Año de la Diversificación Productiva y

Fortalecimiento de la Educación

Matemática Avanzada

PROFESOR:

Castro Vidal, Raúl

GRUPO:

2

Integrantes:

Gonzales Peña Juan 1223210047

Lajo Farias Abrahan 1223220393

Meza Leon Kris 1223220375

Paredes Lescano Jim 1223220259

Quispe Pacheco Frank 1223220099

Rojas Salcedo Yianelli 1223220205

Tema:

Integral de Fourier y Espectros Continuos

2015

DE LA SERIE DE FOURIER A LA TRANSFORMADA DE FOURIER

Concepto: La idea básica de las series de Fourier es que toda función periódica de

periodo T puede ser expresada como una suma trigonométrica de senos y

cosenos del mismo periodo T.

Uno de los problemas del que se ocuparon los maten áticos del siglo XVIII es el

que se conoce con el nombre del “problema de la cuerda vibrante”. Este problema

fue estudiado por D’Alembert y Euler (usando el método de propagación de las

ondas) y un poco más tarde, concretamente en 1.753, por Daniel Bernouilli. La

solución dada por ´este difería de la proporcionada por los anteriores y consistió

básicamente en expresar la solución del problema como superposición (en general

infinita) de ondas sencillas. Las ideas de Bernouilli fueron aplicadas y

perfeccionadas por Fourier, en 1.807, en el estudio de problemas relacionados con

la conducción del calor.

La historia moderna de las series de Fourier comenzó con D’Alembert (1747) y su

tratado de las oscilaciones de las cuerdas del violín. El desplazamiento u = u(t, x)

de una cuerda de violín, como una función del tiempo t y de la posición x, es

solución de la ecuación diferencial

Métodos sobre señales continuas

El análisis frecuencial sobre señales continuas se realiza básicamente a través de la Serie y la Transformada de Fourier. La importancia de estos métodos radica en la descomposición de la señal en frecuencia lo cual es muy útil, y el diseño de sus algoritmos para su cálculo rápido (transformada rápida de Fourier).

Serie de Fourier (Señales periódicas) Sea x(t) una señal periódica con frecuencia fundamental f0, entonces se puede descomponer como:

Donde es un conjunto ortogonal completo (base) para cierta clase (espacio) de funciones x(t) de dimensión no finita. A esta sucesión se le llama Serie de Fourier. Se puede demostrar que los coeficientes de Fourier están dados por:

Donde 0

1

fTP

Una clase importante de funciones periódicas para las que existe su serie de Fourier, es la de integrables en su cuadrado sobre un periodo, esto es:

Otra clase, son las que cumplen las condiciones de Dirichlet:

1. La función x(t) tiene un número finito de discontinuidades en cualquier periodo.

2. La señal x(t) tiene un número finito de máximos y mínimos en un periodo.

3. La señal x(t) es absolutamente integrable sobre su periodo, esto es:

Estas condiciones son de existencia pero no necesarias.

En general ck son complejos. Si x(t) es real entonces ck y c-k son conjugados

complejos, entonces x(t) se puede escribir como:

)1.....(..........)( 02 tjkf

k

kectx

...2,1,0,02ke

tfkj

PT

tf

j

P

k dtetxT

c 0

2

)(1

PT

dttx2

)(

PT

dttx )(

)2()2cos(2)(1

00

k

kk tkfcctx

donde ki

kk eCC

Usando la propiedad de la suma coseno

De tiene una tercera representación de la señal como donde

En esta tercera expresión se observa con mayor sencillez la descomposición de

x(t) en componentes de distintas frecuencias.

Un parámetro importante es la potencia promedio. Como x(t) es periódica, esta

potencia es finita (y energía infinita). Está dada por:

PT

P

x dttxT

P2

)(1

Figura1.1: Densidad espectral de potencia De acuerdo al teorema de Parseval, ésta se puede escribir como

Para señales reales, esta potencia es simétrica y es llamada densidad espectral de potencia. De la figura 1.1 se puede observar que existe sólo para múltiplos de

)(sen)2(sen)cos()2cos()2cos( 000 kkk tfktfktfk

)3()2(sen)2cos()(1

000

k

kk tfkbtfkaatx

kkk

kkk

cb

ca

ca

sen

cos

00

k

kx cP2

la frecuencia fundamental y que el primer cuadrante contiene la información real. Note también que puede expresarse como:

1

222

0

1

2

02

12

k

kk

k

kx baaccP

Otras gráficas importantes son la magnitud |ck| y la fase ck contra frecuencia. Por ejemplo, sea el siguiente tren de pulsos:

Figura 1.2 Tren de pulsos

Note que en este caso x(t) es par, entonces los coeficientes de Fourier ck son

reales, en consecuencia, el espectro de fase es nulo.

En las gráficas 1.3 se mantiene el periodo TP constante y se varía el ancho del

pulso .

Figura 1.3

Se observa que al decrecer, es más ancho el espectro de potencia, el

espaciamiento entre líneas se mantiene constante, no depende de .

