Inferencia EstadInferencia Estadíística stica AplicadaAplicada

Materiales didMateriales didáácticoscticos

Página de la clase:

www.geociencias.unam.mx/~ramon/estinf.html

Nota: se puede accesar también como:

http://www.geociencias.unam.mx/%7Eramon/estinf.html

Es muy conveniente, aunque no indispensable, contar con el software Minitab®.

Una muestra tomada de una poblaciUna muestra tomada de una poblacióón sn sóólo puede ser de valor mientras lo puede ser de valor mientras nos permita formar un juicio sobre las condicionesnos permita formar un juicio sobre las condiciones y caractery caracteríísticas de sticas de la poblacila poblacióón a la que n a la que éésta sta pertencepertence (Gosset, 1908).(Gosset, 1908).

Los grandes consumidores de Coca Cola son: Más Ricos

¿Le crees al encabezado de estas gráficas?

Más Sanos Más Libres

IntroducciIntroduccióónn

EstadEstadíísticastica: En el lenguaje común (por ejemplo en las crónicas deportivas) es conocida como un conjunto de datos. Se refiere a un conjunto de métodos para manejar la obtención, presentación y el análisis de observaciones numéricas. Sus fines son: Describir al conjunto de datos obtenidos y tomar decisiones, o bien, realizar generalizaciones acerca de las características de todas las posibles observaciones bajo consideración.

La Estadística es una de las ramas de la matemática con más aplicaciones ya que casi en cualquier rama del conocimiento humano tiene aplicación. Se considera como su fundador a Godofredo Achenwall, profesor alemán (1719-1772), él y sus seguidores estructuraron métodos estadísticos para estudiar las riquezas de las naciones.

Existen muchas definiciones dependientes de sus aplicaciones, pero en el fondo todas ellas coinciden de una u otra forma en el que la estadística “es un método científico de operar con los datos y de interpretarlos”.De la definición anterior pueden percibirse dos grandes áreas de acción de la Estadística:

Si tenemos la posibilidad de conocer a todos y cada uno de los integrantes de una población a la cual queremos estudiar, entonces usaremos los métodos de la EstadEstadíística Descriptivastica Descriptiva, que incluye la obtención, organización, presentación y descripción de la información numérica.

Pero si no nos es posible conocer a toda la población entonces tomaremos una muestra de ella, la estudiaremos y se sacarán conclusiones que se extrapolarán a toda la población, para lo que se usarán los métodos de la EstadEstadíística stica InferencialInferencial.

•• EstadEstadíística Descriptiva stica Descriptiva •• EstadEstadíística stica InferencialInferencial

Estadística Descriptiva. Se refiere a aquella parte del estudio que incluye la obtención, organización, presentación y descripción de la información numérica.

Estadística Inferencial. Es una técnica de la cual se obtienen generalizaciones o se toman decisiones con base a información parcial o incompleta obtenida mediante técnicas descriptivas.

Los conceptos básicos de Probabilidad y de distribuciones muestrales sirven como introducción al mal méétodo de Inferencia Estadtodo de Inferencia Estadíísticastica; esta se compone en dos áreas:

La estimación se encarga de buscar establecer los valores de los parámetros de la población.

Las pruebas de Hipótesis constituyen un proceso relacionado con aceptar o rechazar afirmaciones acerca de los parámetros de la población.

Los dos pasos anteriores se pueden resumir diciendo que el propósito es hacer inferenciasinferencias sobre la población a partir de una muestra y estmar la confianza con la que estas inferencias pueden ser verdaderas.

•• Pruebas de HipPruebas de Hipóótesis tesis •• EstimaciEstimacióónn

Para poder entablar las bases de lo que conlleva un estudio estadístico necesitamos algunas definiciones:

PoblaciPoblacióónn. Conjunto de todas las posibles observaciones. Sinónimo de Conjunto Universal se le define como la totalidad de todas las posibles mediciones observables, bajo consideración en una situación dada por determinado problema, circunstancias diferentes implican situaciones diferentes.

Las Poblaciones se clasifican en función a su cardinalidad (cuantificación). Población Finita. Es aquella que incluye un número limitado de medidas y observaciones. Población Infinita. Es aquella que por incluir un gran número de medidas y observaciones no es posible determinar la cantidad de éstas. En lo general, las características medibles de una población son denominadas Parámetros.

