Informe Especial 2

Universidad de Costa RicaEscuela de FsicaFS0211 Laboratorio de Fsica General IGrupo 012

Informe Especial #2Teorema del Eje Paralelo

Profesora:Melania Campos Rodrguez

Estudiante:Javier Francisco Durn Calvo.

Carn:B12285

Mircoles 20 de Junio, 2012

TEOREMA DEL EJE PARALELO

Resumen:Se desarrollar el laboratorio del Teorema del Eje Paralelo de la Gua de Laboratorio de Fsica General I de Lora, L.[footnoteRef:1] Se utilizar para esto un disco con perforaciones a lo largo de su dimetro, el cual se pondr en rotacin sobre un eje fijo; el cual se variar con dichas perforaciones para estudiar las diferencias que hay en cuanto a su momento de inercia; esto ser posible gracias a un contador digital conectado a una barrera fotoelctrica que medir el semi perodo del disco. Es necesario tener en cuenta que el disco se debe encontrar nivelado para llevar a cabo el experimento. De esta manera se comparar cuantitativamente las diferencias existentes en los momentos de inercia de cada eje elegido para la rotacin del disco. [1: Lora, L. Gua de Laboratorio de Fsica General I. Universidad de Costa Rica. San Jos, Costa Rica. 2012. pp. 78-82.]

Introduccin:La inercia es la incapacidad de los cuerpos para salir del estado de reposo, cambiar las condiciones de su movimiento o cesar en ste sin la aplicacin o intervencin de alguna fuerza. Para un sistema de partculas y respecto de un eje dado, el momento de inercia es la suma de los productos de la masa (mi), de cada una de las partculas por el cuadrado de su distancia (ri). El momento de inercia es la constante de proporcionalidad entre la componente del momento angular (L) de un cuerpo que gira en torno a un eje respecto a ste y la velocidad angular () respecto al mismo eje[footnoteRef:2] [2: Navarro, F. et al. La Enciclopedia. Tomo 11. Salvat Editores. Madrid, Espaa. 2004. p. 8067.]

Esta propiedad de la materia puede presentarse como resistencia al cambio del movimiento rotativo, y entonces se le conoce como inercia rotacional (o rotativa, que igualmente se asocia con la cantidad de masa y su distribucin con respecto al eje de rotacin). Esto fue llamado por Euler momento de inercia.1 Un tensor de inercia (tensor de segundo orden) es la generalizacin del momento de inercia cuyas componentes establecen la relacin entre las del momento angular y las de la velocidad de rotacin de un slido2 (esta relacin se expone en el marco terico). Un eje de rotacin es una recta en torno a la cual gira un determinado sistema mecnico. Para un cuerpo cualquiera, existen infinitos posibles ejes de rotacin; lo cual afecta directamente al momento de inercia de dicho cuerpo; ya que el momento de inercia de un objeto depende de la eleccin del eje de rotacin; es por esto que no hay un solo momento de inercia para un objeto; sin embargo, s existe un valor del momento de inercia mnimo, el cual es calculado en torno a un eje que pasa a travs del centro de masa del objeto. El clculo de momentos de inercia de un objeto en torno a un eje cualquiera, paralelo al eje anteriormente mencionado, es posible mediante el uso del teorema de ejes paralelos o teorema de Steiner, el cual relaciona el momento de inercia respecto a un eje que pasar por el centro de masas con el relativo a un eje paralelo[footnoteRef:3] (ver Anexo 1). [3: Medina, A.; Ovejero, J. Dinmica de la Rotacin. Universidad de Salamanca. Salamanca, Espaa. 2010. Recuperado de http://ocw.usal.es/eduCommons/ensenanzas-tecnicas/fisica-i/contenidos/temas_por_separado/5_ap_dinrot 1011.pdf el 9 de junio, 2012.]