Fijemos ahora y variemos TP, manteniendo TP>.

Figura 1.4

Se observa que el espaciamiento entre las líneas espectrales decrece a medida

que TP aumenta.

Transformada de Fourier (Señales aperiódicas)

Una manera intuitiva de presentarla es considerando que una señal aperiódica

tiene un periodo que tiende a .

)(lim)( txtx PTP

Donde xP(t) es una señal periódica (de periodo TP) formada a partir de x(t) como:

Figura 1.5

Donde

Y

k

tkfj

kP ectx 02)(

2/

2/

2 0)(1 P

P

T

T

tfkj

P

P

k dtetxT

c

Este coeficiente se puede escribir como:

Se remplaza por el infinito

Se define ahora la transformada de Fourier como:

Se observa que )(1

0fkXT

cP

k . Se puede definir la transformada inversa:

Y las condiciones de existencia son las mismas que para la serie de Fourier,

modificando la integral:

a)

dttx

2)( , es decir, la señal x(t) es de energía

b) Condiciones de Dirichlet:

1. La función x(t) tiene un número finito de discontinuidades.

2. La señal x(t) tiene un número finito de máximos y mínimos.

3. La señal x(t) es absolutamente integrable, esto es:

dttx )(

Es de resaltar que si (3) se cumple, entonces se cumplen (1) y (2).

2/

2/

2 0)(1 P

P

T

T

tfkj

P

k dtetxT

c

dtetx

Tc

tfkj

P

k02

)(1

dtetxfX

tfj 2)()(

dtetxfXtfj 2

)()(

La función t

ttx

)2sen()( cumple (a) pero no cumple (3), y se tiene:

10

11)(

f

ffX

De acuerdo al teorema de Parseval, la energía total Ex de la señal x(t) se puede

escribir como:

dffXdttxEx

22)()(

a la señal 2

)()( fXfS xx se le llama espectro de densidad de energía de x(t). Si la

señal es real, entonces Sxx tiene simetría par.

Por ejemplo, sea la señal exponencial:

00

0)(

t

tetx

t

a

Se tiene que su espectro está dado por : Fj

fX a21

1)(

Verificando:

dtedteefX tfjtfjt

a

0

)21(

0

2)(

Mediante el método de cambio de variable

dtfjdu

tfju

)21(

)21(

Multiplicando y dividiendo la integral por )21( fj

dtefjfj

tfj

0

)21()21()21(

1

Realizando el cambio de variable

)21(

110

)21(

1

)21(

1

)21(

1 0

0 fjfj

eefj

duefj

u

Las gráficas de xa(t) y la magnitud del espectro |Xa(f)|

Figura 1.6 Métodos sobre señales discretas

Serie de Fourier

Sea x(n) una sucesión con periodo N, esto es x(n)=x(n+N), entonces:

De donde

1

0

2

)(N

k

N

nkj

kecnx

1

0

2

)(1 N

n

N

nkj

k enxN

c

Que también es periódica, ck+n=ck.

Por ejemplo, sea la señal nnx 0cos)( . Si 20 , se tiene que 2/10 f ,

como no es racional, no se considera periódica. Sea 3/0 , entonces 6/10 f ,

es decir, periodo N=6, entonces

De donde c0=c2=c3=c4=0, c1=c5=2

1

Figura 1.7

La potencia promedio de una señal periódica está dada por

5,...,1,0)(6

1 5

0

62

kenxck

nkj

k

02

3

2

1

2

3

2

1

2

3

2

1

2

3

2

1

12

1

1112

1

112

1

111111112

1

)1(12

1

12

1

12

1

26

1

3cos

6

1

3cos

6

1

33

2

3

2

3

3

25

3

20

3

15

3

10

3

5

3

25

3

20

3

15

3

10

3

5

5

0

3

55

0

3

5

5

0

3

4

33

4

3

5

0

3

433

5

0

3

45

0

642

4

jjjj

eeee

eeeee

eeeee

eee

eeeeeee

enenc

jjjj

jjjjj

jjjjj

n

nj

n

n

nj

nj

n

nj

nj

nj

nj

n

nj

nj

nj

n

nj

n

nj

1

0

21

0

2)(

1 N

k

k

N

n

x cnxN

P

Y su gráfica proporciona el espectro de densidad de potencia.

La energía sobre un periodo está dada por:

Nuevamente si x(n) es real, entonces c*k=c-k, o bien:

Aún más:

Sea por ejemplo la señal:

Figura 1.8

1

0

21

0

2)(

N

k

k

N

n

n cNnxE

non simetría-

par simetría

kk

kk

cc

cc

kNk

kNk

cc

cc

4

0

1021

0

21

0

2

10

11)(

1

n

nkjL

n

N

nkjN

n

N

nkj

k eAeN

enxN

c

c.c.