MuestraMuestra. Es un conjunto de observaciones o medidas tomadas a partir de una población dada, es decir, es un subconjunto de la población. Desde luego, la cardinalidad de la muestra depende de la cardinalidad de la población. Las muestras deben ser representativas para evitar un sesgo u error.

A pesar de que puede existir una población de un tamaño específico (generalmente grande), lo que tenemos a la mano es una parte de dicha una parte de dicha poblacipoblacióónn, o sea, una muestrauna muestra.

Cuando la estadCuando la estadíística causa problemasstica causa problemas:

Yule(1926) descubrió una relación positiva muy estrecha entre la tasa de matrimonios realizados por la iglesia de Inglaterra y la tasa de mortalidad en el país. En otro caso, se encontró una alta relación entre el número de ministros religiosos ordenados y el número de nacimientos.

Ambos casos son resultado de estudios estadísticos serios ¿Podrías establecer que en verdad existiera una relación entre estas situaciones?

Sumatoria La sumatoria se denota con el símbolo ∑ Se usa para indicar una suma de términos, por ejemplo:

∑=

++++=n

ini xxxxx

1321 ...

Ejemplo: si queremos sumar los siguientes valores:

1x 2x 3x 4x 5x 6x 3 2 4 2 1 3

a) ∑=

+=3

232

ii xxx ∑

=+=

3

242

iix ∑

==

3

26

iix

b) ∑=

+++++=6

1654321

ii xxxxxxx ∑

=+++++=

n

iix

1312423

∑=

=n

iix

115

Repaso de Conceptos BRepaso de Conceptos Báásicossicos

Actividad 1 Calcular las siguientes sumatorias:

a) ∑=

=7

1iix b)∑

==

5

12

iix c)∑

=−

4

1)4(3

iix

1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x

2.3 3.5 6.2 7.1 8.3 10.4 15.3

DistribuciDistribucióón de frecuencias.n de frecuencias.

Cuando los datos son numerosos, es conveniente agruparlos para que la información sea más fácil de interpretar. El primer tipo de agrupación se hace contando el número de veces que se repite cada valor, a lo que se le llama frecuencia.

Ejemplo: Se midieron las estaturas en cm de las alumnas de 1° de Secundariay nos reportan los datos siguientes:

152 157 153 154 147 150 151 149 142 157 145 152 143 151 144 148 138 139 145 137 146 155 141 148 154 154 162 142 159 152 140 131 143 158 139 145 149 142 137 147 146 138 139 139 159 140 143 142 125 153 160 144 152 148 146 158 143 137 144 152 131 150 149 144 151 139 137 144 143 154 145 153 157 146 147 158 138 132 137 139 143 132 142 146 143 136 149 151 152 141 154 143 145 144 158 140 147 145 144 150 145 145 146 148 149 153 155 159

Actividad 2. Ordenar los datos anteriores y anotar sus frecuencias.

Con los datos anteriores se van a formar lo que se conoce como una Tabla de Tabla de DistribuciDistribucióón de Frecuenciasn de Frecuencias.

Tabla de Distribución de Frecuencias de las estaturas de las niñas de 1° de Secundaria

X Frecuencia X Frecuencia X Frecuencia 125 / 1 126 0 127 0 128 0 129 0 130 0 131 // 2 132 // 2 133 0 134 0 135 0 136 / 1 137 //// 5

138 /// 3 139 //// / 6 140 /// 3 141 // 2 142 //// 5 143 //// /// 8 144 //// // 7 145 //// /// 8 146 //// / 6 147 //// 4 148 //// 4 149 //// 5 150 /// 3

151 //// 4 152 //// / 6 153 //// 4 154 //// 5 155 // 2 156 0 157 /// 3 158 //// 4 159 /// 3 160 / 1 161 0 162 / 1 Suman N = 108

Tabla de DistribuciTabla de Distribucióón de Frecuencias de Datos Agrupadosn de Frecuencias de Datos Agrupados

Con una distribución de frecuencias podemos ya ver algunas características de los datos, pero no podemos tener una visión integral de su comportamiento.

Para ello vamos a construir lo que se conoce como una tabla de distribución de frecuencias de datos agrupados. Esto es agrupar datos en “clases”.

Un IntervaloIntervalo o claseo clase es un subconjunto de todos los datos enmarcado entre dos valores.

La Marca de claseMarca de clase se llama al valor intermedio del intervalo, es el que va a representar a todos los valores que caigan en el intervalo.

