Informe final física N°6

Facultad de Ingeniería Mecánica Laboratorio N°6 Universidad Nacional de Ingeniería

Universidad Nacional de Ingeniería

Facultad de Ingeniería Mecánica

Experimento N° 06

Dinámica de rotación

Curso: Física I

Profesor: José Pachas Salhuana

Lau Shigyo, Luis Augusto 20132154J

Chuchen Apaza, Joel Arturo 20130086G

Sección: A

Fecha: 12/07

2013-I

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Prologo

A diario vemos que todos los objetos tienen una resistencia a trasladarse o a rotar, el primero debido a las irregularidades que existen en toda superficie y el segundo por el momento de inercia. El momento de inercia depende del eje de giro que se tome como referencia, además de la masa del cuerpo y cómo esté distribuida en éste. Para esta oportunidad realizaremos ensayos con la

rueda de Maxwell, que a pesar de ser de un material homogéneo, su estructura no. El siguiente ensayo se basa en hallar el momento de inercia de esta rueda.

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Índice

1. Objetivos

2. Representación esquemática del ensayo

3. Fundamento Teórico

4. Cálculos y resultados

5. Hoja de datos

6. Conclusiones

7. Bibliografía

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1. Objetivos

Nuestro objetivo es hallar el momento de inercia de la rueda de Maxwell y comprobar la conservación de la energía.

2. Representación esquemática del ensayo

Se utilizaron los siguientes instrumentos:

Par de rieles paralelos inclinados

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Rueda de Maxwell

Cronómetro

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Pie de rey

Regla milimetrada

Balanza análitica

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Nivel

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Procedimiento

Usamos el nivel de burbuja para nivelar el plano que sirve de soporte a los rieles.

Marcamos en los rieles los puntos A0, A1, A2, A3, A4, separados 10 cm entre sí.

Medimos con el pie de rey el diámetro del eje cilíndrico que se apoya sobre los rieles. Tenemos en cuenta que dicho eje ha sufrido desgaste desigual.

Fijamos la inclinación de los rieles de manera que la rueda debe experimentar un movimiento de rodadura pura (sin patinaje).

Colocamos la rueda en reposo en la posición A0 , la soltamos y simultáneamente comenzamos a medir el tiempo(t0 = 0) ; medimos los intervalos de tiempo t1 , t2 , t3 , t4 correspondientes a los tramos A0A1 , A0A2 , A0A3 , A0A4 , respectivamente.

Medimos la masa de la volante y la diferencia de las alturas entre las posiciones G0 y G4.

Modificamos la inclinación de los rieles y hacemos las mediciones de los tiempos respectivos así como también medimos la nueva diferencia de alturas entre G0 y G4.

Medimos los radios, espesores y longitudes de la rueda de Maxwell y además su eje.

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3. Fundamento Teórico

MOMENTO DE INERCIA (INERCIA ROTACIONAL):

Es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.

El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular.Para una masa puntual y un eje arbitrario, el momento de inercia es:

I=mr2

Donde m es la masa del punto, y r es la distancia al eje de rotación.

Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:

I=∑mi ri2

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http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_angular

http://es.wikipedia.org/wiki/Masa_inercial

http://es.wikipedia.org/wiki/Inercia


Para un cuerpo de masa continua se generaliza como:

El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo.

Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así,

por ejemplo, la segunda ley de Newton: a = Fm

tiene como equivalente para la

rotación:

τ = IαDonde:

“τ” es el momento aplicado al cuerpo.

“I”es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y

α=d2θd t 2 es la aceleración angular.

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La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es12mv2,

mientras que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω

es12I ω2, donde I es el momento de inercia con respecto al eje de rotación.

La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular:

L⃗=I ❑⃗

El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidad angular . Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.

TEOREMA DE STEINER O TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS

Establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

I eje=I eje(CM)+M h2

donde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I(CM)

eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M - Masa Total y h - Distancia entre los dos ejes paralelos considerados.

