OBJETIVOS

Expresar una fuerza en función de sus componentes y vectores unitarios a lo largo de cada dirección.

Comprobar el equilibrio de un cuerpo sometido a fuerzas concurrentes en tres dimensiones.

1. MARCO TEORICO

CONCEPTO DE FUERZA

Llamamos fuerza a la medida de acción de un cuerpo sobre otro, como resultado de la cual el cuerpo cambia su estado de movimiento en equilibrio.Si la variación del estado de un cuerpo se expresa en la modificación de su velocidad, tenemos la manifestación dinámica de la fuerza. Si se expresa por la deformación se dice que tenemos la manifestación estática de la fuerza. La acción de una fuerza sobre un cuerpo se determina por los tres elementos siguientes:

a) Punto de aplicación de la fuerza.b) Dirección de la fuerza.c) Magnitud de la fuerza.

FUERZA EN FUNCION DE SUS COMPONENTES Y VECTORES

UNITARIOS

Z

az a

ay Y

ax k j X Figura No. 1 i

El vector  se puede poner en función de sus componentes como

= ax   +ay  + az       O  También   = (ax, ay,  az)

Las componentes ax , ay,  az son las proyecciones ortogonales del segmento a sobre los ejes  y por lo tanto

ax = acos µ  ay =a cosα  az= a cosβ

Donde µ, α, β, son los ángulos que forma el vector     con los ejes X, Y, Z respectivamente.

 Para éstos se cumple que

cos2 µ + cos2α + cos2β=1

   El módulo del vector queda en función de las componentes de la formaa2= ax

2+ ay2+ az

2

Ejemplo

Una fuerza actúa en el origen de un sistema coordenado en la dirección dada por los ángulos αy=55° y βz=45°. Sabiendo que la componente de la fuerza en x (Ax)= -500 lb, determine a) las otras componentes (Ay y Az) y la magnitud de la fuerza y b) el valor de µx.

Lo primero que hay que hallar el el ángulo faltante es decir en este caso µx.

cos2 µ + cos2α + cos2β=1 Despejando cos2 µ  tenemos:cos2 µ  = 1- (cos2α + cos2β).Sustituyendo valores:

cos2 µ =1-( cos255° + cos2 45°)cos2 µ  = 1- (0.3289+0.5)= 1-(0.8289)= 0.1711. Este resultado es el resultado del coseno cuadrado de µx, por lo tanto se le saca la raíz cuadrada para obtener el valor del coseno de µx:cos µx= √0.1711= 0.4136.

Una vez obtenido el valor del coseno de µx (0.4136) se procede a hallar el valor de la fuerza resultante A, utilizando la componente Ax, tomando su valor absoluto, es decir de forma positiva. con la ecuación:

Ax= a cos µx. despejando A tenemos: A= Ax/cos µxSustituyendo valores: A= 500/0.4136= 1209 lb.

Una vez obtenido el valor de la fuerza resultante A, ya se pueden hallar las otras dos componentes de la fuerza Ay y Az con las ecuaciones ya conocidas: Ay= Acos αy y Az= Acos βz.Sustituyendo valores: Ay= 1209 Nx cos 55° Ay= 1209 N x 0.5735Ay= +694 NAz= 1209 N x cos 45° A= 1209 N x 0.7071= +855 lb.

Finalmente se halla el valor del ángulo µx, mediante la siguiente ecuación:Ax= Acos µx.

Despejando cos µx= Ax/A. Sustituyendo valores tenemos: cos µx= -500 lb/1209 lb= cos µx= -0.4135. µx= cos-1 -0.4135. µx= 114.4°.Con el resultado anterior, se corrobora que cuando la componente tiene un signo negativo, el ángulo respectivo será obtuso y viceversa.

Recapitulando: las respuestas son:a) Ay= +694 lb, Az= +855 lb, b) A= 1209 lb, c) µx= 114.4

FUERZA EN FUNCION DE SUS VECTORES UNITARIOS

CONDICIONES DE EQUILIBRIO PARA UN SISTEMA DE FUERZAS CONCURRENTES

Las fuerzas concurrentes son todas las fuerzas que actúan cuyas líneas de acciónpasan a través de un punto común. Las fuerzas que actúan sobre un objeto puntual son concurrentes porque todas ellas pasan a través del mismo punto, que es el objeto puntual.

Un objeto se encuentra en equilibrio bajo la acción de fuerzas concurrentes si (1) seencuentra en reposo y permanece en ese estado (llamado equilibrio estático) o (2) si se Encuentra en movimiento con velocidad vectorial constante (llamado equilibrio Traslacional)

La primera condición de equilibrio requiere que Σ F = 0, o bien, en forma de componentes, que:

ΣFx = ΣFy = ΣFz= 0Es decir, la resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre el objeto debe ser cero. Esta condición es suficiente para el equilibrio cuando las fuerzas externas son

concurrentes. Una segunda condición debe ser satisfecha si al objeto permanece en equilibrio bajo la acción de fuerzas no concurrentes;

Figura N°.2

METODO DE RESOLUCION DE PROBLEMAS (FUERZAS CONCURRENTES): (1) aislar el objeto a estudiar(2) mostrar, en un diagrama las fuerzas que actúan sobre el cuerpo aislado (diagrama de cuerpo libre).(3) encontrar las componentes rectangulares de cada fuerza (4) escribir la primera condición de equilibrio en forma de ecuación(5) resolver para determinar las cantidades requerida

Ejemplo

Se rescata un marinero con una silla de contramaestre suspendida de una polea, la cual rueda libremente sobre el cable de apoyo ACB y se hala a una velocidad constante mediante el cable CD. Si se sabe

que α=25° y β=15° y la tensión en el cable CD es de 80N.Determine

a) El peso combinado de la silla y el individuo.

b) La tensión en el cable de soporte ABC.

D B A C α c β

Figura N°3.

Diagrama de fuerzas Y

T CD T ACBT ACB

25° 15° w X

Figura N°4

T CD=80(- cos 25°i+sen25°j) NT ACB=T ACB (-cos 25°i+ sen 25°j) NT ACB=TACB (cos 15°i+sen15°j)NW = -Wj

TCD+T ACB+T ACB+W=0

i-80cos 25°-TACB (-cos 25°+cos15°)=0-72.504+T ACB (-cos25°+cos 15°)=0T ACB=1216.14 N

La tensión del cable de soporte ABC es 1216.14 N

j80sen25°+TACBsen25°+TACBsen15°-W=0

33.8094+513.96+314.7601-W=0W=862.5295

El peso combinado de la silla y el individuo es de 862.5295

2. BIBLIOGRAFIA

http://www.alipso.com/monografias/2539_Vectores/

http://www.guiasdeapoyo.net/guias/terc_fis_e/Equilibrio%20bajo%20la%20acci%C3%B3n%20de%20fuerzas%20concurrentes.pdf