Los datos anteriores pueden agruparse por intervalos de clases (pensemos en cajitas) e indicar el número de datos que contiene cada clase (frecuencia), de la forma similar a lo que hicimos en las gráficas de barras. A esta distribución se le llama distribucidistribucióón de n de frecuencias agrupadasfrecuencias agrupadas..

A continuación se dan algunas recomendaciones para construir este tipo de tabla

1. El número total de intervalos de clase no deberá ser menor que 6 ni mayor de 20 para no perder la ventaja de visualización de los datos.

2. El número de intervalos deberá aproximarse a la raíz cuadrada del número total de datos

3. Los puntos medios o marcas de clase deberán tener el mismo número de dígitos de los datos en bruto

4. La longitud del intervalo deberá ser impar para que los extremos del intervalo no incluyan datos observados

5. Las marcas de clase deberán ser fáciles de manejar

6. La diferencia entre marcas de clase deberá ser constante e igual a la longitud del intervalo

Ahora, para hacer la agrupación de los datos se siguen los siguientes pasos:

1° se calcula el rango (R) que es la diferencia entre los valores extremos de los datos

si éste no es entero se tiene que redondear al entero superior,

Ejemplo (las estaturas): Si y entonces R = 162 -125 = 37

2° Se elige el número de intervalos, debemos escoger el número de intervalos de clase de preferencia entre 6 y 20. Podemos tener una buena idea del número adecuado de intervalos aplicando la recomendación de que

Ejemplo: Si N =108, entonces , con lo que el intervalo quedaría con la siguiente longitud

pero como no es impar se tiene que cambiar el número de intervalos

infsup XXR −=

162sup =X 125inf =X

Nn =

10108 ≈=n

37 3.7 410

Rin

= = = ≈

Si usamos 9 intervalos, entonces por lo que estaríamos en la misma situación (no es impar), y tenemos que buscar otro número de intervalos.

Empleando 8 intervalos nos da y como es impar podemos usar éste número de intervalos.

3° Una vez que se decidió el número de intervalos y la longitud de éstos para empezar a formarlos vemos cuál es el nuevo rango que nos da el número de intervalos multiplicado por la longitud, siendo en el caso del ejemplo

con lo que tenemos 3 elementos más de los que teníamos originalmente (el Rango era de 37) y debemos decidir cómo distribuirlos, preferiblemente de manera equilibrada, es decir, en el caso del ejemplo podemos iniciar el conteo en 123 y terminar en 163

4° Para asegurarnos de que ningún dato queda en los extremos de los intervalos nos moveremos media unidad.

Para el ejemplo entonces vamos a empezar en 122.5 y terminaremos en 162.5

37 4.11 49

i = =

37 4.6 58

i = = ≈

4085 ==⋅= )(niR

Actividad 3. Construir una tabla con las características anteriores usando los datos de las estaturas de niñas de secundaria.

Intervalos de clase Estaturas en centímetros

Marca de clase Frecuencia Alumnos

122.5 -127.5 127.5 -132.5 132.5 -137.5 137.5 -142.5 142.5 -147.5 147.5 -152.5 152.5 -157.5 157.5 -162.5

126 131 136 141 146 151 156 161

1 4 9 24 29 22 14 5

Total N = 108

Histograma de FrecuenciasHistograma de Frecuencias

Se llama Histograma de frecuencias a la gráfica en la que en el eje de las abscisas se grafican los intervalos y en el de las ordenadas se grafican las frecuencias.

Para nuestro ejemplo:Histograma de Frecuencias de las Estaturas de las Niñas de 1° de Secundaria

160155150145140135130125

35

30

25

20

15

10

5

0

C1

Freq

uenc

ia

Alturas de alumnas de secundaria

PolPolíígono de Frecuenciasgono de Frecuencias

Se llama polígono de frecuencias a la poligonal que une los puntos medios de los extremos superiores de las barras (marcas de clase) empezando en una marca de clase antes y terminando una después. Muchas veces se grafican el histograma y el polígono de frecuencia juntos, para lo cual se tiene que agregar a la tabla de distribución de frecuencias agrupada la columna con las marcas de clase.

Polígono de Frecuencias de las Estaturas de las Niñas de 1° de Secundaria

160155150145140135130125

35

30

25

20

15

10

5

0

C1

Freq

uenc

ia

Alturas de alumnas de secundaria

Medidas de tendencia centralMedidas de tendencia central

Al ver las tablas de frecuencias se hizo evidente que algunos datos se repiten más que otros, al ver las gráficas de frecuencias se puede observar fácilmente la tendencia a repetirse los valores en vecindarios.