Tambin es importante el concepto del pndulo de torsin el cual es undispositivoconsistente en una barra horizontal sujeta a un soporte por medio de un alambre de torsin. Este hilo de acero tiene un par de cobre, proporcional al ngulo de giro que se le impone (ver Anexo 2).Los objetivos de la prctica son: determinar la variacin del periodo de oscilacin de un pndulo fsico cuando se cambia el lugar del eje de rotacin; medir perodos de oscilacin de un pndulo de torsin y emplear el Teorema del Eje Paralelo para determinar el momento de inercia de un disco.Marco Terico:

Como ya se ha recalcado, un objeto tiene infinita cantidad de momentos de inercia, ocasionado por la cantidad de ejes posibles sobre los cuales puede rotar, que tambin es infinito. Es por esto que en la prctica es necesario utilizar una relacin entre cualquiera de estos ejes paralelos al eje que atraviesa el centro de masa. Esta relacin est dada por el teorema de Steiner o del eje paralelo, el cual dice que existe una relacin entre el momento de inercia, la masa el cuerpo en rotacin y la distancia a la que se encuentra el eje de rotacin al eje del centro de masa.Los momentos de inercia de slidos rgidos con una geometra simple (alta simetra) son relativamente fciles de calcular si el eje de rotacin coincide con un eje de simetra. Sin embargo, los clculos de momentos de inercia con respecto a un eje arbitrario pueden ser complejos, incluso para slidos con alta simetra. El teorema de Steiner suele facilitar dichos clculos.Supongamos que se conoce el momento de inercia con respecto a un eje que pase por el centro de masa de un objeto; entonces es posible conocer el momento de inercia con respecto a cualquier otro eje paralelo al primero que se encuentre a una distancia D por medio de la siguiente relacin:

Donde Ip es el momento de inercia en un eje paralelo al momento de inercia del centro de masa (ICM), M es la masa del objeto en rotacin y d es la distancia que hay entre ambos ejes. Con ayuda del Anexo 3, se procede a la demostracin del teorema de Steiner.

(2)Si se toma un elemento de masadm situado en las coordenadas (x,y) y se escoge un sistema de coordenadas con origen en el centro de masas del objeto, las nuevas coordenadas del elemento de masa sern (x',y'):

Si se calcula el momento de inercia respecto del eje z que es paralelo al eje que pasa por el centro de masa se tiene:

Como el segundo sistema de referencias tiene como origen el centro de masa, se tiene que:

La primera integral es el momento de inercia respecto del eje que pasa por el centro de masa. La ltima integral es la masa del slido y la magnitud que multiplica a esta integral es la distancia al cuadrado entre los dos ejes; por lo tanto, se cumple (1)[footnoteRef:4]: [4: Abad, L.; Colorado, D. Momentos de inercia. Escuela Politcnica Superior, Universidad Alfonso X el Sabio. 2011. Recuperado de http://momentosdeinercia.blogspot.com/p/teorema-de-steiner.html el 12 de junio, 2012]

As mismo, es importante manejar los conceptos fsicos arrojados por el pndulo de torsin. En el Anexo 2 se pueden observar dos tipos de pndulos de torsin que estn formado por un objeto suspendido (un disco y una barra rgida horizontal) de un hilo que por el otro extremo est unido a un punto fijo. Un muelle espiral colocado de forma horizontal tambin se puede considerar como un pndulo de torsin. Cuando el hilo o el muelle se giran un ngulo , ejercen un momento que tiende a devolver el objeto a su posicin inicial. Ese momento suele ser de la forma:

Donde el eje de giro se representa por z, z es la componente del momento sobre el eje de giro y se denomina constante de torsin y depende de las propiedades elsticas del hilo o del muelle.La segunda ley de Newton para la rotacin aplicada a un cuerpo rgido con simetra de revolucin y de momento de inercia I, se puede expresar como:

Con lo que, sustituyendo z, resulta la siguiente ecuacin diferencial:

Con lo que se puede comprobar que la solucin de (10) es de la forma:

Que representa un movimiento armnico simple, cuya frecuencia y periodo son, respectivamente:

A diferencia del pndulo simple, en este caso no se necesita en ningn momento suponer que el ngulo sea lo suficientemente pequeo para que la ecuacin diferencial sea lineal; es decir, en el caso del pndulo de torsin, siempre que el momento sea proporcional al ngulo girado, el sistema describe un movimiento armnico simple[footnoteRef:5]. [5: (n.d.). Teorema de Steiner. Universidad del Pas Vasco. 2009. Recuperado de http://212.128.130.23/eduCommons/ ensenanzas-tecnicas/fisica-i/contenidos/practicas_laboratorio/steiner.pdf el 12 de junio, 2012.]