10sen

2sen

10

1

...20,10,02

1

9,...,2,1

1

1

10

1

02

1

2

5k

k

e

k

k

e

e

k

c kj

kj

kjk

Transformada de Fourier

Se define por

n

njenxX )()(

Se observa que

)()()()2( 2)2( XeenxenxkXn

knjnj

n

nkj

Es decir, es periódica con periodo 2.

Se obtiene que

Nuevamente esta transformada existe si x(n) es absolutamente sumable, esto es,

La energía se define por

n

x nxE2

)( y usando el teorema de Parseval, se

obtiene que:

dXEx

2)(

2

1

deXnx nj)()(

n

nx )(

A 2

)(XSxx se le llama espectro de densidad de energía.

Si x(n) es real, entonces )()( XX es de simetría par, )()( XX es

de simetría non y Sxx tiene simetría par.

Sea por ejemplo, la señal )(5.0)( nunx n . Note que:

5.01

15.0)(

0n

n

n

nx , concluimos que X() existe. Ésta es:

Ejemplo. Determinar la energía, la transformada de Fourier y el espectro de

densidad de energía de la secuencia:

c.c.0

10)(

LnAnx , con A>0

25.0cos1

1

5.01

1

5.01

1)(S

entonces

5.01

1)(

15.0 como

5.05.0)()(

xx

00

jj

j

j

n

nj

n

njn

n

nj

ee

eX

e

eeenxX

La señal es absolutamente sumable, su transformada es:

2sen

2sen

)(

1...

1

1)(

)1(2

22

2222

1

11

1

2

111

1

0

L

Ae

ee

eeeAeX

r

raarararaa

e

eAAeX

Lj

jj

LjLjjLj

n

n

j

LjL

n

nj

La magnitud y fase están dadas por:

1

0

222)(

L

nn

x LAAnxE

c.c

2sen

2sen

0

)(

L

A

LA

X

2sen

2sen

)1(2

)(

L

LAX

Propiedades de la Transformada de Fourier para señales discretas

Es importante hacer notar que X() es periódica con periodo 2, y este intervalo

es suficiente para especificar a X().

Figura 1.12

Linealidad: )()()()( 211211 XXanxnxa F

Simetría:

Si x(n) es real

a)

n

R nnxX cos)()(

n

I nsennxX )()(

b) RX y )(X tienen simetría par

IX y )(X tienen simetría non

c) )()(* XX

Si x(n) es real y par:

1

cos)(2)0()(n

R nnxxX

0)( IX

0)( RX

Si x(n) es real e impar:

1

)(2)(n

R nsennxX (non)

Si x(n) es imaginaria

a)

n

IR nsennxX )()( (non)

n

II nnxX cos)()( (par)

Si x(n) es imaginaria y non:

1

)(2)(n

IR nsennxX (non)

0)( IX

Si x(n) es imaginaria y par: 0)( RX

1

cos)(2)0()(n

III nnxxX (par)

Desfasamiento en el tiempo: )()( Xeknx kjF

Desfasamiento en la frecuencia: )()( 00

Xnxe Fnj

Reverso en el tiempo: )()( Xnx F

Teorema de convolución: )()()()( 2121 XXnxnx F

Por ejemplo sea 111)()( 21

nxnx

cos21)()( 21 XX

22

2

21

23

2cos2cos43cos21)()(

jjjj eeee

XX

Finalmente: 12321)()( 21

nxnx

Teorema de modulación:

)(2

1)(

2

1cos)( 00 XXnnx F

Teorema de Parseval:

dXXnxnx

n

)()(2

1)()( 2121

Diferenciación:

d

dXjnnx F )(

)(

Señal en tiempo continuo

Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia

Se

ña

l p

erió

dic

a

Se

rie

s d

e F

urie

r

Continua y periódica Discreta y periódica

Se

ña

l a

pe

rio

dic

a

Tra

nsfo

rma

da

d

e

Furier

)()()( 2 tdetxFx Ftj

aa

)()()( 2 FdeFxtx Ftj

aa

Continua y aperiódica Continua y aperiódica

)()(1

02tdtx

Tc

pT

tkF

a

p

k

k

tkFj

ka ecx 02

Señal en tiempo discreto

Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia

Se

ña

l p

erió

dic

a

Se

rie

s d

e F

urie

r

Discreta y periódica Discreta y aperiódica

Se

ña

l a

pe

rio

dic

a

Tra

nsfo

rma

da

d

e

Furier

n

jwn

a enxFx )()(

)()(2

1)(

2wdewxnx jwn

Discreta y periódica Continua y periódica

Transformada de Fourier Discreta

La DFT de N puntos de una secuencia x(n) de longitud LN se define por:

1,,1,0)()(1

0

2

NkenxkXN

n

N

nkj

y su IDFT es:

1,,1,0)(1

)(1

0

2

NnekXN

nxN

k

N

nkj

1

0

2

)(1 N

n

nkN

j

k enxN

c

1

0

2

)(N

k

nkN

j

kecnx

Si x(n) es una sucesión aperiódica de energía finita con FT:

n

njenxX )()( , y

X() es muestreada a N frecuencias equiespaciadas N

kwk

2 k=0, 1, …, N-1,

entonces

Sea xp(n) una sucesión periódica con periodo N, ésta puede ser representada por

una serie de Fourier como:

necxN

n

N

nkj

kP

1

0

2

Donde

1

0

2

)(1 N

n

N

nkj

Pk enxN

c

, k=0, 1, …, N-1. Si se define una sucesión x(n) igual

a xP(n) en un periodo, la DFT de esta última es X(k)=NcK.

