UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica

CURSO : LABORATORIO CIRCUITOS ELECTRÓNICOS I

PROFESOR : ING. JIMENEZIng. BETETTA

ALUMNO : CHERO CUEVA CARLOS A.041150A

2009

INFORME FINALREGIMEN TRANSITORIO DE CIRCUITOS RLC

CUESTIONARIO

1.- Determine (indicando

detalladamente los pasos) la ecuación diferencial del circuito 1.

De la figura:

Donde:

L = 2.5h C = 0.02 uf = resistencia interna de la bobina

Rp = resistencia del potenciómetro varia de 0 a 10k ohmf(t) = onda cuadrada con f = 20 Hz

Para resolver teóricamente este circuito nos valemos de nuestros conocimientos de los elementos almacenadores de energía (capacitador, inductor) En la malla 12361, tenemos :

.........................(a)

En la malla 63456 , tenemos :

De esta ecuación despejamos el valor de ; tendremos que :

L 3

RcC

4

f(t)

Rl

1 5

2

6

Rp

Luego derivamos:

Reemplazando estas dos ultimas ecuaciones en la ecuación (a) obtenemos:

Dividimos esta última expresión entre (LCRc) de esta manera poder reconocer fácilmente las constantes y Nota: Se sabe que en un circuito RLC, siempre se tendrá una ec. de la forma:

donde: = coeficiente de amortiguamiento= frecuencia natural de resonancia del sistema

Tendremos la siguiente ecuación diferencial:

Esta la ecuación diferencial del circuito, de donde observamos:

2.- Calcule analíticamente “ ”, “T” y “ ”, compare estos valores con los hallados experimentalmente, justificando las divergencias. Determinando la ecuación diferencial del circuito:

*Caso 1

f ( t)P E R = 0 . 0 5V 1 = 5 R c

2 6 . 8 3 k

L

2 . 5

0

C

0 . 0 2 u

R p

8 . 5 7 k

T(teórico)=3,1643mseg T(experimental)= 3mseg

%error absoluto = 0.1643 %error relativo = 5,19%

Dl (teórico) = 0,3218 Dl(experimental) = 0,2

Caso2

f ( t)P E R = 0 . 0 5V 1 = 5 R c

4 2 . 2 k

L

2 . 5

0

C

0 . 0 2 u

R p

8 . 9 4 k

T(teórico)=3.1919 mseg T(experimental)= 3mseg

%error absoluto = 0.1919 %error relativo = 6.1209

Dl (teórico) = 0.34485 Dl (experimental) = 0.4

3er. Caso

T(teórico)= 3.07568 m/seg T(experimental)= 2.8mseg

%error absoluto = 0.2758 %error relativo = 8.967%

Dl (teórico) = 1.5 Dl(experimental) = 1.3524

3.- ¿Qué consigue con el paso 4?

En el paso 4 se consigue variar la amplitud de la onda subamortiguada hasta tan pequeña que es difícil visualizarla a simple vista. Esto se lleva a cabo cuando disminuimos el valor de la resistencia del potenciómetro; además debemos tener presente que mientras hacemos decrecer el valor del potenciómetro, existe una resistencia que permanece casi constante (es la resistencia de los materiales o instrumentos que se están utilizando por ejemplo la resistencia interna de la bobina era de 70,4Ohm, el condensador, los cables, entre otros).Además debemos mencionar que mientras variamos el valor del potenciómetro, no solo las amplitudes disminuye si no que también se ven afectados la frecuencia natural de resistencia (

), así como el coeficiente de amortiguamiento y el periodo.

4.- ¿Qué función cumple “Rc”? La función que cumple “Rc”, es de disminuir las amplitudes máximas de una onda subamortiguada, que es análogo o parecido al de la resistencia el potenciómetro. Pero a diferencia de los cambios que produce al cambiar Rc; este produce un cambio notorio ya sea incrementando la amplitud (puede duplicarse) o disminuirla al punto de no visualizarla. En otra palabras es el que hace variar el valor del decremento logarítmico por ejemplo en la experiencia realizada cuando utilizamos un Rc = 26,82kOhm nos da un que es mayor que el decremento logarítmico obtenido por

Rc = 42,2kOhm

5.-¿Qué diferencias observa en los pasos 3, 4 y 5 y a que se deben estas diferencias?En cada paso obtenemos una onda amortiguada, la diferncia qu exiteen es debido a los parámetros y , por que si , es el caso de una onda sub-amortiguada ,esta clases de amortiguamienmto se obtiene en el paso tres cuando variamos el valor del potenciómetro hasta obtener dicho amortiugamiento. En el paso 4 variamos el valor del potenciómetro hasta obtener una onda críticamnte amortiguada , esto se da cuando = . En el paso 5 cuando eliminamos Rc obtenemos una onda subamortiguada de menor amplitudmáxima (crestas) en comparacion con la onda obtenida en el paso tres esto se debe a la variacion de los parámetros y debido a que están en función de R1, C, L y Rc.