A partir de (8), si se supone que solamente la fibra ejerce un momento de fuerza sobre el disco, . Si Ip es el momento de inercia del disco en torno al eje de la fibra, se tiene que:

Procedimiento:

Se sigui el procedimiento descrito en la prctica Teorema del Eje Paralelo de la Gua de Laboratorio de Fsica General I de Lora, L.1

Resultados:

Tablas:

Tabla 1. Clculo de la constante del resorte helicoidal.Radio = 0,15 m

Fuerza F (N)ngulo (rad)

0,02

0,06

0,10

0,16

0,20

Tabla 2. Teorema del eje paralelo.

Distancia d (m)Semi-Periodo ST (s)Semi periodo Promedio Tprom (s)Periodo T = 2 STprom (s)

IzquierdaDerecha

ST1ST2ST3ST4ST5ST6ST7ST8ST9ST10

0,0001,3711,3711,3711,3711,3711,3281,3281,3241,3281,3271,3492,698

0,0301,4231,4231,4231,4231,4231,4151,4151,4151,4151,4151,4192,838

0,0601,5661,5661,5661,5661,5661,5901,5911,5911,5911,5911,5783,157

0,0901,8231,8231,8231,8231,8231,8471,8471,8471,8471,8471,8353,670

0,1202,0792,0782,0782,0792,0792,1152,1152,1152,1152,1152,0974,194

Tabla 3. Resumen de clculos.

Distancia d (m)Distancia d (m)Momento de inercia Ip (kgm)

0,0000,00000,00487

0,0300,00090,00539

0,0600,00360,00666

0,0900,00810,00901

0,1200,01440,01176

Grficas:

Grfica 1. Valor de la constante de torsin .

Grfica 2. Momento de inercia del disco respecto a su centro de masa.

Clculos: Para determinar el valor de los torques se us la siguiente expresin:

Donde se us un ngulo igual a 90, de tal manera que se anulara la expresin sin. Por ejemplo, para la primera fila de la Tabla 1, se tiene que:

Para determinar la constante de torsin del resorte se puede utilizar el mtodo de mnimos cuadrados de la siguiente manera:

Se construye la siguiente tabla para obtener los valores necesarios para la pendiente:Datoxiyixiyixi2yi2

10,2620,0037,854 x 10-40,068549,00 x 10-6

20,5240,0094,712 x 10-30,27428,10 x 10-5

30,7850,0151,178 x 10-20,61692,25 x 10-4

41,0470,0242,513 x 10-21,0975,76 x 10-4

51,3090,0303,927 x 10-21,7139,00 x 10-4

3,9270,0818,168 x 10-23,7701,791 x 10-3

Entonces se tiene que:

Que es la pendiente de la Grfica 1.

Para determinar el momento de inercia Ip del disco, se usa la ecuacin (13) de la siguiente manera (se usa como ejemplo la fila 1 de la Tabla 2):

Donde, si se despeja para Ip se tiene:

Y si se sustituyen valores se tiene:

Para averiguar el valor terico del momento de inercia en el centro de masa del disco se utiliza la siguiente ecuacin:

Donde, sustituyendo valores, se tiene:

Y el valor terico del momento de inercia para un eje paralelo al centro de masa es, de acuerdo con la ecuacin (1):

Nota: se averiguarn los cinco momentos de inercia para as evaluar sus respectivos porcentajes de error.