Por consiguiente, la DFT puede interpretarse como el espectro discreto de xP(n).

Esto es, si

r

P rNnxnx )()( , entonces k

N

n

N

nkj

PK NcenxX

1

0

2

)(

, k=0, 1, …, N-1

Por ejemplo, sea x(n),

1,,1,0)()()(2

2

NkenxXkXn

N

nkj

N

k

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER

a) Simetría

𝐹[𝐹(𝑡)](𝜔) = 2𝜋𝑓(−𝜔)

Transformada de Fourier: 𝐹(𝜔) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡∞

−∞

𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟: 𝑓(𝑡) =1

2𝜋∫ 𝐹(𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑡𝑑𝜔

∞

−∞

2𝜋𝑓(𝑡) = ∫ 𝐹(𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑡𝑑𝜔∞

−∞

Demostración:

𝐹[𝐹(𝑡)](𝜔) = ∫ 𝐹(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡∞

−∞ Realizando un cambio de variable t=𝜔 --> dt=d𝜔

∫ 𝐹(𝜔)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝜔∞

−∞

= ∫ 𝐹(𝜔)𝑒𝑖(−𝜔)𝑡𝑑𝜔∞

−∞

= 2𝜋𝑓(−𝜔)

b) Linealidad

𝑥(𝑡) → 𝐹1(𝜔)

𝑦(𝑡) → 𝐹2(𝜔)

Entonces

ax(t) + by(t) → 𝑎𝐹1(𝜔) + 𝑏𝐹2(𝜔)

Homogeneidad: 𝑐𝑥(𝑡) → 𝑐𝐹1(𝜔)

Demostración: 𝐹(𝑐𝑥(𝑡)) = ∫ 𝑐𝑥(𝑡)𝑒−𝑖𝑤𝑡𝑑𝑡∞

−∞

𝑐 ∫ 𝑥(𝑡)𝑒−𝑖𝑤𝑡𝑑𝑡 = 𝑐𝐹(𝑥(𝑡)) = 𝑐𝐹1(𝜔)∞

−∞

Superposición: x(t) + y(t) → 𝐹1(𝜔) + 𝐹2(𝜔)

Demostración: 𝐹(𝑥(𝑡) + 𝑦(𝑡)) = ∫ (𝑥(𝑡) + 𝑦(𝑡))𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡∞

−∞

∫ 𝑥(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡∞

−∞

+ ∫ 𝑦(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡∞

−∞

𝐹1(𝜔) + 𝐹2(𝜔)

c) Desplazamiento en el dominio de t

𝑓(𝑡) → 𝐹(𝜔)

𝑓(𝑡 − 𝑡0) → 𝐹(𝜔)𝑒−𝑖𝜔𝑡0

Demostración

𝐹(𝑓(𝑡 − 𝑡0)) = ∫ 𝑓(𝑡 − 𝑡0)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡∞

−∞

Realizando cambio de variable: t-t0=u; t=t0+u; dt=du

∫ 𝑓(𝑢)∞

−∞

𝑒−𝑖𝜔(𝑢+𝑡0)𝑑𝑢 = ∫ 𝑓(𝑢)∞

−∞

𝑒−𝑖𝜔𝑢𝑒−𝑖𝜔𝑡0𝑑𝑢

𝑒−𝑖𝑤𝑡0 ∫ 𝑓(𝑢)𝑒−𝑖𝜔𝑢𝑑𝑢 = 𝑒−𝑖𝑤𝑡0𝐹(𝜔)∞

−∞

d) Desplazamiento en la frecuencia

𝐹[𝑒𝑖𝜔0𝑡𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑤 − 𝑤0)

Demostración:

∫ 𝑒𝑖𝑤0𝑡𝑓(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑖(𝜔−𝜔0)𝑡𝑑𝑡∞

−∞

∞

−∞

𝐹(𝜔 − 𝜔0)

e) Cambio de escala en el Dominio t

𝑓(𝑡) → 𝐹(𝜔)

𝑓(𝑎𝑡) →1

|𝑎|𝐹 (

𝜔

𝑎) 𝑎 ∈ 𝑅 − {0}

Para a>0

𝐹(𝑓(𝑎𝑡)) = ∫ 𝑓(𝑎𝑡)∞

−∞

𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡

Realizando cambio de variable: at=u; 𝑑𝑡 =𝑑𝑢

𝑎 ; t =

𝑢

𝑎

𝐹(𝑓(𝑎𝑡)) =1

𝑎∫ 𝑓(𝑢)

