Inferencia EstadísticaInferencia Estadística

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CONTENIDOCONTENIDO

IntroducciónIntroducción Propiedades de los estimadoresPropiedades de los estimadores Estimaciones Puntuales y de IntervaloEstimaciones Puntuales y de Intervalo Distribuciones Derivadas del MuestreoDistribuciones Derivadas del Muestreo Uso de las TablasUso de las Tablas Intervalos de ConfianzaIntervalos de Confianza Tamaño de muestra y estimaciónTamaño de muestra y estimación

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Describir las características de la inferencia Describir las características de la inferencia estadísticaestadística

Definir las propiedades de los estadísticos de Definir las propiedades de los estadísticos de una muestrauna muestra

Describir cómo se calculan los estimadores Describir cómo se calculan los estimadores puntuales y por intervalo puntuales y por intervalo

ObjetivosObjetivos

44

IntroduccionIntroduccion

La inferencia estadística comprende dos tipos de procesos: Estimación y Pruebas de Hipótesis

Estimación es el procedimiento mediante el cual obtenemos conclusiones respecto a parámetros o características de la población, a través de la muestra.

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IntroducciónIntroducción

En investigación, generalmente se obtiene una muestra de la población a estudiar y con ésta se calculan los estadísticos de interés. Como estos estadísticos son aleatorios (solo se tomó una muestra) se debe realizar un proceso llamado Inferencia Estadística para obtener una estimación de los (estadísticos) parámetros de la población. Este ultimo Este ultimo proceso es llamado proceso es llamado Estimación Paramétrica. Estimación Paramétrica.

En el caso en que la distribución poblacional no En el caso en que la distribución poblacional no es conocida, o no se puede suponer un modelo de es conocida, o no se puede suponer un modelo de distribución adecuado, se hace uso de la Edistribución adecuado, se hace uso de la Estimación stimación No‑paramétrica No‑paramétrica para las inferencias estadísticas. para las inferencias estadísticas.

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Distribuciones derivadas del Distribuciones derivadas del muestreomuestreo

Una de las propiedades de la media de la Una de las propiedades de la media de la muestra, es que cualesquiera que sea la muestra, es que cualesquiera que sea la distribución de X, cuando la muestra es distribución de X, cuando la muestra es suficientemente grande, la media de la muestra suficientemente grande, la media de la muestra tendrá una distribución aproximadamente tendrá una distribución aproximadamente normal. normal.

Esto se deriva del Esto se deriva del Teorema Central del Teorema Central del LímiteLímite..

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Teorema central del límiteTeorema central del límite

Si se tiene una muestra aleatoria de Si se tiene una muestra aleatoria de tamaño n, tomada de una población con media tamaño n, tomada de una población con media y varianza y varianza 22, si n es suficientemente grande, , si n es suficientemente grande, se distribuye aproximadamente normal con se distribuye aproximadamente normal con media media y varianza y varianza 22/n./n.

Es así que la variable aleatoria:Es así que la variable aleatoria:

se distribuirá aproximadamente normal se distribuirá aproximadamente normal estándar (con media 0 y varianza 1)estándar (con media 0 y varianza 1)

n/

X

X

88

Distribución de la media muestralDistribución de la media muestral

0123456789101112

=1.7

Distribución de X

Distribución de X

99

Distribución ZDistribución Zde la media de la muestrade la media de la muestra

Si la nueva variable es la media de la muestra, la media de la distribución Si la nueva variable es la media de la muestra, la media de la distribución es es μμ (aplicando el teorema central del límite), y la varianza de la (aplicando el teorema central del límite), y la varianza de la

distribución de la media de la muestra es distribución de la media de la muestra es σσ22/n, donde n es el tamaño de la /n, donde n es el tamaño de la muestra. muestra.

Eso se resume en la ecuación a la derecha.Eso se resume en la ecuación a la derecha.

)n,(NdistribuyeseX 2

Calcule la media y la varianza de Z para la media de una Calcule la media y la varianza de Z para la media de una muestra de tamaño 20 (n=20) cuya distribución tiene muestra de tamaño 20 (n=20) cuya distribución tiene

una media una media μμ de 5 y una varianza de 5 y una varianza σσ2 2 de 0.82de 0.82

1010

Estimación Estimación

Al seleccionar una muestra de una Al seleccionar una muestra de una población podemos utilizarla para tratar de estimar población podemos utilizarla para tratar de estimar un parámetro poblacional. un parámetro poblacional.

Este método, conocido como estimación de Este método, conocido como estimación de parámetros se puede realizar de dos maneras: La parámetros se puede realizar de dos maneras: La estimación puntual y la estimación por intervalos. estimación puntual y la estimación por intervalos.