Ahora, para calcular los respectivos porcentajes de error, se utilizan los valores experimentales contra los tericos:

Para determinar el error en la masa, se procede de la siguiente manera:

Discusin:

Los resultados obtenidos a lo largo de la prctica muestran mucha concordancia con la teora propuesta; principalmente en lo que es la aplicacin del teorema de Steiner o de ejes paralelos y la ecuacin (1), que es la que explica la relacin expuesta por Steiner. Iniciando con el anlisis de la Tabla 1, no muy relacionado con la prctica pero importante en la determinacin de posteriores clculos, se demuestra que conforme aumenta el desplazamiento angular del disco, se requiere una fuerza perpendicular mayor en magnitud; esta tendencia, es de gran utilidad para la elaboracin de la Grfica 1, donde se puede apreciar la relacin lineal planteada en la ecuacin (8) segn el artculo de la Universidad del Pas Vasco y otras fuentes (entre ellas, la gua de Laboratorio de Fsica General I, de Lora, L.). A partir de esta grfica, fue posible determinar, por medio de su pendiente, el valor de la constante de torsin ; hay que tener en cuenta que siempre existe error asociado a la medicin. As mismo, es fcil apreciar que la pendiente es muy cercana a cero (0), como lo dice la teora, puesto que fcilmente se ve a partir de la ecuacin (8) que la interseccin con el eje y (en este caso, la torsin ) es en (0,0). Procediendo con la Tabla 2, fue posible observar que conforme se aumentaba la distancia del eje de rotacin con respecto al eje de centro de masa, la variacin en la duracin del perodo tiende a aumentar. Esto concuerda con la teora y la ecuacin (1); ya que, segn Abad, L. y Colorado, D., el momento de inercia en un eje paralelo al centro de masa es la suma del momento de inercia en el centro de masa y el producto de la masa del disco y el cuadrado de la distancia que separa al eje del centro de masa, por lo que se espera que conforme aumenta dicha distancia, el momento de inercia en el eje sea mayor y por lo tanto sea ms difcil cambiar el estado de movimiento del cuerpo, es decir, su inercia y por lo tanto el perodo de rotacin sea mayor a un eje que se encuentra ms cercano al centro de masa. Este anlisis se ve inclusive mejor plasmado en la Tabla 3, donde se aprecia el valor experimental obtenido para los diferentes ejes paralelos y la clara tendencia a que este aumente conforme se aumente la distancia de separacin. Al observar la Grfica 2 se obtienen valores muy importante para el anlisis correspondiente. En primer lugar, al usar la variable equivalente a la distancia al cuadrado (en lugar de solo la distancia), se tiene una curva con tendencia lineal creciente, lo que vuelve a concordar con lo planteado por los diferentes autores. Entonces, a partir de esta grfica se obtienen valores como la masa del disco (en este caso esta es obtenida a partir de la pendiente y da un valor muy aproximado al real con un porcentaje de error mnimo, menor al 1%) y el momento de inercia del centro de masa (que, segn la ecuacin (1) correspondera al punto de interseccin con el eje de las ordenadas y se asocia al valor con el porcentaje de error ms alto de la prctica pero an dentro de un rango aceptable menor al 10% de error). En sntesis, los resultados obtenidos se encuentran dentro de un margen aceptable de error y muestran concordancia con la teora planteada en el Marco Terico.

Conclusiones:

Los objetivos de la prctica Teorema del Eje Paralelo fueron cumplidos satisfactoriamente. En cuanto al primer objetivo, se pudo determinar la variacin del periodo de oscilacin de un pndulo fsico al cambiar el eje de rotacin a cuatro diferentes posiciones paralelas al primero; asimismo, se midieron periodos de oscilacin de un pndulo de torsin mediante la suma de semiperiodos de oscilacin. Finalmente, se emple el Teorema del Eje Paralelo para determinar el momento de inercia de un disco y se obtuvieron resultados acordes a la teora. Los pequeos porcentajes de error obtenidos siempre son explicables e inevitables; en este caso, estos pueden estar asociados a errores en las mediciones de masa, tiempo, longitud y fuerza (principalmente esta ltima ya que es una medicin bastante imprecisa que puede generar mucho error al calcular la constante de torsin , lo que afectara muchos de los clculos); sin embargo, estos fueron, como se dijo anteriormente, mnimos y permiten an as un anlisis preciso de los resultados obtenidos.