∞

−∞

𝑒−𝑖𝜔(𝑢𝑎

)𝑑𝑢 =1

𝑎∫ 𝑓(𝑢)

∞

−∞

𝑒−𝑖(𝜔𝑎

)𝑢𝑑𝑢

1

𝑎𝐹 (

𝜔

𝑎)

f) Transformada de Fourier de una derivada

𝐹 {𝑑𝑓(𝑡)

𝑑𝑡} = 𝐹{𝑓′(𝑡)} = ∫ 𝑓′(𝑡)𝑒−𝑖𝑤𝑡𝑑𝑡

∞

−∞

Demostración:

Sabemos que T.F. es: 𝐹{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑤) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑖𝑤𝑡𝑑𝑡∞

−∞

Integrando por partes:

𝑒−𝑖𝑤𝑡 = 𝑢 ; 𝑓′(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑑𝑣

𝑑𝑢 = −𝑖𝑤𝑒−𝑖𝑤𝑡 ; 𝑣 = 𝑓(𝑡)

𝐹{𝑓′(𝑡)} = −𝑖𝑤𝑒−𝑖𝑤𝑡𝑓(𝑡)| −∞∞ − ∫ 𝑓(𝑡)(−𝑖𝑤)𝑒−𝑖𝑤𝑡𝑑𝑡

∞

−∞

𝑒−𝑖𝑤𝑡 = cos(𝑤𝑡) − 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝑤𝑡)

lim𝑡→∞

𝑓(𝑡) = lim𝑡→−∞

𝑓(𝑡) = 0

𝐹{𝑓′(𝑡)} = −𝑖𝑤𝑒−𝑖𝑤𝑡𝑓(𝑡)| −∞∞ + ∫ 𝑓(𝑡)(𝑖𝑤)𝑒−𝑖𝑤𝑡𝑑𝑡

∞

−∞

𝐹{𝑓′(𝑡)} = 𝑖𝑤 ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑖𝑤𝑡𝑑𝑡∞

−∞

𝐹{𝑓′(𝑡)} = 𝑖𝑤𝐹(𝑤)

g) Transformada de Fourier de una integral

𝐹 [∫ 𝑓(𝜏)𝑑𝜏𝑡

−∞

] =𝐹(𝑤)

𝑖𝑤

𝑓 continua a pedazos

∫ |𝑓(𝑡)|𝑑𝑡∞

−∞ , converge

𝐹(𝑤) = 0

Demostración:

𝑔(𝑡) = ∫ 𝑓(𝜏)𝑑𝜏𝑡

−∞

; 𝑔′(𝑡) = 𝑓(𝑡) ; lim𝑡→−∞

𝑔(𝑡) = 0

𝐹(𝑤) = 𝐹[𝑓(𝑡)] = 𝐹[𝑔′(𝑡)] = 𝑖𝑤𝐹[𝑔(𝑡)]

𝐹(𝑤) = 𝑖𝑤𝐹 [∫ 𝑓(𝜏)𝑑𝜏𝑡

−∞

]

𝐹 [∫ 𝑓(𝜏)𝑑𝜏𝑡

−∞

] =𝐹(𝑤)

𝑖𝑤

h) Dualidad

𝐹[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑤) ; 𝐹[𝐹(𝑡)] = 2𝜋𝑓(−𝑤)

Demostración:

Sabemos:

𝐹(𝑤) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑖𝑤𝑡𝑑𝑡 →∞

−∞

𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 … … . ①

𝑓(𝑡) =1

2𝜋∫ 𝐹(𝑤)𝑒𝑖𝑤𝑡𝑑𝑤 →

∞

−∞

𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 … … ②

𝐹[𝐹(𝑡)] = ∫ 𝐹(𝑡)𝑒−𝑖𝑤𝑡𝑑𝑡 ∞

−∞

Remplazando t por w

𝐹[𝐹(𝑤)] = ∫ 𝐹(𝑤)𝑒−𝑖𝑤𝑡𝑑𝑤 ∞

−∞

… … … … … … . . ③

En ② remplazando w=u , t=w.

𝑓(𝑡) =1

2𝜋∫ 𝐹(𝑤)𝑒𝑖𝑤𝑡𝑑𝑤

∞

−∞

𝑓(𝑤) =1

2𝜋∫ 𝐹(𝑢)𝑒𝑖𝑤𝑢𝑑𝑢

∞

−∞

Remplazando u por t

𝑓(𝑤) =1

2𝜋∫ 𝐹(𝑡)𝑒𝑖𝑤𝑡𝑑𝑡

∞

−∞

𝑓(−𝑤) =1

2𝜋∫ 𝐹(𝑡)𝑒−𝑖𝑤𝑡𝑑𝑡

∞

−∞

2𝜋𝑓(−𝑤) = ∫ 𝐹(𝑡)𝑒−𝑖𝑤𝑡𝑑𝑡 ∞

−∞

2𝜋𝑓(−𝑤) = 𝐹[𝐹(𝑡)]

i) Modulación

𝑓𝑚(𝑡) = 𝑓(𝑡)cos (𝑤𝑝𝑡)