La primera básicamente es asignarle un La primera básicamente es asignarle un número al parámetro (por eso es puntual), y la número al parámetro (por eso es puntual), y la segunda consiste en encontrar un intervalo donde segunda consiste en encontrar un intervalo donde esperamos que el parámetro se encuentre con esperamos que el parámetro se encuentre con cierta probabilidad. cierta probabilidad.

1111

Estimación Estimación

Para realizar cualquiera de los dos Para realizar cualquiera de los dos tipos de estimación, se parte de un tipos de estimación, se parte de un estimador (estadístico de la muestra), estimador (estadístico de la muestra), que debido a que es una función de las que debido a que es una función de las observaciones de la muestra, tiene una observaciones de la muestra, tiene una distribución de probabilidades. distribución de probabilidades.

1212

Inferencia estadísticaInferencia estadística

El proceso aleatorio de selección de la muestra nos asegura ciertas

características distribucionales de las observaciones de la muestra, mismas

que nos sirven para proponer "estimadores" de los parámetros

poblacionales. Un estimador es una función de las

observaciones de una muestra. Un parámetro es una característica

del modelo de probabilidad (distribucional) supuesto para la

población.

MUESTRA

POBLACION

1313

INFERENCIA ESTADISTICAINFERENCIA ESTADISTICA

Existen algunas características deseables que pueden tener los estimadores:

Estimador Insesgado

Estimador Consistente

Estimador de Varianza Mínima

1414

PROCESO PARA LA PROCESO PARA LA INFERENCIA ESTADISTICAINFERENCIA ESTADISTICA

1.1. Definición de la variable en estudio. Definición de la variable en estudio. 2.2. Definición de la población: Definir y delimitar la Definición de la población: Definir y delimitar la

población para poder obtener la muestra. población para poder obtener la muestra. 3.3. Modelo probabilístico de distribución de la variable Modelo probabilístico de distribución de la variable

en la población considerada.en la población considerada.4.4. Selección del procedimiento aleatorio de obtención Selección del procedimiento aleatorio de obtención

de la muestra de acuerdo al modelo de distribución de la muestra de acuerdo al modelo de distribución de probabilidades de la población. de probabilidades de la población.

5.5. Enumeración de las propiedades distribucionales Enumeración de las propiedades distribucionales de la muestra. de la muestra.

6.6. Inferencia estadística.Inferencia estadística.

1515

Fre

cu

enc i

a R

e la t

iva

HUMEDAD

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2

MEDIA POBLACION: 1.7827

DESVIACION ESTANDAR POBLACION: 0.1772

POBLACION

2150.0s6834.1X

MUESTRALos estimadores puntuales son

estadísticos de la muestra que estiman parámetros

de la población

ESTIMACION ESTIMACION PUNTUAL PUNTUAL

1616

ESTIMACION ESTIMACION PUNTUALPUNTUAL

Modelo de Distribución

Media de la Distribución

Varianza de la Distribución

Estimador de la Media de la Distribución

Binomial np np(1-p)

Poisson λ λ

Normal μ σ2

X

X

1717

ESTIMACION PUNTUALESTIMACION PUNTUAL

Modelo de Distribución

Media de la Distribución

Varianza de la Varianza de la DistribuciónDistribución

Estimador Estimador de la media de la media

de dist.de dist.

Estimador de Estimador de la varianza de la varianza de

dist.dist.

BinomialBinomial pp {p(1-p)}/n{p(1-p)}/n

BinomialBinomial npnp np(1-p)np(1-p) nn nn

PoissonPoisson

NormalNormal μμ 2σ

X

X n

)X1(X

X 2s

)X1(

X

X X

1818

INTERVALOS DE INTERVALOS DE CONFIANZACONFIANZA

Un intervalo de confianza para un parámetro de la población consiste en uno o dos valores límites dentro de los cuales se espera que esté contenido el parámetro poblacional con cierta probabilidad.

Los intervalos de confianza pueden ser superiores, inferiores o para ambos lados.