6.- Si en el circuito experimental la incógnita fuera

Si en la pregunta 1 en vez de calcular la corriente, hubieramos hallado el voltaje en la bobina,

esto no cambiaría los valores de y ; veamos tenemos que:

Pero también sabemos:

............................................(1)

h(t): en función de f(t) y los elementos del circuito como la ecuación es lineal, podemos hacer lo siguiente:

Reemplazando en (1) las ecuaciones (2) y (3) respectivamente tenemos:

Sumando estas ecuaciones y agrupando tenemos:

Con lo que queda demostrado que no importa que señal tomemos como salida, ya sea voltaje o corriente de un mismo circuito, las constantes tienen que ser las mismas.

7.- A partir de la solución por ecuaciones diferenciales verifíque la fórmula del decremento logarítmico.

La ecuación de la onda tiene la forma : , como el decremento logarítmico se calcula así:

8.- Solucione la red con la ayuda de las transformadas de Laplace.

Aplicando las leyes de Kirchoff obtenemos las siguientes ecuaciones:

Resolviendo el sistema, tenemos:

Como f(t) es periódica, le podemos dar forma de una sumatoria; de la siguiente manera:

Aplicando la transformada de Laplace a f(t), obtenemos F(s)

Si reemplazamos este resultado en las ecuaciones de la corrientes tendremos y transformando en forma inversa obtenemos:

+

9.- Explique las variaciones sufridas al cambiar la resistencia Rc, y al retirarla del circuito. Al cambiar Rc de un valor menor a otro de mayor valor , lo primero que se observa en la la respuesta ( en el gráfico ) es una variación en las crestas (amplitudes máximas). En esta parte las crestas que se observa son de menor tamaño en comparación con el tamaño de la primera onda (la primera onda se obtiene con Rc de menor valor y la segunda onda se obtien con Rc de mayor valor). Y al retirar del circuito a la resistencia Rc obtenemos una respuesta , onda subamortiguada , que se diferencia de la primera onda por ser de menor tamaño sus crestas ( amplitudes máximas) esto es debido a los parámetros y que afectan directameenteal periodo del decremento logarítmico

a) Cuando variamos la resistencia Rc:

Para Rc = 26,8 k obtenemos un 1

Para Rc = 42,2 k obtenemos un 2

De la fórmula: y de los datos del laboratorio.

Obtenemos que 1 > 2 lo cual nos indica que para una resistencia Rc cada vez menor la exponencial decae con mayor rapidez.

Para Rc = 26,8 k obtenemos un W01

Para Rc = 42,2 k obtenemos un W02

De la fórmula: y de los datos del laboratorio

Obtenemos que lo cual nos indica que para una variación en la resistencia Rc, la frecuencia natural de oscilación no cambia o sufre un cambio despreciable por lo tanto el incremento o decremento de la frecuencia de oscilación “W” dependerá del decremento o aumento de .

Para Rc = 26,8 k se obtiene 1

Para Rc = 42,2 k se obtiene 2

Como 1 > 2 y W01 W02 y de la relación:

deducimos que: W1 < W2

Lo cual nos indica que: T1 > T2 el periodo de oscilación disminuye con el incremento de la resistencia “Rc”. Figura (a) y (b)

b) Si se retira “Rc” del circuito

f ( t)P E R = 0 . 0 5V 1 = 5

L

2 . 5

0

C

0 . 0 2 u

R p

8 . 9 4 k

Se obtiene un circuito “RLC” en serie, donde Vo(t) será la tensión medida en el capacitor y la ausencia de Rc significa en las ecuaciones obtenidas en (7) y (8), un circuito abierto o es lo mismo afirmar que (Rc ) por lo tanto se tiene:

,

Y también:

De lo deducido en (a):

Si Rc el coeficiente de amortiguamiento “” disminuye considerablemente y el efecto que causa en Vo(t) es que la envolvente exponencial tiende a variar lentamente de amplitud (decrecer) con el transcurso del tiempo.

