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7/26/2019 INFORME-DE-ESTATCA-TRABAJO.docx

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FACULTAD DE INGENIERA, ARQUITECTURA YURBANISMO

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL.

CURSO : ESTATICA.

CICLO : II

TRABAJO : TEORIA DEFUERZAS Y MOMENTOS

DE INERCIA..

DOCENTE : BERNILLA

ALUMNO : DE LA CRUZ RAMIREZ PASCUAL.

PIMENTEL, OCTUBRE DEL 2014.

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I. FUERZAS en el planoCaracterizadas por su punto de aplicacin, direccin y magnitud [N1kg*m/s].Debido a ue es un !ector, se rige por las operaciones del "lgebra

!ectorial

Cuando muc#as $uerzasconcurren en un punto, se

puede #acer la suma %determinar la$uerza resultante& usando la ley delparalelogramo'

Fuerzas (Componentes Oblicuas)

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Fuerzas (Componentes Rectangulares)

(2) OS I!E"CIO"ES

C

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EJERCICIOS DE APLICACIN DE TEORIA GENERAL DEFUERZAS

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SEGUNDO MOMENTO, O MOMENTO DE INERCIA, DE UNA AREA

DEFINICIN

Siempre que una carga distriuida act!a en "#rma

perpendicular a un rea $ que su intensidad var%a

linealmente& el clcul# del m#ment# de ladistriuci'n de carga c#n respect# a un e(e e

implicara una cantidad llamada el momento de

inercia del rea.

P#r e(empl#& c#nsid)rese una viga de secci'n

transversal uni"#rme& la cual est s#metida a d#s

pares iguales $ #puest#s que estn aplicad#s en

cada un# de l#s e*trem#s de la viga+ Se dice que

una viga en estas c#ndici#nes est en flexin pura $ en la mecnica de materiales

se demuestra que las "uer,as internas en cualquier secci'n de la viga s#n "uer,as

distriuidas cu$as magnitudes F=ky A var%an linealmente c#n la distancia y

que -a$ entre el element# de rea A $ un e(e que pasa a trav)s del centr#ide

de la secci'n+ .ic-# e(e& representad# p#r el e(e x en la "igura& se c#n#ce c#m# el

eje neutro de la secci'n+ /as "uer,as en un lad# del e(e neutr# s#n "uer,as de

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c#mpresi'n& mientras que las "uer,as en el #tr# lad# s#n "uer,as de tensi'n s#re

el pr#pi# e(e neutr# las "uer,as s#n iguales a cer#+

/a magnitud de la resultante R de las "uer,as elementales F que act!an

s#re t#da la secci'n es

R= kydA=kydA/a !ltima integral #tenida se c#n#ce c#m# el primer momento Qx de la secci'n

c#n res pect# al e(ex )sta es igual a y A $& p#r tant#& es igual a cer# puest#

que el centr#ide de la secci'n est uicad# s#re el e(e x+ P#r c#n siguiente& el

sistema de "uer,as F se reduce a un par+ /a magnitud M de dic-# par

m#ment# "lect#r dee ser igual a la suma de l#s m#ment#s

Mx=y F=k y2

A de las "uer,as elementales+ l integrar s#re t# da la

secci'n se #tiene

M=k y2

dA=ky2

dA

/a !ltima integral se c#n#ce c#m# el segundo momento& # momento de inercia& de

la secci'n de la viga c#n respect# al e(ex $ se representa c#n Ix.

tr# e(empl# de un segund# m#ment# # m#ment# de inercia de un rea l#

pr#p#rci#na el siguiente pr#lema de -idr#sttica+ #nsidere la placa de la "igura

e*puesta& la cual est s#metida a una presi'n de p del "luid#+

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sta presi'n var%a en "#rma lineal c#n la pr#"undidad& de tal manera que p=y &

de d#nde es el pes# espec%"ic# del "luid#+

s% la "uer,a que act!a s#re el rea di"erencial dA de la placa es

dF=pdA=ydA + P#r tant#& la magnitud de la resultante de las "uer,as

elementales es

R= ydA= ydA

P#r tant#& el m#ment# de esta "uer,a c#n respect# al e(e * es

Mx=y F=k y2

A

l integrar s#re t#da el rea de la placa resulta

M= y2dA= y2 dA

/a integral y2

dA se den#mina el m#ment# de inercia

Ix del rea c#n

respect# ale(e *+

DETERMINACION DE UN MOMENTO DE INERCIA DE UNA AREA PORINTEGRACION.