1)}n

)(Z(Y)n

)(Z(Y{P 2/12/1

Intervalo de confianza para la media de una población con distribución aproximadamente

normal y varianza conocida (2)

1919

INTERVALOS DE CONFIANZAINTERVALOS DE CONFIANZA

)n/()Z(Y:Superior.Lim 2/1

)n/()Z(Y:Inferior.Lim 2/1

1)}n

)(Z(Y)n

)(Z(Y{P 2/12/1

Intervalo de confianza para la media de una población con distribución aproximadamente

normal y varianza conocida (2)

)n/()Z(Y:Superior.Lim 2/1

2020

INTERVALOS DE CONFIANZAINTERVALOS DE CONFIANZA

)n/s(tY.Inf.Lím )1n()2/1(

1)}n/s(tY)n/s(tY{P )]1n(),2/1[()]1n(),2/1[(

Intervalo de confianza para la media de una población con distribución aproximadamente

normal y varianza desconocida

)n/s(tY.Sup.Lím )1n()2/1(

2121

INTERVALOS DE INTERVALOS DE CONFIANZACONFIANZA

2222

INTERVALOS DE INTERVALOS DE CONFIANZACONFIANZA

Intervalo de confianza para la varianza de una población con distribución aproximadamente

normal

2323

INTERVALOS DE INTERVALOS DE CONFIANZACONFIANZA

Intervalo de confianza para la proporción (p) de una población con distribución binomial, usando una muestra grande (Teorema Central del Límite)

1)n

)p̂1(p̂Zp̂

n

)p̂1(p̂Zp̂(P 2/12/1 p

2424

EjerciciosEjercicios

Se pondrán ejercicios en claseSe pondrán ejercicios en clase

2525

TAMAÑO DE MUESTRA Y TAMAÑO DE MUESTRA Y ESTIMACIÓNESTIMACIÓN

La confiabilidad de una estimación La confiabilidad de una estimación depende del nivel de confianza establecido y depende del nivel de confianza establecido y del tamaño de la muestra. del tamaño de la muestra.

Si se hace un intervalo de confianza de Si se hace un intervalo de confianza de 99%, éste será más confiable que uno de 95%; 99%, éste será más confiable que uno de 95%; pero también el intervalo de 99% será más pero también el intervalo de 99% será más grande que el 95%.grande que el 95%.

Cuanto más grande es el tamaño de la Cuanto más grande es el tamaño de la muestra, mayor será la confiabilidad de la muestra, mayor será la confiabilidad de la estimación. estimación.

2626

Seleccione las características a medir que sean Seleccione las características a medir que sean más importantes y dentro de éstas las que tengan más importantes y dentro de éstas las que tengan mayor variación (A esta característica vamos a mayor variación (A esta característica vamos a llamarle W). llamarle W).

Calcule, o estime con una muestra preliminar o Calcule, o estime con una muestra preliminar o con datos de otros estudios, la varianza, desviación con datos de otros estudios, la varianza, desviación estándar o coeficiente de variación de W. estándar o coeficiente de variación de W.

Establezca una diferencia mínima dEstablezca una diferencia mínima d00 que desea que desea

detectar entre dos unidades de la muestra. detectar entre dos unidades de la muestra. dd00 = W = W

11-W-W22

CÓMO CALCULAR EL TAMAÑO DE MUESTRA

2727

Por ejemplo, se desea detectar una diferencia Por ejemplo, se desea detectar una diferencia mínima de 0.5 mm de mercurio entre dos mediciones mínima de 0.5 mm de mercurio entre dos mediciones de presión arterial. Aquí, dde presión arterial. Aquí, d0 0 = 0.5.= 0.5.

A partir de la desviación estándar o del coeficiente A partir de la desviación estándar o del coeficiente de variación de W de algún trabajo anterior o de la de variación de W de algún trabajo anterior o de la literatura científica, se calcula la varianza (sliteratura científica, se calcula la varianza (s22

WW).).

Las fórmulas para calcular el tamaño de Las fórmulas para calcular el tamaño de muestra serán: muestra serán:

Cómo Calcular el Tamaño de Muestra

2828

n = (sn = (s22W W ••tt22

((/2, gl. error/2, gl. error))) /d) /d2200

Si no se tiene el dato de grados de libertad del error Si no se tiene el dato de grados de libertad del error (gl. error), se puede usar:(gl. error), se puede usar:

n = (sn = (sWW22••ZZ22

((/2/2))) /d) /d2200

Si la medición es de atributos (una proporción o Si la medición es de atributos (una proporción o porcentaje porcentaje pp): ):

n =(zn =(z22/2/2••pp22

WW••(1-p(1-pWW))22)/d)/d220 0

Cómo Calcular el Tamaño de Muestra

2929

RESUMENRESUMEN

IntroducciónIntroducción EstimadoresEstimadores Propiedades de los estimadoresPropiedades de los estimadores Estimación PuntualEstimación Puntual Intervalos de confianzaIntervalos de confianza Tamaño de muestra y estimaciónTamaño de muestra y estimación