Pero la frecuencia natural de oscilación Wo no sufre cambio brusco como “” es mas sufre un cambio despreciable, esto significa que el periodo “T” disminuye considerablemente.

10.-Explique y dibuje las demás variables del circuito, como por ejemplo la tensión VL y la corriente del sistema

Sobreamortiguado:

Este gráfico solo tiene un único pico máximo y una frecuencia que luego la curva tiende a cero. como el caso del voltaje para la inductancia L, entonces la grafica de

será:

Time

24.0ms 26.0ms 28.0ms 30.0ms 32.0ms 34.0ms22.4msV(Rp:2)

-5.0V

0V

5.0V

Críticamente amortiguado

En esta gráfica no tiene ningún pico, pero si un periodo infinito.ex:

Time

28.00ms 32.00ms 36.00ms 40.00ms 44.00ms24.55msV(L:2)

1.0V

2.0V

3.0V

Sub amortiguado

Este gráfico tiene varios picos, con su respectivas frecuencias, se va haciendo pequeño dichas ondas hasta que se haga cero.

Time

26.00ms 28.00ms 30.00ms 32.00ms 34.00ms24.96msV(L:2)

0V

10.0V

16.3V

11.- Plantee la ecuación de cada una.

Determine al ecuación diferencial de:

solución homogénea:

Determinar la ecuación diferencial para i.

12.- Enuncie algunas aplicaciones que se le da al control de diferentes amortiguamientos como respuesta como respuesta a una excitación.

No vemos la importancia y necesidad de la existencia de la resistencia. En el experimento, cuando retiramos a Rc, obtuvimos en el osciloscopio las mismas formas de onda, ya que matemáticamente se demuestra que solamente cambian los parámetros y 0, mas la forma de señal se mantiene.

Adicionalmente lo único que hace la resistencia R0 es complicar el cálculo matemático para hallar el voltaje ab, y los valores de R para los cuales 0, =0 y 0.

Es obvio que al no existir R0 el circuito se transforma en un RLC en serie y los cálculos se simplifican bastante.

En los circuitos que presentan ecuaciones diferenciales de segundo orden se les puede relacionar con los estudiados en laboratorio para poder encontrar sus parámetros.Es muy importantísimo conocer el valor de la frecuencia de resonancia donde los parámetros son iguales porque este nos da los valores de sobre tensiones y sobre corrientes que se pueden producir en el circuito a partir del cual se podrán diseñar o escoger sus protecciones.

En un circuito RLC donde conozcamos las frecuencias a las que esta sujeto se puede regular para aceptar o rechazar valores de frecuencias determinadas a los cuales se llaman filtros pasivos los cuales debido a su ordenamiento pueden ser: Filtro pasa banda: acepta cierto rango de frecuencias. Filtro supresor de banda: acepta a todas las frecuencias menos a un intervalo definido. Filtro atrapa banda. Filtro doblemente sintonizado o resonante.

La combinación RLC en paralelo y sin fuentes ( pero la causa de la respuesta es una carga en el condensador o una corriente encerrada en el circuito por la bobina ), es un modelo adecuado para muchas redes de comunicación, por ejemplo representa una parte importante de algunos amplificadores electrónicos que se encuentran en cualquier receptor de radio haciendo posible que los Amplificadores produzcan una gran Amplificación de Tensión dentro de una Banda estrecha de Frecuencias de Señal y una amplificación casi cero de esta Banda. Otras aplicaciones de los Circuitos RLC en paralelo es su aplicación en Filtros múltiples, Filtros Supresores de Armónicos, etc.

SIMULACIONESEl circuito utilizado:

C

L

0

1 k

R c

R p

V 1

P E R = 0 . 0 5

V 1 = 5V 2 = -5

Haciendo variar Rp entonces: para Rp pequeño:

R p

1 n

R c

5 6 k

0

L

2 . 5V

C

0 . 0 2 u

V 1

TD = 0

TF = 0P W = . 0 2 5P E R = 0 . 0 5

V 1 = 5

TR = 0

V 2 = -5

Time

0s 20ms 40ms 60ms 80msV(L:2)

-20V

0V

20V

para un Rp Promedio:

0

V

R p

2 0 k

V 1

TD = 0

TF = 0P W = . 0 2 5P E R = 0 . 0 5

V 1 = 5

TR = 0

V 2 = -5R c

5 6 k

L

2 . 5

C

0 . 0 2 u

Time

0s 10ms 20ms 30ms 40ms 50ms 60msV(L:2)

-4.0V

0V

4.0V

Para un Rp grande:

R c

5 6 k

L

2 . 5

0

V 1

TD = 0

TF = 0P W = . 0 2 5P E R = 0 . 0 5

V 1 = 5

TR = 0

V 2 = -5C

0 . 0 2 u

R p

1 0 0 0 kV

Time

0s 10ms 20ms 30ms 40ms 50ms 60msV(L:2)

-400mV

0V

400mV

Ahora si quitamos Rc y hacemos variar Rppara un Rp pequeño:

C

0 . 0 2 u

V 1

TD = 0

TF = 0P W = . 0 2 5P E R = 0 . 0 5

V 1 = 5

TR = 0

V 2 = -5

L

2 . 5

0

V

R p

1 k

Time

0s 10ms 20ms 30ms 40ms 50ms 60msV(L:2)

-20V

0V

20V

Para un Rp promedio:

V 1

TD = 0

TF = 0P W = . 0 2 5P E R = 0 . 0 5

V 1 = 5

TR = 0

V 2 = -5

R p

1 9 kV

L

2 . 5

C

0 . 0 2 u

0

Time

0s 10ms 20ms 30ms 40ms 50ms 60msV(L:2)

-10V

0V

10V

Para un Rp grande:

V 1

TD = 0

TF = 0P W = . 0 2 5P E R = 0 . 0 5

V 1 = 5

TR = 0

V 2 = -5C

0 . 0 2 u

L

2 . 5

0

V

R p

1 0 0 k

Time

0s 10ms 20ms 30ms 40ms 50ms 60msV(L:2)

-5.0V

0V

5.0V

APLICACIONES

APLICACIONES DE LOS CIRCUITOS RLC EN EL ESTUDIO DE LAS ANTENAS (TELECOMUNICACIONES)

La Frecuencia de Resonancia en las Antenas.

Cuando estudiamos para el examen de teoría para obtener la licencia de radioaficionado, uno de los temas que vemos es la resonancia en los circuitos; pero ¿para que nos va a servir? En

este artículo vamos a ver cómo se aplica a las antenas y a los circuitos RLC de uso común en radio comunicaciones.

Las antenas están hechas de alambre ó tubos de metal, así que tienen inductancia (L) y resistencia (R). La antena tiene capacitancia (C) debido a la cercanía con la tierra y los objetos a sus alrededor, incluyendo los soportes, como: la torre, la cama que la sustenta, las retenidas, etc. La antena tiene impedancia (Z), la cual varía con la frecuencia (F).

Pensando en una antena en términos de un circuito serie RLC, pretendo que usted comprenda el concepto fácilmente. Esto ayudara a entender los efectos que usted nota en su propia antena.

RESONANCIA EN ANTENAS

La máxima cantidad que radia una antena tiene efecto cuando el máximo de corriente fluye en la antena. Nuestro estudio de circuitos RLC muestran que la máxima corriente fluye en el circuito serie cuando las reactancias L y C se cancelan y el circuito es resistivo.

La impedancia es igual a una pequeña resistencia y la corriente está a su máximo.

Exactamente pasa lo mismo con las antenas. Es importante hacer que las antenas resuenen a la frecuencia de trabajo y debido a ello obtenemos una corriente máxima y por lo tanto una máxima radiación. La resonancia se logra cancelando las reactancias en una antena, ya sea por medio de añadir CONSTANTES AGRUPADAS (realmente capacitores o inductores) o ajustando la longitud de la antena.

Artefactos tales como Bobinas de Carga, Trampas y Sombreros Capacitivos son Componentes Agrupados diseñados para alterar la frecuencia de resonancia de una antena.

La longitud más corta que debe tener una antena para que sea auto-resonante es una longitud de media onda eléctrica. La longitud física de un alambre resonante siempre será algo mas corta. La teoría del factor de velocidad, encontrada en nuestro artículo sobre líneas de transmisión, se aplica igualmente a las antenas.

La antena será más corta físicamente debido a la capacitancia añadida en las puntas de la antena (llamado EFECTO DE PUNTAS). La capacitancia tiende a bajar la frecuencia de resonancia. La antena debe ser acortada (decrecer la inductancia) para que se ajuste a la frecuencia deseada.