P#r de"inici'n& l#s m#ment#s de inercia de un rea di"erencial dAc#n respect# a

l#s e(esx$ ys#n

d Ix=y2

dA

$

d Iy=x2

dA

& respectivamente Imagen I+/#s momentos de inercia se determinan p#r integraci'n para t#da el rea es

decir

Ix=y2

dA Iy=x2

dA

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Imagen I

sta integrales& c#n#cidas c#m# l#s m#ment#s rectangulares de inercia del rea

& se pueden evaluar c#n "acilidad si se selecci#na a dA c#m# una tira delgada

paralela a un# de l#s e(es c##rdenad#s+ Para calcular Ix & la tira se selecci#na

paralela al e(e *& de manera que t#d#s l#s punt#s de dic-a tira est)n en la misma

distancia $ del e(e * Imagen II ent#nces& se #tiene el m#ment# de inercia

d Ix de la tira multiplicand# su rea dA p#r y2

+

Imagen II

Para calcularIy & la tira se selecci#na paralela al e(e $& de manera que t#d#s l#s

punt#s de dic-a tira est)n en la misma distancia * del e(e $ Imagen III as%& el

m#ment# de inerciad Iy de la tira multiplicand# su rea dA p#r x

2

+

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Imagen III

partir de las "#rmulaci#nes anteri#res se ve queIx e

Iy siempre sern

positivos$a que implican el pr#duct# de una distancia al cuadrad# $ un rea+dems& las unidades para el m#ment# de inercia implican la l#ngitud elevada a la

cuarta p#tencia& p#r e(empl#& m4& pulg4# pie4+

TEOREMA DE EJES PARALELOS PARA UNA AREA O TEOREMADE STEINER

Clasi#caci$n.

l te#rema de l#s e(es paralel#s puede usarse para determinar el m#ment# deinercia de un rea c#n respect# a cualquier e(e que sea paralel# a un e(e que pasa

a trav)s de su centr#ide $ del cual se c#n#,ca el m#ment# de inercia+

Para desarr#llar este te#rema& c#nsiderarem#s determinar el m#ment# de inercia

del rea s#mreada que se muestra en la "igura I c#n respect# al e(e *+

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Imagen IV

Para iniciar& elegirem#s un element# di"erencial dA que este uicad# a una

distancia y del e(e centr#idal x +

Si la distancia entre l#s e(es paralel#s x $ x se de"ine c#m# dy &

ent#nces el m#ment# de inercia de dA c#n respect# al e(e * es

y

y +d

d Ix=+ Para

t#da el rea+

IX=(y +dy )2 dA

y 2

dA+2dyy dA+d2

ydA

#d# est# tiene a una reempla,ante de +

/a primera integral representa el m#ment# de inercia del rea c#n respect# al e(e

centr#idal Ix + /a segunda integral es 0& $a que el e(e x pasa a trav)s del

centr#ide del rea& es decir y dA=0 puest# que $:;0+ servam#s que

c#m# la tercera integral representa el rea t#tal & el resultad# "inal es& es p#r

tant#+

IX=IX '+A d2y

ParaIy & se puede escriir una e*presi'n similar es decir

IY=IY '+A d2

x

/a "#rma de cada una de estas d#s ecuaci#nes estalece que el momento de

inercia de un rea con respecto a un eje es igual al momento de inercia del rea

con respecto a un eje paralelo que pase a travs del centroide del rea ms el

producto del rea y el cuadrado de la distancia perpendicular entre los ejes+

ANLISIS DEL MOMENTO DE INERCIA

uand# las "r#nteras de un rea plana s#n e*presadas mediante "unci#nes

matemticas& las ecuaci#nes pueden ser integradas para determinar l#s

m#ment#s de inercia para el rea+ Si el element# de rea elegid# para la

integraci'n tiene un tama


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imagen I& deen e"ectuarse una integraci'n d#le para evaluar el m#ment# de