𝐹[𝑓𝑚(𝑡)] =1

2[𝐹(𝑤 − 𝑤𝑝) + 𝐹(𝑤 + 𝑤𝑝)]

Demostración:

𝐹 [𝑓(𝑡) (𝑒𝑖𝑤𝑝𝑡 + 𝑒−𝑖𝑤𝑝𝑡

2)] =

1

2[𝐹[𝑓(𝑡)𝑒𝑖𝑤𝑝𝑡] + 𝐹[𝑓(𝑡)𝑒−𝑖𝑤𝑝𝑡]]

𝐹 [𝑓(𝑡) (𝑒𝑖𝑤𝑝𝑡 + 𝑒−𝑖𝑤𝑝𝑡

2)] =

1

2[𝐹(𝑤 + 𝑤𝑝) + 𝐹(𝑤 − 𝑤𝑝)]

j) Teorema de parseval

∫ |𝑥(𝑡)|2

𝑑𝑡 =∞

−∞

∫ |𝑋(𝑓)|2

𝑑𝑓∞

−∞

Demostración:

∫ 𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)∗ 𝑑𝑡

∞

−∞

= ∫ (∫ 𝑋(𝑓)𝑒𝑖2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑡∞

𝑓=−∞

)∞

𝑡=−∞

𝑦(𝑡)∗ 𝑑𝑡

Si las integrales convergen, cambiando el orden de integración, y sacando 𝑋(𝑓)

fuera de la integral del tiempo,

∫ 𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)∗ 𝑑𝑡

∞

𝑡=−∞

= ∫ 𝑋(𝑓) (∫ 𝑦(𝑡)∗ 𝑒𝑖2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑡

∞

𝑓=−∞

)∞

𝑓=−∞

𝑑𝑓

= ∫ 𝑋(𝑓) (∫ 𝑦(𝑡)𝑒𝑖2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑡∞

𝑓=−∞

)

∗∞

𝑓=−∞

𝑑𝑓

∫ 𝑋(𝑓)𝑌(𝑓)∗ 𝑑𝑓

∞

𝑓=−∞

Para el caso particular de que 𝑥(𝑡) = 𝑦(𝑡)

∫ 𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)∗ 𝑑𝑡

∞

−∞

= ∫ |𝑥(𝑡)|2

𝑑𝑡∞

−∞

∫ 𝑋(𝑓)𝑌(𝑓)∗ 𝑑𝑓

∞

−∞

= ∫ |𝑋(𝑓)|2

𝑑𝑓∞

−∞

Por lo tanto:

∫ |𝑥(𝑡)|2

𝑑𝑡 =∞

−∞

∫ |𝑋(𝑓)|2

𝑑𝑓∞

−∞

USO DE LA CONVOLUCION

La convolución y las operaciones relacionadas se encuentran en muchas

aplicaciones de ingeniería y matemática.

En estadística, un promedio móvil ponderado es una convolucion.

En teoría de la probabilidad, la distribución de probabilidad de la suma de

dos variables aleatorias independientes es la convolucion de cada una de

sus distribuciones de probabilidad.

En óptica, muchos tipos de “manchas” se describen con convoluciones.

Una sombra (ejemplo: la sombra en la mesa cuando tenemos la mano entre

esta y la fuente de luz) es la convolucion de la forma de la fuente de luz que

crea la sombra y del objeto cuya sombra se está proyectando. Una

fotografía desenfocada es la convolucion de la imagen correcta con el

círculo borroso formado por el diafragma del iris.

En ingeniería eléctrica y otras disciplinas, la salida de un sistema lineal

(estacionario o bien tiempo-invariante o espacio-invariante) es la

convolucion de la entrada con la respuesta del sistema a un impulso.

LA INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN

La convolución entre dos funciones es un concepto físico importante en muchas

ramas de la ciencia.

Sin embargo, como sucede con muchas relaciones matemáticas importantes, no

es sencillo comprender sus alcances e implicaciones.

Para el caso de sistemas lineales e invariantes en el tiempo, la integral de

convolución permite determinar la respuesta del sistema ante cualquier entrada, a

partir del conocimiento de la respuesta del sistema ante una única entrada

particular, el impulso.

Si la respuesta del sistema ante un impulso (la “respuesta impulsiva” del sistema)

se nota como h (t), la salida de un sistema lineal e invariante en el tiempo (SLIT)

excitado con una entrada cualquiera x (t) está dada por la expresión.

𝑦(𝑡) = ∫ 𝑥(𝜏) ℎ(𝑡 − 𝜏) 𝑑𝜏 = ∫ 𝑥(𝑡 − 𝜏) ℎ(𝜏) 𝑑𝜏∞

−∞

∞

−∞

Y se dice que la función y(t) es la Convolución de las funciones x(t) y h(t), que se

nota x(t) *h(t).

