias de tamaño 2 sin reemplazo. Calcule la antigüedad media para cada muestra, la media de la distribución muestral y el error estándar, o la desviación estándar de la distribución muestral.

Solución:Se pueden tener 3C2 =3 muestras posibles. La tabla lista todas las muestras posibles de tamaño 2, con sus respectivas medias muestrales.

Muestras Antigüedad Media MuestralA,B (6,4) 5A,C (6,2) 4B,C (4,2) 3

La media poblacional es:

μ=2+4+63

=4

La media de distribución muestral es:

μ=5+4+33

=4

La desviación estándar de la población

σ=√ (6−4)2+(4−4 )2+(2−4)2

3=1,63

El error estándar o la desviación estándar de la distribución muestral es:

σ π=√ (5−4)2+(4−4)2+(3−4)2

3=0,816

Si utilizamos la fórmula del error estándar sin el factor de corrección tendríamos que:

σ π=σ

√n=1,63

√2=1,152

Por lo que observamos que este valor no es el verdadero. Agregando el factor de corrección obtendremos el valor correcto:

σ π=σ√n √ N−n

N−1=1,63

√2 √ 3−23−1=0,816

b. Con varianza poblacional desconocida.

Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en forma normal con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo de esta población, determine:

a. El número de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 centímetros. b. El número de medias muestrales que caen por debajo de 172 centímetros.

Solución:Como se puede observar en este ejercicio se cuenta con una población finita y un muestreo sin reemplazo, por lo que se tendrá que agregar el factor de corrección. Se procederá a calcular el denominador de Z para sólo sustituirlo en cada inciso.

σ√n √ N−n

N−1= 6,9

√25 √ 1000−251000−1=1,36

a.

z= x−μσ√n √ N−n

N−1

=172,5−174,51,36

=−1,74

z=175,8−174,51,36

=−1,47

P (172,5≤x ≤175,8 )=0,7607

(0,7607 )∗(200 )=152 Medias muéstrales.

b.

z=172−174,51,36

=−1,83

P ( x≤172 )=0,00336

(0,0336 )∗(200 )=7 Medias muéstrales.

4. Dócima para una varianza