inercia+

n la ma$#r%a de l#s cas#s& el m#ment# de inercia puede determinarse c#n una

integraci'n simple+ l siguiente pr#cedimient# muestra d#s "#rmas en las que se

puede -acer est#+

Si la curva que de"ine la "r#ntera del rea se e*presa c#m# y!fx& ent#nces

selecci#ne un element# di"erencial rectangular de m#d# que tenga una

l#ngitud "inita $ un anc-# di"erencial+ l element# dee estar uicad# de manera que interseque la curva en el

punto ar"itrariox& y+

as# 1

rientar el element# de "#rma que su l#ngitud sea paralela al e(e c#n

respect# al cual se calcula el m#ment# de inercia+ sta situaci'n #curre

cuand# el element# rectangular que se muestra en la "igura a# se usa para

determinar Ix del rea+ qu%& t#d# el element# est a una distancia ydel e(ex

puest# que tiene un espes#r dy+ s%&Ix=y2 dA + Para determinar Iy & el

element# se #rienta de la manera que se muestra en la "igura "#+ ste

element# se encuentra a la misma distancia x del e(e y de manera que

Iy=x2

dA +

as# 2

/a l#ngitud del element# puede estar #rientada de manera perpendicular al

e(e c#n respect# al cual se calcula el m#ment# de inercia sin emarg#& las

ecuaci#nes 10=1 no son aplica"les $a que t#d#s l#s punt#s del element# no

se encuentran a la misma distancia del ra,# de m#ment# desde el e(e+ P#r

e(empl#& si el element# rectangular de la "igura a# se usa para determinar

Iy & primer# ser necesari# calcular el m#ment# de inercia del elemento

c#n respect# a un e(e paralel# al e(e yque pase p#r el centr#ide del element#&

$ lueg# determinar el m#ment# deinercia del elemento c#n respect# al e(e y

p#r el te#rema de l#s e(es paralel#s+ >ediante la integraci'n de este resultad#

se #tendrIy .

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MOMENTOS DE INERCIA DE AREAS COMPUESTAS

DEFINICIN

?n rea c#mpuesta que est c#nstituida p#r varias reas c#mp#nentes 1& 2&

3+++ #m# la integral que representa el m#ment# de inercia de puede

sudividirse en integrales evaluadas s#re 1& 2& 3&+++& el m#ment# de inercia de

c#n respect# a un e(e dad# se #tiene sumand# l#s m#ment#s de las reas 1&

2& 3&+++ c#n respect# al mism# e(e+ P#r tant#& el m#ment# de inercia de un rea

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que c#nsta de varias de las "#rmas c#munes m#stradas en la Imagen + Se puede

#tener c#n las "'rmulas pr#p#rci#nadas en dic-a "igura+

ami)n p#dem#s de"inir el m#ment# de inercia de reas c#mpuestas& c#m# una

rea c#mpuesta c#nsiste en una serie de partes # "#rmas @ms simplesA

c#nectadas& c#m# rectngul#s& tringul#s $ c%rcul#s+ Siempre que el m#ment# de

inercia de cada una de esas partes se c#n#ce # puede determinarse c#n respect#

a un e(e c#m!n& ent#nces el m#ment# de inercia del rea c#mpuesta es igual a la

suma alge"raica de l#s m#ment#s de inercia de t#das sus partes .

Sin emarg#& antes de sumar l#s m#ment#s de inercia de las reas c#mp#nentes&

es p#sile que se tenga que utili,ar el te#rema de l#s e(es paralel#s para pasar

cada m#ment# de inercia al e(e desead#+

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Imagen V

ANLISIS DEL MOMENTO DE INERCIA

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l m#ment# de inercia para un rea c#mpuesta c#n respect# a un e(e dere"erencia puede determinarse p#r el siguiente pr#cedimient#+

Partes compuestas

#n un cr#quis& divida el rea en sus partes c#mp#nentes e indicar ladistancia perpendicular desde el centr#ide de cada parte -asta el e(e dere"erencia+

Teorema de los ejes paralelos (Teorema de Steiner)