El cálculo de esta integral se puede hacer en 3 pasos:

Paso nº 1: Cálculo de f(-τ). Para ello se calcula la función simétrica de f(t) con

respecto al eje de ordenadas.

Paso nº 2: Se procede a desplazar la función recién calculada un valor t, y así se

obtiene f(t − τ). Si t es positivo el desplazamiento es hacia la derecha, y en caso

contrario hacia la izquierda.

Paso nº 3: Se realiza el producto de la función a la que se han aplicado los dos

pasos anteriores con la otra función. Una vez hecho esto se calcula el área en

función del desplazamiento t y el resultado es precisamente la integral de

convolución.

Las principales propiedades en cuanto a la integral de convolución son:

Conmutativa: f(t) * g(t) = g(t) * f(t)

Asociativa: f(t) * [g(t) * h(t)] = [f(t) * g(t)] *h(t)

Distributiva: f(t) * [g(t) + h(t)] = f(t) * g(t) + f(t) * h(t)

Fig. 1

CONVOLUCIÓN CON IMPULSOS

La integral de convolución más sencilla de evaluar es aquella en la cual alguna de

las funciones intervinientes es un impulso. La convolución entre una función x(t) y

un impulso δ(t- t0) representados en las Figs.2 (a) y (b), respectivamente, se

puede calcular aplicando, por ejemplo, la ecuación de la integral de convolucion.

𝑥(𝑡) ∗ 𝛿(𝑡 − 𝑡𝑜) = ∫ 𝑥(𝑡 − 𝜏) 𝛿(𝜏 − 𝑡𝑜) 𝑑𝜏 =∞

−∞

𝑥(𝑡 − 𝑡𝑜)

El Paso del segundo al tercer miembro se explica por esta Propiedad del Impulso:

∫ 𝛿(𝜏 − 𝜃) 𝑥(𝜏) 𝑑𝜏 =∞

−∞

𝑥(𝜃)

Esto muestra que la convolucion de la función x(t) con una función impulso resulta

en desplazar x(t), llevando el origen del eje de las abscisas al lugar donde está

localizado el impulso, como se muestra en la figura 2(c).

CONVOLUCION CON UN PAR DE IMPULSOS

Sea h (t) la función formada por un par de impulsos que se muestra en la Fig. 3(a),

y x (t) la función pulso que se observa en la Fig. 3(b). Usamos la ecuación de la

integral de convolucion.

𝑦(𝑡) = ∫ [𝛿(𝜏 − 𝑇) + 𝛿(𝜏 + 𝑇)] 𝑥(𝑡 − 𝜏) 𝑑𝜏∞

−∞

Y aplicando la Propiedad del Impulso que ya mencionamos:

𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡 − 𝑇) + (𝑡 + 𝑇),

Cuya grafica se representa en la Fig. 3(c).

CONVOLUCION CON UN TREN DE IMPULSOS

El pulso rectangular

𝑥(𝑡) = {𝐴, |𝑡| < 𝜏/20, 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜,

De la Fig. 3(d) se convoluciona con el tren de impulsos

𝑝(𝑡) = ∑ 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇0)

𝑛

Que se grafica en la Fig. 3(e). El resultado de la convolucion es

𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∗ 𝑝(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∗ ∑ 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇0)

𝑛

= ∑ 𝑥(𝑡 − 𝑛𝑇0)

𝑛

Esta expresión, que se representa en la Fig. 3(f), muestra que al convolucionar el

pulso rectangular con el tren de impulsos, el primero queda replicado donde se

localizan cada uno de los impulsos.

Anexo

I. Pruebe que las señales en el tiempo 𝑦(𝑡) y 𝑢(𝑡) tienen transformada de

Fourier 𝑌(𝑗𝑤) y 𝑈(𝑗𝑤) respectivamente, si:

𝑑2𝑦(𝑡)

𝑑𝑡2+

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡+ 7𝑦(𝑡)=3

𝑑𝑢(𝑡)

𝑑𝑡+ 2𝑢(𝑡) … … . ①

Entonces 𝑌(𝑗𝑤)=𝐺(𝑗𝑤)𝑈(𝑗𝑤) para alguna función 𝐺(𝑗𝑤).

Solución:

Aplicando la transformada de Fourier a ① tenemos

𝐹 {𝑑2𝑦(𝑡)

𝑑𝑡2+

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡+ 7𝑦(𝑡)} = 𝐹 {3

𝑑𝑢(𝑡)

𝑑𝑡+ 2𝑢(𝑡)}

𝐹 {𝑑2𝑦(𝑡)

𝑑𝑡2} + 𝐹 {

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡} + 𝐹{7𝑦(𝑡)} = 3𝐹 {

𝑑𝑢(𝑡)

𝑑𝑡} + 2𝐹{𝑢(𝑡)}

Por la propiedad de la derivación.