MOMENTO DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE MASAS PUNTUALES

Tenemos que calcular la cantidad

I=∑ x i2mi

Donde xi es la distancia de la partícula de masa mí al eje de rotación.

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MOMENTO DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE MASA

Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua de masa. La fórmula que tenemos que aplicar es

I=∫ x2dm

dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación.

ECUACIÓN DE LA DINÁMICA DE ROTACIÓN

Consideremos un sistema de partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos partículas. Sobre la partícula 1 actúa la fuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partícula 2, F12. Sobre la partícula 2 actúa la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce la partícula 1, F21.

Por ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores serían las que ejerce el Sol (y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores serían la atracción mutua entre estos dos cuerpos celestes.

Para cada una de las partículas se cumple que la variación del momento angular con el tiempo es igual al momento de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula considerada.

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Sumando miembro a miembro, aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial, y teniendo en cuanta la tercera Ley de Newton, F12=-F21, tenemos que:

Como los vectores r1-r2 y F12 son paralelos su producto vectorial es cero. Por lo que nos queda:

La derivada del momento angular total del sistema de partículas con respecto del tiempo es igual al momento de las fuerzas exteriores que actúan sobre las partículas del sistema.

Consideremos ahora que el sistema de partículas es un sólido rígido que está girando alrededor de un eje principal de inercia, entonces el momento angular L=I·, la ecuación anterior la escribimos

TRABAJO Y ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACIÓN

En otra página relacionamos el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula con la variación de energía cinética de dicha partícula.

Considérese un cuerpo rígido que puede girar alrededor de un eje fijo tal como se indica en la figura. Supongamos que se aplica una fuerza exterior F en el punto P. El trabajo realizado por dicha fuerza a medida que el cuerpo gira recorriendo una distancia infinitesimal ds=rdt en el tiempo dt es:

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F·senθ es la componente tangencial de la fuerza, la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento. La componente radial de la fuerza no realiza trabajo, ya que es perpendicular al desplazamiento.

El trabajo total cuando el sólido gira un ángulo θ es:

En la deducción se ha tenido en cuenta la ecuación de la dinámica de rotación M=I , y la definición de velocidad angular y aceleración angular.

Se obtiene una ecuación análoga al teorema trabajo-energía para una partícula. El trabajo de los momentos de las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo modifica su energía cinética de rotación.

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DESCOMPOSICIÓN DE LA ENERGIA CINÉTICA EN ENERGÍA DE TRASLACIÓN Y ENERGÍA DE ROTACIÓN

La rueda de maxwell consta de un aro de radio R y de un eje cilíndrico concéntrico de radio r(r<R). Al dejar al eje sobre los rieles el sistema experimentara un movimiento de rodadura. En la figura 1 se muestra un rueda de maxwell en dos posiciones de su movimiento. G0 y G4 son la posiciones del centro de gravedad de la rueda en los puntos más alto y más bajo de la trayectoria.

Figura 1

Por el principio de conservación de la energía:

EP0 +EC0 =EP4 +EC4 +WFRICCION

Si en G0 la rueda parte del reposo

Mgh0=mgh4 +Fricción

Las pérdidas de fricción, se deben a la fricción por desplazamiento (calor perdido por rozamiento) y a la fricción por rodadura (calor producido por la deformación de las superficies de contacto).

Las pérdidas por rodadura son despreciables en el caso de los cuerpos rígidos. Si ahora evitamos el deslizamiento (patinaje) podemos suponer que las pérdidas por fricción son insignificantes.

El movimiento de rodadura puede ser considerado como un conjunto continuo de rotaciones sucesivas con velocidad angular wA alrededor de un eje de

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giro móvil que pasa por los puntos de contacto entre el eje cilíndrico y los rieles (Ai). Se cumple que la relación VG=wA.r, donde VG es la velocidad del centro de gravedad, wA es la velocidad angular alrededor de Ai y r es la distancia de G a Ai (radio del eje cilíndrico).

Otra manera de visualizar el movimiento de rodadura, quizás más natural, es considerando que la composición de una traslación de del centro de masa G, más una rotación simultánea, con velocidad angular wG alrededor de G.