Si el e(e centr#idal para cada parte n# c#incide c#n el e(e de re"erencia& deer

usarse el te#rema de l#s e(es paralel#s& I=I+A d2

& para determinar el m#ment#

de inercia de la parte c#n respect# al e(e de re"erencia+ Para el clcul# de I

use la tala que aparece en la "igura +

Suma.

l m#ment# de inercia de t#da el rea c#n respect# al e(e de re"erencia sedetermina p#r la suma de l#s resultad#s de sus partes c#mp#nentes c#nrespect# a este e(e+

Si una parte c#mp#nente tiene un @agu(er#A& su m#ment# de inercia seencuentra al @restarA el m#ment# de inercia del agu(er# del m#ment# deinercia de t#da la parte& incluid# el agu(er#+

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EJERCICIO APLICADO

EJERCICIO 1

.etermine el m#ment# de inercia del rea rectangular de la "igura c#n respect#aa el e(e centr#idal *:& el e(e *& que pasa p#r la ase del rectngul#+

+

SOLUCION

Parte a

Para la integraci'n se elige el element# di"erencial que se muestra en la "igura+

.eid# a su uicaci'n $ #rientaci'n t#d# el element# est a una distancia $: del

e(e *:+ qu% es necesari# integrar desde $:;=-B2 a $:;-B2+

#m# d;d$:& ent#nces

Ix=y 2

dA=h

2

h

2

y 2

bdy =bh

2

h

2

y 2

dy

Ix= 1

12b h

3

Parte

l m#ment# de inercia c#n respect# a un e(e que pase p#r la ase del rectngul#

se puede #tener usand# el resultad# de la parte a aplicand# el te#rema de l#se(es paralel#s

Ixb=Ib+A d

2y

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h

2

Ixb= 1

12b h

3+bh

EJERCICIO 2

.etermine el m#ment# de inercia de un tringul# c#n respect# a su ase+

SOLUCION

Se diu(a un tringul# de asae "$ altura $ el e(e * se selecci#na de manera que

c#incida c#n la ase del tringul#+ Se selecci#na d c#m# una tira di"erencial

paralela al e(e *+ #m# t#das las p#rci#nes de la tira estn a la misma distancia a

partir del e(e *& se escrie

d Ix=y2

dA === ===CCC dA=Idy

Si se utili,an tringul#s seme(antes se tiene que

I

b=h

y

h

I=bhy

h

dA=bhy

h dy

#n la integraci'n ded I

x & desde $;0 -asta $;-& se #tiene

Ix=y2 dA=0

hy

2bhyh

dy=b

h0

h

( h y2y3 ) dy

Ix=b h

3

12

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EJERCICIO 3

.etermine el m#ment# de inercia del rea s#mreada en gris de la "igura& c#n

respect# al e(e *+

SOLUCION (I)

Para la integraci'n se elige un element# di"erencial del rea que sea paralel# al

e(e *& c#m# se muestra en la "igura+ #m# este element# tiene un espes#r d$ e

interseca la curva en el punt# aritrari# *& $& su rea d; 100=* d$+ dems& el

element# se encuentra a la misma distancia * desde el e(e+ P#r c#nsiguiente& al

integrar c#n respect# a $& desde $;0 -asta $; 200 se #tiene +

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Ix=y2 dA=0

200

y2(100x)dy =

0

200

y2(100

y2

400)dy

Ix=107 (106 ) m m4

SOLUCION (II)

Para la integraci'n& se elige un element# di"erencial paralel# al e(e $& c#m# se

muestra en la "igura+ l element# interseca la curva en el punt# aritrari# *& $+ n

este cas#& n# t#d#s l#s punt#s del element# se encuentran a la misma distancia

del e(e *& $ p#r l# tant# dee usarse el te#rema de l#s e(es paralel#s para

determinar el m#ment# de inercia del element# c#n respect# a este e(e+ Para un

rectngul# c#n ase $ altura -& el m#ment# de inercia c#n respect# a su e(e

centr#idal esIx=

1

12b h

3

+ Para el element# di"erencial m#strad# en la "igur& ;

d* $ - ; $& $ ent#ncesd Ix=

1

12dx y

3

+ #m# el centr#ide del element# est en

~y=y /2 desde el e(e *& el m#ment# de inercia del element# c#n respect# a este

e(e es

d Ix=d Ix'+ 1

12dA~y

2= 1

12dx y

3+ydx (y2 )2

=1

3y

3dx

Integrand# c#n respect# a *& desde * ; 0 -asta * ; 100

mm& resulta

Ix=d

Ix= 0

100mm1

3 y

3

dx= 0

100mm1

3 (400

x )