(𝑗𝑤)2𝑌(𝑗𝑤) + 3(𝑗𝑤)𝑌(𝑗𝑤) + 7𝑌(𝑗𝑤) = 3(𝑗𝑤)𝑈(𝑗𝑤) + 𝑈(𝑗𝑤)

(−𝑤2 + 𝑗3𝑤 + 7)𝑌(𝑗𝑤) = (𝑗3𝑤 + 2)𝑈(𝑗𝑤)

𝑌(𝑗𝑤) =(𝑗3𝑤 + 2)𝑈(𝑗𝑤)

(−𝑤2 + 𝑗3𝑤 + 7)… … ②

𝑌(𝑗𝑤) = 𝐺(𝑗𝑤)𝑈(𝑗𝑤) … … . . ③

Comparando ②𝑦③

𝐺(𝑗𝑤) =(𝑗3𝑤 + 2)𝑈(𝑗𝑤)

(−𝑤2 + 𝑗3𝑤 + 7)

II. Calcular la transformada de Fourier de sinc(t).

Solución:

𝐹{𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡)} = ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡)𝑒−𝑖2𝜋𝑓𝑡∞

−∞

𝑑𝑡

Como: ∏(𝑡) = 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑓)

∏(𝑡) = ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑓)𝑒𝑖2𝜋𝑓𝑡∞

−∞

𝑑𝑓

Haciendo un cambio de f por t y a t por f.

∏(𝑓) = ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡)𝑒𝑖2𝜋𝑓𝑡∞

−∞

𝑑𝑡

Para obtener exactamente la integral que buscamos, evaluamos el pulso en −𝑓:

∏(−𝑓) = ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡)𝑒𝑖2𝜋(−𝑓)𝑡∞

−∞

𝑑𝑡 = ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡)𝑒−𝑖2𝜋𝑓𝑡∞

−∞

𝑑𝑡

En este caso como ∏(𝑓) es par.

𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡) ↔ ∏(𝑓)

III. Demostracion del teorema de Modulación

• 𝐹{𝑓(𝑡). 𝑔(𝑡)} =1

2𝜋F{f(t)}. F{g(t)} … (𝑎)

Demostración:

• Teniendo en cuenta la propiedad:

𝑓(𝑡) =1

2𝜋∫ 𝐹{𝑓(𝑡)}. 𝑒𝑖𝑤𝑡𝑑𝑤

+𝑜𝑜

−𝑜𝑜

… . (b)

• (b) en (a)

F{f(t).g(t)}=∫ 𝑓(𝑡). 𝑔(𝑡). 𝑒−𝑖𝑤𝑡𝑑𝑡𝑜𝑜

−𝑜𝑜

= ∫1

2𝜋

𝑜𝑜

−𝑜𝑜

∫ 𝐹{𝑓(𝑎)}. 𝑒𝑖𝑎𝑡𝑑𝑎. 𝑔(𝑡). 𝑒−𝑖𝑤𝑡𝑑𝑡𝑜𝑜

−𝑜𝑜

=1

2𝜋∫ 𝐹{𝑓(𝑎)}

00

−𝑜𝑜

∫ 𝑔(𝑡). 𝑒−𝑖𝑤𝑡. 𝑒𝑖𝑎𝑡𝑑𝑡𝑑𝑎𝑜𝑜

−𝑜𝑜

=1

2𝜋∫ 𝐹{𝑓(𝑎)}

00

−𝑜𝑜

∫ 𝑔(𝑡). 𝑒−𝑖(𝑤−𝑎)𝑡𝑑𝑡𝑑𝑎𝑜𝑜

−𝑜𝑜

=1

2𝜋∫ 𝐹{𝑓(𝑎)}

00

−𝑜𝑜

𝐹{𝑔(𝑤 − 𝑎)}𝑑𝑎

=1

2𝜋∫ 𝐹{𝑓(𝑎)}

00

−𝑜𝑜

𝐹{𝑔(𝑤 − 𝑎)}𝑑𝑎

=1

2𝜋𝐹(𝑤) ∗ 𝐺(𝑤)

• La transformada de fourier de f(t) por g(t) es igual a 1

2𝜋 por la convolución de

las transformadas de fourier de f y g.

IV. Encontrar la transformada de Fourier de la función seno.

)( 0tsentf

dttff e

ti

)(

2

1ˆ

dttsenf e

ti

)(

2

1ˆ0

dt

ieee

tititi

22

100

dti

f eetiti

)()( 00

22

1)(ˆ

)()(22

2)(ˆ 00

if

)()(

2)(ˆ 00

if

V. Encontrar la transformada de Fourier de la función:

)0(; 0 , 0

0 , )(

at

ttf e a

t

dttff e

ti

)(

2

1ˆ

02

1ˆ dtf eeti

a

t

0

1

2

1dte

tia

0

1

12

1ˆ

ia

f eti

a

ia

1

1

2

1

ai

a

12

1

ai

ai

1

1

22

2

22 112

2ˆa

ai

a

af