Se debe demostrar que wA =wG (verifíquelo)

Tomando un segundo punto de vista, la energía cinética consta de dos partes:

EC=ECT+ECR

Donde ECT significa que la energía cinética de traslación y ECR energía cinética de rotación

EC=1/2 MV2G+ ½ IG w2

Donde VG es la velocidad del centro de masa, IG es el momento de inercia respecto al eje de rotación que pasa por G (que en este caso es el de simetría).per VG=VA=wr, entonces:

Mgh0=Mgh4 + ½ MV2G + ½ IG.V2G/r2

De esta expresión podemos calcular IG si conociéramos VG. Se observara en este experimento que el movimiento de traslación tanto del centro de gravedad como del eje instantáneo de rotación es uniformemente acelerado. Tendremos por lo tanto:

X=1/2 at2 , V=at:

Es decir:

V=2x/t

4. Cálculos y resultados

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1.- Considerando los tiempos promedios para t1, t2, t3 y t4, grafique los puntos (0;0), (t1;A0A1)… Indique si el movimiento es de traslación uniformemente acelerado.

Para el ángulo igual a 7.853° Para el ángulo igual a 13.055°

tpromedio x tpromedio x6.07 0.1 4.46 0.18.36 0.2 6.44 0.2

10.32 0.3 7.57 0.312.14 0.4 8.57 0.4

El movimiento es de traslación es uniformemente acelerado, dado que la gráfica corresponde a una parábola.

2.- Grafique x vs. t2

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Para el ángulo igual a 7.853° Para el ángulo igual a 13.055°

tpromedio al cuadrado x tpromedio al cuadrado x36.844 0.1 19.891 0.169.889 0.2 41.473 0.2

106.502 0.3 57.304 0.3147.379 0.4 73.444 0.4

3.- Suponiendo que la aceleración de traslación es constante y aplicando la desviación estándar y propagación de errores, calcular.

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a. La aceleración de centro de masa aG.

Aceleración del centro de masa del primer ángulo: 0.00137 m/s2

Aceleración del centro de masa del segundo ángulo: 0.00255 m/s2

b. La velocidad de traslación, V4, del centro de masa en posición G4.

Velocidad del centro de masa del primer ángulo: 0.065 m/sVelocidad del centro de masa del segundo ángulo: 0.093 m/s

c. La velocidad angular de la rueda en el instante t4.

Velocidad angular del centro de masa del primer ángulo: 20.31 rad/sVelocidad angular del centro de masa del segundo ángulo: 29.06 rad/s

d. El momento de inercia de la volante, usando la ecuación:

Mgh0=Mgh4+12MV G

2 +12IGV G

2 /r 2

Donde:VG = Velocidad del centro de masa.IG = Momento de inercia respecto al eje de rotación que pasa por G (el de simetría)

Momento de inercia del primer ángulo: 0.139 kg.m2

Momento de inercia del segundo ángulo: 0.131 kg.m2

e. ¿Cuáles son las mediciones que introducen mayor incertidumbre en el cálculo del momento de inercia?

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La medición que introduce mayor incertidumbre es el tiempo, ya que la medida de este depende de la rapidez con la que se presiona el botón del cronometro, es por ello que tenemos que hacer muchos intentos y hallar un tiempo promedio.

Al operar con este tiempo promedio introducimos el error, y el tiempo se relaciona con la velocidad, aceleración, velocidad angular instantánea, esto hace que la incertidumbre y error aumente en mayor proporción al calcular el momento de inercia.

Otra variable es la altura que es indispensable para el cálculo de la energía potencial, pero este error es mínimo con relación al tiempo, ya que puede ser más preciso si lo medimos con cuidado y con una regla metálica, también tenemos la masa de la ruedita pero también es mínimo con relación al tiempo.

g. ¿Cómo influye la inclinación de los rieles sobre el valor de I?