Por lo general la mayor densidad de datos se encuentra en la parte central de la gráfica y cada que nos alejemos del centro va disminuyendo la frecuencia en que aparecen los datos, de igualmente de ambos lados, formando una curva parecida a una campana, a lo que se llama comportamiento “normal”.

En el ejemplo anterior se tiene un ligero sesgo positivo ( hacia la derecha), pero para dar más sentido a estas observaciones y poder hacer comparaciones con otras poblaciones se ideó que se pueden medir el promedio de una población, o el valor que más se repite en ella, o el valor que queda al centro de nuestra población los que nos pueden ayudar a ver que tan “normal” es nuestra distribución.Podemos pensar que si estas tres medidas son muy parecidas entre sí, entonces la población sí tiene un comportamiento normal, mientras más se alejen entre ellas, más lejos de un comportamiento normal estará nuestra población.

Ahora veamos estas medidas que se conocen como medidas de tendencia central que son la media aritmética, la mediana y la moda, vamos a ver cómo se diferencian para datos agrupados o no. En datos no agrupados, las definiremos como:

ModaModa Es el valor del dato que más se repiteMedianaMediana El valor que queda en la mitad de la muestraMediaMedia Promedio aritmético de nuestros datos

Para el ejemplo:

Moda= en este caso 143 y 145 en los datos originales (se llama multimodal)

Mediana. , por lo que la Mediana = 145 (se cuentan los datos hasta llegar al dato 54)

Media =

En datos agrupados (histograma) la moda es el valor (marca de clase) de la barra más alta, en nuestro ejemplo, Moda = 145. Se localiza el valor de la Media (146.3) y de la Mediana en el eje de las X (también 145 para el ejemplo).

542

1082

===Nn

34.146108

15805≈== ∑

Nx

x i

160155150145140135130125

35

30

25

20

15

10

5

0

C1

Freq

uenc

yMean 146.3StDev 7.242N 108

Alturas de alumnas de secundariaNormal

Media

Moda

Mediana

Actividad 4. Calcular la moda, la mediana y la media de los datos no agrupados que se presentan a continuación

Dato Frecuencia

Dato Frecuencia

Dato Frecuencia

Dato Frecuencia

1. 1 2. 1 3. 1 4. 2 5. 1 6. 5 7. 5 8. 4 9. 5 10. 6

11. 7 12. 7 13. 7 14. 4 15. 4 16. 4 17. 5 18. 5 19. 4 20. 2

21. 2 22. 1 23. 1 24. 1 25. 5 26. 1 27. 0 28. 1 29. 1 30. 2

31. 0 32. 1 33. 1 34. 1 35. 0 36. 0 37. 0 38. 1 39. 0 40. 1

Total 100

Distribución de Frecuencias de la Duración en Servicio de los Profesores Universitarios

Moda: son 11, 12 y 13 por lo que sería multimodal

Mediana: 502

1002

===Nn 13=Mediana

Media: 150 15100

ixx

N= = =∑

403020100

30

25

20

15

10

5

0

C1

Freq

uenc

y

Mean 15StDev 7.991N 100

Duración en Servicio de los Profesores UniversitariosNormal

Actividad 5. Calcular la moda, la mediana y la media de los datos agrupados del ejemplo anterior (9 intervalos)

¿Cómo calculas la media si tienes datos con frecuencias?

Moda = 10 100 50

2 2Nn= = = ,

13=Mediana

Media: 150 15100

ixx

N= = =∑

Moda

Mediana

Media

Tarea 1. Calcular la Moda, Mediana y Media de los siguientes datos sin agrupar y agrupados, y elaborar una tabla de distribución de frecuencias acumuladas, un histograma y polígono de frecuencias.

Tabla de Distribución de Frecuencias de distancias alcanzadas por pelotas de golf nuevas

Dato Frecuencia

Dato Frecuencia

Dato Frecuencia

Dato Frecuencia

223.7 1 224.4 1 226.9 1 232.3 1 232.7 1 233.5 1 237.4 1

239.9 1 243.6 1 247.2 1 248.3 1 249.2 1 252.8 1 253.6 1

256.3 1 256.5 1 258.8 1 260.4 1 264.3 1 265.1 1 267.5 1

269.6 1 271.4 1 278.7 1 294.1 1 Total 25