3

2

dx

Ix=107 (106 ) mm4

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EJERCICIO 4

.etermine le m#ment# de inercia c#n respect# al e(e * del area circular que se

muestra en la "igura+

SOLUCION 1

?sam#s el element# di"erencia que se muestra en la "igura d ;2*d$& tenem#s

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Ix=y2

dA= y2 (2x )dy

2a2y2

y

2

Ix=a

a

SOLUCION 2

uand# se elige el element# di"erencial que se muestra en la "igura & el centr#ide

del element# se encuentra en el e(e *& $ c#m#Ix=

1

12b h

3

para un rectngul#&

tenem#s

d Ix= 1

12dx (2y )3 d Ix=

2

3y

3dx

Integrand# c#n respect# a *& resulta

Ix=a

a2

3(a2b2)3 /2 dx=

a4

4

EJERCICIO 5

.etemine el m#ment# de inercia del rea que se muestra en la "igura c#n respect#

al e(e *+

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SOLUCION

%arte &ompuesta l rea puede #tenerse al restar el c%rcul# del rectngul# de la

"igura+ l centr#ide de cada rea est uicad# en la "igura+'eorema de los (jes %aralelos)/#s m#ment#s de inercia c#n respect# al e(e * se

determinan c#n el te#rema de l#s e(es paralel#s $ l#s dat#s pr#p#rci#nad#s en la

tala de li imagen v+

ircul#

Ix=Ix +A dy2

10

Ix=1

4

(254 )+(252 ) (752 )=11.4

Dectngul#

Ix=Ix +A dy2

10

Ix= 1

12100 (1503 )+1500(100)(752 )=112.5

Desultad# "inal la di"erencia del rectngul# men#s el c%rcul# en m#ment#s de

inercia+

Ix=(11.4+12.5 )106

mm4

Ix=101(106)mm4

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EJERCICIO 6

.etemine el m#ment# de inercia del rea de la secci'n transversal del element#

que se muestra en la "igura& c#n respect# a l#s e(es centr#idales *& $+

SOLUCION

%artes &ompuestas)/a secci'n transversal puede sudividirse en las tres reas

rectangulares & E $ . que se muestran en la

siguiente "igura+ Para el clcul#&& el centr#ide de

cada un# de es#s rectngul#s est l#cali,ad#

en la "igura+

'eorema de los (jes %aralelos)l m#ment# de

inercia de un rectngul# c#n respect# a su e(e

centr#idal esIx=

1

12b h

3

+ P#r l# tant#& c#n el

te#rema de l#s e(es paralel#s rectngul#s en $

.& l#s clcul#s s#n c#m# sigue

Dectngul#s $ .