Su valor de influencia es mínimo, diríamos casi despreciable, pues recurriendo a la teoría veríamos que el momento de inercia depende solo de la masa y de la posición geométrica del centro de masa respecto al eje de giro, mas no de las fuerzas externas que le podamos generar al cuerpo a analizar.

h. Calcule el momento de inercia a partir de la definición: I = ∫ dmr2 y las

mediciones geométricas efectuadas sobre la rueda y el eje cilíndrico. Compare con (d)

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Calculamos en volumen total:

Hallando el volumen de la varilla:

V 1=π4ф2h

V 1=π4

(6.4mm )2 (144.7mm )

V 1=4.65499×10−6m3

Hallando el volumen del cilindro hueco menor:

V 2=π4

(ф12−ф2

2) h

V 2=π4

(21.42−6.42 )14.9

V 2=4.87993×10−6m3

Hallando el volumen de las barras rectas:V 3=6V

V 3=6 (5 ) (38.3 ) (9.6 )V 3=1.10304×10−5m3

Hallando el volumen del cilindro hueco mayor:

V 4=π4

(ф12−ф2

2 )h

V 4=π4

(1242−1012) (24.5)

V 4=9.95789×10−5m3

V T=V 1+V 2+V 3+V 4

V T=1.20066×10−4m3

Sabemos que: (DENSIDAD)=(MASA )/(VOLUMEN )

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ρ=0.435kg /1.20066×10−4m3

ρ=3623.0073kg/m3

Calculo de los momentos de inercia de cada componente del disco:

Momento de inercia de la varilla:

I 1=12ρV 1R

2

I 1=12

(3623.0073 ) (4.65499×10−6 )( 6.32

)2

I 1=8.634912×10−8kg .m2

Momento de inercia del cilindro hueco menor:

I 2=12ρV 2(R1

2+R22)

I 2=12

(3623.0073 ) (4.87993×10−6 )[ (0.0107 )2+(0.0032 )2]

I 2=1.102614×10−6 kgm2

Momento de inercia para la barra recta:I 3=ρV 3d

2+ ICM

I 3=(3623.0073 )(1.10304×10−5)( 26.65×10−3 )2+ (3623.0073 )(1.10304×10−5)12

(21.42+6.42)

I 3=3.357483×10−5kg .mm2

Momento de inercia para el cilindro hueco mayor:

I 4=12ρV 4(R1

2+R22)

I 4=12

(3623.0073 )(9.95789×10−5)[( 1242 )

2

+( 1012 )

2

]

I 4=1.153443×10−3m2

El momento total de inercia será igual a la suma de los momentos de inercia de cada parte del disco.

I T=I 1+ I 2+ I 3+ I 4

I T=1.18 kg .m2

5. Hoja de datos

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6. Conclusiones y recomendaciones

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La energía cinética en el movimiento de un cuerpo rígido se descompone en energía de rotación y energía de traslación.

Un cuerpo se encuentra en equilibrio de rotación si la suma algebraica de los torques de las fuerzas aplicadas al cuerpo, respecto a un punto cualquiera es cero.

El momento de inercia es una medida de la resistencia del cuerpo a ser acelerado en su rotación.

El momento de inercia es una magnitud escalar que solo depende de la masa del cuerpo y del lugar geométrico que ocupa respecto a su eje de giro.

El radio de giro de un objeto, respecto de un eje que pasa a través del CG, es la distancia desde el eje en el cual se puede concentrar toda la masa del objeto sin cambiar su momento de inercia. El radio de giro es siempre medido desde el CG.

Si el cuerpo es homogéneo se cumple que la densidad es igual a la masa sobre el volumen.

7. Bibliografía

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*Serway, R. A.; Faughn, J. S. y Moses, C. J. (2005). Física. Cengage Learning Editores.

*Meriam /Kraige, Mecánica para ingenieros, Dinámica. 3a edición. Editorial Reverté.

*José Martín Casado Márquez. Física I para estudiantes de ciencias e ingeniería. 1ra edición, Cap. I. EDUNI 2008

*Facultad de Ciencias – UNI, Manual de Laboratorio de Física General. Facultad de Ciencias 1999

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Informe final física N°6

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