Cuestionario:

1. Qu significado fsico tiene la pendiente y la intercepcin en cada una de las grficas elaboradas?

En la Grfica 1, la pendiente es la constante de torsin del resorte y la intercepcin no tiene significado fsico asociado, puesto que debera ser nula (y en este caso se aproxima mucho a 0).En la Grfica 2, la pendiente es la masa del disco y la intercepcin es el momento de inercia en el eje de centro de masa.

2. Por qu es necesario nivelar el disco empleado en esta prctica?

De esta manera se disminuye el error asociado a la medicin de los semiperodos; ya que el disco tendera a moverse hacia donde haya mayor masa del mismo concentrada, al tener componente en el eje y, el objeto tendera a inclinarse de tal manera que su peso sea halado por el eje y(-).

3. Indique al menos una aplicacin prctica del teorema del eje paralelo en su carrera de estudio.

En Ingeniera Qumica es til para estudiar la elasticidad y resistencia de los materiales, para aplicarlo a problemas de esttica de slidos rgidos aplicados al diseo mecnico.

4. Cules son las principales fuentes de error en este experimento? Explique.

Las fuentes de error ms importantes son aquellas asociadas a la medicin de la masa del disco, la longitud de la distancia del centro de masa a los diferentes ejes de rotacin y los semiperodos de oscilacin del pndulo de torsin; a esto hay que asociarle siempre el error humano. Estos errores se consideran importantes puesto que son la base para calcular otros datos de manera indirecta; al utilizar sus incertidumbres, estas se van acumulando y generan un error cada vez mayor. Sin embargo, durante este experimento, las fuentes de error no incidieron de manera grave en las mediciones realizadas y de hecho se obtuvieron porcentajes de error relativamente pequeos.

Bibliografa:

(n.d.). Hiperlibro de Fsica: Mecnica de la Partcula de http://www.unabvirtual.cl/hiperlibro/cap02/ cap2.7.0.php. Universidad Andrs Bello. Valparaso, Chile. 2004. Recuperado el 10/06/2012. (n.d.). Teorema de Steiner. Universidad del Pas Vasco. 2009. Recuperado de http://212.128.130.23/ eduCommons/ensenanzas-tecnicas/fisica-i/contenidos/practicas_laboratorio/steiner.pdf el 12 de junio, 2012. Abad, L.; Colorado, D. Momentos de inercia. Escuela Politcnica Superior, Universidad Alfonso X el Sabio. 2011. Recuperado de http://momentosdeinercia.blogspot.com/p/teorema-de-steiner.html el 12 de junio, 2012 Lora, L. Gua de Laboratorio de Fsica General I. Universidad de Costa Rica. San Jos, Costa Rica. 2012. pp. 78-82. Medina, A.; Ovejero, J. Dinmica de la Rotacin. Universidad de Salamanca. Salamanca, Espaa. 2010. Recuperado de http://ocw.usal.es/eduCommons/ensenanzas-tecnicas/fisica- i/contenidos/temas_por_ separado/5_ap_dinrot 1011.pdf el 9 de junio, 2012. Navarro, F. et al. La Enciclopedia. Tomo 11. Salvat Editores. Madrid, Espaa. 2004. p. 8067.

Anexos:

Anexo 1. Representacin grfica del teorema de Steiner o teorema de ejes paralelos.

Fuente: http://www.unabvirtual.cl/hiperlibro/cap02/cap2.7.0.php

Anexo 2. Tipos de pndulos de torsin.

Figura 2. Pndulo de torsin unido a una barra rgida horizontal.Figura 1. Pndulo de torsin unido a un disco.Fuente: http://ocw.usal.es/eduCommons/ensenanzas-tecnicas/fisica-i/contenidos/temas_por_separado/5_ap_dinrot 1011.pdf

Fuente: http://momentosdeinercia.blogspot.com/p/teorema-de-steiner.htmlAnexo 3. Demostracin del teorema de Steiner.4