IX=IX +A dy2=

1

12(100)(3003 )+(100) (300)(2002)=1.425x109m m4

Iy=IX +A dx2

= 1

12 (300)(1003

)+(100) (300)(2502

)=1.90x109

mm4

Dectngul# EIX=

1

12(600)(1003 )=0.05x 109 mm4

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Iy= 1

12(100 )(6003 )=1.8x109mm4

l m#ment# de inercia de t#da la secci'n transversal

IX=2 [1.425 (109 ) ]+0.05 (109 )=2.9x104 mm4

Iy=2 [1.9 (109 ) ]+1.8 (109 )=5.6x 104 mm4

EJERCICIO 7

.etermine el m#ment# del rea s#mreada respect# al e(e *+

SOLUCION

l rea dad puede #tenerse restnd#le un semic%rcul# a un rectngul#+ /#s

m#ment#s de inercia del rectngul# $ del semic%rcul# sern calculad#r de "#rma

separada+

>#ment# de inercia del rectngul# I*;1

3b h

3=1

3(240)1203=138.2x 106 mm4

Faciend# re"erencia a la "igura se determina la uicaci'n del centr#ide c#n

respect# al dimetr# :+

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a=4r

3 =(

4)(90)3

=38.2mm

/a distancia desde el centr#ide -asta el e(e *

b=12038.2=81.8

l m#ment# de inercia del semic%rcul# c#n respect# al dimetr# :& se calcula el

rea del semic%rcul#

IAA =1

8 r

4=25.75x 106

A=1

2 r

2=12.72x103

#n el te#rema de e(es paralel#s se #tiene el val#r de Ix

IX=IX +A b2=92.3x106

>#ment# de inercia dada si se resta el m#ment# de inercia del rectngul# c#n la

del semic%rcul# se #tiene+

IX=13.82x10692.3x106=45.9x106

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EJERCICIO

.etemine el m#ment# de inercia del rea c#mpuesta c#n respect# al e(e $+

SOLUCION

/a te#r%a determina para reas c#mpuestas tra,ar el centr#ide cada una de las

reas para lueg# aplicar te#rema de e(es paralel#s e#rema de Steiner

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Iy=IY +A d2x

Iy= 1

36(200)(3003 )+ 1

2(200) (300)(2002 )+ 1

12(200 )(3003)+ (200) (300 )(4502 )( 4 (754 )+(752 ) (4502 ))=

EJERCICIO !

.etermine el m#ment# de inercial del rea de la secci'n transversal de la viga c#n

respect# al e(e $+

SOLUCION

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uand# se trate de reas c#mpuesta gra"icar su centr#ide en este cas# de d#s

rectngul#s para su p#steri#r clcul#+

Iy= 1

12

(100 )(2003 )+ 1

12

(300 )(1003 )=91x104 mm4

EJERCICIO 1"

alcular el m#ment# de inercia

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SOLUCION

Para reali,ar el e(ercici#& dividim#s la secci'n en tres rectngul#s& un# de 160*20

$ d#s de 60*20+ ?na ve, -ec-# est#& $ dad# que se c#n#ce la e*presi'n del

m#ment# de inercia de un rectngul# c#n respect# a l#s e(es que pasan p#r su

centr# de gravedad+

1

12(60)(203 )+(60) (20)702+ 1

1220 (1603 )=18.67X106 mm4

IX=2

1

12(20)(603 )+(60) (20) (5027.14 )2+ 1

12160 (203 )+160x20 (1027.14 )2=3.021x106 mm4

Iy=2

CONCLUSIONES

l m#ment# de inercia # m#ment# # segund# m#ment# de rea # m#ment#

de inercia de rea es a#rdad# p#r la esttica& en el cual se relaci#na c#n el

es"uer,# n#rmal # la "uer,a p#r unidad de rea c#n un m#ment# >

aplicad#+

l m#ment# de inercia s'l# depende de la ge#metr%a del cuerp# $ de la

p#sici'n del e(e de gir# per# n# depende de las "uer,as que intervienen en

el m#vimient#+

l e#rema de Steiner n# se puede aplicar entre d#s e(es paralel#s

cualesquiera& un# de ell#s tiene que pasar p#r un e(e en cu$# m#ment# de

inercia sea c#n#cid# es el cas# del e(e centr#idal+

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>uc-as veces se #tiene el m#ment# de inercia de un cuerp# respect# a

un ciert# e(e mediante el m#ment# respect# a #tr# e(e usand# el te#rema

de Steiner+

#m# el m#ment# de inercia es aditiv# el clcul# de un m#ment# de inercia

de un cuerp# c#mpuest# se puede t#mar c#m# la suma de l#s m#ment#s

de inercia de sus partes+ stas partes divididas& al ser "iguras c#n#cidas

c#m# rectngul#s # c%rcul#s& etc+ n#s "acilitan el pr#ces# al c#n#cer $a las

"#rmulas respectivas a cada una de ellas+ Faciend# as% ms c'm#d# el

pr#ces# de -allar el m#ment# de inercia de cada "igura $ c#n una simple

suma& #tener el m#ment# de inercia t#tal de la "igura c#mpuesta+

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